1.रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Linear Differential Equations Class 12),प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का हल कक्षा 12 (Solution of Linear Differential Equation of First Order Class 12):

Linear Differential Equations Class 12

रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Linear Differential Equations Class 12) के इस आर्टिकल में प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के सवालों का हल ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Linear Differential Equations Class 12):

1 से 12 तक के प्रश्नों में,प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए:
Illustration:1. \frac{d y}{d x}+2 y=\sin x
Solution: \frac{d y}{d x}+2 y=\sin 2 x \cdots(1)
इसमें P=2, Q=\sin x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int P d x}=e^{\int 2 d x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{2 x}
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
e^{2 x} \frac{d y}{d x}+2 y e^{2 x}=e^{2 x} \sin x \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}\left(y e^{2 x}\right)=e^{2 x} \sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
\Rightarrow y e^{2 x}=\int e^{2 x} \sin x d x+c
पुनः खण्डशः समाकलन करने परः
=e^{2 x} \int \sin x d x-\int\left[\frac{d}{2 x} e^{2 x} \int \sin x d x\right] d x+C \\ =e^{2 x}(-\cos x)+2 \int e^{2 x} \cos x d x
दाएं पक्ष का खण्डशः समाकलन करने पर:
=-e^{2 x} \cos x+2 e^{2 x} \int \cos x d x-2 \int \left[\frac{d}{dx} e^{2 x} \int \cos x d x\right] d x+c \\ =-e^{2 x} \cos x+2 e^{2 x} \sin x-4 \int e^{2 x} \sin x d x+c \\ \Rightarrow y e^{2 x}=-\frac{1}{5} e^{2 x} \cos x+\frac{2}{5} e^{2 x} \sin x+c \\ \Rightarrow y=\frac{1}{5}\left(2 \sin x-\cos x\right)+c e^{-2 x}
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:2. \frac{d y}{d x} + 3 y=e^{-2 x}
Solution: \frac{d y}{d x}+3 y=e^{-2 x} \cdots(1)
यहाँ P=3, Q=e^{-2x}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int P dx}=e^{\int 3 d x} \\ \Rightarrow I.F.=e^{3 x}
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
e^{3 x} \frac{d y}{dx}+3 y e^{3 x}=e^{-2 x} \cdot e^{3 x} \\ \Rightarrow \frac{d}{dx}\left(e^{3 x} y\right)=e^x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
y e^{3 x}=\int e^x d x+c \\ \Rightarrow y e^{3 x}=e^x+c \\ \Rightarrow y=e^{-2 x}+c e^{-3 x}
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:3. \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x^2
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x^2 \cdots(1)
यहाँ P=\frac{1}{x}, Q=x^2
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int P dx}=e^{\int \frac{1}{x} d x} \\ \Rightarrow \text{ I.F.}=e^{\log x}=x
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
x \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x} \cdot x=x^2 \cdot x \\ \frac{d}{d x}(x y)=x^3
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
\Rightarrow x y=\int x^3 d x+c \\ \Rightarrow x y=\frac{x^4}{4}+c
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:4. \frac{d y}{d x}+(\sec x) y=\tan x\left(0 \leq x<\frac{\pi}{2}\right)
Solution: \frac{d y}{d x}+(\sec x) y=\tan x\left(0 \leq x<\frac{\pi}{2}\right)
यहाँ P=\sec x, Q=\tan x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int \sec x d x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\log (\sec x+\tan x)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\sec x+\tan x
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
(\sec x+\tan x) \frac{d y}{d x}+\sec x(\sec x+\tan x) y=\tan x(\sec x+\tan x) \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}[y(\sec x+\tan x)]=\sec x \tan x+\tan ^2 x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
\Rightarrow y(\sec x+\tan x)= \int \sec x \tan x d x+\int \tan ^2 x d x+c \\ = \sec x+\int\left(\sec ^2 x-1\right) d x+c \\ = \sec x+\int \sec ^2 x d x-\int 1 d x+c \\ = \sec x+\tan x-x+c \\ \Rightarrow y(\sec x+\tan x)=\sec x+\tan x-x+c
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:5. \cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x\left(0 \leq x<\frac{\pi}{2}\right)
Solution: \cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x\left(0 \leq x<\frac{\pi}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+y \sec ^2 x=\sec ^2 x \tan x \cdots(1)
यहाँ P=\sec ^2 x, Q=\sec ^2 x \tan x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int \sec ^2 x \phi x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\tan x}
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
e^{\tan x} \frac{d y}{d x}+y \sec ^2 x e^{\tan x}=\sec ^2 x \tan x \cdot e^{\tan x} \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}\left(y e^{\tan x}\right)=\sec ^2 x \tan x \cdot e^{\tan x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
\Rightarrow y e^{\tan x}=\int \sec ^2 x \tan x \cdot e^{\tan x} d x+c \\ \text{put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^2 x d x=d t \\ \Rightarrow y e^{\tan x}=\int t e^t dt+C
दाएं पक्ष का खण्डशः समाकलन करने पर:
=t \int e^t d t-\int \left[\frac{d}{d t}(t) \int e^t d t\right] d t+c \\ =t e^t-e^t+c \\ \Rightarrow y e^{\tan x}=\tan x \cdot e^{\tan x}-e^{\tan x}+C \\ \Rightarrow y=\tan x-1+C e^{-\tan x}
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:6. x\frac{dy}{dx}+2 y=x^2 \log x
Solution: x\frac{dy}{dx}+2 y=x^2 \log x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{x}=x \log x \ldots(1)
यहाँ P=\frac{2}{x}, Q=x \log x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int \frac{2}{x}} d x \\ \Rightarrow \text { I.F. }=e^{2 \log x}=e^{\log x^2} \\ \Rightarrow \text { I.F. }=x^2
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
x^2 \frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{x} \cdot x^2=x^2 \cdot x \log x \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}\left(y x^2\right)=x^3 \log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
\Rightarrow y x^2=\int x^3 \log x d x+c
दाएं पक्ष का खण्डशः समाकलन करने पर:
=\log x \int x^3 d x-\int \left[\frac{d}{d x}(\log x) \int x^3 d x\right] d x \\ =\log x \cdot \frac{x^4}{4}-\int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} d x+c \\ =\frac{x^4}{4} \log |x|-\frac{1}{4} \int x^3 d x+c \\ y x^2=\frac{1}{4} x^4 \log |x|-\frac{1}{16} x^4+C \\ \Rightarrow y=\frac{1}{4} x^2 \log |x|-\frac{1}{16} x^2+c x^{-2} \\ \Rightarrow y=\frac{x^2}{16}(4 \log |x|-1)+c x^{-2}
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:7. x \log x \frac{d y}{d x}+y=\frac{2}{x} \log x
Solution: x \log x \frac{d y}{d x}+y=\frac{2}{x} \log x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{2}{x^2} \cdots(1)
यहाँ P=\frac{1}{x \log x}, Q=\frac{2}{x^2}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int \frac{1}{x \log x} d x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\log (\log x)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\log x
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
\log x \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x} \times \log x=\frac{2}{x^2} \times \log x \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}(y \log x)=\frac{2}{x^2} \log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
y \log x=\int \frac{2}{x^2} \log x d x+c
दाएं पक्ष का खण्डशः समाकलन करने पर:
y \log x=2 \log |x| \int \frac{1}{x^2} d x-2 \int \left[\frac{d}{dx}(\log x) \int \frac{1}{x^2} d x\right] d x+c \\ =2 \log |x|\left(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}\right)-2 \int \frac{1}{x}\left(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}\right) d x+c \\ =-\frac{2}{x} \log |x|+2 \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x+c \\ =-\frac{2}{x} \log |x|+2 \int \frac{1}{x^2} d x+C \\=-\frac{2}{x} \log |x|-\frac{2}{x}+C \\ \Rightarrow y \log x=-\frac{2}{x}(1+\log |x|)+C
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:8. \left(1+x^2\right) d y+2 x y d x=\cot x d x(x \neq 0)
Solution: \left(1+x^2\right) d y+2 x y d x=\cot x d x(x \neq 0) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{1+x^2} y=\frac{\cot x}{1+x^2} \cdots(1)
यहाँ P=\frac{2 x}{1+x^2}, Q=\frac{\cot x}{1+x^2}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2 x}{1+x^2} d x} \\ \text { put } 1+x^2=t \Rightarrow 2x d x=d t \\ \text { I.F. }= e^{\int \frac{1}{t} d t}=e^{\log t}=t \\ \Rightarrow \text { I.F. }=1+x^2 \\ y \cdot (\text { I.F. })=\int (\text { I.F. }) Q \cdot d x+C सूत्र सेः
y\left(1+x^2\right)= \int\left(1+x^2\right) \cdot \frac{\cot x}{1+x^2} d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^2\right)=\int \cot x d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^2\right)=\log |\sin x|+C \\ \Rightarrow y=\left(1+x^2\right)^{-1} \log |\sin x|+C\left(1+x^2\right)^{-1}
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:9. x \frac{d y}{d x}+y-x+x y \cot x=0,(x \neq 0)
Solution: x \frac{d y}{d x}+y-x+x y \cot x=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}+y \cot x=1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\left(\frac{1}{x}+\cot x\right) y=1 \cdots(1)
यहाँ P=\frac{1}{x}+\cot x, Q=1
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\int\left(\frac{1}{x}+\cot x\right)} d x \\=e^{\log x+\log (\sin x)} \\=e^{\log (x \sin x)} \\ \Rightarrow \text{ I.F. }=x \sin x \\ y \cdot(\text{ I.F. })=\int(\text{ I.F. }) Q d x+C सूत्र सेः
y \cdot x \sin x=\int(x \sin x) \cdot 1 \cdot d x+C \\ x y \sin x=\int x \sin x d x+C
दाएं पक्ष का खण्डशः समाकलन करने पर:
\Rightarrow x y \sin x=x \int \sin x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sin x d x\right] d x+C \\ =-x \cos x+\int \cos x d x+C \\ \Rightarrow x y \sin x=-x \cos x+\sin x+C \\ \Rightarrow y=\frac{1}{x}-\cot x+\frac{c}{x \sin x}
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:10. (x+y) \frac{d y}{d x}=1
Solution: (x+y) \frac{d y}{d x}=1 \\ \Rightarrow \frac{d x}{d y}-x=y \cdots(1)
यहाँ P=-1, Q=y
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d y}=e^{\int(-1) d y} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{-y}
अतः x \cdot \text{I.F.} = \int (\text{I.F.}) Q dy+C सूत्र सेः
\Rightarrow x \cdot e^{-y}=\int e^{-y} \cdot y d y+c
दाएं पक्ष का खण्डशः समाकलन करने पर:
\Rightarrow x \cdot e^{-y}=-y \int e^{-y} d y-\int\left[\frac{d}{dy}(y) \int e^{-y} d y\right] d y+C \\ \Rightarrow x e^{-y}=-y e^{-y}-e^{-y}+C \\ \Rightarrow(x+y+1)=C e^y
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:11. y d x+\left(x-y^2\right) d y=0
Solution: y d x+\left(x-y^2\right) d y=0\\ \Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{x}{y}=y \cdots(1)
यहाँ P=\frac{1}{y}, Q=y
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d y}=e^{\int \frac{1}{y} d y}\\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\log y}=y \\ \Rightarrow \text{I.F.}=y
अतः x (\text{I.F.}) =\int( \text{I.F.}) Qdy+C सूत्र सेः
x y=\int y \cdot y d y+C \\ \Rightarrow x y=\frac{1}{3} y^3+C \\ \Rightarrow x=\frac{1}{3} y^2+\frac{c}{y}
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Illustration:12. \left(x+3 y^2\right) \frac{d y}{d x}=y(y>0)
Solution: \left(x+3 y^2\right) \frac{d y}{d x}=y \\ \Rightarrow \frac{d x}{d y}-\frac{x}{y}=3 y \cdots(1)
यहाँ P=-\frac{1}{y}, Q=3 y
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int P d y}=e^{\int \left(-\frac{1}{y}\right)} d y \\ =e^{-\log y}=e^{\log y^{-1}}=y^{-1} \\ \Rightarrow \text {I.F.}=\frac{1}{y}
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
\frac{1}{y} \frac{d x}{d y}-\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{y}=3 y \cdot \frac{1}{y} \\ \Rightarrow \frac{d}{d y}\left(\frac{x}{y}\right)=3
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
\Rightarrow \frac{x}{y}=\int 3 d y+C \\ \Rightarrow \frac{x}{y}=3 y+C \\ \Rightarrow x=3 y^2+C y
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

Linear Differential Equations Class 12

13 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
Illustration:13. \frac{d y}{d x}+2 y \tan x=\sin x ; y=0 यदि x=\frac{\pi}{3}
Solution: \frac{d y}{d x}+2 y \tan x=\sin x
यहाँ P=2 \tan x, Q=\sin x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dy}=e^{\int 2 \tan x dx} \\=e^{2 \log \sec x}=e^{\log \sec ^2 x} \\ \Rightarrow \text { I.F. }=\sec ^2 x
अतः y \cdot(I.F.) =\int(I.F.) Q d x+C सूत्र सेः
y \cdot \sec ^2 x =\int \sec ^2 x \cdot \sin x d x+C \\ =\int \sec x \tan x d x+C \\ \Rightarrow y \sec ^2 x =\sec x+C \\ y=0 , x=\frac{\pi}{3} रखने परः
0\left(\sec ^2 \frac{\pi}{3}\right)=\sec \frac{\pi}{3}+c \\ \Rightarrow 0=2+C \Rightarrow C=-2 \\ y \sec ^2 x=\sec x-2 \\ y=\cos x-2 \cos ^2 x
जो कि विशिष्ट हल है।
Illustration:14. \left(1+x^2\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{1+x^2} ; y=0 यदि x=1
Solution: \left(1+x^2\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{1+x^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{1+x^2} y=\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}
यहाँ P=\frac{2 x}{1+x^2}, Q=\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx}=e^{\int \frac{2 x}{1+x^2} d x} \\ \text{put } x^2=t \Rightarrow 2x dx=d t \\ \text{ I.F. }=e^{\int t d t}=e^{\log t}=t \\ \Rightarrow \text{ I.F. } =\left(1+x^2\right)
अतः y .(\text { I.F. })=\int(\text { I.F. }) Q d x+C सूत्र सेः
y\left(1+x^2\right)=\int\left(1+x^2\right) \cdot \frac{1}{\left(1+x^2\right)^2} d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^2\right)=\int \frac{1}{1+x^2} d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^2\right)=\tan ^{-1} x+C y=0,x=1 रखने पर:
\left(1+1^2\right)=\tan ^{-1}(1)+C \\ \Rightarrow \frac{\pi}{4}+C=0 \\ \Rightarrow C=-\frac{\pi}{4} \\ y\left(1+x^2\right)=\tan ^{-1} x-\frac{\pi}{4}
जो कि विशिष्ट हल है।
Illustration:15. \frac{d y}{d x}-3 y \cot x=\sin 2 x ;y=2 यदि x=\frac{\pi}{2}
Solution: \frac{d y}{d x}-3 y \cot x=\sin 2 x \cdots(1)
यहाँ P=-3 \cot x, Q=\sin 2 x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx}=e^{\int (-3 \cot x) dx} \\=e^{-3 \log \sin x}=e^{\log (\sin x)^{-3}} \\ \Rightarrow \text { I.F. } =\frac{1}{(\sin x)^3}=\frac{1}{\sin ^3 x}
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
\frac{1}{\sin ^3 x} \frac{d y}{d x}-\frac{3 y \cot x}{\sin ^3 x}=\frac{\sin 2 x}{\sin^3 x} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sin ^3 x} \frac{d y}{d x}-3 y \operatorname{cosec}^3 x \cot x=2 \operatorname{cosec} x \cot x \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}\left(\frac{y}{\sin ^3 x}\right)=2 \operatorname{cosec} x \cot x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
\Rightarrow y \operatorname{cosec}^3 x=2 \int \operatorname{cosec} x \cot x d x+c \\ \Rightarrow y \operatorname{cosec}^3 x=-2 \operatorname{cosec} x+c \\ y=2, x=\frac{\pi}{2} रखने पर:
2 \operatorname{cosec}^3 \frac{\pi}{2}=-2 \operatorname{cosec} \frac{\pi}{2}+C \\ \Rightarrow 2(1)^3=-2(1)+C \Rightarrow C=4 \\ \Rightarrow y \operatorname{cosec}^3 x=-2 \operatorname{cosec} x+4 \\ \Rightarrow y=4 \sin ^3 x-2 \sin ^2 x
जो कि विशिष्ट हल है।
Illustration:16.मूल बिन्दु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
Solution: \frac{d y}{d x}=x+y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-y=x \cdots(1)
यहाँ P=-1, Q=x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int P d x}=e^{(-1) dx} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{-x}
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
e^{-x} \frac{d y}{d x}-y e^{-x}=x e^{-x} \\ \frac{d y}{d x}\left(y e^{-x}\right)=x e^{-x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
y e^{-x}=\int x e^{-x} d x
दाएं पक्ष का खण्डशः समाकलन करने पर:
y e^{-x}=x \int e^{-x} d x-\int \left[\frac{d}{d x}(x) \int e^{-x} d x\right] d x+C \\ \Rightarrow y e^{-x}=-x e^{-x}-e^{-x}+C \\ \Rightarrow y e^{-x}+x e^{-x}+e^{-x}=c \\ \Rightarrow e^{-x}(x+y+1)=C \\ \Rightarrow(x+y+1)=C e^x
यह मूल बिन्दु (0,0) से गुजरता है अतः
(0+0+1)=C e^0 \Rightarrow C=1 \\ \Rightarrow(x+y+1)=e^x
जो कि अभीष्ट वक्र है।
Illustration:17.बिन्दु (0,2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता से 5 अधिक है।
Solution:प्रश्नानुसारः \frac{d y}{d x}=x+y-5 \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}-y=x-5 \cdots(1)
यहाँ P=-1, Q=x-5
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int(-1) d x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{-x}
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने परः
e^{-x} \frac{d y}{d x}-y e^{-x}=e^{-x}(x-5) \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}\left(y e^{-x}\right)=e^{-x}(x-5)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने परः
\Rightarrow y e^{-x}=\int e^{-x}(x-5) d x+C \\ \Rightarrow y e^{-x}=(x-5) \int e^{-x} d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x-5) \int e^{-x} d x\right] dx+C\\ \Rightarrow y e^{-x}=-e^{-x}(x-5)-e^{-x}+C \\ \Rightarrow(y+x-5+1) e^{-x}=C \\ \Rightarrow (x+y-4)=C e^x
यह (0,2) से गुजरता है अतः
0+2-4=c e^0 \Rightarrow C=-2 \\ \Rightarrow (x+y-4)=-2 e^x \\ \Rightarrow y=4-x-2 e^x
जो कि अभीष्ट वक्र है।
Illustration:18.अवकल समीकरण x \frac{d y}{d x}-y=2 x^2 का समाकलन गुणक है:
(A)e^{-x} (B)e^{-y} (C) \frac{1}{x} (D) x
Solution: x \frac{d y}{d x}-y=2 x^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=2 x
यहाँ P=-\frac{1}{x}, Q=2 x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int P d x}=e^{\int\left(-\frac{1}{x}\right) d x} \\ \text { I.F. }=e^{-\log x}=e^{\log (x^{-1})}=\frac{1}{x}
अतः विकल्प (C) सही है।
Illustration:19.अवकल समीकरण (1-y^2)\frac{d x}{d y}+y x=a y (-1<y<1) का समाकलन गुणक है:
(A)\frac{1}{y^2-1} (B)\frac{1}{\sqrt{y^2-1}} (C)\frac{1}{1-y^2} (D)\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}
Solution: (1-y^2) \frac{d x}{d y}+y x=a y \\ \Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{y}{1-y^2} x=\frac{a y}{1-y^2}
यहाँ P=\frac{y}{1-y^2}, Q=\frac{a y}{1-y^2}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dy} =e^{\int \frac{y}{1-y^2} d y} \\ =e^{-\frac{1}{2} \log \left(1-y^2\right)} =e^{\log \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}
अतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Linear Differential Equations Class 12),प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का हल कक्षा 12 (Solution of Linear Differential Equation of First Order Class 12) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Linear Differential Equations Class 12):

Linear Differential Equations Class 12

(1.)हल कीजिए: \sec x \frac{d y}{d x}=y+\sin x
(2.)हल कीजिए: \left(1+x^2\right) \frac{d y}{d x}+2 y x=4 x^2
उत्तर (Answers): (1.) y=C e^{\sin x}(1+\sin x)
(2.) y=\frac{4 x^3}{3\left(1+x^2\right)}-\frac{C}{\left(1+x^2\right)}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Linear Differential Equations Class 12),प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का हल कक्षा 12 (Solution of Linear Differential Equation of First Order Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Linear Differential Equations Class 12),प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का हल कक्षा 12 (Solution of Linear Differential Equation of First Order Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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आर्टिकल में प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के सवालों का हल ज्ञात करने के बारे
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