समाकलन कक्षा 12 (Integration Class 12) के इस आर्टिकल में निरीक्षण विधि द्वारा तथा समाकलन के गुणधर्मों द्वारा फलनों के समाकलन ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.समाकलन कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Integration Class 12 Solved Examples):

निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज (समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
Example:1. $\sin 2 x$
Solution: $\sin 2 x$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{d x}(-\cos 2 x)=2 \sin 2 x \\ \Rightarrow \sin 2 x=\frac{d}{d x}\left(-\frac{1}{2} \cos 2 x\right)$
इसलिए $\sin 2 x$ का प्रतिअवकलज $-\frac{1}{2} \cos 2 x$ है।
Example:2. $\cos 3 x$
Solution: $\cos 3 x$
हम जानते हैं कि $\frac{d x}{d x}(\sin 3 x)=3 \cos 3 x \\ \Rightarrow \cos 3 x=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{3} \sin 3 x\right)$
इसलिए $\cos 3 x$ का प्रतिअवकलज $\frac{1}{3} \sin 3 x$ है।
Example:3. $e^{2 x}$
Solution: $e^{2 x}$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{d x}\left(e^{2 x}\right)=2 e^{2 x} \\ \Rightarrow e^{2 x}=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} e^{2 x}\right)$
इसलिए $e^{2 x}$ का प्रतिअवकलज $\frac{1}{2} e^{2 x}$ है।
Example:4. $(a x+b)^2$
Solution: $(a x+b)^2$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(a x+b)^3=3 a(a x+b)^2 \\ \Rightarrow(a x+b)^2=\frac{1}{3 a}(a x+b)^3$
इसलिए $(a x+b)^2$ का प्रतिअवकलज $\frac{1}{3 a}(a x+b)^3$ है।
Example:5. $\sin 2 x-4 e^{3 x}$
Solution: $\sin 2 x-4 e^{3 x}$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{d x}\left(-\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{4}{3} e^{3 x}\right)=\sin 2 x-4 e^{3 x} \\ \Rightarrow \sin 2 x-4 e^{3 x}=\frac{d}{d x}\left(-\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{4}{3} e^{3 x}\right)$
इसलिए $\sin 2 x-4 e^{3 x}$ का प्रतिअवकलज $-\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{4}{3} e^{3 x}$ है।
निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए:
Example:6. $\int\left(4 e^{3 x}+1\right) d x$
Solution: $\int\left(4 e^{3 x}+1\right) d x \\ =4 \int e^{3 x} d x+\int 1 d x \\ =\frac{4}{3} e^{3 x} +x+c$
Example:7. $x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right) d x$
Solution: $\int x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right) d x \\ =\int x^2 d x-\int \cdot 1 \cdot d x \\ =\frac{1}{3} x^3-x+c$
Example:8. $\int\left(a x^2+b x+c\right) d x$
Solution: $\int\left(a x^2+b x+c\right) d x \\ =a \int x^2 d x+b \int x d x+c \int 1 \cdot d x \\ =\frac{a}{3} x^3+\frac{b}{2} x^2+c x+c$
Example:9. $\int\left(2 x^2+e^x\right) d x$
Solution: $\int\left(2 x^2+e^x\right) d x \\ =2 \int x^2 d x+\int e^x d x \\ =2 \cdot \frac{x^3}{3}+e^x+c \\ =\frac{2}{3} x^2+e^x+c$
Example:10. $\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 d x$
Solution: $\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 d x \\ =\int\left(x+\frac{1}{x}-2\right) d x \\ =\int x d x+\int \frac{1}{x} d x-2 \int 1 \cdot d x \\ =\frac{1}{2} x^2+\log |x|-2 x+c$

Integration Class 12

Example:11. $\int \frac{x^3+5 x^2-4}{x^2} d x$
Solution: $\int \frac{x^3+5 x^2-4}{x^2} d x \\ =\int \frac{x^3}{x^2} d x+5 \int \frac{x^2}{x^2} d x-\int \frac{4}{x^2} d x \\ =\int x d x+5 \int 1 \cdot d x-4 \int x^{-2} d x \\ =\frac{1}{2} x^2+5 x-\frac{4 x^{-2+1}}{(-2+1)}+c \\ =\frac{1}{2} x^2+5 x+\frac{4}{x}+c$
Example:12. $\int \frac{x^3+3 x+4}{\sqrt{x}} d x$
Solution: $\int \frac{x^3+3 x+4}{\sqrt{x}} d x \\ =\int \frac{x^3}{x^{\frac{1}{2}}} d x+3 \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x+\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x \\ =\int x^{\frac{5}{2}} d x+3 \int x^{\frac{1}{2}} d x+\int 4 x^{-\frac{1}{2}} d x \\ =\frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}+3 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+4 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c \\ =\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}+2 x^{\frac{3}{2}}+8 x^{\frac{1}{2}}+c$
Example:13. $\int \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} d x$
Solution: $\int \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} d x \\ =\int \frac{x^2(x-1)+1(x-1)}{x-1} d x \\ =\int \frac{(x-1)\left(x^2+1\right)}{(x-1)} d x \\ =\int x^2 d x+\int 1 \cdot d x \\ =\frac{1}{3} x^3+x+c$
Example:14. $\int(1-x) \sqrt{x} d x$
Solution: $\int(1-x) \sqrt{x} d x \\ =\int x^{\frac{1}{2}} d x-\int x^{\frac{3}{2}} d x \\ =\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+c \\ =\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+c$
Example:15. $\int \sqrt{x}\left(3 x^2+2 x+3\right) d x$
Solution: $\int \sqrt{x}\left(3 x^2+2 x+3\right) d x \\ =3 \int x^{\frac{5}{2}} d x+2 \int x^{\frac{3}{2}} d x+3 \int x^{\frac{1}{2}} d x \\ =3 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}+2 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c \\ =\frac{6}{7} x^{\frac{7}{2}}+\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 x^{\frac{3}{2}}+c$
Example:16. $\int\left(2 x-3 \cos x+e^x\right) d x$
Solution: $\int\left(2 x-3 \cos x+e^x\right) d x \\ =2 \int x d x-3 \int \cos x d x+\int e^x d x \\ =x^2-3 \sin x+e^x+c$
Example:17. $\int\left(2 x^2-3 \sin x+5 \sqrt{x}\right) d x$
Solution: $\int\left(2 x^2-3 \sin x+5 \sqrt{x}\right) d x \\ =2 \int x^2 d x-3 \int \sin x d x+5 \int \sqrt{x} d x \\ =\frac{2}{3} x^3+3 \cos x+5 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c \\ =\frac{2}{3} x^3+3 \cos x+\frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}}+c$
Example:18. $\int \sec x(\sec x+\tan x) d x$
Solution: $\int \sec x(\sec x+\tan x) d x \\ =\int \sec ^2 x d x+\int \sec x \tan x d x \\ =\tan x+\sec x+c$
Example:19. $\int \frac{\sec ^2 x}{\operatorname{cosec}^2 x} d x$
Solution: $\int \frac{\sec ^2 x}{\operatorname{cosec}^2 x} d x \\ =\int \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \tan ^2 x d x \\ =\int\left(\sec ^2 x-1\right) d x \\ =\int \sec ^2 x d x-\int 1 d x \\ =\tan x-x+c$
Example:20. $\int \frac{2-3 \sin x}{\cos ^2 x} d x$
Solution: $\int \frac{2-3 \sin x}{\cos ^2 x} d x \\ =\int \frac{2}{\cos ^2 x} d x-3 \int \frac{\sin x}{\cos ^2 x} d x \\ =2 \int \sec ^2 x d x-3 \int \sec x \tan x d x \\ =2 \tan x-3 \sec x+c$
प्रश्न 21 एवं 22 में सही उत्तर का चयन कीजिए:
Example:21. $\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ का प्रतिअवकलज है:

(A) $\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}+2 x^{\frac{1}{2}}+C$ (B) $\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{2} x^2+C$
(C) $\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}}+2 x^{\frac{1}{2}}+C$ (D) $\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}+C$
Solution: $\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) d x \\ =\frac{-x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c \\ =\frac{9}{3} x^{\frac{3}{2}}+2 x^{\frac{1}{2}}+c$
अतः विकल्प (C) सही है।
Example:22.यदि $\frac{d}{d x} f(x)=4 x^3-\frac{3}{x^4}$ जिसमें f(2)=0 तो f(x) है:

(A) $x^4+\frac{1}{x^3}-\frac{129}{8}$
(B) $x^3+\frac{1}{x^4}+\frac{129}{8}$
(C) $x^4+\frac{1}{x^3}+\frac{129}{8}$
(D) $x^3+\frac{1}{x^4}-\frac{129}{8}$
Solution: $\frac{d}{d x} f(x)=4 x^3-\frac{3}{x^4} \\ \Rightarrow \int \frac{d}{d x} f(x) d x=\int\left(4 x^3-\frac{3}{x^4}\right) d x \\ \Rightarrow f(x)=x^4+\frac{1}{x^3}+C$
प्रश्नानुसार: $f(2)=0 \\ f(2)=2^4+\frac{1}{2^3}+C \\ \Rightarrow 0=16+\frac{1}{8}+C \Rightarrow C=-\frac{129}{8}$
अतः $f(x)=x^4+\frac{1}{x^3}-\frac{129}{8}$
विकल्प (A) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration Class 12),समाकलन (Integration) को समझ सकते हैं।

3.समाकलन कक्षा 12 की समस्याएँ (Integration Class 12 Problems):

Integration Class 12

मान ज्ञात कीजिए:

(1.) $\int\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\right) dx$
(2.) $\int \sqrt{(1+\sin 2 x)} d x$
उत्तर (Answers): (1.) $x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+c$
(2.) $-\cos x+\sin x+c$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समाकलन कक्षा 12 (Integration Class 12),समाकलन (Integration) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समाकलन कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Integration Class 12),समाकलन (Integration) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अनिश्चित समाकलनों के गुणधर्म लिखिए। (Write the Properties of Indefinite Integrals):

उत्तर:(1.)निम्नलिखित परिणामों के संदर्भ में अवकलन एवं समाकलन के प्रक्रम एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं: $\frac{d}{d x} f(x) d x=f(x)$
और f'(x) dx=f(x)+C
जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है।
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए कि F,f का एक प्रतिअवकलज है अर्थात्
$\frac{d}{d x} F(x)=f(x)$
तो f(x) dx=F(x)+C
इसलिए $\frac{d}{d x} f(x) d x=\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ =\frac{d}{d x} F(x)=f(x)$
इसी प्रकार हम देखते हैं कि
$f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x)$
और इसलिए f'(x) dx=f(x)+C
जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है जिसे समाकलन अचर कहते हैं।
(2.)दो ऐसे अनिश्चित समाकलन जिनके अवकलन समान हैं वक्रों के एक ही परिवार को प्रेरित करते हैं और इस प्रकार समतुल्य हैं।
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए f एवं g ऐसे दो फलन हैं जिनमें
$\frac{d}{d x} f(x) d x=\frac{d}{d x} g(x) d x$
अथवा $\frac{d}{d x}\left[\int f(x) d x-\int g(x) d x\right]=0$
अतः $\int f(x) d x-\int g(x) d x=C$ ,
जहाँ C एक वास्तविक संख्या है।
अथवा $\int f(x) d x=\int g(x) d x+c$
इसलिए वक्रों के परिवार $\{f(x) d x+C_1, C_1 \in R \}$
एवं $\left\{g(x) d x+C_2 ; C_2 \in R\right\}$ समतुल्य हैं।
इस प्रकार f(x) dx और g(x) dx समतुल्य हैं।
(3.) $\int \left[ f(x)+f(x) \right] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$
उपपत्ति (Proof):गुणधर्म (1) से
$\frac{d}{d x}\left[\int[f(x)+g(x)] dx\right]=f(x)+g(x) \cdots(1)$
अन्यथा हमें ज्ञात है कि
$\frac{d}{d x}\left[\int f(x) d x+\int g(x) d x\right]=\frac{d}{d x} \int f(x) d x +\frac{d}{d x} \int g(x) d x=f(x)+g(x) \cdots(2)$
इस प्रकार गुणधर्म (2) के संदर्भ में
(1) और (2) से प्राप्त होता है कि
$\int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$
(4.)किसी वास्तविक संख्या k के लिए
$\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$
उपपत्ति (Proof):गुणधर्म (1) द्वारा
$\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$
और $\frac{d}{d x}\left[k \int f(x) d x\right]=k \frac{d}{d x} \cdot \int f(x) d x=k f(x)$
इसलिए गुणधर्म (2) का उपयोग करते हुए हम पाते हैं कि $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$
(5.)प्रगुणों (3) और (4) का $f_1, f_2, \ldots f_n$ फलनों की निश्चित संख्या और वास्तविक संख्याओं $k_1, k_2, \ldots, k_n$ के लिए भी व्यापकीकरण किया जा सकता है जैसा कि नीचे दिया गया है
$\int\left[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\cdots+k_n f_n(x)\right] d x =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\cdots+k_n \int f_n(x) d x$

प्रश्न:2.निरीक्षण द्वारा समाकलन किसे कहते हैं? (What is Integration By Inspection?):

उत्तर:दिए हुए फलन का प्रतिअवकलज ज्ञात करने के लिए हम अंतर्ज्ञान से ऐसे फलन की खोज करते हैं जिसका अवकलज दिया हुआ फलन है।अभीष्ट फलन की इस प्रकार की खोज,जो दिए हुए फलन के प्रतिअवकलज ज्ञात करने के लिए की जाती है,को निरीक्षण द्वारा समाकलन कहते हैं।

प्रश्न:3.समाकलन ज्ञात करने हेतु मुख्य बातें लिखिए। (Write Some Important Points to Find the Integrals):

उत्तर:(1.)यदि f का प्रतिअवकलज F है तो F+C,जहाँ C एक अचर है,भी f का एक प्रतिअवकलज है।इस प्रकार यदि हमें फलन f का एक प्रतिअवकलज F ज्ञात है तो हम F में कोई भी अचर जोड़कर f के अनन्त प्रतिअवकलज लिख सकते हैं जिन्हें $F(x)+C, C \in R$ के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है।अनुप्रयोगों में सामान्यतः एक अतिरिक्त प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करना आवश्यक होता है जिससे C का एक विशिष्ट मान प्राप्त होता है और जिसके परिणामस्वरूप दिए हुए फलन का एक अद्वितीय प्रतिअवकलज प्राप्त होता है।
(2.)कभी-कभी F को प्रारम्भिक फलनों जैसे कि बहुपद,लघुगणकीय,चरघातांकी,त्रिकोणमितीय और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय,इत्यादि के रूप में अभिव्यक्त करना असम्भव होता है।इसलिए $\int f(x)$ ज्ञात करना अवरुद्ध हो जाता है।उदाहरणतः निरीक्षण विधि से $\int e^{-x^2} d x$ को ज्ञात करना असम्भव है क्योंकि निरीक्षण से हम ऐसा फलन ज्ञात नहीं कर सकते जिसका अवकलज है।
(3.)यदि समाकल का चर x,के अतिरिक्त अन्य कोई है तो समाकलन के सूत्र तदनुसार रूपान्तरित कर लिए जाते हैं।उदाहरणतः
$\int y^4 d y=\frac{y^{4+1}}{4+1}+c=\frac{1}{5} y^5+c$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration Class 12),समाकलन (Integration) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Integration Class 12

समाकलन कक्षा 12 (Integration Class 12)

Integration Class 12

समाकलन कक्षा 12 (Integration Class 12) के इस आर्टिकल में निरीक्षण विधि
द्वारा तथा समाकलन के गुणधर्मों द्वारा फलनों के समाकलन ज्ञात करना सीखेंगे।

About Author

Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.