Integration by Substitution in 12th
1.कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in 12th),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration Using Trigonometric Identities):
कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in Class 12) के इस आर्टिकल में जब समाकल्य में कुछ त्रिकोणमितीय फलन निहित होते हैं,तो हम n समाकलन ज्ञात करने के लिए कुछ ज्ञात सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं।
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2.कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के साधित उदाहरण (Integration by Substitution in 12th Solved Examples):
1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए।
Example:1. \sin ^2(2 x+5)
Solution: \sin ^2(2 x+5) \\ I=\int \sin ^2(2 x+5) d x \\ =\int \frac{1-\cos 2(2 x+5)}{2} d x \because \cos 2x=1-2 \sin^2 x \\ =\frac{1}{2} \int d x-\frac{1}{2} \int \cos (4 x+10) d x \\ I=\frac{x}{2}-\frac{1}{8} \sin (4 x+10)+C
Example:2. \sin 3 x \cos 4 x
Solution: \sin 3 x \cos 4 x \\ I=\int \sin 3 x \cos 4 x d x \\ =\frac{1}{2} \int 2 \sin 3 x \cos 4 x d x \\ =\frac{1}{2} \int \left[ \sin (3 x+4 x)-\sin (4 x-3 x) \right] d x \\ =\frac{1}{2} \int \sin 7 x d x-\frac{1}{2} \int \sin x d x \\ =-\frac{1}{2} \times \frac{1}{7} \cos 7 x+\frac{1}{2} \cos x+C \\ =-\frac{1}{14} \cos 7 x+\frac{1}{2} \cos x+C \\ \Rightarrow I=-\frac{1}{14} \cos 7 x+\frac{1}{2} \cos x+C
Example:3. \cos 2 x \cos 4 x \cos 6 x
Solution: \cos 2 x \cos 4 x \cos 6 x \\ I =\int \cos 2 x \cos 4 x \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{2} \int(2 \cos 2 x \cos 4 x) \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{2} \int[\cos (2 x+4 x)+\cos (2 x-4 x)] \cos 6 x dx \\ \left [ \because 2 \cos A \cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B) \right ] \\ =\frac{1}{2} \int(\cos 6 x+\cos 2 x) \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{2} \int \cos ^2 6 x d x+\frac{1}{2} \int \cos 2 x \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{4} \int 2 \cos ^2 6 x d x+\frac{1}{4} \int 2 \cos 2 x \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{4} \int(1+\cos 12 x) d x+\frac{1}{4} \int[\cos (2 x+6 x)+\cos (2 x-6x)] dx\\ \left[\because \cos 2 x=2 \cos ^2 x-1\right] \\ =\frac{1}{4} \int 1 \cdot d x+\frac{1}{4} \int \cos 12 x d x+\frac{1}{4} \int \cos 8x d x +\frac{1}{4} \int \cos 4 x d x \\ =\frac{1}{4} x+\frac{1}{48} \sin 12 x+\frac{1}{32} \sin 8 x+\frac{1}{16}+\frac{\sin 2 x}{10} +C \\ \Rightarrow I=\frac{x}{4}+\frac{1}{48} \sin 12 x+\frac{1}{32} \sin 8 x+\frac{1}{16} \sin 4 x+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{12} \sin 12 x+\frac{1}{8} \sin 8 x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+C
Example:4. \sin ^3(2 x+1)
Solution: \sin ^3(2 x+1) \\ I=\int \sin ^3(2 x+1) d x \\ =\frac{1}{4} \int \left \{ 3 \sin (2 x+1)-\sin 3 (2 x+1) \right \} d x \\ \left[\because \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^3 x\right] \\ =\frac{3}{4} \int \sin (2 x+1) d x-\frac{1}{4} \int \sin (6x+3) d x \\ =\frac{-3}{8} \cos (2 x+1)+\frac{1}{24} \cos (6 x+3)+c \\ =-\frac{3}{8} \cos (2 x+1)+\frac{1}{24} \cos 3(2 x+1)+c \\ =-\frac{3}{8} \cos (2 x+1)+\frac{1}{24}\left[4 \cos ^3(2 x+1)-3 \cos (2 x+1)\right]+C \\ =-\frac{3}{8} \cos (2 x+1)+\frac{1}{6} \cos ^3(2 x+1)-\frac{1}{8} \cos (2 x+1)+C \\=-\frac{1}{2} \cos (2 x+1)+\frac{1}{6} \cos ^3(2 x+1)+C
Example:5. \sin ^3 x \cos ^3 x
Solution: \sin ^3 x \cos ^3 x \\ I =\int \sin ^3 x \cos ^3 x d x \\ =\frac{1}{8} \int \sin ^3 x \cos ^3 x d x \\ =\frac{1}{8} \int(2 \sin x \cos x)^3 d x \\ =\frac{1}{8} \int(\sin 2 x)^3 d x \\ =\frac{1}{8} \int\left[\frac{3 \sin 3 x-\sin 9 x}{4}\right] d x \\ =\frac{3}{32} \int \sin 3 x d x-\frac{1}{32} \int \sin 9 x d x
विकल्पत: \int \sin ^3 x \cos ^3 x d x \\ =\int \sin x\left(1-\cos ^2 x\right) \cos ^3 x d x \\\text { put } \cos x=t \Rightarrow-\sin x d x=d t \\ =-\int\left(1-t^2\right) t^3 d t \\=\int\left(t^5-t^3\right) d t \\ =\frac{1}{6} t^6-\frac{1}{4} t^4+c \\ =\frac{1}{6} \cos ^6 x-\frac{1}{4} \cos ^4 x+C
Example:6. \sin x \sin 2 x \sin 3 x
Solution: \sin x \sin 2 x \sin 3 x \\ I=\int \sin x \sin 2 x \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{2} \int(2 \sin x \sin 2 x) \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{2} \int[\cos (2 x-x)-\cos (2 x+x)] \sin 3 x d x \\ \left [ \because 2 \sin A \sin B=\cos (A-B)-\cos (A+B) \right ] \\ =\frac{1}{2} \int(\cos x-\cos 3 x) \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{2} \int \cos x \sin 3 x d x-\frac{1}{2} \int \cos 3 x \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{4} \int 2 \cos x \sin 3 x d x-\frac{1}{4} \int \cos 3 x \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{4} \int[\sin (3 x+x)+\sin (3 x-x)] \frac{1}{4} \int \sin 6 x d x \\ =\frac{1}{4} \int \sin 4 x d x+ \frac{1}{4} \int \sin 2 x d x-\frac{1}{4} \int \sin 6 x d x \\ =-\frac{1}{16} \cos 4 x-\frac{1}{8} \cos 2 x+ \frac{1}{24} \cos 6 x+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{4}\left[\frac{1}{6} \cos 6 x-\frac{1}{4} \cos 4 x-\frac{1}{2} \cos 2 x\right]+C
Example:7. \sin 4 x \sin 8 x
Solution: \sin 4 x \sin 8 x \\ I=\frac{1}{2} \int 2 \sin 4 x \sin 8 x d x \\ =\frac{1}{2} \int[\cos (8 x-4 x)-\cos (4 x+8 x)] d x \\ =\frac{1}{2} \int \cos 4 x d x-\frac{1}{2} \int \cos 12 x d x \\ =\frac{1}{8} \sin 4 x-\frac{1}{24} \sin 12 x+C \\ I=\frac{1}{8}\left[\sin 4 x-\frac{1}{3} \sin 12 x\right]+C
Example:8. \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
Solution: \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \\ =\int \frac{1-\cos x}{1+\cos x} d x \\ =\int \frac{1-\left(1-2 \sin ^2 x / 2\right)}{1+2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1} d x \\ \left[\because \cos 2 x=2 \cos ^2 x-1=1-2 \sin ^2 x\right] \\ =\int \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}} d x \\ =\int \tan ^2 \frac{x}{2} d x \\ =\int\left(\sec ^2 \frac{x}{2}-1\right) d x \\ =2 \tan \frac{x}{2}-x+C
Example:9. \frac{\cos x}{1+\cos x}
Solution: \frac{\cos x}{1+\cos x} \\ I=\int \frac{\cos x}{1+\cos x} d x \\ =\int \frac{2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1}{1+2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1} d x \\ =\int\left(\frac{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 x / 2}-\frac{1}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}\right) d x \\ =\int-1 \cdot d x-\frac{1}{2} \int \sec ^2 \frac{x}{2} d x \\ \Rightarrow I=x-\tan \frac{x}{2}+C
Example:10. \sin ^4 x
Solution: 2 \sin ^4 x \\ I =\int \sin ^4 x d x \\ =\int\left(\sin ^2 x\right)^2 d x \\ =\int\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)^2 d x \\ =\frac{1}{4} \int\left(1-2 \cos 2 x+\cos ^2 2 x\right) d x \\ =\frac{1}{4} \int\left[1-2 \cos 2 x+\frac{1+\cos 4 x}{2}\right] d x \\ =\frac{1}{4} \int\left[\frac{3}{2}-2 \cos 2 x+\frac{1}{2} \cos 4 x\right] d x \\=\frac{3}{8} \int 1 \cdot d x-\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x+\frac{1}{8} \int \cos 4 x d x \\ =\frac{3 x}{8}-\frac{1}{4} \sin 2 x +\frac{1}{32} \sin 4 x+C \\ \Rightarrow I=\frac{3 x}{8}-\frac{1}{4} \sin 2 x+\frac{1}{32} \sin 4 x+C
Example:11. \cos ^4 2 x
Solution: \cos ^4 2 x \\ I =\int \cos ^4 2 x d x \\ =\int\left(\cos ^2 2 x\right)^2 d x \\ =\int \left(\frac{1+\cos 4 x}{2}\right)^2 d x \\ =\frac{1}{4} \int\left(1+2 \cos 4 x+\cos ^2 4 x\right) d x \\ =\frac{1}{4} \int\left(1+2 \cos 4 x+\frac{1+\cos 8 x}{2}\right) d x \\ =\frac{1}{4} \int\left(\frac{3}{2}+2 \cos 4 x+\frac{1}{2} \cos 8 x\right) d x \\ =\frac{3}{8} \int-d x+\frac{1}{2} \int \cos 4 x d x+\frac{1}{8} \int \cos 8 x d x \\ \Rightarrow I =\frac{3}{8} x+\frac{1}{8} \sin 4 x+\frac{1}{64} \sin 8 x+C
Example:12. \frac{\sin ^2 x}{1+\cos x}
Solution: \frac{\sin ^2 x}{1+\cos x} \\ I=\int \frac{\sin ^2 x}{1+\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{1-\cos ^2 x}{1+\cos x} d x \\ =\int \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1+\cos x} d x \\ =\int(1-\cos x) d x \\ =\int 1 \cdot d x-\int \cos x d x \\ \Rightarrow I=x-\sin x+C
Example:13. \frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha}
Solution: \frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha} \\ I=\int \frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha }{\cos x-\cos \alpha} d x \\ I=\int \frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha} d x \\ =\int \frac{\left(2 \cos ^2 x-1\right)-\left(2 \cos ^2 \alpha-1\right)}{\cos x-\cos \alpha} d x \\ =\int \frac{2\left(\cos ^2 x-\cos ^2 \alpha\right)}{\cos x-\cos \alpha} d x \\ =2 \int \frac{(\cos x-\cos \alpha)(\cos x+\cos \alpha)}{(\cos x-\cos \alpha)} d x \\ =2 \int(\cos x+\cos \alpha) d x \\ \Rightarrow I =2(\sin x+x \cos \alpha)+C
Example:14. \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}
Solution: \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x} \\ I =\int \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x} d x \\ =\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin ^2 x+\cos ^2 x+2 \sin x \cos x} d x \\ =\int \frac{\cos x-\sin x}{(\sin x+\cos x)^2} d x \\ \text{put } \sin x+\cos x=t \\ \Rightarrow(\cos x-\sin x) d x=d t \\ =\int \frac{1}{t^2} d t \\ =-\frac{1}{t}+C \\ \Rightarrow I =-\frac{1}{\sin x+\cos x}+C
Example:15. \tan ^3 2 x \sec 2 x
Solution:\tan ^3 2 x \sec 2 x \\ I =\int \tan ^3 2 x \sec 2 x d x \\ =\int \tan ^2 2 x(\tan 2 x \sec 2 x) d x \\ =\int\left(\sec ^2 2 x-1\right) \tan 2 x \sec 2 x d x \\ \text{put} \sec 2 x=t \\ \Rightarrow 2 \sec 2x \tan 2 x d x=d t \\ =\frac{1}{2} \int\left(t^2-1\right) d t \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{t^3}{3}-t\right)+c \\ I=\frac{1}{6} \sec ^3 2 x-\frac{1}{2} \sec 2 x+C
Example:16. \tan 4 x
Solution: \tan 4 x \\ I =\int \tan^4 x d x \\ =\int\left(\tan^2 x\right)\left(\tan ^2 x\right) d x \\ =\int\left(\sec ^2 x-1\right) \tan ^2 x d x \\ =\int \sec ^2 x \tan ^2 x d x-\int \tan ^2 x d x \\ \text{put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^2 x d x =dt \\ =\int t^2 d t-\int\left(\sec ^2 x-1\right) d x \\ =\frac{1}{3} t^3-\int \sec ^2 x+\int 1 d x \\ =\frac{1}{3} \tan ^3 x-\tan x+x+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{3} \tan ^3 x-\tan x+x+C
Example:17. \frac{\sin ^3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}
Solution: \frac{\sin ^3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cdot \cos ^2 x} \\ I=\int \frac{\sin 3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{\sin ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x+\int \frac{\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{\sin x}{\cos ^2 x} d x+\int \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x} d x
Put प्रथम समाकल में: \cos x=t \Rightarrow-\sin x dx=dt
द्वितीय समाकल में: \sin x=u \Rightarrow \cos x d x=d t \\ \Rightarrow I =-\int \frac{1}{t^2} d t+\int \frac{1}{u^2} d u \\ =\frac{1}{t}-\frac{1}{u}+C \\ =\frac{1}{\cos x}-\frac{1}{\sin x }+C \\ \Rightarrow I =\sec x-\operatorname{cosec} x+C
Example:18. \frac{\cos 2x +2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x}
Solution: \frac{\cos 2x +2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x} \\ I=\int \frac{\cos 2 x+2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{2 \cos ^2 x-1+2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{2\left(\sin 2 x+\cos ^2 x\right)-1}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{2(1)-1}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{1}{\cos ^2 u} d x \\ =\int \sec ^2 x d x \\ \Rightarrow I=\tan x+C
Example:19. \frac{1}{\sin x \cos ^3 x}
Solution: \frac{1}{\sin x \cos ^3 x} \\ I =\int \frac{1}{\sin x \cos ^3 x} d x \\ =\int \frac{1}{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cos ^4 x} d x \\ =\int \frac{\sec ^4 x}{\tan x} d x \\ =\int \frac{\left(1+\tan ^2 x\right) \sec ^2 x}{\tan x} d x \\ \text{put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^2 x d x=d t \\ =\int\left( \frac{1+t^2}{t}\right) d t =\int t d t+\int t d t \\ =\log |t|+\frac{1}{2} t^2+c \\ \Rightarrow I=\log |\tan x|+\frac{1}{2} \tan ^2 x+c
Example:20. \frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2}
Solution: \frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2} \\ I=\int \frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2} d x \\ =\int \frac{\cos ^2 x-\sin ^2 x}{(\cos x+\sin x)^2} d x \\ =\int \frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)^2} d x \\ =\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x \\ \text { put }(\cos x+\sin x)=t \Rightarrow(\cos x-\sin x) d x=dt \\ =\int \frac{1}{t} d t \\ =\log |t|+c \\ \Rightarrow I=\log |\cos x+\sin x|+c
Example:21. \sin ^{-1}(\cos x)
Solution: \sin ^{-1}(\cos x) \\ I=\int \sin ^{-1}(\cos x) d x \\ =\int \sin ^{-1}\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right] d x \\ =\int\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x \\ \Rightarrow I=\frac{\pi x}{2}-\frac{1}{2} x^2+C
Example:22. \frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}
Solution: \frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)} \\ I=\int \frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}
अंश तथा हर को \sin (a-b) से गुणा करने पर:
=\frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin (a-b)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} d x \\ =\frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin [(x-b)-(x-a)]}{\cos (x-a) \cos (x-b)} d x \\ =\frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin (x-b) \cos (x-a)-\cos (x-b) \sin (x-a)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} d x \\ =\frac{1}{\sin (a-b)}[\int \frac{\sin (x-b) \cos (x-a)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} dx- \int \frac{\cos (x-b) \sin (x-a)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} d x] \\ =\frac{1}{\sin (a-b)}[\int \tan (x-b) d x-\int \tan (x-a) d x] \\ =\frac{1}{\sin (a-b)}[\log |\sec (x-b)|-\log \mid \sec (x-a)]+C \\ =\frac{1}{\sin (a-b)} \log \left|\frac{\sec (x-a)}{\sec (x-a)}\right|+c \\ I=\frac{1}{\sin (a-b)} \log \left|\frac{\cos (x-a)}{\cos (x-b)}\right|+c
प्रश्न 23 एवं 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
Example:23. \int \frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x बराबर है:
(A) \tan x+\cot x+c
(B) \tan x+\operatorname{cosec} x+c
(C) -\tan x+\cot x+c
(D) \tan x+\sec x+C
Solution: \int \frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{1}{\cos ^2 x} d x-\int \frac{1}{\sin ^2 x} d x \\ =\int \sec ^2 x-\int \operatorname{cosec}^2 x d x \\ =\tan x+\cos x+c
अतः विकल्प (A) सही है।
Example:24. \int \frac{e^x(1+x)}{\cos ^2(x e^x)} d x बराबर है:
(A) -\cot \left(e \cdot x^x\right)+C
(B) \tan \left(x e^x\right)+c
(C) \tan \left(e^x\right)+c
(D) \cot \left(e^x\right)+C
Solution: \int \frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(x e^x\right)} d x \\ \text{put } x e^x=t \Rightarrow\left(e^x+x e^x\right) d x=d t \\ =\int \frac{1}{\cos ^2 t} d t=\int \sec ^2 t d t =\tan t+c \\ =\tan \left(x e^x\right)+c
अतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in 12th),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration Using Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।
3.कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के सवाल (Integration by Substitution in 12th Questions):
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
(1.) \int \sin ^3 x \cos ^4 x d x
(2.) \int \sin ^5 x \cos ^3 x d x
उत्तर (Answers): (1.) \frac{1}{7} \cos ^7 x-\frac{1}{5} \cos ^5 x+c
(2.) \frac{1}{6} \sin ^6 x-\frac{1}{8} \sin ^8 x+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in 12th),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration Using Trigonometric Identities) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Frequently Asked Questions Related to Integration by Substitution in 12th),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration Using Trigonometric Identities) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.समाकलन ज्ञात करने की मुख्य विधियाँ कौनसी हैं? (What are the Main Methods of Finding Integral?):
उत्तर:समाकलन ज्ञात करने की मुख्य विधियाँ हैं:
(1.)प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution)
(2.)आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions)
(3.)खण्डशः समाकलन (Integration by Parts)
प्रश्न:2.समाकलन तथा अवकलन में क्या सम्बन्ध है? (What is the Relation Between Integral and Differentiation?):
उत्तर:अवकलन के व्युत्क्रम प्रक्रम को समाकलन कहते हैं।किसी फलन का अवकलन ज्ञात करने के स्थान पर हमें फलन का अवकलज दिया हुआ है और इसका पूर्वग अर्थात् वास्तविक फलन ज्ञात करने के लिए कहा गया है।यह प्रक्रम समाकलन अथवा प्रति-अवकलन कहलाता है।
प्रश्न:3.मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को लिखिए। (Write Down the Main Trigonometric Identities):
उत्तर: (1.) \cos 2 x=\cos ^2 x-\sin x=2 \cos ^2 x-1= 1-2 \sin^2 x
(2.) \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x+\sin y
(3.) \cos (x+y)=\cos x-\sin x \sin y
(4.) \sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y
(5) \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y
(6.) \cos x+\cos y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)
(7) \cos x-\cos y=-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x y}{2}\right)
(8.) \sin x+\sin y=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)
(9) \sin x-\sin y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)
(10.) \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^3 x
(11.) \cos 3 x=4 \cos ^3 x-3 \cos x
(12.)\sin 2x=2 \sin x \cos x
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in 12th),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration Using Trigonometric Identities) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Integration by Substitution in Class 12
कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन
(Integration by Substitution in Class 12)
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कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in Class 12) के इस
आर्टिकल में जब समाकल्य में कुछ त्रिकोणमितीय फलन निहित होते हैं,तो हम n समाकलन ज्ञात
करने के लिए कुछ ज्ञात सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.