1.समघातीय अवकल समीकरण 12वीं (Homogeneous Differential Equation 12th),समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations):

Homogeneous Differential Equation 12th

समघातीय अवकल समीकरण 12वीं (Homogeneous Differential Equation 12th) के इस आर्टिकल में समघातीय अवकल समीकरणों के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.समघातीय अवकल समीकरण 12वीं के साधित उदाहरण (Homogeneous Differential Equation 12th Solved Illustrations):

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए:
Illustration:1. \left(x^2+x y\right) d y=\left(x^2+y^2\right) d x
Solution: \left(x^2+x y\right) d y=\left(x^2+y^2\right) d x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x^2+y^2}{x^2+x y} \cdots(1) \\ f(x, y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+x y} \\ f(\lambda x, \lambda y)=\frac{(\lambda x)^2+(\lambda y)^2}{(\lambda x)^2+\lambda x \cdot \lambda y} \\ =\frac{\lambda^2\left(x^2+y^2\right)}{\lambda^2\left(x^2+x y\right)} \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^0 \frac{\left(x^2+y^2\right)}{x^2+x y} \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^0 f(x, y)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना y=v \cdot x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर
\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2+v^2 x^2}{x^2+x \cdot v x} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2\left(1+v^2\right)}{x^2(1+v)}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^2-v-v^2}{1+v} \\ \Rightarrow\left(\frac{1+v}{1-v}\right) d v=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow\left(-1+\frac{2}{1-v}\right) d v=\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\Rightarrow \int\left(-1+\frac{2}{1-v}\right) d v=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow-v-2 \log (1-v)=\log x+\log c \\ \Rightarrow \log Cx(1-v)^2=-v \\ \Rightarrow C x\left(1-\frac{y}{x}\right)^2=e^{-\frac{y}{x}} \quad\left[\because v=\frac{y}{x}\right] \\ \Rightarrow C(x-y)^2=x e^{-\frac{y}{x}}
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Illustration:2. y^{\prime}=\frac{x+y}{x}
Solution: y^{\prime}=\frac{x+y}{x} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x} \cdots(1) \\ f(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x} \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda^0(x+y)}{x}=\lambda^0 f(x, y)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर
v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x+v x}{x} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=1+v-v \\ \Rightarrow dv=\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\int d v=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow v=\log x+\log c \\ \Rightarrow \log c x=\frac{y}{x} \quad \left[\because v=\frac{y}{x}\right] \\ \Rightarrow c x=e^{\frac{y}{x}}
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Illustration:3. (x-y)dy-(x+y)dx=0
Solution: (x-y) d y-(x+y) d x=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y} \cdots(1)
माना f(x, y)=\frac{x+y}{x-y} \\ f(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x - \lambda y}=\lambda^0\left(\frac{x+y}{x-y}\right) \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^0 f(x, y)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर
v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x+vx}{x-v x} \\ \Rightarrow \frac{x d v}{d x}=\frac{x(1+v)}{x(1-v)}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v-v+v^2}{1-v} \\ \Rightarrow \frac{(1-v)}{1+v^2}=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{2 v}{1+v^2}+\frac{1}{1+v^2}\right) d v \frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\Rightarrow -\frac{1}{2} \int \frac{2 v}{1+v^2} dv+\int \frac{1}{1+v^2} dv=\int \frac{d x}{x}  \\ \Rightarrow -\frac{1}{2} \log \left(1+v^2\right)+\tan ^{-1} v=\log x+c \\ \Rightarrow -\frac{1}{2} \log \left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)=\log x+c \left[ \because v=\frac{y}{x} \right] \\ \Rightarrow -\log \left(x^2+y^2\right)+\log x+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) =\log x+c \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=\log \left(x^2+y^2\right)+c
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Illustration:4. \left(x^2-y^2\right) d x+2 x y d y=0
Solution: \left(x^2-y^2\right) d x+2 x y d y=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^2-x^2}{2 x y} \cdots(1) \\ f(x, y)=\frac{y^2-x^2}{2 x y} \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda^2 y^2-\lambda^2 x^2}{2 \lambda x \cdot \lambda y}=\frac{\lambda^0\left(y^2-x^2\right)}{2 x y} \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^0 f(x, y)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर
\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2 x^2-x^2}{2 x \cdot v x} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2\left(v^2-1\right)}{x^2 \cdot 2 v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2-1-2 v^2}{2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\frac{\left(1+v^2\right)}{2 v} \\ \Rightarrow\left(\frac{2 v}{1+v^2}\right) d v=\frac{-d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\int \frac{2 v}{1+v^2} d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log \left(1+v^2\right)=-\log x +\log C \\ \Rightarrow \log \left(1+v^2\right)=\log \frac{C}{x} \\ \Rightarrow 1+v^2=\frac{C}{x} \\ \Rightarrow \frac{x^2+y^2}{x^2}=\frac{C}{x} \\ \Rightarrow x^2+y^2=C x
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Illustration:5. x^2 \frac{d y}{d x}=x^2-2 y^2+x y
Solution: x^2 \frac{d y}{d x}=x^2-2 y^2+x y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x^2-2 y^2+x y}{x^2} \cdots(1)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना f(x, y)=\frac{x^2-2 y^2+x y}{x^2} \\ f(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda^2 x^2-2 \lambda^2 y^2+\lambda^2 x y}{2 \lambda^2 x^2} \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)= \frac{\lambda^0 \left(x^2-2 y^2+x y\right)}{2 x^2}=\lambda^0 f(x, y)

अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर
v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2-2 v^2 x^2+x \cdot vx}{x^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}= \frac{x^2\left(1-2 v^2+v\right)}{x^2}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=1-2 v^2+ v-v \\ \Rightarrow \frac{d v}{1-2 v^2}=\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\Rightarrow \int \frac{d v}{1-2 v^2}=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{1+\sqrt{2} v}{1-\sqrt{2} v}\right|=\log |x|+c \\ \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{x+\sqrt{2} y}{x-\sqrt{2} y}\right|=\log |x|+c\left[\because v=\frac{y}{x}\right]
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Illustration:6. x d y-y d x=\sqrt{x^2+y^2} d x
Solution: x d y-y d x=\sqrt{x^2+y^2} d x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}
माना f(x, y)=\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x} \\ f(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda y+\sqrt{\lambda^2 x^2+\lambda^2 y^2}}{\lambda^x} \\ =\lambda^0\left[\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}\right] \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^0 f\left(x,y\right)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर
v+x \frac{dv}{d x}=\frac{v x+\sqrt{x^2+v^2 x^2}}{x} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{x v+x \sqrt{x^2\left(1+v^2\right)}}{x}-v \\ =v+\sqrt{1+v^2}-v \\ \Rightarrow \frac{d v}{\sqrt{1+v^2}}=\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\int \frac{d v}{\sqrt{1+v^2}}=\int \frac{d x}{x} \\ \log \left(v+\sqrt{1+v^2}\right)=\log x+\log c \\ \Rightarrow v+\sqrt{1+v^2}=c x \\ \Rightarrow \frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=c x \quad\left[ \because v=\frac{y}{x}\right] \\ \Rightarrow y+\sqrt{x^2+y^2}=c x^2
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Illustration:7. \left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y d x=\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x d y
Solution: \left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y d x=\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x d y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\left[x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y\sin \left(\frac{y}{x}\right)\right] y}{\left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] x} \cdots(1)
माना f(x, y)=\frac{\left[x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y\sin \left(\frac{y}{x}\right)\right] y}{\left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] x} \\ f(\lambda x, \lambda y)=\frac{\left[\lambda x \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)+\lambda y \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)\right] \lambda y}{\left[\lambda y \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)-\lambda x \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)\right] \lambda x} \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^0 f(x, y)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर
v+x \frac{d v}{d x}=\frac{\left[x \cos \left(\frac{v x}{x}\right)+v x \sin \left(\frac{v x}{x}\right)\right] v x}{\left[v x \sin \left(\frac{v x}{x}\right)-x \cos \left(\frac{v x}{x}\right)\right] x} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v x^2}{x^2}\left[\frac{\cos v+v \sin v}{v \sin -\cos v}\right] -v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^2 \sin v-v^2 \sin v+v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ \Rightarrow \frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v} d v=2 \frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\int \tan v d v-\int \frac{1}{v} d v=2 \int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow -\log \cos v-\log v=2 \log x+\log C \\ \log C x^2 v \cos v=0 \\ C x^2 v \cos v=1 \\ C x^2 \cdot \frac{y}{x} \cos \left|\frac{y}{x}\right|=1 \quad \left[\because v=\frac{y}{x}\right] \\ \Rightarrow Cxy \cos \left|\frac{y}{x}\right|=1
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Illustration:8. x \frac{d y}{d x}-y+x \sin \left(\frac{y}{x}\right)=0
Solution: x \frac{d y}{d x}-y+x \sin \left(\frac{y}{x}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y-x \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x}
माना f(x, y)=\frac{y-x \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x} \\ f(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda y-\lambda x \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)}{\lambda x} \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^0\left[\frac{y-x \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x}\right]=\lambda^0 f(x, y)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना \int y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर
v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x-x \sin \left(\frac{v x}{x}\right)}{x} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}= \frac{x(v-\sin v)}{x}-v \\ \Rightarrow x\frac{dv}{d x}=v-\sin v-v \\ \Rightarrow \frac{d v}{\sin v}=-\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\int \frac{d v}{\sin v}=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \operatorname{cosec} v d v=-\log x+\log C \\ \Rightarrow \log (\operatorname{cosec} v-\cot v)=\log \frac{C}{x} \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} -\cot v=\frac{C}{x} \\ \Rightarrow \frac{1-\cos v}{\sin v}=\frac{C}{x} \\ \Rightarrow x\left[1-\cos \left(\frac{y}{x}\right)\right]=C \sin \left(\frac{y}{x}\right)\left[\because v=\frac{y}{x}\right]
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Illustration:9. y d x+x \log \left(\frac{y}{x}\right) d y-2 x d y=0
Solution: y d x+x \log \left(\frac{y}{x}\right) d y-2 x d y=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{y}{2 x-x \log \left(\frac{y}{x}\right)}
माना f(x, y) =\frac{y}{2 x-x \log \left(\frac{y}{x}\right)} \\ f(\lambda x, \lambda y) =\frac{\lambda y}{2 \lambda x-\lambda x \log \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)} \\ =\lambda^0\left[\frac{y}{2 x-x \log \left(\frac{y}{x}\right)}\right] \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y) =\lambda^0 f(x, y)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर
v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x}{2 x-x \log \left(\frac{v x}{x}\right)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v x}{x(2-\log v)}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-2 v+v \log v}{2-\log v} \\ \Rightarrow \frac{2-\log v}{-v+v \log v}d v=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1-\log v+1}{-v(1-\log v)} d v=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \left(-\frac{1}{v}+\frac{1}{v(\log v-1)}\right) d v=\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\Rightarrow -\int \frac{1}{v} d v+\int \frac{1}{v(\log v-1)} d v=\frac{dx}{x} \\ \text{put} \log v-1=u \Rightarrow \frac{1}{v} d v=d u \\ \Rightarrow -\log v+\int \frac{1}{u} du=\log x+\log C \\ \Rightarrow -\log v+\log u=\log C x \\ \Rightarrow \log \frac{u}{v}=\log C x \\ \Rightarrow \frac{\log v-1}{v}=C x \\ \Rightarrow \frac{\log \left(\frac{y}{x}\right)-1}{\frac{y}{x}}=C x \\ \Rightarrow \log \left(\frac{y}{x}\right)-1=C y
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Illustration:10 \left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) d x+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy=0
Solution: \left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) d x+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy=0 \\ \frac{dx}{dy}=-\frac{e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right)} \cdots(1)
माना f(x, y)=-\frac{e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right)} \\ f(\lambda x, \lambda y) =-\frac{e^{\frac{\lambda x}{\lambda y}}\left(1-\frac{\lambda x}{x y}\right)}{\left(1+ e^{\frac{\lambda x}{\lambda y}}\right)} \\ =-\lambda^0 \frac{e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right)} \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^0 f(x,y)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
माना x=v y \Rightarrow \frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}
उक्त मान (1) में रखने पर
v+y \frac{d v}{d y}=\frac{-e^{v y}\left(1-\frac{v y}{y}\right)}{\left(1+e^{\frac{vy}{y}}\right)} \\\Rightarrow y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v(1-v)}{\left(1+e^v\right)}-v \\ \Rightarrow y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v+v e^v-v-v e^v}{1+e^v} \\ \Rightarrow \frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\frac{d y}{y}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\Rightarrow \int \frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\int \frac{d y}{y} \\ \text { Put } v+e^v=t \Rightarrow\left(1+e^v\right) d v=d t \\ \Rightarrow \int \frac{1}{t} d t=-\log y+\log C \\ \Rightarrow \log t=\log \left(\frac{C}{y}\right) \\ \Rightarrow \log \left(v+e^v\right)=\log \left(\frac{C}{y}\right) \\ \Rightarrow v+e^v=\frac{C}{y} \\ \Rightarrow x+e^{\frac{x}{y}}=\frac{C}{y} \\ \Rightarrow x+y e^{\frac{x}{y}}=C
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

Homogeneous Differential Equation 12th

11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
Illustration:11.(x+y)dy+(x-y)dx=0;y=1 यदि x=1
Solution:(x+y)dy+(x-y)dx=0;y=1 यदि x=1
\Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(x-y)}{x+y} \cdots(1) \\ \text { put } y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर:
\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{(x-v x)}{x+v x} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{x(-1+v)}{x(1+v)}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-1+v-v-v^2}{1+v} \\ \Rightarrow \frac{1+v}{1+v^2}=-\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\Rightarrow \int \frac{1}{1+v^2} d v+\int \frac{v}{1+v^2} d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \tan ^{-1} v+\frac{1}{2} \log \left(1+v^2\right)=-\log x+C \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right) +\frac{1}{2} \log \left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)+\log x=C \quad \left[\because v=\frac{y}{x} \right] \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right)=C
Put y=1 यदि x=1
C=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \log 2 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)+\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \log 2 \\ \Rightarrow 2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\log \left(x^2+y^2\right)=\frac{\pi}{2}+\log 2
Illustration:12. x^2 d y+\left(x y+y^2\right) d x=0 ; y=1 यदि x=1
Solution: x^2 d y+\left(x y+y^2\right) d x=0 ; y=1 यदि x=1
\Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\left(x y+y^2\right)}{x^2} \cdots(1) \\ \text{Put } y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर:
v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{\left(x \cdot v x+v^2 x^2\right)}{x^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2\left(-v-v^2\right)}{x^2}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-v-v^2-v \\ \Rightarrow \frac{d v}{v^2+2 v}=-\frac{d x}{x}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{v+2} d v+\frac{1}{2 v} d v=-\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
-\frac{1}{2} \int \frac{1}{v+2} d v+\frac{1}{2} \int \frac{1}{v} d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow -\frac{1}{2} \log (v+2)+\frac{1}{2} \log v=-\log x+\log C \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log \left(\frac{v}{v+2}\right)+\log x=\log C \\ \Rightarrow \log \left(\sqrt{\frac{v}{v+2}}\right) x=\log C \\ \sqrt{\frac{v}{v+2}} x=C \\ \Rightarrow \sqrt{\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+2}} \cdot x=C \\ \Rightarrow \sqrt{\frac{y}{y+2 x}} \cdot x=C
Put y=1 यदि x=1
\Rightarrow C=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \sqrt{\left(\frac{y}{y+2 x}\right)} x=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow(y+2 x)=3 x^2 y
Illustration:13. \left[x \sin ^2\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] d x+x d y=0 ; y=\frac{\pi}{4} यदि x=1
Solution: \left[x \sin ^2\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] d x+x d y=0 ; y=\frac{\pi}{4} यदि x=1
\Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\left(x \sin ^2\left(\frac{y}{x}\right)-y\right)}{x} \cdots(1) \\ \text { put } y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर:
v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{\left(x \sin ^2\left(\frac{v x}{x}\right)-v x\right)}{x} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{x\left(-\sin ^2 v+v\right)}{x}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\sin ^2 v+v-v \\ \Rightarrow -\frac{d v}{\sin ^2 v}=\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
-\int \operatorname{cosec}^2 v d v=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \cot v=\log x+c \\ \Rightarrow \cot \left(\frac{y}{x}\right)=\log x+c \quad\left[\because v=\frac{y}{x}\right]
जब y=\frac{\pi}{4} यदि x=1 रखने पर:
\cot \frac{\pi}{4}=\log 1+C \Rightarrow c=1 \\ \Rightarrow \cot \left(\frac{y}{x}\right)=\log x+1 \\ \Rightarrow \cot \left(\frac{y}{x}\right)=\log x+\log e^{e} \\ \Rightarrow \cot \left(\frac{y}{x}\right)=\log (e x)
Illustration:14. \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}+\operatorname{cosec}\left(\frac{y}{x}\right) ; y=0 यदि x=1
Solution: \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}+\operatorname{cosec}\left(\frac{y}{x}\right) ; y=0 यदि x=1
\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\operatorname{cosec}\left(\frac{y}{x}\right) \\ \text{put } y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर:
v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x}{x}+\operatorname{cosec}\left(\frac{v x}{x}\right) \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=v+\operatorname{cosec} v-v \\ \Rightarrow \frac{d v}{\operatorname{cosec} v}=\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\Rightarrow \int \sin v d v=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow-\cos v=\log x+C \\ \Rightarrow-\cos\left(\frac{y}{x}\right)=\log x+C \quad\left[\because v=\frac{y}{x}\right]
y=0,x=1 रखने पर:
\Rightarrow-\cos 0=\log 1+C \Rightarrow C=-1 \\ \Rightarrow-\cos \left(\frac{y}{x}\right)=\log x+1 \\ \Rightarrow-\cos \left(\frac{y}{x}\right)=\log x+\log _e e\left[ \because 1=\log _e e\right] \\ \Rightarrow -\cos \left(\frac{y}{x}\right)=\log (e x)
Illustration:15. 2 x y+y^2-2 x^2 \frac{d y}{d x}=0 ; y=2 यदि x=1
Solution: 2 x y+y^2-2 x^2 \frac{d y}{d x}=0 ; y=2 यदि x=1
\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 x y+y^2}{2 x^2} \cdots(1) \\ \text{Put} y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
उक्त मान (1) में रखने पर:
v+x \frac{d v}{d u}=\frac{2 x \cdot v x+v^2 x^2}{2 x^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2\left(2 v+v^2\right)}{2 x^2}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v+v^2-2 v}{d x^2} \\ \Rightarrow \frac{d v}{v^2}=\frac{d x}{2 x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\Rightarrow \int v^2 d v=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow-\frac{1}{v}=\frac{1}{2} \log x+C \\ \Rightarrow-\frac{x}{y}=\frac{\log x+C}{2}\left[\because v=\frac{y}{x}\right]
y=2,x=1 रखने पर:
-\frac{1}{2}=\log 1+C \Rightarrow C=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow-\frac{x}{y}=\frac{1}{2} \log x-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow y=\frac{2 x}{1-\log |x|}(x \neq 0, x \neq c)
Illustration:16. \frac{dx}{dy}=h \left( \frac{x}{y} \right) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है:
(A) y=v x (B) v=y x (C) x=v y (D) x=v
Solution:x=vy प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः विकल्प (C) सही है।
Illustration:17.निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है:
(A) (4 x+6 y+5) d y-(3 y+2 x+4) d x=0 (B)(x y) d x-\left(x^3+y^3\right) d y=0
(C) \left(x^3+2y^2\right) dx+2xy dy=0 (D) y^2 dx+\left(x^2-xy-y^2\right) d y=0
Solution: y^2 d x+\left(x^2-x y-y^2\right) d y=0 \\ \frac{d y}{d x}=-\frac{y^2}{x^2-x y-y^2}
माना f(x, y)=\frac{-y^2}{x^2-x y-y^2} \\ f(\lambda x, \lambda y)=\frac{-\lambda^2 y^2}{\lambda^2 x^2-\lambda^2+\lambda y-\lambda^2 y^2} \\ =\lambda^0\left(\frac{-y^2}{x^2-x y-y^2}\right) \\ \Rightarrow f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^0 f(x, y)
अतः f(x,y) शून्य घात का अवकल समीकरण है।
फलतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघातीय अवकल समीकरण 12वीं (Homogeneous Differential Equation 12th),समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.समघातीय अवकल समीकरण 12वीं पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Homogeneous Differential Equation 12th):

Homogeneous Differential Equation 12th

(1.)हल कीजिए: \frac{d y}{d x}=\frac{3 x y+y^2}{3 x^2}
(2.)हल कीजिए: \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\sin \left(\frac{y}{x}\right)
उत्तर (Answers): (1.)-\frac{x}{y}=\frac{1}{3} \log |x|+C
(2.)\tan \left(\frac{y}{2 x}\right)=C x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघातीय अवकल समीकरण 12वीं (Homogeneous Differential Equation 12th),समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समघातीय अवकल समीकरण 12वीं (Frequently Asked Questions Related to Homogeneous Differential Equation 12th),समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समघातीय अवकल समीकरण 12वीं (Homogeneous Differential Equation 12th) के इस
आर्टिकल में समघातीय अवकल समीकरणों के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।