1.कक्षा 9 गणित बहुपद:16 महत्त्वपूर्ण निबन्धात्मक सवाल (Class 9 Maths Polynomials:16 Important Descriptive Type Questions):

Class 9 Maths Polynomials

कक्षा 9 गणित बहुपद:16 महत्त्वपूर्ण निबन्धात्मक सवाल (Class 9 Maths Polynomials:16 Important Descriptive Type Questions) के द्वारा बहुपद के कुछ विशिष्ट सवालों के बारे में जानिए।क्या आप जानते हैं 9वीं कक्षा उच्चतर कक्षाओं के लिए Foundation का काम करती है।

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2.बहुपद की महत्त्वपूर्ण बातें (Important HIGHLIGHTS of Polynomial):

(1.)जब किसी अचर और चर को चारों मूलभूत संक्रियाओं के साथ व्यक्त किया जाता है तो उसे बीजीय व्यंजक कहते हैं।
(2.) 3x,5x,-x,-\frac{3}{2}x,x^{-\frac{3}{2}}-5x+7,2x^2+\frac{9}{x}+1 आदि बीजीय व्यंजक हैं।बीजीय व्यंजक का सामान्य रूप ax है जिसमें a अचर और x चर है।
(3.)जब व्यंजकों में चर x के घातांक पूर्ण संख्या में है।इस प्रकार के व्यंजकों को बहुपद (Polynomials) कहते हैं।
(4.)उपर्युक्त उदाहरणों में 3x,5x,-x,-\frac{3}{2}x आदि बहुपद हैं परन्तु x^{-\frac{3}{2}}-5x+7,2x^2+\frac{9}{x}+1 प्रकार के व्यंजक बहुपद नहीं है क्योंकि पहले व्यंजक में x पूर्णांक घात में न होकर भिन्नात्मक घात (Fractional index) है जबकि दूसरे व्यंजक में x हर में विद्यमान है ।
(5.)बहुपद में परिमित संख्या में कितने भी पद हो सकते हैं।
P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0
जहाँ a_n, a_{n-1}, \ldots \ldots a_2,a_1,a_0 अचर तथा a_n \neq 0 है।बहुपद x^2+3x में x^2 तथा 3x बहुपद के पद (Terms) हैं।बहुपद में प्रत्येक पद का एक गुणांक (Coefficients) होता है।
(6.)बहुपद 5x^3-2x^2+x+3 में
x^3 का गुणांक=5, x^2 का गुणांक=-2,x का गुणांक=1, x^0 का गुणांक=3
(7.)3,-7,9 आदि अचर बहुपद (monomials) कहलाते हैं।’0′ को शून्य बहुपद कहते हैं।
(8.)एक पद वाले बहुपद को एकपदी (monomials) कहते हैं।जैसे: 3x,5x^2,-3x^3,2,t^2,y आदि।
(9.)दो पदों वाले बहुपद को द्विपद (Binomials) कहते हैं।जैसे: -x+2 ,x^2-2x,y^{n+2},t^{30}-t^2 आदि।
(10.)इसी प्रकार,तीन पदों वाले बहुपद को त्रिपद (Trinomials) कहते हैं।
जैसे: p(x)=x^2+x+1,g(x)=x-x^2+\sqrt{3}
(11.)किसी बहुपद में स्थित चर की अधिकतम घात वाले पद के घातांक को उस बहुपद की घात (Degree of the Polynomials) कहते हैं।बहुपद p(x)=4x^3-2x^2+8x-1 में अधिकतम घातांक वाले पद 4 x^3 की घात=3
बहुपद q(y)=3y^7-4y^6+y+5 में अधिकतम घातांक वाले पद 3y^7 की घात=7
अतः बहुपद p(x) और q(y) की घात (degree) क्रमशः 3 और 7 है।
अचर बहुपद g(x)=2 में अधिकतम घातांक वाले पद 2=2 x^0 की घात=0 अतः बहुपद g(x) की घात (degree) शून्य है।
निष्कर्षतः एक शून्येतर अचर बहुपद की घात शून्य होती है।
(12.)एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) कहते हैं।रैखिक बहुपद को सामान्य रूप से p(x)=ax+b, a\neq 0 द्वारा व्यक्त किया जाता है।
(13.)एक रैखिक बहुपद में अधिकतम दो पद हो सकते हैं।
(14.)दो घात वाले बहुपद को द्विघाती बहुपद (Quadratic Polynomials) कहते हैं।द्विघाती बहुपद को सामान्य रूप से p(x)=ax^2+bx+c, a \neq 0 द्वारा व्यक्त किया जाता है।
(15.)एक द्विघाती बहुपद में अधिकतम तीन पद हो सकते हैं।अर्थात् द्विघाती बहुपद एक पदी,द्विपदी या त्रिपदी हो सकता है।
(16.)तीन घात वाले बहुपद को त्रिघाती बहुपद (Cubic Polynomial) कहते हैं।त्रिघाती बहुपद को सामान्य रूप p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, a \neq 0 में द्वारा व्यक्त किया जाता है।
(17.)त्रिघाती बहुपद में अधिकतम चार पद हों सकते हैं।
(18.)शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है।

3.बहुपदों के गुणनखण्ड (Factorization of Polynomials):

निम्नलिखित के गुणनखण्ड कीजिए:
Q:1. x^3-x^2
Solution: x^3-x^2 = x^2(x-1)
Q:2.a(x-y)-b(x-y)
Solution:a(x-y)-b(x-y)
=(x-y)(a-b)
Q:3. x^2(y+z)+xy(y+z)+y^2(y+z)
Solution: x^2(y+z)+xy(y+z)+y^2(y+z)\\=(y+z)(x^2+xy+y^2)
Q:4. a^2(b-c)-b(c-b)
Solution: a^2(b-c)-b(c-b) \\ =a^2(b-c)+b(b-c)\\ =(b-c)(a^2+b)
Q:5.xy(a+b)+yz(a+b)
Solution:xy(a+b)+yz(a+b)
=(a+b)(xy+yz)
=(a+b).y(x+z)
=y(a+b)(x+z)
चार या अधिक पदों के गुणनखण्ड (Factorization of four or more terms):
Q:6. x^2y+x^2z-2y-2z
Solution: x^2y+x^2z-2y-2z \\ =x^2(y+z)-2(y+z)\\ =(x^2-2)(y+z)
Q:7. x^2-x+y-xy
Solution: x^2-x+y-xy \\ =x(x-1)-y(x-1)\\ =(x-1)(x-y)
Q:8. x^3+x-6x^2-6
Solution: x^3+x-6x^2-6 \\ =x(x^2+1)-6(x^2+1)\\ =(x^2+1)(x-6)
Q:9. mx-2my+nx-2ny
Solution:mx-2my+nx-2ny
\Rightarrow m(x-2y)+n(x-2y)
\Rightarrow (x-2y)(m+n)
Q:10.ax+bx-by-cy+cx-ay
Solution:ax+bx-by-cy+cx-ay
\Rightarrow ax-ay+bx-by-cy+cx
\Rightarrow a(x-y)+b(x-y)+c(x-y)
\Rightarrow (x-y)(a+b+c)

Class 9 Maths Polynomials

Q:11.ax+ay+az+bx+by+bz
Solution: ax+ay+az+bx+by+bz
\Rightarrow a(x+y+z)+b(x+y+z)
\Rightarrow (a+b)(x+y+z)
Q:12. 2x^2+yz-2xy-zx
Solution: 2x^2+yz-2xy-zx \\ =2x^2-zx+yz-2xy\\ =x(2x-z)-y(2x-z)\\ =(x-y)(2x-z)
Q:13. a^2+b-ab-a
Solution: a^2+b-ab-a \\ =a^2-ab+b-a\\ =a(a-b)+(b-a)\\ =a(a-b)-(a-b)\\ =(a-b)(a-1)
Q:14. 8(2a+b)^2-8a-4b
Solution: 8(2a+b)^2-8a-4b \\ =8(2a+b)^2-4(2a+b)\\ =4(2a+b)\left[2(2a+b)-1\right]\\ =4(2a+b)(4a+2b-1)
एक पूर्ण वर्ग बहुपद के गुणनखण्ड (Factors of a perfect square polynomial):
Q:15. 6x^5-60x^3+150x
Solution: 6x^5-60x^3+150x \\=6x(x^4-10x^2+25)\\ =6x\left(x^4-2 \times x^2 \times 5+5^2\right)\\ =6x(x^2-5)^2
Q:16. a^2+2+\frac{1}{a^2}
Solution: a^2+2+\frac{1}{a^2} \\ =(a)^2+2\times a\times \frac{1}{a}+\left(\frac{1}{a}\right)^2\\ =\left(a+\frac{1}{a}\right)^2
Q:17. 1+10x+25x^2
Solution: 1+10x+25x^2 \\ =1^2+2 \times 1 \times 5x+(5x)^2\\ =(1+5x)^2
Q:18. x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}
Solution: x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} \\ =x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2\\ =\left(x-\frac{1}{5}\right)^2
Q:19. 121x^2y^2+110xyab+25a^2b^2
Solution: 121x^2y^2+110xyab+25a^2b^2 \\ =(11xy)^2+2(11xy)(5ab)+(5ab)^2\\ =(11xy+5ab)^2
Q:20. \frac{49}{32}x^2-\frac{25}{18}y^2
Solution: \frac{49}{32}x^2-\frac{25}{18}y^2 \\ =\frac{1}{2} \left[\frac{7x}{4}\right)^2-\left(\frac{5y}{3}\right]^2\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{7x}{4}-\frac{5y}{3}\right) \left(\frac{7x}{4}+\frac{5y}{3}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 9 गणित बहुपद:16 महत्त्वपूर्ण निबन्धात्मक सवाल (Class 9 Maths Polynomials:16 Important Descriptive Type Questions) को समझ सकते हैं।

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4.बहुपदों के बारे में तथ्यात्मक सारणी (Factual Table about Polynomials):

Class 9 Maths Polynomials

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5.छात्रों के लिए प्रैक्टिस क्वेश्चन (Practice Questions for Students):

गुणनखण्ड कीजिए (Factor):
(1.)x^2+4x+4
(2.) x^3-x^2y+xy^2-y^3
(3.) x^2-(y-z)^2
उत्तर (Answers): (1.)(x+2)^2
(2.)(x-y)(x^2+y^2)
(3.)(x+y-z) (x-y+z)

Class 9 Maths Polynomials

6.कक्षा 9 गणित बहुपद:16 महत्त्वपूर्ण निबन्धात्मक सवाल (Frequently Asked Questions Related to Class 9 Maths Polynomials:16 Important Descriptive Type Questions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न: