1.प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के गुणधर्म (Property of Inverse Circular Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Inverse Trigonometric Functions Class 12):

Property of Inverse Circular Function

प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के गुणधर्म (Property of Inverse Circular Function) के कुछ गुणधर्मों को सिद्ध करेंगे।यहाँ यह उल्लेख कर देना चाहिए कि ये परिणाम,संगत प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की मुख्य शाखाओं के अन्तर्गत ही वैध (Valid) है,जहाँ कहीं वे परिभाषित हैं।कुछ परिणाम,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रान्तों के सभी मानों के लिए वैध नहीं भी हो सकते हैं।वस्तुतः ये उन कुछ मानों के लिए ही वैध होंगे,जिनके लिए प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन परिभाषित होते हैं।
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2.प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के मध्य सम्बन्ध (Relation between inverse circular functions):

मान लो \theta=\sin ^{-1} x तो \sin \theta=x तब \cos \theta=\sqrt{1-x^{2}} \\ \theta=\cos^{-1} \sqrt{1-x^2}
इसी प्रकार \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \Rightarrow \theta= \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) \\ \cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \\ \Rightarrow \theta=\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right) \\ \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \Rightarrow \theta=\sec^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \\ \operatorname{cosec} \theta=\frac{1}{\sin \theta}=\frac{1}{x} \\ \Rightarrow \theta=\operatorname{cosec} ^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) \\ \sin ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)= \\ \cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)=\sec ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)= \operatorname{cosec}^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)
टिप्पणीःइन सूत्रों की सत्यता निश्चित अन्तराल के लिए ही होगी।

3.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म (Properties of inverse circular functions):

\sin \left(\sin ^{-1} x\right)=x,-1 \leq x \leq 1 एवं \sin ^{-1}(\sin \theta)=0 ,-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
प्रमाण (Proof): \sin ^{-1} x=\theta तब \sin \theta=x [परिभाषा से]
\theta का मान पुनः रखने पर
पुनः यदि \sin \theta=x,-1 \leq x \leq 1
तब  \theta=\sin ^{-1} x,-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} या \theta=\sin^{-1} (\sin \theta)
इसी प्रकार दी गई सारणी x तथा \theta के अन्तरालों के लिए

\cos \left(\cos ^{-1} x\right)=x \quad \quad \quad \cos ^{-1}(\cos \theta)=\theta \\ \tan \left(\tan ^{-1} x\right)=x \quad \quad \quad \tan ^{-1}(\tan \theta)=\theta \\ \cot \left(\cot ^{-1} x\right)=x \quad \quad \quad \cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta \\ \sec \left(\sec ^{-1} x\right)=x \quad \quad \quad \sec ^{-1}(\sec \theta)=\theta \\ \operatorname{cosec}\left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=x \quad \operatorname{cosec}^{-1} \cdot(\operatorname{cosec} \theta)=\theta
टिप्पणी: \sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right) \neq \frac{2 \pi}{3}
क्योंकि \sin^{-1} x का मुख्यमान \frac{2 \pi}{3} नहीं है।

\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)=\sin ^{-1}\left[\sin (\pi-\frac{\pi}{3})\right] \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3} \right)=\frac{\pi}{3}
1(i). \sin ^{-1} \frac{1}{x}=\operatorname{cosec}^{-1} x, x \geq 1 या x \leq-1
प्रमाण (Proof): \sin ^{-1} \frac{1}{x}=\operatorname{cosec}^{-1} x
माना \operatorname{cosec}^{-1} x=y \Rightarrow x=\operatorname{cosec} y \\ \Rightarrow \frac{1}{x}=\sin y \Rightarrow y=\sin ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)= \operatorname{cosec}^{-1}(x)
1(ii). \cos ^{-1} \frac{1}{x}=\sec^{-1} x, x \geq 1  या x \leq-1
प्रमाण (Proof): \cos ^{-1} \frac{1}{x}=\sec ^{-1} x
माना \sec ^{-1} x=y \Rightarrow x=\sec y \\ \frac{1}{x}=\cos y \Rightarrow \cos ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=y \\ \Rightarrow \cos ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\sec ^{-1} x
1(iii). \tan \left(\frac{1}{x}\right)=\cot^{-1} x, x>0
प्रमाण (Proof): \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=\cot ^{-1} x
माना \cot^{-1} x=y \Rightarrow x = \cot y \\ \Rightarrow \frac{1}{x}=\tan y \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=y \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\cot ^{-1}(x)
1(iv). \operatorname{cosec}^{-1} x=\sin ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right), x \leq-1, x \geq 1
प्रमाण (Proof): \operatorname{cosec}^{-1}(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)
माना \sin ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=y \Rightarrow \frac{1}{x}=\sin y \\ \Rightarrow x= \operatorname{cosec} y \\ \operatorname{cosec}^{-1}(x)=y \\ \Rightarrow \operatorname{cosec}^{-1}(x)= \sin ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)
1(v). \sec ^{-1}(x)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right), x \leq-1, x \geq 1
प्रमाण (Proof): \sec ^{-1}(x)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)
माना \cos ^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=y \Rightarrow \frac{1}{x}=\cos y \\ \Rightarrow x=\sec y \Rightarrow \sec^{-1} x=y \\ \Rightarrow \sec ^{-1}(x)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)
1(vi). \cot x=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right), x \geq 0
प्रमाण (Proof): \cot ^{-1}(x)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)
माना \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=y \Rightarrow \frac{1}{x}=\tan y \\ \Rightarrow x=\cot y \Rightarrow \cot^{-1} x=y \\ \Rightarrow \cot ^{-1}(x)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)
2(i). \sin ^{-1}(-x)=-\sin ^{-1} x, x \in[-1,1] 
प्रमाण (Proof): \sin ^{-1}(-x)=-\sin ^{-1} x
माना \sin ^{-1}(-x)=\theta \Rightarrow-x=\sin \theta \\ \Rightarrow x=-\sin \theta \Rightarrow x=\sin (-\theta) \\ \Rightarrow \sin ^{-1} x=-\theta \Rightarrow \sin ^{-1} x=-\sin ^{-1}(-x) \\ \Rightarrow \sin ^{-1}(-x)=-\sin ^{-1} x
2(ii). \tan ^{-1}(-x)=-\tan ^{-1}(x), x \in R
प्रमाण (Proof): \tan ^{-1}(-x)=-\tan ^{-1} x
माना \tan ^{-1}(-x)=\theta \Rightarrow-x=\tan \theta \\ \Rightarrow x=-\tan \theta \Rightarrow x=\tan (-\theta) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}(x)=-\theta \Rightarrow \tan ^{-1} x=-\tan ^{-1}(-x) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}(-x)=-\tan ^{-1} x
2(iii). \operatorname{cosec}^{-1}(-x)=-\operatorname{cosec}^{-1}(x),|x| \geq 1
प्रमाण (Proof): \operatorname{cosec}^{-1}(-x)=-\operatorname{cosec}^{-1}(x)
माना \operatorname{cosec}(-x)=\theta \Rightarrow-x=\operatorname{cosec} \theta \\ \Rightarrow x=-\operatorname{cosec} \theta \Rightarrow x=\operatorname{cosec}(-\theta) \\ \operatorname{cosec} ^{-1}(x)=-\theta \Rightarrow \operatorname{cosec}^{-1}(x)=-\operatorname{cosec}^{-1}(-x) \\ \Rightarrow \operatorname{cosec}^{-1}(-x)=-\operatorname{cosec}^{-1}(x)

Property of Inverse Circular Function

3(i). \cos ^{-1}(-x)=\pi-\cos ^{-1} x, x \in[-1,1]
प्रमाण (Proof): \cos ^{-1}(-x)=\pi-\cos ^{-1} x
माना \cos ^{-1}(-x)=\theta \Rightarrow-x=\cos \theta \\ \Rightarrow x=-\cos \theta \Rightarrow x=\cos (\pi-\theta) \\ \Rightarrow \cos ^{-1}(x)=\pi-\theta \Rightarrow \cos ^{-1} x=\pi-\cos ^{-1}(-x) \\ \Rightarrow \cos ^{-1}(-x)=\pi -\cos ^{-1} x
3(ii). \sec ^{-1}(-x)=\pi-\sec ^{-1} x,|x| \geq 1
प्रमाण (Proof): \sec ^{-1}(-x)=\pi-\sec ^{-1} x
माना \sec ^{-1}(-x)=\theta \Rightarrow-x=\sec \theta \\ \Rightarrow x=-\sec \theta \Rightarrow x=\sec (\pi-\theta) \\ \Rightarrow \sec ^{-1}(x)=\pi-\theta \Rightarrow \sec ^{-1} x=\pi-\sec ^{-1}(-x) \\ \Rightarrow \sec ^{-1}(-x)=\pi-\sec ^{-1} x
3(iii). \cot ^{-1}(-x)=\pi-\cot ^{-1} x, x \in R
प्रमाण (Proof): \cot ^{-1}(-x)=\pi-\cot ^{-1} x
माना \cot ^{-1}(-x)=\theta \Rightarrow-x=\cot \theta \\ \Rightarrow \cot ^{-1}(-x)=\theta \\ \Rightarrow -x=\cot \theta \\ \Rightarrow x=-\cot \theta \Rightarrow x=\cot(\pi-\theta ) \\ \Rightarrow \cot ^{-1}x=\pi-\theta \\ \Rightarrow \cot ^{-1}x=\pi-\cot ^{-1}(-x) \\ \Rightarrow \cot ^{-1}(-x)=\pi-\cot ^{-1}x
4(i). \sin^{-1}x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2},x \in [-1,1]
प्रमाण (Proof): \sin^{-1}x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}
माना \sin^{-1}x =\theta \Rightarrow x= \sin \theta \\ \Rightarrow x=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\ \Rightarrow \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\theta \\ \Rightarrow \theta+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \sin^{-1}x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}
4(ii). \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}, x \in R
प्रमाण (Proof): \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}
माना \tan ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\tan \theta \\ \Rightarrow x=\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\ \Rightarrow \cot^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\theta \\ \Rightarrow \cot^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\tan^{-1} x \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x+\cot^{-1} x=\frac{\pi}{2}
4(iii). \sec ^{-1} x+\operatorname{cosec} x=\frac{\pi}{2},|x| \geq 1
प्रमाण (Proof): \sec ^{-1} x+\operatorname{cosec}^{-1} x=\frac{\pi}{2}
माना \sec^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\sec \theta \\ \Rightarrow x=\operatorname{cosec} \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \Rightarrow \operatorname{cosec}^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\theta \\ \Rightarrow \operatorname{cosec}^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\sec^{-1} x \\ \Rightarrow \sec^{-1} x+\operatorname{cosec} ^{-1} x=\frac{\pi}{2}

5(i). \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right),x y < 1 ,xy<1
प्रमाण (Proof): \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)
माना \tan ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\tan \theta \\ \tan ^{-1} y=\phi \Rightarrow y=\tan \phi \\ \tan (\theta+\phi)=\frac{\tan \theta+\tan \phi}{1-\tan \theta \tan \phi} \\ \Rightarrow \tan (\theta+\phi)= \frac{x+y}{1-x y} \\ \Rightarrow \theta+\phi=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right) \\ \Rightarrow \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan \left(\frac{x+y}{1-x y}\right)
5(ii). \tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+x y}\right),x y>-1
प्रमाण (Proof): \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)
माना \tan ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\tan \theta \\ \tan ^{-1} y=\phi \Rightarrow y=\tan \phi \\ \Rightarrow \tan (\theta-\phi)=\frac{\tan \theta-\tan \phi}{1+\tan \theta \tan \phi} \\ \Rightarrow \tan (\theta-\phi)=\frac{x-y}{1+x y} \\ \Rightarrow \theta-\phi=\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+x y}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)
5(iii). 2 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right),\mid x\mid < 1
प्रमाण (Proof): 2 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)
माना \tan^{-1} x=0 \Rightarrow x=\tan \theta \\ \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta} \\ \Rightarrow \tan 2 \theta=\frac{2 x}{1-x^2} \\ \Rightarrow 2 \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) \\ \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)
6(i). 2 \tan x=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right),|x| \leq 1
प्रमाण (Proof): 2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)
माना \tan^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\tan \theta \\ \sin 2 \theta =\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta} \\ \sin 2 \theta=\frac{2 x}{1+x^2} \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) \\ \Rightarrow 2 \theta=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) \\ \Rightarrow 2 \tan^{-1} x=\sin ^{-1} \left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)
6(ii). 2 \tan ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) x \geq 0
प्रमाण (Proof): 2 \tan ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)
माना \tan ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\tan \theta \\ \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) =\cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) \\ =\cos^{-1} (\cos 2 \theta) \\ =2 \theta \\ =2 \tan ^{-1} x \\ \Rightarrow 2 \tan^{-1} x =\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)

4.अन्य महत्त्वपूर्ण मानक सूत्र (Other Important Standard Formula):

7(i). \sin ^{-1} x \pm \sin ^{-1} y=\sin ^{-1}\left\{x \sqrt{1-y^2} \pm y \sqrt{1-x^2}\right\}
प्रमाण (Proof): \sin ^{-1} x \pm \sin ^{-1} y=\sin ^{-1}\left\{x \sqrt{1-y^2} \pm y \sqrt{1-x^2}\right\}
माना \sin ^{-1} x=\theta \Rightarrow x= \sin \theta,\cos \theta=\sqrt{1-x^2} \\ \sin ^{-1} y=\phi \Rightarrow y=\sin \phi, \cos \phi=\sqrt{1-y^2} \\ \sin (\theta \pm \phi)=\sin \theta \cos \phi \pm \cos \theta \sin \phi \\ =x \sqrt{1-y^2} \pm y \sqrt{1-x^2} \\ \Rightarrow \theta \pm \phi=\sin^{-1} \left(x \sqrt{1-y^2} \pm y \sqrt{1-x^2}\right) \\ \Rightarrow \sin x \pm \sin y=\sin^{-1} \left(x \sqrt{1-y^2} \pm y \sqrt{1-x^2}\right)
7(ii) 2 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1}\left\{2 x \sqrt{1-x^2}\right\}
प्रमाण (Proof): 2 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1}\left\{2 x \sqrt{1-x^2}\right\}
माना \sin^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\sin \theta \\ \Rightarrow \cos \theta=\sqrt{1-x^2} \\ \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta \\ =2 x \sqrt{1-x^2} \\ \Rightarrow 2 \theta=\sin \left\{2 x \sqrt{1-x^2} \right\} \\ \Rightarrow 2 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1}\left\{2 x \sqrt{1-x^2}\right\} 
7(iii) 3 \sin ^{-1} x=\sin ^{\{}\left\{3 x-4 x^3 \right\}
प्रमाण (Proof): 3 \sin ^{-1} x=\sin ^{\{}\left\{3 x-4 x^3 \right\}
माना \sin ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\sin \theta \\ \sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^3 \theta \\ =3 x-4 x^3 \\ \Rightarrow 3 \theta=\sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right) \\ \Rightarrow 3 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right)
8(i) \cos^{-1} x \pm \cos^{-1} y=\cos^{-1} \left\{x y \mp \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^{2}}\right\}
प्रमाण (Proof): \cos^{-1} x \pm \cos^{-1} y=\cos^{-1} \left\{x y \mp \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^{2}}\right\}
माना \cos^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\cos \theta \\ x^2=\cos ^2 \theta \\ \Rightarrow x^2=1-\sin ^2 \theta \\ \Rightarrow \sin \theta=\sqrt{1-x^2} \\ \cos^{-1} y=\phi \Rightarrow y=\cos \phi \\ \Rightarrow y^2=\cos ^2 \phi \\ \Rightarrow y^2=1-\sin ^2 \phi \\ \Rightarrow \sin ^2 \phi=1-y^2 \\ \Rightarrow \sin \phi=\sqrt{1-y^2} \\ \cos (\theta \pm \phi) =\cos \theta \cos \phi \mp \sin \theta \sin \phi \\ =x y \mp \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \\ \Rightarrow \theta \pm \phi =\cos^{-1} \left(x y \mp \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\right) \\ \Rightarrow \cos^{-1} x \pm \cos^{-1} y =\cos^{-1} \left\{x y \mp \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\right\}
8(ii) 2 \cos ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(2 x^2-1\right)
प्रमाण (Proof): 2 \cos ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(2 x^2-1\right)
माना \cos ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\cos \theta \\ \cos 2 \theta=2 \cos ^2 \theta-1 \\ =2 x^2-1 \\ \Rightarrow 2 \theta=\cos ^{-1}\left(2 x^2-1\right) \\ \Rightarrow 2 \cos ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(2 x^2-1\right)
8(iii) 3 \cos^{-1} x=\cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right) 
प्रमाण (Proof): 3 \cos^{-1} x=\cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right) 
माना \cos ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\cos \theta \\ \cos 3 \theta=4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta \\ =4 x^3-3 x \\ \Rightarrow 3 \theta=\cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right) \\ \Rightarrow 3 \cos ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right)

Property of Inverse Circular Function

9(i) \tan^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\tan ^{-1} \left(\frac{x+y+z-x y z}{1-xy-yz-zx}\right)
प्रमाण (Proof): \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y+z-x y z}{1-xy-yz-zx}\right) \\ =\tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-x y}\right)+\tan ^{-1} z \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{x+y}{1-x y}+z}{1-\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)z}\right) \\=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{x+y+z-x y z}{(1-x y)}}{\frac{1-x y-x z-y z}{(1-x y)}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y+z-xyz}{1-x y-y z-x}\right)
9(ii) 3 \tan x=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)
प्रमाण (Proof): 3 \tan x=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)
माना \tan ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\tan \theta \\ \tan 3 \theta=\frac{3 \tan \theta-\tan ^2 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta} \\ =\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2} \\ \Rightarrow 3 \theta=\tan^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right) \\ \Rightarrow 3 \tan^{-1} x=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)
10(i) \cot^{-1} x+\cot^{-1} y=\cot^{-1} \left(\frac{x y-1}{x+y}\right)
प्रमाण (Proof): \cot^{-1} x+\cot^{-1} y=\cot^{-1} \left(\frac{x y-1}{x+y}\right)
माना \cot ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\cot \theta \\ \cot y=\phi \Rightarrow y=\cot \phi \\ \cot (\theta+\phi)=\frac{\cot \theta \cot \phi-1}{\cot \theta+\cot \phi} \\ =\frac{x y-1}{x+y} \\ \Rightarrow \theta+\phi=\cot^{-1} \left(\frac{x y-1}{x+y}\right) \\ \Rightarrow \cot^{-1} x+\cot^{-1} y=\cot^{-1} \left(\frac{x y-1}{x+y}\right)
10(ii) \cot ^{-1} x-\cot^{-1} y=\cot ^{-1}\left(\frac{x y+1}{y-x}\right)
प्रमाण (Proof): \cot ^{-1} x-\cot^{-1} y=\cot ^{-1}\left(\frac{x y+1}{y-x}\right)
माना \cot^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\cot \theta \\ \cot y=\phi \Rightarrow y=\cot \phi \\ \cot (\theta-\phi)=\frac{\cot \theta \cot \phi+1}{\cot \phi-\cot \theta} \\ =\frac{x y+1}{y-x} \\ \theta-\phi=\cot^{-1} \left(\frac{x y+1}{y-x}\right) \\ \Rightarrow \cot ^{-1} x-\cot ^1 y=\cot^{-1} \left(\frac{x y+1}{y-x}\right)
उपर्युक्त प्रमाणों के द्वारा प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के गुणधर्म (Property of Inverse Circular Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Inverse Trigonometric Functions Class 12) को समझ सकते हैं।

5.प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के गुणधर्म पर आधारित सवाल (Questions Based on Property Inverse of Circular Function):

(1.)दर्शाइए कि \sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^2}\right)=2 \cos ^{-1} x, \frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1
(2.)दर्शाइए कि \cot^{-1} x+\cot ^{-1} y+\cot^{-1} z =\cot \left(\frac{x+y+z-x y z}{1-xy-yz-z x}\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के गुणधर्म (Property of Inverse Circular Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Inverse Trigonometric Functions Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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6.प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के गुणधर्म (Frequently Asked Questions Related to Property of Inverse Circular Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Inverse Trigonometric Functions Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के गुणधर्म (Property of Inverse Circular Function) के कुछ गुणधर्मों
को सिद्ध करेंगे।यहाँ यह उल्लेख कर देना चाहिए कि ये परिणाम,संगत प्रतिलोम त्रिकोणमितीय
फलनों की मुख्य शाखाओं के अन्तर्गत