1.कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in 12th),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration Using Trigonometric Identities):

Integration by Substitution in 12th

कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in Class 12) के इस आर्टिकल में जब समाकल्य में कुछ त्रिकोणमितीय फलन निहित होते हैं,तो हम n समाकलन ज्ञात करने के लिए कुछ ज्ञात सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Proofs in Mathematics

2.कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के साधित उदाहरण (Integration by Substitution in 12th Solved Examples):

1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए।
Example:1. \sin ^2(2 x+5)
Solution: \sin ^2(2 x+5) \\ I=\int \sin ^2(2 x+5) d x \\ =\int \frac{1-\cos 2(2 x+5)}{2} d x \because \cos 2x=1-2 \sin^2 x \\ =\frac{1}{2} \int d x-\frac{1}{2} \int \cos (4 x+10) d x \\ I=\frac{x}{2}-\frac{1}{8} \sin (4 x+10)+C
Example:2. \sin 3 x \cos 4 x
Solution: \sin 3 x \cos 4 x \\ I=\int \sin 3 x \cos 4 x d x \\ =\frac{1}{2} \int 2 \sin 3 x \cos 4 x d x \\ =\frac{1}{2} \int \left[ \sin (3 x+4 x)-\sin (4 x-3 x) \right] d x \\ =\frac{1}{2} \int \sin 7 x d x-\frac{1}{2} \int \sin x d x \\ =-\frac{1}{2} \times \frac{1}{7} \cos 7 x+\frac{1}{2} \cos x+C \\ =-\frac{1}{14} \cos 7 x+\frac{1}{2} \cos x+C \\ \Rightarrow I=-\frac{1}{14} \cos 7 x+\frac{1}{2} \cos x+C
Example:3. \cos 2 x \cos 4 x \cos 6 x
Solution: \cos 2 x \cos 4 x \cos 6 x \\ I =\int \cos 2 x \cos 4 x \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{2} \int(2 \cos 2 x \cos 4 x) \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{2} \int[\cos (2 x+4 x)+\cos (2 x-4 x)] \cos 6 x dx \\ \left [ \because 2 \cos A \cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B) \right ] \\ =\frac{1}{2} \int(\cos 6 x+\cos 2 x) \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{2} \int \cos ^2 6 x d x+\frac{1}{2} \int \cos 2 x \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{4} \int 2 \cos ^2 6 x d x+\frac{1}{4} \int 2 \cos 2 x \cos 6 x d x \\ =\frac{1}{4} \int(1+\cos 12 x) d x+\frac{1}{4} \int[\cos (2 x+6 x)+\cos (2 x-6x)] dx\\ \left[\because \cos 2 x=2 \cos ^2 x-1\right] \\ =\frac{1}{4} \int 1 \cdot d x+\frac{1}{4} \int \cos 12 x d x+\frac{1}{4} \int \cos 8x d x +\frac{1}{4} \int \cos 4 x d x \\ =\frac{1}{4} x+\frac{1}{48} \sin 12 x+\frac{1}{32} \sin 8 x+\frac{1}{16}+\frac{\sin 2 x}{10} +C \\ \Rightarrow I=\frac{x}{4}+\frac{1}{48} \sin 12 x+\frac{1}{32} \sin 8 x+\frac{1}{16} \sin 4 x+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{12} \sin 12 x+\frac{1}{8} \sin 8 x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+C
Example:4. \sin ^3(2 x+1)
Solution: \sin ^3(2 x+1) \\ I=\int \sin ^3(2 x+1) d x \\ =\frac{1}{4} \int \left \{ 3 \sin (2 x+1)-\sin 3 (2 x+1) \right \} d x \\ \left[\because \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^3 x\right] \\ =\frac{3}{4} \int \sin (2 x+1) d x-\frac{1}{4} \int \sin (6x+3) d x \\ =\frac{-3}{8} \cos (2 x+1)+\frac{1}{24} \cos (6 x+3)+c \\ =-\frac{3}{8} \cos (2 x+1)+\frac{1}{24} \cos 3(2 x+1)+c \\ =-\frac{3}{8} \cos (2 x+1)+\frac{1}{24}\left[4 \cos ^3(2 x+1)-3 \cos (2 x+1)\right]+C \\ =-\frac{3}{8} \cos (2 x+1)+\frac{1}{6} \cos ^3(2 x+1)-\frac{1}{8} \cos (2 x+1)+C \\=-\frac{1}{2} \cos (2 x+1)+\frac{1}{6} \cos ^3(2 x+1)+C
Example:5. \sin ^3 x \cos ^3 x
Solution: \sin ^3 x \cos ^3 x \\ I =\int \sin ^3 x \cos ^3 x d x \\ =\frac{1}{8} \int \sin ^3 x \cos ^3 x d x \\ =\frac{1}{8} \int(2 \sin x \cos x)^3 d x \\ =\frac{1}{8} \int(\sin 2 x)^3 d x \\ =\frac{1}{8} \int\left[\frac{3 \sin 3 x-\sin 9 x}{4}\right] d x \\ =\frac{3}{32} \int \sin 3 x d x-\frac{1}{32} \int \sin 9 x d x
विकल्पत: \int \sin ^3 x \cos ^3 x d x \\ =\int \sin x\left(1-\cos ^2 x\right) \cos ^3 x d x \\\text { put } \cos x=t \Rightarrow-\sin x d x=d t \\ =-\int\left(1-t^2\right) t^3 d t \\=\int\left(t^5-t^3\right) d t \\ =\frac{1}{6} t^6-\frac{1}{4} t^4+c \\ =\frac{1}{6} \cos ^6 x-\frac{1}{4} \cos ^4 x+C
Example:6. \sin x \sin 2 x \sin 3 x
Solution: \sin x \sin 2 x \sin 3 x \\ I=\int \sin x \sin 2 x \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{2} \int(2 \sin x \sin 2 x) \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{2} \int[\cos (2 x-x)-\cos (2 x+x)] \sin 3 x d x \\ \left [ \because 2 \sin A \sin B=\cos (A-B)-\cos (A+B) \right ] \\ =\frac{1}{2} \int(\cos x-\cos 3 x) \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{2} \int \cos x \sin 3 x d x-\frac{1}{2} \int \cos 3 x \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{4} \int 2 \cos x \sin 3 x d x-\frac{1}{4} \int \cos 3 x \sin 3 x d x \\ =\frac{1}{4} \int[\sin (3 x+x)+\sin (3 x-x)] \frac{1}{4} \int \sin 6 x d x \\ =\frac{1}{4} \int \sin 4 x d x+ \frac{1}{4} \int \sin 2 x d x-\frac{1}{4} \int \sin 6 x d x \\ =-\frac{1}{16} \cos 4 x-\frac{1}{8} \cos 2 x+ \frac{1}{24} \cos 6 x+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{4}\left[\frac{1}{6} \cos 6 x-\frac{1}{4} \cos 4 x-\frac{1}{2} \cos 2 x\right]+C
Example:7. \sin 4 x \sin 8 x
Solution: \sin 4 x \sin 8 x \\ I=\frac{1}{2} \int 2 \sin 4 x \sin 8 x d x \\ =\frac{1}{2} \int[\cos (8 x-4 x)-\cos (4 x+8 x)] d x \\ =\frac{1}{2} \int \cos 4 x d x-\frac{1}{2} \int \cos 12 x d x \\ =\frac{1}{8} \sin 4 x-\frac{1}{24} \sin 12 x+C \\ I=\frac{1}{8}\left[\sin 4 x-\frac{1}{3} \sin 12 x\right]+C
Example:8. \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
Solution: \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \\ =\int \frac{1-\cos x}{1+\cos x} d x \\ =\int \frac{1-\left(1-2 \sin ^2 x / 2\right)}{1+2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1} d x \\ \left[\because \cos 2 x=2 \cos ^2 x-1=1-2 \sin ^2 x\right] \\ =\int \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}} d x \\ =\int \tan ^2 \frac{x}{2} d x \\ =\int\left(\sec ^2 \frac{x}{2}-1\right) d x \\ =2 \tan \frac{x}{2}-x+C
Example:9. \frac{\cos x}{1+\cos x}
Solution: \frac{\cos x}{1+\cos x} \\ I=\int \frac{\cos x}{1+\cos x} d x \\ =\int \frac{2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1}{1+2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1} d x \\ =\int\left(\frac{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 x / 2}-\frac{1}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}\right) d x \\ =\int-1 \cdot d x-\frac{1}{2} \int \sec ^2 \frac{x}{2} d x \\ \Rightarrow I=x-\tan \frac{x}{2}+C
Example:10. \sin ^4 x
Solution: 2 \sin ^4 x \\ I =\int \sin ^4 x d x \\ =\int\left(\sin ^2 x\right)^2 d x \\ =\int\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)^2 d x \\ =\frac{1}{4} \int\left(1-2 \cos 2 x+\cos ^2 2 x\right) d x \\ =\frac{1}{4} \int\left[1-2 \cos 2 x+\frac{1+\cos 4 x}{2}\right] d x \\ =\frac{1}{4} \int\left[\frac{3}{2}-2 \cos 2 x+\frac{1}{2} \cos 4 x\right] d x \\=\frac{3}{8} \int 1 \cdot d x-\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x+\frac{1}{8} \int \cos 4 x d x \\ =\frac{3 x}{8}-\frac{1}{4} \sin 2 x +\frac{1}{32} \sin 4 x+C \\ \Rightarrow I=\frac{3 x}{8}-\frac{1}{4} \sin 2 x+\frac{1}{32} \sin 4 x+C
Example:11. \cos ^4 2 x
Solution: \cos ^4 2 x \\ I =\int \cos ^4 2 x d x \\ =\int\left(\cos ^2 2 x\right)^2 d x \\ =\int \left(\frac{1+\cos 4 x}{2}\right)^2 d x \\ =\frac{1}{4} \int\left(1+2 \cos 4 x+\cos ^2 4 x\right) d x \\ =\frac{1}{4} \int\left(1+2 \cos 4 x+\frac{1+\cos 8 x}{2}\right) d x \\ =\frac{1}{4} \int\left(\frac{3}{2}+2 \cos 4 x+\frac{1}{2} \cos 8 x\right) d x \\ =\frac{3}{8} \int-d x+\frac{1}{2} \int \cos 4 x d x+\frac{1}{8} \int \cos 8 x d x \\ \Rightarrow I =\frac{3}{8} x+\frac{1}{8} \sin 4 x+\frac{1}{64} \sin 8 x+C
Example:12. \frac{\sin ^2 x}{1+\cos x}
Solution: \frac{\sin ^2 x}{1+\cos x} \\ I=\int \frac{\sin ^2 x}{1+\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{1-\cos ^2 x}{1+\cos x} d x \\ =\int \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1+\cos x} d x \\ =\int(1-\cos x) d x \\ =\int 1 \cdot d x-\int \cos x d x \\ \Rightarrow I=x-\sin x+C

Integration by Substitution in 12th

Example:13. \frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha}
Solution: \frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha} \\ I=\int \frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha }{\cos x-\cos \alpha} d x \\ I=\int \frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha} d x \\ =\int \frac{\left(2 \cos ^2 x-1\right)-\left(2 \cos ^2 \alpha-1\right)}{\cos x-\cos \alpha} d x \\ =\int \frac{2\left(\cos ^2 x-\cos ^2 \alpha\right)}{\cos x-\cos \alpha} d x \\ =2 \int \frac{(\cos x-\cos \alpha)(\cos x+\cos \alpha)}{(\cos x-\cos \alpha)} d x \\ =2 \int(\cos x+\cos \alpha) d x \\ \Rightarrow I =2(\sin x+x \cos \alpha)+C
Example:14.  \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}
Solution: \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x} \\ I =\int \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x} d x \\ =\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin ^2 x+\cos ^2 x+2 \sin x \cos x} d x \\ =\int \frac{\cos x-\sin x}{(\sin x+\cos x)^2} d x \\ \text{put } \sin x+\cos x=t \\ \Rightarrow(\cos x-\sin x) d x=d t \\ =\int \frac{1}{t^2} d t \\ =-\frac{1}{t}+C \\ \Rightarrow I =-\frac{1}{\sin x+\cos x}+C
Example:15. \tan ^3 2 x \sec 2 x
Solution:\tan ^3 2 x \sec 2 x \\ I =\int \tan ^3 2 x \sec 2 x d x \\ =\int \tan ^2 2 x(\tan 2 x \sec 2 x) d x \\ =\int\left(\sec ^2 2 x-1\right) \tan 2 x \sec 2 x d x \\ \text{put} \sec 2 x=t \\ \Rightarrow 2 \sec 2x \tan 2 x d x=d t \\ =\frac{1}{2} \int\left(t^2-1\right) d t \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{t^3}{3}-t\right)+c \\ I=\frac{1}{6} \sec ^3 2 x-\frac{1}{2} \sec 2 x+C
Example:16. \tan 4 x
Solution: \tan 4 x \\ I =\int \tan^4 x d x \\ =\int\left(\tan^2 x\right)\left(\tan ^2 x\right) d x \\ =\int\left(\sec ^2 x-1\right) \tan ^2 x d x \\ =\int \sec ^2 x \tan ^2 x d x-\int \tan ^2 x d x \\ \text{put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^2 x d x =dt \\ =\int t^2 d t-\int\left(\sec ^2 x-1\right) d x \\ =\frac{1}{3} t^3-\int \sec ^2 x+\int 1 d x \\ =\frac{1}{3} \tan ^3 x-\tan x+x+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{3} \tan ^3 x-\tan x+x+C
Example:17. \frac{\sin ^3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}
Solution: \frac{\sin ^3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cdot \cos ^2 x} \\ I=\int \frac{\sin 3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{\sin ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x+\int \frac{\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{\sin x}{\cos ^2 x} d x+\int \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x} d x
Put प्रथम समाकल में: \cos x=t \Rightarrow-\sin x dx=dt
द्वितीय समाकल में: \sin x=u \Rightarrow \cos x d x=d t \\ \Rightarrow I =-\int \frac{1}{t^2} d t+\int \frac{1}{u^2} d u \\ =\frac{1}{t}-\frac{1}{u}+C \\ =\frac{1}{\cos x}-\frac{1}{\sin x }+C \\ \Rightarrow I =\sec x-\operatorname{cosec} x+C
Example:18. \frac{\cos 2x +2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x}
Solution: \frac{\cos 2x +2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x} \\ I=\int \frac{\cos 2 x+2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{2 \cos ^2 x-1+2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{2\left(\sin 2 x+\cos ^2 x\right)-1}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{2(1)-1}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{1}{\cos ^2 u} d x \\ =\int \sec ^2 x d x \\ \Rightarrow I=\tan x+C
Example:19. \frac{1}{\sin x \cos ^3 x}
Solution: \frac{1}{\sin x \cos ^3 x} \\ I =\int \frac{1}{\sin x \cos ^3 x} d x \\ =\int \frac{1}{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cos ^4 x} d x \\ =\int \frac{\sec ^4 x}{\tan x} d x \\ =\int \frac{\left(1+\tan ^2 x\right) \sec ^2 x}{\tan x} d x \\ \text{put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^2 x d x=d t \\ =\int\left( \frac{1+t^2}{t}\right) d t =\int t d t+\int t d t \\ =\log |t|+\frac{1}{2} t^2+c \\ \Rightarrow I=\log |\tan x|+\frac{1}{2} \tan ^2 x+c
Example:20. \frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2}
Solution: \frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2} \\ I=\int \frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2} d x \\ =\int \frac{\cos ^2 x-\sin ^2 x}{(\cos x+\sin x)^2} d x \\ =\int \frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)^2} d x \\ =\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x \\ \text { put }(\cos x+\sin x)=t \Rightarrow(\cos x-\sin x) d x=dt \\ =\int \frac{1}{t} d t \\ =\log |t|+c \\ \Rightarrow I=\log |\cos x+\sin x|+c
Example:21. \sin ^{-1}(\cos x)
Solution: \sin ^{-1}(\cos x) \\ I=\int \sin ^{-1}(\cos x) d x \\ =\int \sin ^{-1}\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right] d x \\ =\int\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x \\ \Rightarrow I=\frac{\pi x}{2}-\frac{1}{2} x^2+C
Example:22. \frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}
Solution: \frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)} \\ I=\int \frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}
अंश तथा हर को \sin (a-b) से गुणा करने पर:

=\frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin (a-b)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} d x \\ =\frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin [(x-b)-(x-a)]}{\cos (x-a) \cos (x-b)} d x \\ =\frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin (x-b) \cos (x-a)-\cos (x-b) \sin (x-a)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} d x \\ =\frac{1}{\sin (a-b)}[\int \frac{\sin (x-b) \cos (x-a)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} dx- \int \frac{\cos (x-b) \sin (x-a)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} d x] \\ =\frac{1}{\sin (a-b)}[\int \tan (x-b) d x-\int \tan (x-a) d x] \\ =\frac{1}{\sin (a-b)}[\log |\sec (x-b)|-\log \mid \sec (x-a)]+C \\ =\frac{1}{\sin (a-b)} \log \left|\frac{\sec (x-a)}{\sec (x-a)}\right|+c \\ I=\frac{1}{\sin (a-b)} \log \left|\frac{\cos (x-a)}{\cos (x-b)}\right|+c
प्रश्न 23 एवं 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
Example:23. \int \frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x बराबर है:

(A) \tan x+\cot x+c
(B) \tan x+\operatorname{cosec} x+c
(C) -\tan x+\cot x+c
(D) \tan x+\sec x+C
Solution:  \int \frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{1}{\cos ^2 x} d x-\int \frac{1}{\sin ^2 x} d x \\ =\int \sec ^2 x-\int \operatorname{cosec}^2 x d x \\ =\tan x+\cos x+c
अतः विकल्प (A) सही है।
Example:24. \int \frac{e^x(1+x)}{\cos ^2(x e^x)} d x बराबर है:

(A) -\cot \left(e \cdot x^x\right)+C
(B) \tan \left(x e^x\right)+c
(C) \tan \left(e^x\right)+c
(D) \cot \left(e^x\right)+C
Solution: \int \frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(x e^x\right)} d x \\ \text{put } x e^x=t \Rightarrow\left(e^x+x e^x\right) d x=d t \\ =\int \frac{1}{\cos ^2 t} d t=\int \sec ^2 t d t =\tan t+c \\ =\tan \left(x e^x\right)+c
अतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in 12th),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration Using Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के सवाल (Integration by Substitution in 12th Questions):

Integration by Substitution in 12th

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:

(1.) \int \sin ^3 x \cos ^4 x d x
(2.) \int \sin ^5 x \cos ^3 x d x
उत्तर (Answers): (1.) \frac{1}{7} \cos ^7 x-\frac{1}{5} \cos ^5 x+c
(2.) \frac{1}{6} \sin ^6 x-\frac{1}{8} \sin ^8 x+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in 12th),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration Using Trigonometric Identities) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Integration Class 12

4.कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Frequently Asked Questions Related to Integration by Substitution in 12th),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration Using Trigonometric Identities) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12 में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution in Class 12) के इस
आर्टिकल में जब समाकल्य में कुछ त्रिकोणमितीय फलन निहित होते हैं,तो हम n समाकलन ज्ञात
करने के लिए कुछ ज्ञात सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं।