1.योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन (Definite Integral as Limit of a Sum),योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral as Limit of a Sum Class 12):

Definite Integral as Limit of a Sum

योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन (Definite Integral as Limit of a Sum) के इस आर्टिकल में प्रथम सिद्धान्त से समाकलन पर आधारित सवालों को हल करना सीखेंगे।
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2.योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Definite Integral as Limit of a Sum):

योगों की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।
Illustration:1. \int_a^b x d x
Solution: \int_a^b x d x \\ \int_a^b f(x) d x=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim }h [f(a)+f(a+h) +f(a+2 h)+\cdots \cdots+f(a+\overline{n-1} h)]
यहाँ f(x)=x,a=a,b=b ,h=\frac{b-a}{n}
जब n \rightarrow \infty तो h \rightarrow 0 \\ \int_a^b x d x=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[a+a+h+a+2 h+\cdots +a+(n-1) h] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } [a+a+a+\ldots \text { n बार }[h+2 h+ \cdots+(n-1) h] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } [n a+h(1+2+\cdots+(n-1))] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[n a+h \frac{n(n-1)}{2}\right]
[सूत्र \frac{n(n+1)}{2}=1+2+3+\ldots+n से ]

=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } \left[n a h+\frac{n h(n h-h)}{2}\right] \\ =\left[a(b-a)+\frac{(b-a)(b-a-0)}{2}\right] \\ =\left[a b-a^2+\frac{\left(b-a\right)^2}{2}\right] \\ =\left[\frac{2 a b-2 a^2+b^2-2 a b+a^2}{2}\right] \\ =\frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right) \\ \int_a^b x d x=\frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)
Illustration:2. \int_0^5(x+1) d x
Solution: \int_0^5(x+1) d x \\ \int_a^b f(x) d x=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim } h[f(a)+ f(a+h)+f(a+2 h)+\ldots \ldots+ f(a+(n-1) h)]
यहाँ a=0, b=5, h=\frac{b-a}{n}=\frac{5-0}{n} \\ \Rightarrow h=\frac{5}{n} \Rightarrow n h=5 \\ f(x)=(x+1) \\ f(0)=0+1=1, f(0+h)=0+h+1=h+1 \\ f(0+2 h)=0+2 h+1=2 h+1 \\ f(0+(n-1) h)=0+(n-1) h+1 \\ =(n-1) h+1 \\ \int_0^5(x+1) d x=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[f(0)+f(0+h) +f(0+2 h)+\cdots+f(0+(n-1) h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[1+h+1+2 h+1+\cdots+\cdots+(n-1) h+1)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[1+1+1+1+\cdots \text { n बार } +h(1+2+\cdots+(n-1)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[n+h \cdot \frac{n(n-1)}{2}\right]
[ 1+2+3+\cdots n=\frac{n(n+1)}{2} सूत्र से]

=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } \left[n h+\frac{n h(n h-h)}{2}\right] \\ =\left[5+\frac{5(5-0)}{2}\right] \\ \Rightarrow \int_0^5(x+1) d x=\frac{35}{2}
Illustration:3. \int_2^3 x^2 d x
Solution:  \int_2^3 x^2 d x \\ \int_a^b f(x) d x=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim } h[f(a)+f(a+h) +f(a+2 h)+\ldots \ldots+f(a+(n-1)h)]
यहाँ a=2,b=3, h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-2}{n} \\ \Rightarrow n h=1 \\ f(x)=x^2 \\ f(2)=2^2=4, f(2+h)=(2+h)^2=4+4 h+h^2 \\ f(2+2 h)=(2+2 h)^2=4+8 h+4 h^2 \\ f(2+(n-1) h)=(2+(n-1) h)^2 \\ \Rightarrow f\left(2+(n-1) h\right)=4+4(n-1) h+(n-1)^2 h^2 \\ \int_2^3 x^2 d x=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[f(2)+f(2+h)+f(2+2 h)+\cdots \cdots+f(2+(n-1) h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[4+4+4 h+h^2+4+8 h+4 h^2+\cdots+4+4(n-1) h+(n-1)^2 h^2 ] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h [4+4+4+\cdots \text { n बार }+[(4 h+8 h+\cdots+ 4(n-1) h)+h^2+4 h^2+\cdots+(n-1)^2 h^2 ] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } \left[4 n+4 h(1+2+\cdots+n-1)+h^2\left(1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2 \right) \right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[4 n+4 h \frac{n(n-1)}{2}+h^2 \frac{n(n-1)(2 n-1)}{6}\right]
[ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} तथा 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} सूत्र से]

=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } [4 n h+2 n h(n h-h)+\frac{n h(n h-h)(2 n h-h)}{6}] \\ =[4 \times 1+2 \times 1(1-0)+\frac{1(1-0)(2 \times 1-0)}{6}] \\ =\left(4+2+\frac{1}{3}\right) \\ \Rightarrow \int_2^3 x^2 d x=\frac{19}{3}

Definite Integral as Limit of a Sum

Illustration:4. \int_1^4\left(x^2-x\right) d x
Solution:  \int_1^4\left(x^2-x\right) d x \\ \int_a^b f(x) d x=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim } h[f(a)+f(a+h)+f(a+2 h)+\ldots \ldots+f(a+(n-1)h)]
यहाँ a=1,b=4, h=\frac{b-a}{n}=\frac{4-1}{n} \\ \Rightarrow nh=3 \\ f(x)=x^2-x \\ f(1)=1^2-1=0 \\ f(1+h)=(1+h)^2-(1+h) \\ =1^2+2 h+h^2-1-h \\ f(1+h)=h+h^2 \\ f(1+2 h)=(1+2 h)^2-(1+2 h) \\ =1+4 h+4 h^2-1-2 h \\ =2 h+4 h^2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ f(1+(n-1) h)=(1+(n-1) h)^2-(1+(n-1) h) \\ =1+2(n-1) h+(n-1)^2 h^2-1-(n-1) h \\ =(n-1) h+(n-1)^2 h^2 \\ \int_1^4\left(x^2-x\right) d x=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[f(1)+f(1+h) +f(f+2 h)+\cdots+f(1+(n-1) h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[0+h+h^2+2 h+4 h^2+\cdots+(n-1) h+(n-1)^2 h^2\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[h+2 h+\cdots+(n-1) h+h^2+4 h^2+\ldots+(n-1)^2 h^2\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[h(1+2+\ldots+n-1)+h^2\left(1+2^2+\ldots \ldots+(n+1)^2\right)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[h \frac{n(n-1)}{2}+\frac{h^2 n(n-1)(2 n-1)}{6}\right]
[ 1+2+3+\cdots n=\frac{n(n+1)}{2} तथा 1^2+2^2+3^2+\cdots++n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} सूत्र से]

=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } \left[\frac{n h(n h-h)}{2}+\frac{n h(n h-h)(2 n h-h)}{6}\right] \\ =\left[\frac{3(3-0)}{2}+\frac{3(3-0)(2 \times 3-0)}{6}\right] \\ =\left[\frac{9}{2}+9\right] \\ \Rightarrow \int_1^4\left(x^2-x\right) d x=\frac{27}{2}
Illustration:5. \int_{-1}^1 e^x d x
Solution: \int_{-1}^1 e^x d x \\ \int_a^b f(x) d x=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim } h[f(a)+ f(a+h)+f(a+2 h)+\ldots \ldots+f(a+(n-1)h)]
यहाँ a=-1,b=1 , h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-(-1)}{n} \\ \Rightarrow n h=2 \\ f(x)=e^x \\ f(-1)=e^{-1}, f(-1+h)=e^{-1+h} \\ f(-1+2 h)=e^{-1+2 h}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ f(-1+(n-1) h)=e^{-1+(n-1) h} \\ \int_{-1}^1 e^x d x=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[f(-1)+f(-1+h)+\ldots \ldots +f(-1+2 h)+\ldots+f(-1+(n-1) h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[e^{-1}+e^{-1+h}+e^{-1+2 h}+\cdots+e^{-1+(n-1) h}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[ e^{-1}+e^{-1} \cdot e^h+e^{-1} \cdot e^{2 h}+\cdots+e^{-1} \cdot e^{(n-1) h}\right]\\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h \left[e^{-1}\left(1+e^h+e^{2 h}+\cdots+e^{(n-1) h}\right)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h \left[e^{-1} \cdot \frac{1\left(e^{n h}-1\right)}{e^h-1}\right]
[ \because a+a r+a r^2+\cdots+a r^{n-1}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} सूत्र से]

=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } \left[\frac{h e^{-1}\left(e^{n h}-1\right)}{e^n-1}\right] \\= \underset{h \rightarrow 0}{\lim }\left [ \frac{ e^{-1}\left(e^{n h}-1\right)}{ \left(\frac{e^h-1}{h}\right)} \right ] \\ =e^{-1} \frac{\underset{h \rightarrow 0}{\lim } \left(e^{n h}-1\right)}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim } \left(\frac{e^h-1}{h}\right)} \\ =\frac{e^{-1}\left(e^2-1\right)}{1}\left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim } \frac{e^h-1}{h}=1\right] \\ =e-\frac{1}{e} \\ \Rightarrow \int_{-1}^1 e^x d x=e-\frac{1}{e}
Illustration:6. \int_0^4 \left(x+e^{2 x}\right) d x
Solution: \int_0^4\left(x+e^{2 x}\right) d x \\ \int_a^b f(x) d x=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim } h[f(a)+f(a+h)+f(a+2 h)+\ldots \ldots+f(a+(n-1)h)]
यहाँ a=0,b=4, h=\frac{b-a}{n}=\frac{4-0}{n} \\ \Rightarrow nh=4 \\ f(x)=x+e^{2 x} \\ f(0)=0+e^0=1 \\ f(0+h) =0+h+e^{2(0+h)}=h+e^{2 h} \\ f(0+2 h) =0+2 h+e^{2(0+2 h)} \\ \Rightarrow f(0+2 h)=2 h+e^{4 h} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ f(0+(n-1) h)= 0+(n-1) h+e^{2(0+(n-1) h)} \\ \Rightarrow f(0+(n-1) h=(n-1) h+e^{2(n-1) h} \\ \int_0^4\left(x+e^{2 x}\right) d x= \underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[f(0)+f(0+h)+f(0+2 h)+\cdots+f(0+(n-1) h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[1+h+e^{2 h}+2 h+e^{4 h}+\cdots+(n-1) h+e^{2(n-1) h} \right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim }\left[1+h+2 h+\cdots(n-1) h+e^{2 h}+e^{4 h}+\cdots +e^{2(n-1) h}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h[+1+h(1+2+\cdots+(n-1) h)+\left.e^{2 h}+e^{h h}+\cdots+e^{2(n-1) h}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim } h\left[1+h \frac{n(n-1)}{2}+\frac{e^{2 h}\left(e^{2(n-1) h}\right)}{e^{2 h}-1}\right] 
[ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} तथा a+a r^2+a r^3+\cdots+a r^{n-1}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} सूत्र से]

=\underset{h \rightarrow 0}{\lim } \left[h+\frac{n h(nh-h)}{2}+\frac{e^{2 h}}{2} \frac{\left(e^{2(n-1)h}-1\right)}{\frac{\left(e^{2 h}-1\right)}{2 h}}\right] \\= {\left[0+\frac{4(4-0)}{2}+\frac{1}{2} e^0 \frac{\left(e^{2 \times 4-0}-1\right)}{1}\right] } \\ \left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim } \frac{e^{2 h}-1}{2 h}= 1\right] \\ =-8+\frac{1}{2}\left(e^8-1\right) \\= 8+\frac{1}{2} e^8-\frac{1}{2} \\ =\frac{1}{2} \left(15+e^8\right) \\ \Rightarrow \int_0^4\left(x+e^{2 x}\right) d x=\frac{1}{2}\left(15+e^8\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन (Definite Integral as Limit of a Sum),योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral as Limit of a Sum Class 12) को समझ सकते हैं।

3.योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Definite Integral as Limit of a Sum):

Definite Integral as Limit of a Sum

निम्नलिखित समाकलों के मान प्रथम सिद्धान्त से ज्ञात कीजिए।

(1.) \int_2^4 2^x d x
(2.) \int_a^b \sin x d x
उत्तर (Answers): (1.) \frac{12}{\log 2}
(2.) 2 \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \sin \left(\frac{b-a}{2}\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन (Definite Integral as Limit of a Sum),योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral as Limit of a Sum Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन (Frequently Asked Questions Related to Definite Integral as Limit of a Sum),योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral as Limit of a Sum Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन (Definite Integral as Limit of a Sum) के
इस आर्टिकल में प्रथम सिद्धान्त से समाकलन पर आधारित सवालों को हल करना सीखेंगे।