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Cross multiplication method

1.वज्र गुणन विधि (Cross multiplication method,cross multiplication method class 10)-

वज्र गुणन विधि (Cross multiplication method,cross multiplication method class 10) से युगपत समीकरणों को हल करने के लिए इसका व्यापक विधि के रूप में प्रयोग किया जाता है।युगपत समीकरणों को हल करने की विधि नीचे स्पष्ट की गई है-
(1.)वज्र गुणन विधि सूत्र (Cross multiplication method formula,formula of cross multiplication method)-
माना दिए गए समीकरण हैं:

{ a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0..........(1)\\ { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0..........(2)
समीकरण (1) को { b }_{ 2 }से तथा समीकरण (2) को { b }_{ 1 }से गुणा करने पर-

{ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }x+{ b }_{ 1 }{ b }_{ 2 }y+{ b }_{ 2 }{ c }_{ 1 }=0...........(3)\\ { a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }x+{ b }_{ 2 }{ b }_{ 1 }y+{ b }_{ 1 }{ c }_{ 2 }=0...........(4)
समीकरण (3) में से (4) घटाने पर-

({ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 })x+{ b }_{ 2 }{ c }_{ 1 }-{ b }_{ 1 }{ c }_{ 2 }=0

या ({ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 })x={ b }_{ 1 }{ c }_{ 2 }-{ b }_{ 2 }{ c }_{ 1 }.........(5)
इसी प्रकार समीकरण (1) को{ a }_{ 2 } से तथा समीकरण (2) को { b }_{ 1 }से गुणा करने पर-

{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }x+{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }{ a }_{ 2 }=0...........(6)\\ { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }x+{ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }{ a }_{ 1 }=0...........(7)
समीकरण (6) में से समीकरण (7) को घटाने पर-

({ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }-{ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 })y={ c }_{ 2 }{ a }_{ 1 }-{ c }_{ 1 }{ a }_{ 2 }\\ y=\frac { { c }_{ 2 }{ a }_{ 1 }-{ c }_{ 1 }{ a }_{ 2 } }{ { a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }-{ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 } } \\ \Rightarrow y=\frac { { c }_{ 1 }{ a }_{ 2 }-{ c }_{ 2 }{ a }_{ 1 } }{ { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 } }
समीकरण (5) से x=\frac { { b }_{ 1 }{ c }_{ 2 }-{ b }_{ 2 }{ c }_{ 1 } }{ { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 } }
उपर्युक्त समीकरणों को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है-

\frac { x }{ { b }_{ 1 }{ c }_{ 2 }-{ b }_{ 2 }{ c }_{ 1 } } =\frac { y }{ { c }_{ 1 }{ a }_{ 2 }-{ c }_{ 2 }{ a }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 } }
इस परिणाम को निम्न रचना के माध्यम से दर्शा सकते हैं जिससे समीकरणों के हल को सुगमता से स्मरण रख सके।

\frac { x }{ \begin{matrix} { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } & { c }_{ 2 } \end{matrix} } =\frac { y }{ \begin{matrix} { c }_{ 1 } & { a }_{ 1 } \\ { c }_{ 2 } & { a }_{ 2 } \end{matrix} } =\frac { 1 }{ \begin{matrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } \end{matrix} }
रचना में तीर के निशान का अर्थ दो संख्याओं के गुणा को दर्शाना है।पहले नीचे की ओर गुणा करना है फिर इसमें से ऊपर की ओर गुणा कर गुणनफल घटाना है।
वज्र गुणा के कारण यह वज्र गुणन विधि कहलाती है।इस विधि का प्रयोग से पूर्व समीकरणों के सभी पदों को पहले वाम पक्ष में लेकर दक्षिण पक्ष को शून्य बना देते हैं।प्रथम समीकरण एवं द्वितीय समीकरण में प्रथम चर के गुणांक द्वितीय चर के गुणांक तथा स्वतन्त्र चर से प्रदर्शित करते हैं।
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2.साधनीयता के लिए प्रतिबन्ध (Condition for Solvability)-

यदि समीकरण निकाय { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0,{ a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 हो तो संगत चरों के गुणांकों का अनुपात देखने पर निम्न स्थिति के अनुसार निर्णय किया जाता है।
(1.)प्रथम स्थिति \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } }
निकाय संगत तथा हल अद्वितीय होते हैं।
(2.) द्वितीय स्थिति \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \neq \frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } }
निकाय असंगत है तथा इसके कोई हल नहीं होते हैं।
(3.) तृतीय स्थिति \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } }
समीकरण निकाय संगत तथा इसके अनन्त हल होते हैं।

3.वज्र गुणन विधि के उदाहरण (Cross multiplication method examples)-

निम्नलिखित समीकरणों के बारे में जांच कीजिए कि समीकरण निकाय के अद्वितीय हल है, कोई हल नहीं है या अपरिमित हल हैं।यदि किसी निकाय के अद्वितीय हल हैं तो उन्हें ज्ञात कीजिए।
Example-1.2x+y=35,3x+4y=65
Solution- 2x+y=35
3x+4y=65
समीकरण के सभी पदो को वाम पक्ष में लेने पर-
2x+y-35=0
3x+4y-65=0

\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ 4 } \\ \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } निकाय संगत है तथा अद्वितीय हल हैं अतः
2x+y-35=0
3x+4y-65=0

\frac { x }{ (1)(-65)-4(-35) } =\frac { y }{ 3(-35)-2(-65) } =\frac { 1 }{ 2(4)-3(1) } \\ \Rightarrow \frac { x }{ -65+140 } =\frac { y }{ -105+130 } =\frac { 1 }{ 8-3 } \\ \Rightarrow \frac { x }{ 75 } =\frac { y }{ 25 } =\frac { 1 }{ 5 } \\ \Rightarrow \frac { x }{ 75 } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow x=\frac { 75 }{ 5 } =15\\ \Rightarrow \frac { y }{ 25 } =\frac { 1 }{ 5 } \\ \Rightarrow y=\frac { 25 }{ 5 } =5\\ x=15,y=5
Example-2.2x-y=6
x-y=2
Solution- 2x-y=6
x-y=2
समीकरण के सभी पदों को वाम पक्ष में लेने पर-
2x-y-6=0
x-y-2=0

\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ 1 } ,\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { -1 }{ -1 } =\frac { 1 }{ 1 } \\ \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } निकाय संगत है तथा इसके अद्वितीय हल हैं अतः
2x-y-6=0
x-y-2=0

\frac { x }{ \begin{matrix} -1 & -6 \\ -1 & 2 \end{matrix} } =\frac { y }{ \begin{matrix} 2 & -6 \\ 1 & -2 \end{matrix} } =\frac { 1 }{ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{matrix} } \\ \Rightarrow \frac { x }{ (-1)(-2)-(-1)(-6) } =\frac { y }{ (1)(-6)-2(-2) } =\frac { 1 }{ 2(-1)-1(-1) } \\ \Rightarrow \frac { x }{ 2-6 } =\frac { y }{ -6+4 } =\frac { 1 }{ -2+1 } \\ \Rightarrow \frac { x }{ -4 } =\frac { y }{ -2 } =\frac { 1 }{ -1 } \\ \Rightarrow \frac { x }{ -4 } =\frac { 1 }{ -1 } \Rightarrow x=4\\ \Rightarrow \frac { y }{ -2 } =\frac { 1 }{ -1 } \\ \Rightarrow y=2\\ x=4,y=2
Example-3. 3x+2y+25=0
2x+y+10=0
Solution- 3x+2y+25=0
2x+y+10=0
\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { 3 }{ 2 } ,\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ 1 } \\ \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } निकाय संगत है तथा इसके अद्वितीय हल हैं।
3x+2y+25=0
2x+y+10=0

\frac { x }{ \begin{matrix} 2 & 25 \\ 1 & 10 \end{matrix} } =\frac { y }{ \begin{matrix} 3 & 25 \\ 2 & 10 \end{matrix} } =\frac { 1 }{ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} } \\ \Rightarrow \frac { x }{ (2)(10)-(1)(25) } =\frac { y }{ (2)(25)-3(10) } =\frac { 1 }{ 3(1)-2(2) } \\ \Rightarrow \frac { x }{ 20-25 } =\frac { y }{ 50-30 } =\frac { 1 }{ 3-4 } \\ \Rightarrow \frac { x }{ -5 } =\frac { y }{ 20 } =\frac { 1 }{ -1 } \\ \Rightarrow \frac { x }{ -5 } =\frac { y }{ 20 } =\frac { 1 }{ -1 } \\ x=5,y=-20
Example-4. k का मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
2x+ky=1
3x-5y=7
Solution-2x+ky=1
3x-5y=7
समीकरण के सभी पदों को वाम पक्ष में लेने पर-
2x+ky-1=0
3x-5y-7=0
समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है अतः

\frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \neq \frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ 3 } =\frac { k }{ -5 } \neq \frac { -1 }{ -7 } \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ 3 } =\frac { k }{ -5 } \\ \Rightarrow k=\frac { -10 }{ 3 }
Example-5.समीकरण निकाय का हल ज्ञात कीजिए
mx+ny={ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 }\\ x+y=2m
Solution-
mx+ny={ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 }\\ x+y=2m
समीकरण के सभी पदों को वाम पक्ष में लेने पर-
mx+ny-({ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 })=0\\ x+y-2m=0 \\  \Rightarrow \frac { x }{ \begin{matrix} n & -({ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 }) \\ 1 & -2m \end{matrix} } =\frac { y }{ \begin{matrix} m & -({ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 }) \\ 1 & -2m \end{matrix} } =\frac { 1 }{ \begin{matrix} m & n \\ 1 & 1 \end{matrix} } \\ \Rightarrow \frac { x }{ -2mn+{ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } =\frac { y }{ -({ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 })+2{ m }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ m-n } \\ \Rightarrow \frac { x }{ { (m-n) }^{ 2 } } =\frac { y }{ ({ m }^{ 2 }-{ n }^{ 2 }) } =\frac { 1 }{ m-n } \\ \Rightarrow \frac { x }{ { (m-n) }^{ 2 } } =\frac { y }{ (m-n)(m+n) } =\frac { 1 }{ m-n } \\ \Rightarrow x=\frac { { (m-n) }^{ 2 } }{ m-n } =m-n\\ \Rightarrow y=\frac { (m-n)(m+n) }{ m-n } =m+n

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वज्र गुणन विधि (Cross multiplication method,cross multiplication method class 10) को समझा जा सकता है।

4.वज्र गुणन विधि की समस्याएं (Cross multiplication method questions)-

निम्नलिखित समीकरणों के बारे में जांच कीजिए कि समीकरण निकाय के अद्वितीय हल है, कोई हल नहीं है या अपरिमित हल हैं।यदि किसी निकाय के अद्वितीय हल हैं तो उन्हें ज्ञात कीजिए।
(1.)x+2y+1=0,2x-3y-12=0
(2.)2x+3y-17=0,3x-2y-6=0
k का मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है-
(3.)kx+2y=5,3x+y=1
का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निकाय के
(i) अद्वितीय हल (ii) कोई हल नहीं है।
(4.)3x+\lambda y-1=0,2x+y-9=0
उत्तर-(1.)x=3,y=-2
(2.)x=4,y=3
(3.)k=6
(4.)(i) अद्वितीय हल के लिए \lambda \neq \frac { 3 }{ 2 }
(ii) कोई हल नहीं के लिए \lambda =\frac { 3 }{ 2 }
उपर्युक्त समस्याओं को हल करने पर वज्र गुणन विधि (Cross multiplication method,cross multiplication method class 10) को ठीक प्रकार से समझ सकते हैं।

5.आप कक्षा 10 में क्रॉस गुणा कैसे करते हैं? (How do you do cross multiplication in Class 10?)-

सीबीएसई एनसीईआरटी नोट, 2 वैरिएबल्स में कक्षा 10 गणित रेखीय समीकरण।
चरण 5: यदि { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }\neq 0 या \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } \neq \frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } है, तो समीकरण का अद्वितीय समाधान है। जब \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } , तब असीम रूप से कई समाधान होते हैं। जब \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { b }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } \neq \frac { { c }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 } } , तो कोई समाधान नहीं है।

6.आप वज्र गुणन क्यों करते हैं? (Why do you cross multiply?)-

जिस कारण से हम कई बार भिन्नों को वज्र गुणन करते हैं, उनकी तुलना करना है।क्रॉस गुणा करने वाले भिन्न हमें बताते हैं कि दोनों भिन्न समान हैं या कौन सा अधिक है। जब आप बड़े भिन्नों के साथ काम कर रहे होते हैं तो यह विशेष रूप से उपयोगी होता है।

7.क्रॉस गुणन खराब क्यों है? (Why is cross multiplying bad?)-

खराब शॉर्टकट # 2: क्रॉस-गुणा करके एक अनुपात को हल करें
ऐसा प्रतीत होता है कि समीकरण और क्रॉस-गुणन के दूसरी ओर जाने की शर्तें ऐसी तकनीकें हैं जो न केवल छात्र बिना किसी समझ के उपयोग करते हैं, बल्कि वे गणित को भी जल्दी नहीं करते हैं।

8.क्रॉस गुणा विधि परिभाषा (cross multiplication method definition)-

व्यवहार में, क्रॉस-गुणा करने की विधि का अर्थ है कि हम प्रत्येक पक्ष (या एक) पक्ष के अंश को दूसरे पक्ष के हर के गुणक से गुणा करते हैं, प्रभावी रूप से पदों को पार करते हैं।क्रॉस-गुणा एक शॉर्टकट है, एक आसानी से समझ में आने वाली प्रक्रिया है जो छात्रों को सिखाई जा सकती है।

9.दो चर फार्मूले के लिए वज्र गुणन विधि (cross multiplication method for 2 variables formula)-

रैखिक समीकरणों की एक जोड़ी का हल खोजने के लिए, हम क्रॉस गुणा पद्धति का उपयोग करते हैं। यदि { a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }=0 और { a }_{ 2 }x+{ b }_{ 2 }y+{ c }_{ 2 }=0 दो रैखिक समीकरण हैं, तो हम इस विधि का उपयोग करके x और y का मान ज्ञात कर सकते हैं।

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