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Gauss divergence theorem

1.गाॅस की डायवर्जेन्स (अपसरण) प्रमेय (Gauss divergence theorem)-

गाॅस की डायवर्जेन्स (अपसरण) प्रमेय  (Gauss divergence theorem) तथा उस पर आधारित सवालों को हल करेंगे।गाॅस की डायवर्जेन्स (अपसरण) प्रमेय (Gauss divergence theorem) का अध्ययन सदिश कलन में किया जाता है।
कथन:सदिश फलन F का बन्द क्षेत्र की सीमक रेखा (boundary) पर अभिलम्बीय पृष्ठ समाकलन,divF का पूरे क्षेत्र पर आयतन समाकलन के बराबर होता है।
Statement:The normal surface integral of a vector function F over the boundary of a closer region is equal to the volume integral of divF .
यदि F सतत अवकलनीय सदिश बिन्दु फलन एक क्षेत्र S में हो तथा S बन्द पृष्ठ क्षेत्र,आयतन v को घेरे हुए हो तब

\iint _{ s }^{ \quad }{ F.\hat { n } ds } =\int _{ v }^{ \quad }{ divF } dv\quad या  \int _{ v }^{ \quad }{ \left( \nabla .F \right) dv }
जहां \hat { n } पृष्ठ पर एक अभिलम्बीय सदिश पृष्ठ के बाहर की दिशा में है।
कार्तीय रूप (Cartesian form):-

\iint _{ s }^{ \quad }{</span> <span style="font-size: 14pt;">\left( { F }_{ 1 }dydz+{ F }_{ 2 }dzdx+{ F }_{ 3 }dxdy \right) } =\iiint _{ v }^{ \quad }{ \left( \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial x } +\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial y } +\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial z } \right) dxdydz }
जहां F={ F }_{ 1 }\hat { i } +{ F }_{ 2 }\hat { j } +{ F }_{ 3 }\hat { k }
उपपत्ति (Proof):माना कि क्षेत्र v को ऐसे उपक्षेत्रों { v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },{ v }_{ 3 }...........{ v }_{ i } में विभाजित किया गया है कि निर्देशांक्ष अक्ष इस प्रकार चुने जा सकते हैं कि z-अक्ष या y-अक्ष या x-अक्ष के समान्तर रेखाएं सीमक पृष्ठ { s }_{ i } को केवल दो बिन्दुओं में काटे।

माना { A }_{ 3 } क्षेत्र { v }_{ i }का समतल XOY पर प्रक्षेप है,{ A }_{ 3 } पर कोई भी बिन्दु R के निर्देशांक (x,y,0) लिए जा सकते हैं।
बिन्दु (x,y,0) से गुजरने वाली रेखा तथा z-अक्ष के समान्तर सीमक पृष्ठ S को दो बिन्दुओं P तथा Q पर काटती है तब Q के z-निर्देशांक \psi \left( x,y \right) तथा बिन्दु P के \phi \left( x,y \right) ले सकते हैं।
RP>PQ  \therefore \phi\left( x,y \right) >\psi \left( x,y \right)
अब \iiint _{ v }^{ \quad }{ \frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial z } } dxdydz\\ =\iint _{ { A }_{ 3 } }^{ \quad }{ \left[ \int _{ \psi }^{ \phi }{ \frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial z } } dz \right] dxdy } \\ =\iint _{ { A }_{ 3 } }^{ \quad }{ \left[ { F }_{ 3 }\left( x,y,\phi \right) -{ F }_{ 3 }\left( x,y,\psi \right) \right] dxdy } \\ =\iint _{ { A }_{ 3 } }^{ \quad }{ { F }_{ 3 }\left( x,y,\phi \right) dxdy } -\iint _{ { A }_{ 3 } }^{ \quad }{ { F }_{ 3 }\left( x,y,\psi \right) dxdy } ........(1)
माना कि z=\phi \left( x,y \right) तथा z=\psi \left( x,y \right) के सापेक्ष पृष्ठ S के उपभाग  { s }_{ 1 } तथा  { s }_{ 2 } हैं।
माना कि S के किसी भी बिन्दु पर \hat { n } एकक अभिलम्बीय सदिश बाहर की दिशा में है।
तब dxdy=dscos\theta =\hat { n } .kds
जहां \theta अभिलम्ब तथा z-अक्ष के बीच का कोण है।

\therefore \iint _{ { A }_{ 3 } }^{ \quad }{ { F }_{ 3 }\left( x,y,\phi \right) dxdy } =\int _{ { s }_{ 1 } }^{ \quad }{ { F }_{ 3 }\hat { n } .kds } .....(2)

तथा

\iint _{ { A }_{ 3 } }^{ \quad }{ { F }_{ 3 }\left( x,y,\psi \right) dxdy } =-\int _{ { s }_{ 2 } }^{ \quad }{ { F }_{ 3 }\hat { n } .kds } .....(3)

चूंकि { s }_{ 1 } के किसी भी बिन्दु पर बाहर की ओर अभिलम्ब z-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाता है तथा { s }_{ 2 } के संगत बिन्दु पर बाहर की ओर अभिलम्ब z-अक्ष के साथ अधिक कोण बनाता है।
(2) तथा (3) से (1) में मान रखने पर-

\iiint _{ v }^{ \quad }{ \frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial z } dxdydz } =\int _{ { s }_{ 1 } }^{ \quad }{ { F }_{ 3 }\hat { n } .kds } +\int _{ { s }_{ 2 } }^{ \quad }{ { F }_{ 3 }\hat { n } .kds } \\ \\ =\int _{ { s } }^{ \quad }{ { F }_{ 3 }\hat { n } .kds } .....(4)

इसी प्रकार \iiint _{ v }^{ \quad }{ \frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial y } dxdydz } =\int _{ { s } }^{ \quad }{ { F }_{ 2 }\hat { n } .jds } ......(5)
तथा \iiint _{ v }^{ \quad }{ \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial x } dxdydz } =\int _{ { s } }^{ \quad }{ { F }_{ 1 }\hat { n } .ids } ......(6)

(4),(5) तथा (6) का योग करने पर-

\iiint _{ v }^{ \quad }{ \left( \frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial x } +\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial y } +\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial z } \right) dxdydz } =\int _{ { s } }^{ \quad }{ \left( { F }_{ 1 }\hat { i } +{ F }_{ 2 }\hat { j } +{ F }_{ 3 }\hat { k } \right) .\hat { n } ds }
या

\int _{ s }^{ \quad }{ divF } dv=\int _{ { s } }^{ \quad }{ { F }.\hat { n } ds } =\int _{ { s } }^{ \quad }{ { F }.da }

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2.गाॅस की डायवर्जेन्स (अपसरण) प्रमेय (Gauss divergence theorem) पर आधारित सवाल-

Question-1.x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1 से घिरे हुए घन पर F=4xz\hat { i } -{ y }^{ 2 }\hat { j } +yz\hat { k } के लिए गाॅस की डायवर्जेन्स (अपसरण) प्रमेय (Gauss divergence theorem) को सत्यापित कीजिए।
(Verify Gauss divergence theorem for F=4xz\hat { i } -{ y }^{ 2 }\hat { j } +yz\hat { k } taken over the cube bounded by x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1)
Solution-

(1.)Face ANPM

\hat { n } =i,x=1\\ F=4xz\hat { i } -{ y }^{ 2 }\hat { j } +yz\hat { k } \\ F.\hat { n } =4z\\ ds=\frac { dydz }{ n.\hat { i } } =\frac { dydz }{ \hat { i } .\hat { i } } =dydz\\ \int { F.nds } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ 4zdydz } } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ { \left[ 2{ z }^{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 1 } } dy\\ \Rightarrow \int { F.nds } =2\int _{ 0 }^{ 1 }{ dy } \\ =2{ \left[ y \right] }_{ 0 }^{ 1 }\\ =2
(2.)Face OBLC

\hat { n } =-i,x=0\\ F=\left( -{ y }^{ 2 }\hat { j } +yz\hat { k } \right) \quad \therefore x=0\\ F.n=\left( -{ y }^{ 2 }\hat { j } +yz\hat { k } \right) \left( -i \right) =0\\ \therefore \int { F.nds } =0
(3.)Face PLBN

n=\hat { j } ,y=1\\ F=\left( 4xz\hat { i } -\hat { j } +z\hat { k } \right) .\hat { j } =-1\\ ds=\frac { dzdx }{ n.\hat { j } } =\frac { dzdx }{ \hat { j } .\hat { j } } =dxdz\\ \therefore \int { F.nds } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( -1 \right) dzdx } } =-1
(4.)Face AOCM

\hat { n } =-j,y=0\\ F=\left( 4xz\hat { i } +z\hat { k } \right) \quad F.n=0\\ \int _{ { s } }^{ \quad }{ { F }.nds } =0
(5.)Face MPLC

n=k\quad ,z=1\\ F=\left( 4x\hat { i } -{ y }^{ 2 }\hat { j } +y\hat { k } \right) .z=1\\ { F }.n=y\\ ds=\frac { dxdy }{ n.k } =\frac { dxdy }{ k.k } =dxdy\\ \int _{ s }^{ \quad }{ F.nds } =\iint { F.n } \frac { dx.dy }{ n.k } \\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ ydxdy } } =\frac { 1 }{ 2 }
(6.)Face OANB

n=-k\quad ,z=0\\ F=-{ y }^{ 2 }\hat { j } ,z=0\\ { F }.n=0\\ \int _{ s }^{ \quad }{ F.nds } =0
योग करने पर-

\int _{ cube }^{ \quad }{ F.nds } =2+0-1+0+\frac { 1 }{ 2 } +0=\frac { 3 }{ 2 }

By Gauss divergence theorem

\int _{ s }^{ \quad }{ F.nds } =\int _{ v }^{ \quad }{ divFdv } \\ divF=\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial x } +\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial y } +\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial z } \\ divF=\frac { \partial }{ \partial x } \left( 4xz \right) +\frac { \partial }{ \partial y } \left( -{ y }^{ 2 } \right) +\frac { \partial }{ \partial z } \left( yz \right) \\ divF=4z-2y+y=4z-y\\ dv=dxdydz\\ \therefore \int { div.Fdv } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 4z-y \right) dxdydz } } } \\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ { \left[ 2{ z }^{ 2 }-yz \right] }_{ 0 }^{ 1 }dxdy } } \\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 2-y \right) dxdy } } \\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ { \left[ 2y-\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 1 }dx } \\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 3 }{ 2 } dx } \\ =\frac { 3 }{ 2 }
इस प्रकार गाॅस की डायवर्जेन्स (अपसरण) प्रमेय (Gauss divergence theorem) सत्यापित हुई।

Question-2. \int _{ s }^{ \quad }{ F.\hat { n } ds } का मान ज्ञात कीजिए
जहांF=4x\hat { i } -2{ y }^{ 2 }\hat { j } +{ z }^{ 2 }\hat { k }
तथा S,{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=4,z=0,z=3 से परिबद्ध क्षेत्र है।
(Evaluate \int _{ s }^{ \quad }{ F.\hat { n } ds } where F=4x\hat { i } -2{ y }^{ 2 }\hat { j } +{ z }^{ 2 }\hat { k } and S is the region bounded by the curve { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=4 and the planes z=0,z=3.)
Solution-F=4x\hat { i } -2{ y }^{ 2 }\hat { j } +{ z }^{ 2 }\hat { k } \\ divF=\frac { \partial }{ \partial x } \left( 4x \right) +\frac { \partial }{ \partial y } \left( -{ 2y }^{ 2 } \right) +\frac { \partial }{ \partial z } \left( { z }^{ 2 } \right) \\ =4-4y+2z
यहां x,y तथा z की सीमाएं

-2\le x\le 2,-\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } \le y\le \sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } ,0\le z\le 3
गाॅस की डायवर्जेन्स (अपसरण) प्रमेय (Gauss divergence theorem) से

\int _{ s }^{ \quad }{ F.\hat { n } ds } =\int _{ v }^{ \quad }{ divFdv } \\ =\int _{ -2 }^{ 2 }{ \int _{ -\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } }^{ \sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } }{ \int _{ 0 }^{ 3 }{ \left( 4-4y+2z \right) dxdydz } } } \\ =\int _{ -2 }^{ 2 }{ \int _{ -\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } }^{ \sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } }{ { \left[ 4z-4yz+{ z }^{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 3 } } } dxdy\\ =\int _{ -2 }^{ 2 }{ \int _{ -\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } }^{ \sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } }{ \left[ 12-12y+9 \right] } } dxdy\\ =\int _{ -2 }^{ 2 }{ { \left[ 12y-6{ y }^{ 2 }+9y \right] }_{ -\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } }^{ \sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } } } dx\\ =\int _{ -2 }^{ 2 }{ { \left[ 21y-6{ y }^{ 2 } \right] }_{ -\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } }^{ \sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } } } dx\\ =\int _{ -2 }^{ 2 }{ \left[ 21\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } -6{ \left( \sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }+21\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } +6{ \left( \sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 } \right] } dx\\ =\int _{ -2 }^{ 2 }{ \left[ 42\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } \right] } dx\\ =84{ \left[ \frac { x }{ 2 } \sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } +\frac { 4 }{ 2 } \sin ^{ -1 }{ \frac { x }{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ 2 }\\ =84\left[ 2\sin ^{ -1 }{ \frac { x }{ 2 } } \right] \\ =84.2.\frac { \pi }{ 2 } \\ =84\pi

उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा गाॅस की डायवर्जेन्स (अपसरण) प्रमेय (Gauss divergence theorem) को समझा जा सकता है।

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