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Mathematical Inequalities

1.गणितीय असमिकाएँ (Mathematical Inequalities),असमिकाएँ (Inequalities):

  • गणितीय असमिकाएँ (Mathematical Inequalities) उन्हें कहते हैं जिनमें दोनों पक्ष बराबर नहीं हो।समीकरण में एक या अधिक चर राशियाँ होती है जिन्हें हम ज्ञात करते हैं।समीकरण के दोनों पक्ष बराबर होते हैं।इसलिए मध्य में हम बराबर या समता का चिन्ह “=” लगाते हैं।बायीं ओर के व्यंजक को वाम पक्ष तथा दायीं ओर के व्यंजक को दक्षिण पक्ष कहते हैं।यदि दोनों बराबर नहीं हों तब मध्य में > (बड़ा), (छोटा),\geq{} (बड़ा या बराबर),\leq{} (छोटा या बराबर) में से कोई एक चिन्ह लगाते हैं।इन्हें असमिकाएँ कहते हैं। असमिकाओं की सहायता से हम लंबे शाब्दिक कथनों एवं संबंधों को प्रतीकों के रूप में लिखकर गणितीय संक्रियाएं हल करते हैं। असमिकाओं का अध्ययन
  • विज्ञान,गणित,सांख्यिकी,इष्टतमकारी समस्याओं (Optimisation Problems),अर्थशास्त्र,मनोविज्ञान इत्यादि से संबंधित समस्याओं को हल करने में अत्यंत उपयोगी है। असमिकाएँ कई प्रकार की होती हैं जैसे रैखिक असमिका (Linear Inequalities),द्विघात असमिका (Quadratic Inequality) इत्यादि।असमिकाएँ
  • ax+by\leq c,ax+by\geq c,ax+by<c,ax+by<c \text{  तथा  } ax+by>y दो चर x तथा y में रैखिक असमिकाएँ कहलाती है।
  • किसी असमिका में कम से कम एक पद में चर की उच्चतम घात दो हो तब उसे द्विघात असमिका कहते हैं।जैसे:2x^2+x-15\geq{0}
    यदि P(x) तथा Q(x) बहुपद है तब असमिकाएँ
  • \frac{P(x)}{Q(x)}>0,\frac{P(x)}{Q(x)}<0,\frac{P(x)}{Q(x)}\geq{0}
  • तथा \frac{P(x)}{Q(x)}\leq को परिमेय बीजीय असमिकाएँ कहते हैं। उपर्युक्त विवरण में उल्लेख कर चुके हैं कि यह कथन कि एक राशि दूसरी राशि से छोटी या बड़ी,असमिका (Inequality) कहलाती है। यदि x बड़ा है y से तो x>y
    यदि x छोटा है y से तो x<y समान है।
  • अध्यापक असमिकाएँ पढ़ाते समय छात्रों को स्पष्ट करे कि समता का संबंध अनेक स्थितियों में नहीं पाया जाता है।वास्तव में जीवन में असमता के संबंध अधिक पाए जाते हैं।
    हमारे जीवन में अनेक स्थितियों में हमें गणितीय संबंधों को असमिका द्वारा भी व्यक्त करना पड़ता है।अध्यापक अनेक उदाहरणों द्वारा छात्रों को स्पष्ट करें कि असमिका a<b तथा असमिका b>a समान है।
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(1.)गणितीय असमिकाओं की विशेषताएँ (Characteristics of Mathematical Inequalities):

  • (i)किसी असमिका के दोनों पक्षों में कोई परिमेय संख्या जोड़ दी जाए या घटा दी जाए तो उसकी दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
  • यदि \frac{a}{b}>\frac{c}{d} तो \frac{a}{b}+x>\frac{c}{d}+x
    इसी प्रकार यदि \frac{a}{b}>\frac{c}{d} तो \frac{a}{b}-x>\frac{c}{d}-x
    (ii)किसी असमिका के दोनों पक्षों को धनात्मक परिमेय संख्या से गुणा (या भाग) करने से उसकी दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
    उदाहरण:
  • -\frac{7}{3}<-\frac{1}{2}
  • दोनों पक्षों को \frac{7}{5} गुणा करने पर:
  • \Rightarrow -\frac{49}{15}<-{7}{10}
  • (असमिका की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं आया)
  • उदाहरण:-\frac{7}{3}<-\frac{1}{2}
  • दोनों पक्षों में 6 का भाग देने पर:
  • -\frac{7}{18}<-\frac{1}{12}
  • (दिशा में कोई परिवर्तन नहीं आया)
  • (iii)किसी असमिका के दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक परिमेय संख्या से गुणा या भाग करने से उसकी दिशा विपरीत हो जाती है। उदाहरण:
  • \frac{5}{12}<\frac{9}{10}
  • दोनों पक्षों को -\frac{1}{3} से गुणा करने पर) \frac{5}{12}\left(-\frac{1}{3}\right)>\frac{9}{10}\left(-\frac{1}{3}\right)
    \Rightarrow -\frac{5}{36}>-\frac{9}{30} (दिशा में विपरीत परिवर्तन)
    उदाहरण:\frac{5}{12}÷\left(-3\right)>\frac{9}{10}÷\left(-3\right)
    \Rightarrow -\frac{5}{36}>-\frac{9}{30}
    (असमिका की दिशा विपरीत हो गई है)
    खुले वाक्य (Open Sentences) तथा असमिकाएं:
    निम्न खुले वाक्य असमिकाएँ हैं:
  • (i)^{\boxed{}}>7(ii)^{\boxed{}}+\triangle>12(iii)\triangle+^{\boxed{}}>17(iv)^{\boxed{}}+\triangle \leq18
    निम्नांकित खुले वाक्यों के हल समुच्चय दिए हुए हैं:
    खुला वाक्य हल समुच्चय
    ^{\boxed{}}>7\quad\quad\left(8,9,10,11,…\right)
    ^{\boxed{}}\geq7\quad\quad\left(8,9,10,11,…\right)
    ^{\boxed{}}+\triangle>9\quad\quad\left\{(8,2),(7,3),(6,4),(5,5),(4,6),(3,7),(2,8),…\right\}
    ^{\boxed{}^{2}}+\triangle^{2}=169\quad\quad\left\{(12,5),(12,-5),(5,12),…\right\}
    ^{\boxed{}} × \triangle=72\quad\quad\left\{(9,8),(8,9)\right\}
    ^{\boxed{}}+\triangle=21\quad\quad\left\{(20,1),(1,20),(19,2),(2,19),(3,18),(18,3),…\right\}
  • (1.)जब कोई वाक्य किसी भी प्राकृत संख्या से संतुष्ट न हो तो उसका हल समुच्चय,रिक्त समुच्चय होता है।(प्रभाव क्षेत्र प्राकृत संख्याएं हों)
  • (2.)जब दो वाक्य दिए गए हों तो प्रत्येक का हल समुच्चय ज्ञात किया जाता है।इन समुच्चयों का सर्वनिष्ठ समुच्चय (Intersection set) ही दोनों वाक्यों का हल होगा।
  • (3.)^{\boxed{}}+\triangle\leq{7} का हल समुच्चय ज्ञात करने के लिए ^{\boxed{}}+\triangle=7 तथा
  • ^{\boxed{}}+\triangle<7

के प्रत्येक के हल ज्ञात करते हैं।इस प्रकार ज्ञात हल समुच्चयों का संघ समुच्चय ज्ञात कर ^{\boxed{}}+\triangle \leq{7} का हल समुच्चय ज्ञात करते हैं।

(2.)बीजीय असमिकाओं का हल ज्ञात करने की विधि

  • (i)व्यंजक के रैखिक गुणनखंड करते हैं।
  • (ii)सभी गुणनखंडों में x के गुणांक को धनात्मक बनाते हैं।
  • (iii)सभी गुणनखंडों की शून्य से तुलना करके x के संगत मान ज्ञात करते हैं,इन मानों को क्रान्तिक बिंदु कहते हैं।
  • (iv)क्रांतिक बिंदुओं को संख्या रेखा पर आलेखित करते हैं।
  • (v)संख्या रेखा पर सबसे दायीं ओर व्यंजक धनात्मक होगा एवं अन्य भागों में एकांतर रूप से धनात्मक एवं ऋणात्मक होगा।इसलिए सबसे दायीं ओर धनात्मक का चिन्ह आलेखित करते हैं।
  • (vi)पद (v) में उचित भाग का चयन करके दिए गए व्यंजक का हल क्षेत्र ज्ञात करते हैं। उपर्युक्त विवरण में गणितीय असमिकाएँ (Mathematical Inequalities) के बारे में बताया गया है।

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(3.)गणितीय असमिकाओं के सवाल (Mathematical Inequalities Questions):

  • निम्नलिखित असमिकाओं को बीजगणितीय विधि द्वारा हल कीजिए:
  • Example:1.x^2-9\leq{0}
  • Solution:x^2-9\leq{0}
  • \Rightarrow (x-3)(x+3)\leq{0}
  • यहां पर निम्नलिखित दो स्थितियां संभव है:
  • (i)x+3\geq{0} तथा x-3\leq{0}
  • (ii)x+3\leq{0} तथा x-3\geq{0}
  • स्थिति (i) के लिए x+3\geq{0}
  • \Rightarrow x\geq{-3}
  • तथा x-3\leq{0}
  • \Rightarrow x\leq{3}
  • उपयुक्त स्थिति का हल \leq x\leq{3} संभव है। स्थिति (ii) के लिए x+3\leq{0}
  • \Rightarrow x\leq{-3}
  • तथा x-3\geq{0}
  • \Rightarrow x\geq{3}
  • उपयुक्त स्थिति में हल संभव नहीं है।अतः दी गई असमिका का हल -3\leq{x}\leq{3} होगा।
  • Example:2.x^2+4x-21>0
    Solution:x^2+4x-21>0
    \Rightarrow x^2+7x-3x-21>0
    \Rightarrow x(x+7)-3 (x+7)>0
    \Rightarrow (x-3) (x+7)>0
  • \Rightarrow \text{अतः} x>3\text { तथा } x<-7
  • Example:3.x^2+10x+24\leq{0}
    Solution:x^2+10x+24\leq{0}
    \Rightarrow x^2+6x+4x+24\leq{0}
    \Rightarrow x(x+6)+4(x+6)\leq{0}
    \Rightarrow (x+4) (x+6)\leq{0}
    यहां पर निम्नलिखित दो स्थितियां संभव है:
    (i)x+4\geq{0} तथा x+6\geq{0}
    (ii)x+4\leq{0} तथा x+6\leq{0}
    स्थिति (i) के लिए:
    x+4\geq{0}
    \Rightarrow x\geq{-4}
    तथा x+6\geq{0}
    \Rightarrow x\geq{-6}
    उपयुक्त स्थिति का हल x\geq{-6} संभव है।
    स्थिति (ii) के लिए:
    x+4\leq{0}
    \Rightarrow x\leq{-4}
    तथा x+6\leq{0}
    \Rightarrow x\leq{-6}
    जिसका हल x\geq{-4} संभव है।
    अतः दी गई असमिका का हल -6\leq{x}\leq{-4} होगा।
  • उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणितीय असमिकाएँ (Mathematical Inequalities) को समझ सकते हैं।

(4.)गणितीय असमिकाएँ के सवाल (Mathematical Inequalities Questions):

  • निम्नलिखित असमिकाओं को बीजगणितीय विधि द्वारा हल कीजिए:
    (1.)x^2+3x-18\geq{0}
    (2.)x^2-4\leq{0}
    उत्तर (Answers):(1.)x\geq{3} तथा x\leq{-6}
    (2.)-2\leq{x}\leq{2}
  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणितीय असमिकाएँ (Mathematical Inequalities) को ठीक से समझ सकते हैं।

2.गणितीय असमिकाएँ (Mathematical Inequalities) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:2.गणित में असमिका के प्रकार क्या हैं? (What are the types of inequality in math?):

उत्तर:असमिका दो अभिव्यक्तियों के बीच एक गणितीय संबंध है और इसका प्रतिनिधित्व निम्नलिखित में से एक का उपयोग करके किया जाता है:
≤:”से कम या बराबर (less than or equal to)”
<:”से कम (less than)”
≠”के बराबर नहीं (not equal to)”
: “से अधिक (greater than)”
≥:”से अधिक या बराबर (greater than or equal to)

प्रश्न:3.गणित में असमानता का एक उदाहरण क्या है? (What is an example of inequality in math?):

उत्तर:असमिकाओं को हल करें
प्रतीक शब्द उदाहरण> x + 3 >2<28 < से कम 7x से अधिक या बराबर 5≥ x − 1≤ से कम या बराबर 2y+ 1 ≤ 7

प्रश्न:4.चार प्रकार की असमानताएं क्या हैं? (What are the four types of inequalities?):

उत्तर:असमानता के पांच प्रकार
राजनीतिक असमानता (political inequality);
अलग जीवन परिणाम (differing life outcomes);
अवसर की असमानता (inequality of opportunity);
उपचार और जिम्मेदारी (treatment and responsibility);
राष्ट्र,विश्वास और परिवार के क्षेत्रों में सदस्यता की साझा समानता (shared equality of membership in the areas of nation,faith and family)।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणितीय असमिकाएँ (Mathematical Inequalities) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Mathematical Inequalities

गणितीय असमिकाएँ (Mathematical Inequalities)

Mathematical Inequalities

गणितीय असमिकाएँ (Mathematical Inequalities) उन्हें कहते हैं जिनमें दोनों पक्ष बराबर नहीं हो।
समीकरण में एक या अधिक चर राशियाँ होती है जिन्हें हम ज्ञात करते हैं।समीकरण के दोनों पक्ष बराबर होते हैं।इसलिए मध्य में हम बराबर या

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