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Abstract Algebra Archive

Group Homomorphism

1.ग्रुप समाकारिता (Group Homomorphism): ग्रुप समाकारिता (Group Homomorphism) के बारे में अध्ययन करेंगे।समाकारिता (Homomorphism or Morphism):परिभाषा:मान लो कि (G,*) तथा (G’,o) ग्रुप हैं, इन ग्रुपों में द्विचर संक्रिया क्रमशः *,o है।यदि एक प्रतिचित्रण निम्न प्रकार हों संयोजन का प्रतिबिम्ब=प्रतिबिम्बों का संयोजनतो f को समाकारिता (Homomorphism) कहते हैं।(i)अन्तरकारिता (Endomorphism):ग्रुप (G,*) से ग्रुप (G,*) पर परिभाषित समाकारिता

Cosets of Subgroup

1. उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक ) (Cosets of Subgroup),सहकुलक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cosets?): उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक  (Cosets of Subgroup)उपसमूह का सूचकांक (Index of a Subgroup) परिभाषा:यदि H किसी ग्रुप G का एक उपग्रुप है तो H में G के विभिन्न असंयुक्त वाम (दक्षिण) सहसमुच्चयों की संख्या H का G में सूचकांक

How Do You Find Cosets Of A Group?

1.आप समूह का सहसमुच्चय कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find Cosets Of A Group?),सहसमुच्चय (सहकुलक) (Cosets): आप समूह का सहसमुच्चय कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find Cosets Of A Group?) इसके लिए आपको सहसमुच्चय की परिभाषा जानना आवश्यक है।सहसमुच्चय (सहकुलक) (Cosets):परिभाषा (Definition):यदि H किसी ग्रुप (समूह) G का उपग्रुप (उपसमूह) हो

Subgroups Examples

1.उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) का परिचय (Introduction to Subgroups Examples),उपग्रुप परिभाषा (Subgroups Definition): उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) (Subgroups Examples):यदि H ग्रुप (समूह) G का एक अरिक्त उपसमुच्चय है तथा G की द्विचर संक्रिया (Binary Operation) H में ऐसी द्विचर संक्रिया को प्रेरित (Induced Binary Composition) करे जिसके लिए H स्वयं भी ग्रुप हो तो H

Examples of Subgroups

1.उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups),उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples): उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups):यदि H ग्रुप (समूह) G का एक अरिक्त उपसमुच्चय है तथा G की द्विचर संक्रिया (binary operation) H में ऐसी द्विचर संक्रिया को प्रेरित (Induced Binary Composition) करें जिसके लिए H स्वयं भी ग्रुप हो तो H को ग्रुप G

Subgroup

1.उपग्रुप (उपसमूह) (Subgroup),उपग्रुप की परिभाषा (Subgroup Definition): उपग्रुप (उपसमूह) की परिभाषा (Definition of Subgroup):यदि H ग्रुप (समूह) G की द्विचर संक्रिया (Binary Operation) H में ऐसी द्विचर संक्रिया को प्रेरित (Induced Binary Composition) करे जिसके लिए H स्वयं भी ग्रुप हो तो H ग्रुप G का उपग्रुप (उपसमूह) कहलाता है।प्रत्येक ग्रुप G के दो तुच्छ

Order of an Element of a Group

1.ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group)- ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group),ग्रुप (G,*) का कोई अवयव a है तो छोटे से छोटा धनात्मक पूर्णांक n है जिसका अस्तित्व इस प्रकार हो कि तो n को अवयव a की कोटि कहते हैं

Cyclic Permutations

1.चक्रीय क्रमचय (Cyclic Permutations),पक्षान्तरण (Transposition)- चक्रीय क्रमचय (Cyclic Permutations),पक्षान्तरण (Transposition) को समझने के लिए पहले इनको परिभाषा के द्वारा समझते हैं।चक्रीय क्रमचय की परिभाषा (Definition of Cyclic Permutations)-माना कि एक परिमित समुच्चय है तो यदि f इस समुच्चय का ऐसा क्रमचय है कि तथा तो ,k लम्बाई का एक चक्र या चक्रीय कम्रचय कहलाता है।इस

Permutation Group

1.क्रमचय ग्रुप (समूह) [Permutation Group],क्रमचय ग्रुप थ्योरी (Permutation group theory)- क्रमचय ग्रुप (समूह) [Permutation Group] को जानने से पहले यह जानेंगे कि क्रमचय किसे कहते हैं? क्रमचय (Permutation)-एक परिमित समुच्चय (finite set) के स्वयं पर ही एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण (One-one onto mapping ) को क्रमचय कहते हैं। परिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या (numbers

Simple properties of Groups

1.ग्रुप के साधारण गुणधर्म (Simple properties of Groups)- ग्रुप के साधारण गुणधर्म (Simple properties of Groups) का अध्ययन करने से पूर्व हमने ग्रुप की परिभाषा,ग्रुप की द्विचर संक्रिया,तत्समक अवयव का अस्तित्त्व,प्रतिलोम अवयव का अस्तित्त्व इत्यादि के बारे में अध्ययन किया था।अब प्रश्न उठता है कि क्या तत्समक अवयव,क्या एक अवयव के एक से अधिक प्रतिलोम