1.सरल रेखा के 12 विशिष्ट सवाल हल सहित (Straight Line ke 12 Typical Questions with Solutation):

सरल रेखा के 12 विशिष्ट सवाल हल सहित (Straight Line ke 12 Typical Questions with Solutation) के द्वारा जानिए कुछ विशिष्ट सवालों के हल जो आपके लिए 11वीं एवं जेईई-मेन परीक्षा (JEE-Main Exam) के दृष्टिकोण से भी महत्त्वपूर्ण हैं।सवालों के हल का प्रैक्टिस सेट।

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2.सरल रेखा की मुख्य बातें (HIGHTLIGHTS of Straight Line):

(1.)बिन्दु (x_1,y_1) से गुजरने वाली एवं दी गई रेखा y=mx+c से निश्चित कोण \alpha बनाने वाली रेखा की समीकरण y-y_1=\left(\frac{m+\tan\alpha}{1-m\tan\alpha}\right)(x-x_1) तथा y-y_1=\left(\frac{m-\tan\alpha}{1+m\tan\alpha}\right)(x-x_1) होती है।
(2.)दो रेखाओं y=m_1x+c_1 तथा y=m_2x+c_2 के मध्य का कोण \theta हो,तो \tan \theta= \pm \left( \frac{m_1-m_2} {1+m_1m_2}\right) होगा।
यदि रेखाएँ समान्तर हैं तो m_1=m_2 तथा लम्बवत हों तो m_1m_2=-1 अर्थात् m_1=-\frac{1}{m_2} एवं दोनों रेखाएँ संपाती होंगी यदि m_1=m_2 तथा c_1=c_2 ।
(3.)रेखा a x+b y+c_1=0 तथा a x+b y+c_2=0 समान्तर होती हैं जहाँ c_1 ,c_2  अचर पद है। c_2 का मान दी गई शर्त के अनुसार ज्ञात करते हैं।
(4.)रेखा ax+by+c_1=0 के लम्बवत रेखा का समीकरण bx-ay+c_2=0 जहाँ c_1 ,c_2 अचर पद हैं तथा c_2 का मान दी गई शर्त के अनुसार ज्ञात करते हैं।
(5.)दो बिन्दुओं (x_1,y_1) तथा (x_2,y_2) से गुजरने वाली रेखा की ढाल m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} से ज्ञात करते हैं।
(6.)रेखा ax+by+c=0 की प्रवणता m=-\frac{a}{b}=-\frac{\text{$x$ का गुणांक}}{\text{$y$ का गुणांक}} तथा y=mx+c की प्रवणता x का गुणांक होती है।
(7.)रेखा का अन्तःखण्ड \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 रूप होता है।

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3.सरल रेखा के विशिष्ट सवाल (Typical Questions of Straight Line):

Example:1.एक त्रिभुज के शीर्ष (0,0),(4,-6) और (1,-3) हैं,उन बिन्दुओं से त्रिभुज की सम्मुख भुजाओं पर डाले गए लम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution:चित्र में CD,AE,BF भुजा AB,BC तथा AC पर लम्ब है जिनके समीकरण निकालने हैं।
रेखा AB का ढाल m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{-6-0}{4-0} \\ \Rightarrow m_1= -\frac{6}{4}= -\frac{3}{2} \\ \because CD \perp AB \\ \therefore \text{ CD का ढाल}=-\frac{1}{m_1} \\ =-\frac{1}{-\frac{3}{2}} \\ =\frac{2}{3}
CD का समीकरण
y-y_1=\left(-\frac{1}{m_1}\right)(x-x_1) \\ y+3 = \frac{2}{3}(x-1) [CD,(1,-3) से गुजरती है]
3y+9 = 2x-2 \\ \Rightarrow 2x-3y = 11
अब लम्ब AE का समीकरण:
भुजा BC का ढाल m_2 = \frac{-3-(-6)}{1-4} \\ =\frac{-3+6}{-3} \\ = \frac{3}{-3} = -1 \\ \because BC \perp AE
\therefore AE की ढाल= -\frac{1}{m_2}\\= -\frac{1}{-1} = 1
AE (0,0) से गुजरती है:
y-0=-\frac{1}{m_2}(x-0) \\ y-0 = 1(x-0) \\ y = x \\ x-y = 0
अब लम्ब BF का समीकरण m_3 = \frac{-3-0}{1-0}= -3 \\ \because AC \perp BF
\therefore भुजा AC का ढाल
BF का ढाल= -\frac{1}{m_3} \\ = -\frac{1}{-3} \\ = \frac{1}{3}
लम्ब BF,(4,-6) से गुजरता है:
\therefore y+6 = \frac{1}{3}(x-4) \\ \Rightarrow 3y+18 = x-4 \\ \Rightarrow x-3y = 22
तीनों लम्बों क्रमशः CD,AE व BF के समीकरण:
2x-3y=11,x-y=0,x-3y=22
Example:2.उस त्रिभुज का लम्ब केन्द्र ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2,0),(3,4) और (0,3) हैं।

Solution:माना लम्ब केन्द्र के निर्देशांक \left( x_1,y_1 \right) हैं।
AD \perp BC
\therefore AD की समीकरण जो (2,0) से गुजरती है:
y-y_1=-\frac{1}{\text{BC की प्रवणता }} (x-x_1) \\ y-0=-\frac{1}{\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} (x-2)\\ \Rightarrow y= -\frac{1}{\dfrac{3-4}{0-3}} (x-2)\\ \Rightarrow y =-\frac{(-3)}{-1}(x-2)\\ \Rightarrow 3x+y = 6 \cdots(1) \\ CE \perp AB
CE की समीकरण जो (0,3) से गुजरती हैः
y-3=-\frac{1}{\text{AB की प्रवणता }} (x-0) \\ y-3 = -\frac{1}{\dfrac{4-0}{3-2}} (x-0)\\ \Rightarrow y-3=-\frac{1}{4}x \\ \Rightarrow x+4y = 12 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने परः
3(12-4y)+y = 6 \\ 36-12y+y = 6 \\ 11y = 30 \\ \Rightarrow y = \frac{30}{11}
y का मान समीकरण (1) में रखने परः
3x+\frac{30}{11}=6\\ \Rightarrow 3x=6-\frac{30}{11} \\ =\frac{66-30}{11} =\frac{36}{11}\\ \Rightarrow x=\frac{36}{11}\times \frac{1}{3} =\frac{12}{11}
अतः लम्ब केन्द्र के निर्देशांक
\left(\frac{12}{11},\frac{30}{11}\right)
Example:3.किसी त्रिभुज के दो शीर्ष (3,-1) तथा (-2,3) है।त्रिभुज का लम्ब केन्द्र मूलबिन्दु पर है।तीसरे शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Solution:CF की प्रवणता
m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ =\frac{0-y_1}{0-x_1}\\ \Rightarrow m_1 =\frac{y_1}{x_1}
AB की प्रवणता
m_2 =\frac{-1-3}{3+2} =-\frac{4}{5} \\ \because AB\perp CF \\ \therefore m_1 m_2=-1\\ \Rightarrow \left(\frac{y_1}{x_1}\right) \left(-\frac45\right)=-1\\ \frac{y_1}{x_1}=+\frac{5}{4}\\ 5y_1-4x_1=0 \cdots(1)
BC की प्रवणता m_3=\frac{y_1-3}{x_1+2}
AD की प्रवणता m_4 =\frac{-1-0}{3-0} =-\frac{1}{3} \\ \because AD\perp BC \\ \therefore m_3m_4=-1\\ \frac{y_1-3}{x_1+2}\left(-\frac13\right)=-1\\ \Rightarrow -y_1+3=-3x_1-6\\ \Rightarrow 3x_1-y_1=-9 \cdots (2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर:
5x_1-4(3x_1+9)=0\\ \Rightarrow 5x_1-12x_1-36=0\\ \Rightarrow -7x_1=36\\ \Rightarrow x_1=-\frac{36}{7}
x_1 का मान समीकरण (1) में रखने परः
5\left(-\frac{36}{7}\right)-4y_1=0\\ \Rightarrow -\frac{180}{7}-4y_1=0\\ \Rightarrow 4y_1=-\frac{180}{7}\\ \Rightarrow y_1=-\frac{180}{7}\times\frac14=-\frac{45}{7}
अतः \therefore (x_1,y_1) = \left( -\frac{36}{7}, -\frac{45}{7} \right)
Example:4.बिन्दुओं (2,-3) तथा (-1,5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब अर्द्धक का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution:(2,-3) तथा (-1,5) से गुजरने वाली रेखा AB की प्रवणता m_1 =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ =\frac{5+3}{-1-2}\\ =\frac{8}{-3}
लम्ब अर्द्धक की प्रवणता=-\frac{1}{m_1} \\ =-\frac{1}{\left(-\frac83\right)} =\frac{3}{8}
समद्विभाजक बिन्दु के निर्देशांक \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ = \left( \frac{-1+2}{2}, \frac{5-3}{2} \right)= \left( \frac12,1 \right)
अतः लम्ब अर्द्धक C \left(\frac12,1\right) से गुजरता है तथा प्रवणता \frac{3}{8} है फलतः इसकी समीकरण
y-y_1 = -\frac1{m_1}(x-x_1)\\ \Rightarrow y-1 = \frac38\left(x-\frac12\right)\\ \Rightarrow 8y-8 = 3x-\frac{3}{2}\\ \Rightarrow 6x-16y =-13
Example:5.उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सरल रेखा \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1 पर,उस बिन्दु से जहाँ वह x-अक्ष से मिलती है,लम्ब है।
Solution:दी हुई रेखा
\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1 \cdots(1)
यह x-अक्ष पर मिलती है अतः y=0
\frac{x}{a}=1 \\ \Rightarrow x=a
अतः यह दी हुई रेखा x-अक्ष को (a,0) पर मिलती है।
रेखा (1) के लम्बवत रेखा का समीकरण
\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=k \cdots(2)
लम्ब रेखा (2) भी (a,0) से गुजरेगी अतः
\frac{a}{b}+\frac{0}{a}=k \\ \Rightarrow k=\frac{a}{b}
k का मान (2) में रखने परः
\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=\frac{a}{b}\\ ax+by=a^2
Example:6.उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 2x+3y+11=0 के समान्तर है तथा अक्षों पर काटे गए अन्तःखण्डों का योग 15 है।
Solution:दी गई रेखा का समीकरण
2x+3y+11=0 \\ \Rightarrow \frac{x}{-\frac{11}{2}} +\frac{y}{-\frac{11}{3}}=1 \cdots(1)
रेखा (1) के समान्तर रेखा का समीकरण:
\frac{x}{-\frac{11}{2}} +\frac{y}{-\frac{11}{3}}=\lambda \\ \frac{x}{-\frac{11\lambda}{2}} + \frac{y}{-\frac{11\lambda}{3}} =1 \cdots(2)
अक्षों पर काटे गए अन्तःखण्डों का योग:
-\frac{11\lambda}{2} -\frac{11\lambda}{3} =15 \\ \Rightarrow \frac{-33\lambda-22\lambda}{6} =15 \\ \Rightarrow -55\lambda=90 \\ \Rightarrow \lambda = \frac{90}{-55}=-\frac{18}{11}
\lambda का मान समीकरण (2) में रखने परः
\frac{x}{-\frac{11}{2}\times\left(-\frac{18}{11}\right)} + \frac{y}{-\frac{11}{3}\times\left(-\frac{18}{11}\right)} =1 \\ \frac{x}{9}+\frac{y}{6}=1 \\ 2x+3y-18=0
Example:7.उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,-3) से गुजरती है तथा सरल रेखा 3x-2y=4 से 45° का कोण बनाती है।
Solution:दी हुई रेखा 3x-2y=4 से 45° का कोण बनाने वाली रेखा की समीकरण:
y-y_1 = \frac{m+\tan\alpha}{1-m\tan\alpha} (x-x_1) \cdots(1)
तथा y-y_1=\frac{m-\tan\alpha}{1+m\tan\alpha}(x-x_1) \cdots(2)
यहाँ (x_1,y_1)=(2,-3), \quad \alpha=45^\circ, \quad \tan \alpha=\tan 45^\circ=1
तथा m रेखा 3x-2y=4 की प्रवणता है:
m=-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{y का गुणांक}}= -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}
इनके मान समीकरण (1) व (2) में रखने परः
y+3 = \frac{\frac32+1}{1-\frac32\times1}(x-2) \\ y+3=\frac{\frac52}{-\frac12}(x-2)\\ \Rightarrow 5x+y=7
(2) से y+3=\frac{\frac32-1}{1+\frac32\times1}(x-2)\\=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}(x-2) \\ \Rightarrow y+3=\frac{1}{5}(x-2) \\ \Rightarrow x-5y=17
रेखाओं के समीकरण:5x+y=7,x-5y=17
Example:8.उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (4,5) से गुजरती है तथा रेखाओं 3x=4y+7 और 5y=12x+6 से समान कोण बनाती है।
Solution:माना रेखाओं 3x=4y+7 और 5y=12x+6 से समान कोण \theta बनाती है अतः
3x=4y+7 की प्रवणता m_1=-\frac{\text{$x$ का गुणांक}}{\text{$y$ का गुणांक}} \\ =-\frac{3}{-4}= \frac{3}{4} \\ \tan \theta=\pm\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \\ \tan\theta = \pm \frac{\frac34-m_2} {1+\frac{3}{4}m_2}\\= \frac{\pm(3-4m_2)}{4+3m_2} \cdots(1)
रेखा 5y=12x+6 \Rightarrow y=\frac{12}{5}x+\frac{6}{5}
m_1= x का गुणांक =\frac{12}{5} \\ \tan\theta=\pm \frac{\frac{12}{5}-m_2}{1+\frac{12}{5}m_2}\\ = \frac{\pm(12-5m_2)} {5+12m_2} \cdots(2)
(1) व (2) सेः
\frac{3-4m_2}{4+3m_2}=\frac{12-5m_2}{5+12m_2} \\ \Rightarrow 15-20m_2+36m_2-48m_2^2=48+36m_2-20m_2-15m_2^2 \\ \Rightarrow 48 m_2^2-15m_2^2=-33 \\ \Rightarrow m_2^2=-1
जो कि काल्पनिक है।अतः असम्भव है।अब ऋणात्मक चिन्ह लेने परः
\frac{3-4m_2}{4+3m_2} =-\frac{12-5m_2}{5+12m_2} \\ \Rightarrow 15-20m_2+36m_2-48m_2^2=-\left(48+36m_2-20m_2-15m_2^2\right) \\ \Rightarrow 15+16m_2-48m_2^2=-48-16m_2+15m_2^2 \\ \Rightarrow 48m_2^2+15m_2^2-16m_2-16m_2-48-15=0 \\ \Rightarrow 63m_2^2-32m_2-63=0 \\ \Rightarrow 63m_2^2-81m_2+49m_2-63=0 \\ \Rightarrow 9m_2(7m_2-9)+7(7m_2-9)=0 \\ \Rightarrow (7m_2-9)(9m_2+7)=0 m_2=\frac{9}{7},-\frac{7}{9}
अतः उपर्युक्त प्रवणता तथा (4,5) से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण:
y-5=\frac97(x-4) \Rightarrow 9x-7y=1 \\ y-5=-\frac79(x-4) \Rightarrow 7x+9y=73
Example:9.सिद्ध कीजिए कि उस रेखा का समीकरण निम्नलिखित होगा जो मूलबिन्दु से होकर गुजरती है तथा रेखा y=mx+c के साथ कोण \theta बनाती है
\frac{y}{x} = \frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}
Solution:मूलबिन्दु से जाने वाली तथा m_1 प्रवणता वाली रेखा का समीकरण:
y-y_1 = m_1(x-x_1) \\ \Rightarrow y-0 = m_1(x-0) \\ y=m_1x \cdots(1)
दी गई रेखा y=mx+c \cdots(2)
(2) की प्रवणता m है,के साथ रेखा (1) \theta कोण बनाती है तो:
\tan\theta = \pm \left( \frac{m_1-m}{1+m_1m} \right) \\ \Rightarrow \tan\theta = \pm \left( \frac{m_1-m}{1+mm_1} \right) \\ \Rightarrow (1+mm_1)\tan\theta = \pm(m_1-m) \\ \Rightarrow \tan\theta + mm_1\tan\theta =\pm m_1 \mp m \\ \Rightarrow m_1m\tan\theta \mp m_1 = \mp m-\tan\theta \\ \Rightarrow m_1(m\tan\theta\mp1) = \mp m-\tan\theta \\ \Rightarrow m_1=\frac{\mp m-\tan\theta}{m\tan\theta\mp 1}
m_1 का यह मान समीकरण (1) में रखने परः
y=\mp \left(\frac{m-\tan\theta}{m\tan\theta\mp1}\right) x \\ \Rightarrow y = \frac{-m-\tan\theta}{m\tan\theta-1} \\ \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}
या \frac{y}{x}=\frac{+m-\tan\theta}{m\tan\theta+1}
Example:10.सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a\cos^3\theta,a\sin^3\theta) से गुजरने वाली तथा सरल रेखा x \sec \theta +y \cosec \theta=a पर लम्ब सरल रेखा का समीकरण x\cos\theta-y\sin\theta=a\cos2\theta है।
Solution: x\sec\theta+y \cosec \theta=a की प्रवणता m_1=-\frac{\text{$x$ का गुणांक}}{\text{$y$ का गुणांक}}\\= -\frac{\sec\theta}{\csc\theta} \\ \Rightarrow m_1=-\tan\theta \\ \Rightarrow m_1m_2=-1 \\ \Rightarrow -\tan\theta\cdot m_2=-1 \\ \Rightarrow m_2=\cot\theta
अतः लम्बवत रेखा जो (a\cos^3\theta,a\sin^3\theta) से गुजरती है और प्रवणता m_2=\cot\theta है,की समीकरण
y-y_1=m_2(x-x_1) \\ \Rightarrow y-a\sin^3\theta=\cot\theta\left(x-a\cos^3\theta \right) \\ \Rightarrow y-a\sin^3\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\left(x-a\cos^3\theta\right) \\ \Rightarrow y\sin\theta-a\sin^4\theta=x\cos\theta-a\cos^4\theta \\ \Rightarrow x\cos\theta-y\sin\theta=a\cos^4\theta-a\sin^4\theta \\ \Rightarrow x\cos\theta-y\sin\theta=a(\cos^2\theta-\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta) \\ \Rightarrow x\cos\theta-y\sin\theta=a\cos2\theta
Example:11.एक समबाहु त्रिभुज के एक शीर्ष के निर्देशांक (2,3) है तथा सम्मुख भुजा का समीकरण x+y=2 है।शेष भुजाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution:समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° तथा भुजाएँ बराबर होती हैं
AC का समीकरण:
y-y_1 = m(x-x_1) \\ \Rightarrow y-3=m(x-2) \cdots(1)
रेखा (1) दी गई भुजा BC x+y=2 से 60° का कोण बनाती है:
y=-x+2 इसकी ढाल m_2=-1 \\ \tan\theta= \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \\ \tan60^\circ = \frac{m+1}{1+m(-1)}\\ \sqrt{3}=\frac{m+1}{1-m} \\ \sqrt{3}-\sqrt{3} m= m+1\\ m+\sqrt{3}m= \sqrt{3}-1\\ m =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \\ m = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}\\ \Rightarrow m=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1}\\ \Rightarrow m= \frac{3+1-2\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow m= \frac{4-2\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow m=\frac{2(2-\sqrt{3})}{2}\\ = 2-\sqrt{3}
(1) में m का मान रखने परः
y-3=(2-\sqrt{3})(x-2)\\ \Rightarrow y-3 = (2-\sqrt{3})x-4+2\sqrt{3}\\ \Rightarrow (2-\sqrt{3})x-y= 4-2\sqrt{3}-3 \\ \Rightarrow (2-\sqrt{3})x-y =1-2\sqrt{3}
भुजा AB,BC के साथ 120° का कोण बनाएगी (Anticlockwise)
\tan120^\circ=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \\ \Rightarrow \tan(180^\circ-60^\circ) =\frac{m+1}{1+m(-1)} \\ \Rightarrow -\tan60^\circ=\frac{m+1}{1-m} \\ \Rightarrow -\sqrt{3}=\frac{m+1} {1-m} \\ \Rightarrow -\sqrt{3}+\sqrt{3} m=m+1 \\ \sqrt{3}m-m=1+\sqrt{3}\\ \Rightarrow m(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}+1\\ \Rightarrow m=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \\ \Rightarrow m=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\\ =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}\\ =\frac{3+1+2\sqrt{3}}{2}\\ =\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow m=2+\sqrt{3}
m का मान समीकरण (1) में रखने परः
y-3=(2+\sqrt{3})(x-2) \\ y-3=(2+\sqrt{3})x-4-2\sqrt{3} \\ (2+\sqrt{3})x-y=4+2\sqrt{3}-3 \\ \Rightarrow (2+\sqrt{3})x-y=1+2\sqrt{3}
Example:12.उन दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (3,-2) से गुजरती है तथा रेखा x+\sqrt{3}y=1 से 60° का कोण बनाती है।
Solution:दी हुई रेखा x+\sqrt{3}y=1 की प्रवणता m_1=-\frac{\text{$x$ का गुणांक}}{\text{$y$ का गुणांक}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}
अतः (3,-2) से जाने वाली रेखाओं की समीकरण है जो x+\sqrt{3}y=1 से 60° का कोण बनाती है
y-y_1=\frac{m_1+\tan\alpha}{1-m_1\tan\alpha}(x-x_1) \cdots(1)
तथा y-y_1=\frac{m_1-\tan\alpha}{1+m_1\tan\alpha}(x-x_1) \cdots (2)
यहाँ (x_1,y_1)= (3,-2), \alpha =60^\circ, \quad \tan\alpha = \tan60^\circ \\ \Rightarrow \tan \alpha=\sqrt{3}
m_1 तथा (x_1,y_1) व \tan \alpha के मान (1) व (2) में रखने परः
\Rightarrow y+2=\frac{-\frac{1}{\sqrt3}+\sqrt3}{1+\sqrt3\times\frac1{\sqrt3}}(x-3) \\ \Rightarrow y+2=\frac{3-1}{2\sqrt3}(x-3) \\ \Rightarrow y+2=\frac{2}{2\sqrt3}(x-3)\\ \Rightarrow \sqrt{3}y+2\sqrt{3}=x-3 \\ \Rightarrow x-\sqrt{3}y-3-2\sqrt{3}=0
तथा y+2=\frac{-\frac{1}{\sqrt3}-\tan60^\circ}{1+\left(-\frac1{\sqrt3}\right)\tan60^\circ}(x-3) \\ \Rightarrow y+2=\frac{-\frac{1}{\sqrt3}-\sqrt{3}}{1+\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)\sqrt3}(x-3) \\ \Rightarrow y+2 = -\frac{3+1} {\sqrt3(1-1)} (x-3) \\ \Rightarrow y+2=-\frac{4}{0}(x-3) \Rightarrow x-3=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सरल रेखा के 12 विशिष्ट सवाल हल सहित (Straight Line ke 12 Typical Questions with Solutation) को समझ सकते हैं।

4.छात्र-छात्राओं के लिए प्रैक्टिस क्वेश्चन (Practice Questions for Students):

(1.)उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,1) तथा (4,3) के मिलाने वाली रेखा का लम्ब अर्द्धक है।
(2.)उन दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,3) से गुजरती है और रेखा 3x+y=5 के साथ 45° का कोण बनाती है।
उत्तर (Answers):(1.)x+y-5=0 (2.)x+2y-8=0 तथा 2x-y-1=0

5.सारणी में सरल रेखा के महत्त्वपूर्ण तथ्य (Important Facts of Straight Lines in Table):

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6.सरल रेखा के 12 विशिष्ट सवाल हल सहित (Frequently Asked Questions Related to Straight Line ke 12 Typical Questions with Solutation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

\begin{array}{|c|} \hline \text{**छात्र-छात्राओं से आज का सवाल (Question of Day)**} \\ \text{"वह कौनसी भिन्नात्मक संख्या है जिसमें 5 जोड़ें या}\\  \text{जिसमें 5 का गुणा करें परिणाम समान प्राप्त होता है।"}\\ \hline\end{array}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सरल रेखा के 12 विशिष्ट सवाल हल सहित (Straight Line ke 12 Typical Questions with Solutation) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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