Menu

Integration by Parts in Mathematics

1.गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics)-

गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) की थ्योरी का वर्णन पूर्व में खण्डश: समाकलन वाले आर्टिकल में किया जा चुका है। इसलिए इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व उस आर्टिकल को पढ़ना चाहिए।इस आर्टिकल में गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) को कुछ सवालों को हल करके समझेंगे। गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) में प्रथम व द्वितीय फलन का चयन करना होता है। इसके लिए हम ILATEC के आधार पर प्रथम व द्वितीय फलन का चयन करेंगें।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें ।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं। इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Integration by substitution

2.गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) पर आधारित सवाल-

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए-
Question-1.{ x }^{ 3 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }
Solution-I=\int { { x }^{ 3 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 } } dx\\ I={ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }\int { { x }^{ 3 } } dx-\int { \left[ \frac { d }{ dx } { \left( \log { x } \right) }^{ 3 }\int { { x }^{ 3 } } dx \right] } dx\\ I={ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }.\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } -\int { \frac { 3{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 } }{ x } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 4 } \int { { x }^{ 3 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 } } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 4 } { \left( \log { x } \right) }^{ 2 }\int { { x }^{ 3 } } dx+\frac { 3 }{ 4 } \int { \left[ \frac { d }{ dx } { \left( \log { x } \right) }^{ 2 }\int { { x }^{ 3 } } dx \right] } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 4 } { \left( \log { x } \right) }^{ 2 }.\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } \int { \frac { 2\left( \log { x } \right) }{ x } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 8 } \int { { x }^{ 3 }\left( \log { x } \right) } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 8 } \log { x } \int { { x }^{ 3 } } dx-\frac { 3 }{ 8 } \int { \left[ \frac { d }{ dx } \log { x } \int { { x }^{ 3 } } dx \right] } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 8 } \log { x } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } -\frac { 3 }{ 8 } \int { \frac { 1 }{ x } } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 32 } { x }^{ 4 }.\log { x } -\frac { 3 }{ 32 } \int { { x }^{ 3 } } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 32 } { x }^{ 4 }.\log { x } -\frac { 3 }{ 32 } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +c\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 32 } { x }^{ 4 }.\log { x } -\frac { 3 }{ 128 } { x }^{ 4 }+c\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \left[ { \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 4 } { \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 8 } \log { x } -\frac { 3 }{ 32 } \right] +c

Question-2.\tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1-x }{ 1+x } } \right) }
Solution-I=\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1-x }{ 1+x } } \right) } dx }
putx=cos\theta \quad \Rightarrow \theta =\cos ^{ -1 }{ x } \\ dx=-sin\theta d\theta \\ I=\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 1+cos\theta } } \right) } .\left( -sin\theta \right) } d\theta \\ I=-\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1-\left( 1-2{ sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } \right) }{ 1+2{ cos }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } -1 } } \right) } sin\theta } d\theta \\ I=-\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { { sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } }{ { cos }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } } \right) } sin\theta } d\theta \\ I=-\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \tan { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } sin\theta } d\theta \\ I=-\int { \frac { \theta }{ 2 } .sin\theta } d\theta \\ I=-\frac { \theta }{ 2 } \int { sin\theta d\theta } +\frac { 1 }{ 2 } \int { \left[ \frac { d }{ d\theta } \left( \theta \right) \int { sin\theta d\theta } \right] } d\theta \\ I=\frac { \theta }{ 2 } .cos\theta -\frac { 1 }{ 2 } \int { cos\theta d\theta } \\ I=\frac { \cos ^{ -1 }{ x } }{ 2 } .cos\left( \cos ^{ -1 }{ x } \right) -\frac { 1 }{ 2 } sin\theta +c\\ I=\frac { x }{ 2 } \cos ^{ -1 }{ x } -\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +c

Question-3.\frac { x.\sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }
Solution-I=\int { \frac { x.\sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } } dx\\ I=x\int { \frac { \sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( x \right) \int { \frac { \sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dx } \right] } dx

put \sin ^{ -1 }{ x } =t\quad \Rightarrow \frac { 1 }{ { \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } } dx=dt\\ I=x\int { t } dt-\int { \left[ 1.\int { t } dt \right] } dx\\ I=x.\frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } -\int { \frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } dx } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } \int { { \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 } } dx

put x=sin\theta \quad \Rightarrow \theta =\sin ^{ -1 }{ x } \\ dx=cos\theta d\theta \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } \int { { \left( \theta \right) }^{ 2 } } cos\theta d\theta \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } { \theta }^{ 2 }\int { cos\theta d\theta } +\frac { 1 }{ 2 } \int { \left[ \frac { d }{ d\theta } { \theta }^{ 2 }\int { cos\theta d\theta } \right] } d\theta \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { { \theta }^{ 2 } }{ 2 } sin\theta +\frac { 1 }{ 2 } \int { 2\theta .sin\theta } d\theta \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }+\theta \int { sin\theta } d\theta -\int { \left[ \frac { d }{ d\theta } { \theta }\int { sin\theta d\theta } \right] d\theta } \\ I=-\theta .cos\theta +\int { cos\theta } d\theta \\ I=-\sin ^{ -1 }{ x } .cos\left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) +sin\theta +c\\ I=-\sin ^{ -1 }{ x } .\left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) +x+c\\ I=-\left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) .\sin ^{ -1 }{ x } +x+c

 

Question-4.{ e }^{ x }\left( cotx+logsinx \right)
Solution-I=\int { { e }^{ x }\left( cotx+logsinx \right) dx } \\ I=\int { { e }^{ x }cotxdx } +\int { { e }^{ x }logsinx } dx\\ I={ e }^{ x }\int { cotxdx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( { e }^{ x } \right) \int { cotx } dx \right] } dx+\int { { e }^{ x }logsinx } dx\\ I={ e }^{ x }\log { sinx } -\int { { e }^{ x }logsinx } dx+\int { { e }^{ x }logsinx } dx+c\\ I={ e }^{ x }\log { sinx } +c

Question-5.{ e }^{ x }{ \left( \frac { 1-x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }
Solution-I=\int { { e }^{ x }{ \left( \frac { 1-x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }dx } \\ I=\int { { e }^{ x }\left[ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } -\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \right] dx } \\ I=\int { { e }^{ x }.\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx } -\int { { e }^{ x }.\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } \\ I=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \int { { e }^{ x }dx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) \int { { e }^{ x }dx } \right] dx } -\int { { e }^{ x }.\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } \\ I=\frac { { e }^{ x } }{ 1+{ x }^{ 2 } } +\int { { e }^{ x }.\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } -\int { { e }^{ x }.\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } +c\\ I=\frac { { e }^{ x } }{ 1+{ x }^{ 2 } } +c

Question-6.{ e }^{ x }\left[ \log { x } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right]
Solution-I=\int { { e }^{ x }\left[ \log { x } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right] dx } \\ I=\int { { e }^{ x }\log { x } dx } +\int { { e }^{ x }.\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } dx } \\ I=\log { x } \int { { e }^{ x }dx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( \log { x } \right) \int { { e }^{ x }dx } \right] dx } +\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } \\ I={ e }^{ x }\log { x } -\int { \frac { 1 }{ x } .{ e }^{ x }dx } +\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } \\ I={ e }^{ x }\log { x } -\frac { 1 }{ x } \int { { e }^{ x }dx } +\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( \frac { 1 }{ x } \right) \int { { e }^{ x }dx } \right] } +\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } \\ I={ e }^{ x }\log { x } -\frac { { e }^{ x } }{ x } -\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } +\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } +c\\ I={ e }^{ x }\log { x } -\frac { { e }^{ x } }{ x } +c\\ I={ e }^{ x }\left( \log { x } -\frac { 1 }{ x } \right) +c
Question-7.cos2\theta .\log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) }
Solution-cos2\theta .\log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) }
I=\int { cos2\theta .\log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) } d\theta } \\ I=\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } \int { cos2\theta d\theta } -\int { \left[ \frac { d }{ d\theta } \log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) } \int { cos2\theta } d\theta \right] d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } -\int { \left[ \frac { 2 }{ { \left( cos\theta -sin\theta \right) }^{ 2 } } .\frac { cos\theta -sin\theta }{ cos\theta +sin\theta } .\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta \right] d\theta }

because \frac { d }{ d\theta } \log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) } =\frac { cos\theta -sin\theta }{ cos\theta +sin\theta } .\frac { \left( cos\theta -sin\theta \right) \left( -sin\theta +cos\theta \right) -\left( -sin\theta -cos\theta \right) \left( cos\theta +sin\theta \right) }{ { \left( cos\theta -sin\theta \right) }^{ 2 } }

=\frac { cos\theta -sin\theta }{ cos\theta +sin\theta } .\frac { { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta -2sin\theta cos\theta +{ sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta +2sin\theta cos\theta }{ { \left( cos\theta -sin\theta \right) }^{ 2 } } \\ =\frac { cos\theta -sin\theta }{ cos\theta +sin\theta } .\frac { 2 }{ { \left( cos\theta -sin\theta \right) }^{ 2 } } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } -\int { \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }\theta -{ sin }^{ 2 }\theta } sin2\theta d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } -\int { \frac { sin2\theta }{ cos2\theta } d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } -\int { tan2\theta d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } +\frac { 1 }{ 2 } \log { \left( cos2\theta \right) } +c

Question-8.{ e }^{ x }\left( sinx+cosx \right) { sec }^{ 2 }x
Solution-{ e }^{ x }\left( sinx+cosx \right) { sec }^{ 2 }x\\ { e }^{ x }\left( sinx.{ sec }^{ 2 }x+cosx.{ sec }^{ 2 }x \right) \\ { e }^{ x }\left( secx.tanx+secx \right) \\ I=\int { { e }^{ x }\left( secx.tanx+secx \right) dx } \\ I=\int { { e }^{ x }secxdx } +\int { { e }^{ x }secx.tanxdx } \\ I=secx\int { { e }^{ x }dx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } secx\int { { e }^{ x }dx } \right] dx } +\int { { e }^{ x }secx.tanxdx } \\ I={ e }^{ x }secx-\int { { e }^{ x }secx.tanxdx } +\int { { e }^{ x }secx.tanxdx } +c\\ I={ e }^{ x }secx+c

Question-9.\cos ^{ -1 }{ x }
Solution:-I=\int { \cos ^{ -1 }{ x } dx }
putx=sec\theta \quad \quad \Rightarrow \theta =\sec ^{ -1 }{ x } \\ dx=sec\theta .tan\theta d\theta \\ I=\int { \cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1 }{ sec\theta } \right) } } sec\theta .tan\theta d\theta \\ I=\int { \theta .sec\theta .tan\theta d\theta } \\ I=\theta \int { sec\theta .tan\theta d\theta } -\int { \left[ \frac { d }{ d\theta } \left( \theta \right) \int { sec\theta .tan\theta d\theta } \right] d\theta } \\ I=\theta .sec\theta -\int { sec\theta d\theta } \\ I=\sec ^{ -1 }{ x } .x-\log { \left| sec\theta +tan\theta \right| } +c\\ I=x.\sec ^{ -1 }{ x } -\log { \left| sec\theta +tan\theta \right| } +c

उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) को ठीक से समझा जा सकता है।

Also Read This Article:-Integration by use of standard formula

No. Social Media Url
1. Facebook click here
2. you tube click here
3. Twitter click here
4. Instagram click here
5. Linkedin click here
6. Facebook Page click here

One Response
  1. n95 face masks January 12, 2021 / Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *