1.आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Partial Fractions 12th),कक्षा 12 में आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions in Class 12):

Integration by Partial Fractions 12th

आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Partial Fractions 12th) के इस आर्टिकल में परिमेय फलनों को आंशिक भिन्नों में वियोजित करके समाकलन करना सीखेंगे।
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2.आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Integration by Partial Fractions 12th):

1 से 21 तक के प्रश्नों में परिमेय फलनों का समाकलन कीजिए।
Example:1. \frac{x}{(x+1)(x+2)}
Solution: \frac{x}{(x+1)(x+2)} \\ I=\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} d x
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{x}{(x+1)(x+2)} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2} \\ =\frac{A(x+2)+B(x+1)}{(x+1)(x+2)} \\ \Rightarrow x =(A+B) x+2 A+B
तुलना करने पर:
A+B=1 … (1)
2A+B=0 …. (2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर:
A =-1, B=2 \\ I =\int\left(\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{x+2}\right) d x \\ =-\int \frac{1}{x+1} d x+2 \int \frac{1}{x+2} d x \\ =-\log |x+1|+2 \log (x+2)+C \\ \Rightarrow I =\log \frac{(x+2)^2}{|x+1|}+C
Example:2. \frac{1}{x^2-9}
Solution: \frac{1}{x^2-9} \\ I=\int \frac{1}{x^2-9} d x=\int \frac{1}{(x-3)(x+3)} d x
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{1}{(x-3)(x+3)} =\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3} \\ =\frac{A(x+3)+B(x-3)}{(x-3)(x+3)} \\ \Rightarrow \frac{1}{(x-3)(x+3)} =\frac{(A+B) x+3 A-3 B}{(x-3)(x+3)} \\ \Rightarrow 1=(A+B) x+3 A-3 B
दोनों पक्षों में x के गुणांक तथा अचर पद की तुलना करने पर:
A+B=0  …. (1)
3A-3B=1  …. (2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर:

A =\frac{1}{6}, B=-\frac{1}{6} \\ I =\int\left(\frac{1}{6(x-3)}-\frac{1}{6(x+3)}\right) d x \\ =\frac{1}{6} \int \frac{1}{x-3} d x-\frac{1}{6} \int \frac{1}{x+3} d x \\ =\frac{1}{6} \log |x-3|-\frac{1}{6} \log |x+3|+C \\ \Rightarrow I =\frac{1}{6} \log \left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C
Example:3. \frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}
Solution: \frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} \\ I=\int \frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} d x
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3} \\ =\frac{A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2) }{(x-1)(x-2)(x-3)}\\ \Rightarrow 3 x-1= A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3) +C(x-1)(x-2)
x=1 रखने पर :
3 \times 1-1=A(1-2)(1-3) \Rightarrow A=1
x=2 रखने पर:
3 \times 2-1=B(2-1)(2-3) \Rightarrow B=-5
x=3 रखने पर:
3 \times 3-1=C(3-1)(3-2) \Rightarrow C=4 \\ I=\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{5}{x-2}+\frac{4}{x-3}\right) d x \\ =\int \frac{1}{x-1} d x-5 \int \frac{1}{x-2} d x+4 \int \frac{1}{x-3} d x \\ \Rightarrow I=\log |x-1|-5 \log |x-2|+4 \log |x-3|+C
Example:4. \frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}
Solution: \frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} \\ I=\int \frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} d x
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3} \\ =\frac{A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} \\ \Rightarrow x=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)
x=1 रखने पर:
1=A(1-2)(1-3) \Rightarrow A=\frac{1}{2}
x=2 रखने पर:
2=B(2-1)(2-3) \Rightarrow B=-2
x=3 रखने पर:
3=C(3-1)(3-2) \Rightarrow C=\frac{3}{2} \\ I=\int\left(\frac{1}{2(x-1)}-\frac{2}{(x-2)}+\frac{3}{2(x-3)}\right) d x \\ =\int \frac{d x}{2(x-1)}-2 \int \frac{d x}{x-2}+\frac{3}{2} \int \frac{d x}{x-3} \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \log |x-1|-2 \log |x-2|+\frac{3}{2} \log |x-3|+C
Example:5. \frac{2 x}{\left(x^2+3 x+2\right)}
Solution: \frac{2 x}{x^2+3 x+2} \\ I=\int \frac{2 x dx}{(x+1)(x+2)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{2 x}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2} \\ =\frac{A(x+2)+B(x+1)}{(x+1)(x+2)} \\ \Rightarrow 2 x=A(x+2)+B(x+1)
x=-2 रखने पर:
2 \times 2=B(-2+1) \Rightarrow B=4
x=-1 रखने पर:
2 \times -1=A(-1+2) \Rightarrow A=-2 \\ I=\int\left(\frac{-2}{x+1}+\frac{4}{x+2}\right) dx \\ =\int \frac{-2 d x}{x+1}+4 \int \frac{d x}{x+2} \\ =-2 \log |x+1|+4 \log |x+2|+C \\ \Rightarrow I=4 \log |x+2|-2 \log |x+1|+C
Example:6. \frac{1-x^2}{x(1-2 x)}
Solution: \frac{1-x^2}{x(1-2 x)} \\ I=\int \frac{1-x^2}{x(1-2 x)} dx
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

Example:7. \frac{x}{\left(x^2+1\right)(x-1)}
Solution: \frac{x}{\left(x^2+1\right)(x-1)} \\ I=\int \frac{x}{\left(x^2+1\right)(x-1)} d x
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{x}{\left(x^2+1\right)(x-1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^2+1} \\ =\frac{A\left(x^2+1\right)+(B x+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+1\right)} \\ \Rightarrow x =(A+B) x^2+(-B+C) x+A-C
दोनों पक्षों में x^2 ,x के गुणांकों तथा अचर पद की तुलना करने पर:
A+B=0  … (1)
-B+C=1 … (2)
A-C=0  …..(3)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर:
A-B=1  …. (4)
समीकरण (1) व (4) को हल करने पर:

A=\frac{1}{2},B=-\frac{1}{2} तथा C=\frac{1}{2} \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} d x-\frac{1}{2} \int \frac{x}{x^2+1} d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \log |x-1|-\frac{1}{4} \log \left|x^2+1\right|+\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C
Example:8. \frac{x}{(x-1)^2(x+2)}
Solution: \frac{x}{(x-1)^2(x+2)} \\ I=\int \frac{x d x}{(x-1)^2(x+2)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+2} \\ =\frac{A(x-1)(x+2)+ B(x+2)+C(x-1)^2}{(x-1)^2(x+2)} \\ \Rightarrow x=A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1)^2 \\ \text { put } x=1,1=B(1+2) \Rightarrow B=\frac{1}{3} \\ \text { put } x=-2,-2=C(-2-1)^2 \Rightarrow C=-\frac{2}{9} \\ \text { put } x=0 \\ 0=A(-2)+2 B+C \\ \Rightarrow-2 A+2 \times \frac{1}{3}-\frac{2}{9}=0 \Rightarrow-2 A=-\frac{2}{3}+\frac{2}{9} \\ \Rightarrow A=\frac{-6+2}{9} \times-\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{2}{9} \\ I =\frac{2}{9} \int \frac{d x}{x-1}+\frac{1}{3} \int \frac{d x}{(x-1)^2}-\frac{2}{9} \int \frac{1}{x+2} d x \\ =\frac{2}{9} \log |x-1|-\frac{1}{3} \frac{1}{x-1}-\frac{2}{9} \log |x+2|+C \\ \Rightarrow I =\frac{2}{9}\left|\frac{x-1}{x+2}\right|-\frac{1}{3(x-1)}+C
Example:9. \frac{-3 x+5}{x^3-x^2-x+1}
Solution: \frac{3 x+5}{x^3-x^2-x+1} \\ I =\int \frac{3 x+5}{x^2(x-1)-1(x-1)} d x \\ =\int \frac{(3 x+5) d x}{\left(x^2-1\right)(x-1)} \\ =\int \frac{(3 x+5) d x}{(x-1)^2(x+1)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{3 x+5}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1} \\ =\frac{A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)} \\ \Rightarrow 3 x+5=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^2 \\ \text { put } x=1 \Rightarrow 3 \times 1+5=B(2) \Rightarrow B=4 \\ \text { put } x=-1 \Rightarrow 3 \times -1+5=C(-1-1)^2 \Rightarrow C=\frac{1}{2} \\ \text { put } x=0 \Rightarrow 3(0)+5=A(1)+B+C \\ \Rightarrow A+4+\frac{1}{2}=5 \Rightarrow A=\frac{1}{2} \\ I=\int\left(\frac{1}{2(x-1)}+\frac{4}{(x-1)^2}+\frac{1}{2(x+1)}\right) d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} d x+4 \int \frac{d x}{(x-1)^2}+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x+1} \\ =\frac{1}{2} \log |x-1|-\frac{4}{x-1}+\frac{1}{2} \log |x+1|+C \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2} \log \left|\frac{x+1}{x-1}\right|-\frac{4}{x-1}+C
Example:10. \frac{2 x-3}{\left(x^2-1\right)(2 x+3)}
Solution: \frac{2 x-3}{\left(x^2-1\right)(2 x+3)} \\ I=\int \frac{2 x-3}{\left(x^2-1\right)(2 x+3)}dx
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
\frac{2 x-3}{\left(x^2-1\right)(2 x+3)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{2 x+3} \\ =\frac{A(x+1)(2 x+3)+B(x-1)(2 x+3)+C(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(2 x+3)} \\ \Rightarrow 2 x-3=A(x+1)(2 x+3)+B(x-1)(2 x+3)+C(x-1)(x+1) \\ \text { Put } x=1 ,2×1-3=A(1+1)(2×1+3) \\ \Rightarrow A=\frac{-1}{10} \\ \text { put } x=-1, \quad 2 \times -1-3=B(-1-1)(2 \times -1+3) \\ \Rightarrow B=\frac{5}{2} \\ \text { put } x=0, 2(0)-3=A(3)+B(-3)+C(-1) \\ \Rightarrow-\frac{1}{10} \times 3+\frac{5}{2} \times-3-C=-3 \Rightarrow C=-\frac{24}{5} \\ I=\int \frac{-d x}{10 (x-1)}+\int \frac{5 d x}{2(x+1)}-\frac{24}{5} \int \frac{1}{2 x+3} d x \\ =\frac{-1}{10} \log |x-1|+\frac{5}{2} \log |x+1|-\frac{12}{5} \log |2 x+3|+C \\ \Rightarrow I=\frac{5}{2} \log |x+1|-\frac{1}{10} \log |x-1|-\frac{12}{5} \log |2x+3|+C

Integration by Partial Fractions 12th

Example:11. \frac{5 x}{(x+1)\left(x^2-4\right)}
Solution: \frac{5 x}{(x+1)\left(x^2-4\right)} \\ I=\int \frac{5 x}{(x+1)(x-2)(x+2)}dx
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{5 x}{(x+1)(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2} \\ =\frac{A(x-2)(x+2)+B(x+1)(x+2)+C(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)(x+2)} \\ \Rightarrow 5 x=A(x-2)(x+2)+B(x+1)(x+2)+C(x+1)(x-2) \\ \text { put } x=-1,5(-1)=A(-1-2)(-1+2) \Rightarrow A=\frac{5}{3} \\ \text { Put } x=2,5(2)=B(2+1)(2+2) \Rightarrow B=\frac{5}{6} \\ \text { Put } x=-2,5(-2)=C(-2+1)(-2-2) \Rightarrow C=-\frac{5}{2} \\ I=\int\left(\frac{5 d x}{3(x+1)}+\frac{5}{6(x-2)}-\frac{5}{2(x+2)}\right) d x \\ =\frac{5}{3} \int \frac{d x}{x+1}+\frac{5}{6} \int \frac{d x}{2 x-2}-\frac{5}{2} \int \frac{d x}{x+2} \\ \Rightarrow I=\frac{5}{2} \log |x+1|+\frac{5}{6} \log |x-2|-\frac{5}{2} \log |x+2|+C
Example:12. \frac{x^3+x+1}{x^2-1}
Solution:

  I=\int\left(x+\frac{2 x+1}{x^2-1}\right) d x \\ \frac{2 x+1}{x^2-1} को आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{2 x+1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1} \\ = \frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ \Rightarrow 2 x+1 =A(x+1)+B(x-1) \\ \text { put } x=-1,2 \times -1+1=B(-1-1) \Rightarrow B=\frac{1}{2} \\ \text { put } x=1,2 \times 1 +1=A(1+1) \Rightarrow A=\frac{3}{2} \\ I=\int\left(x+\frac{3}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}\right) d x \\ =\int x d x+\frac{3}{2} \int \frac{1}{x-1} d x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x+1} \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} x^2+\frac{3}{2} \log |x-1|+\frac{1}{2} \log |x+1|+C
Example:13. \frac{2}{(1-x)\left(1+x^2\right)}
Solution: \frac{2}{(1-x)\left(1+x^2\right)} \\ I=\int \frac{2 d x}{(1-x)\left(1+x^2\right)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{2}{(1-x)\left(1+x^2\right)^2}=\frac{A}{1-x}+\frac{B x+C}{1+x^2} \\ =\frac{A\left(1+x^2\right)+(B x+C)(1-x)}{(1-x)\left(1+x^2\right)} \\ \Rightarrow 2=A\left(1+x^2\right)+(B x+C)(1-x) \\ \text { Put } x=1,2=A\left(1+1^2\right) \Rightarrow A=1 \\ \text { put } x=0,2=A+C \Rightarrow 2=1+C \Rightarrow C=1 \\ \text { put } x=2,2=A\left(1+2^2\right)+(2 B+C)(-1) \\ \Rightarrow 5 A-2 B-C=2 \Rightarrow 5-2 B-1=2 \Rightarrow B=1 \\ I=\int\left(\frac{1}{1-x}+\frac{x+1}{1+x^2}\right) d x \\ =\int \frac{d x}{1-x}+\int \frac{x}{1+x^2} d x+\int \frac{1}{1+x^2} d x \\ \Rightarrow I=-\log |1-x|+\frac{1}{2} \log \left|1+ x^2\right|+\tan ^{-1} x+C
Example:14. \frac{3 x-1}{(x-2)^2}
Solution: \frac{3 x-1}{(x-2)^2} \\ I=\int \frac{(3 x-1) d x}{(x-2)^2}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{3 x-1}{(x-2)^2} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2} \\ =\frac{A(x-2)+B}{(x-2)^2} \\ \Rightarrow 3 x-1 =A(x-2)+B \\ \text{put } x=2 \Rightarrow 3 \times 2-1=B \Rightarrow B=5 \\ \text{put } x=0 \Rightarrow 3 \times 0-1=-2 A+B \Rightarrow-2 A+5=-1 \\ \Rightarrow 2 A=6 \Rightarrow A=3 \\ I=\int \frac{3 d x}{x-2}+5 \int \frac{d x}{(x-2)^2} \\ \Rightarrow I=3 \log |x-2|-\frac{5}{x-2}+C
Example:15. \frac{1}{x^4-1}
Solution: \frac{1}{x^4-1} \\ I=\int \frac{d x}{(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{1}{(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C x+D}{x^2+1} \\ =\frac{A(x+1) \left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+\left(Cx+D\right)\left(x^2-1\right)}{(x-1)(x+1) \left(x^2+ 1\right)} \\ \Rightarrow 1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+B(x-1) \left(x^2+1\right) \left(Cx+D\right) \left(x^2-1\right) \\ \text { put } x=1,1=A(1+1)\left(1^2+1\right) \Rightarrow A=\frac{1}{4} \\ \text { put } x=-1,1=B(-1-1)\left((-1)^2+1\right) \Rightarrow B=-\frac{1}{4} \\ \text { put } x=0,1=A-B-D \Rightarrow D=-1+A-B \\ \Rightarrow D=-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \Rightarrow D=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \text { put } x=2,1=A(2+1)\left(2^2+1\right)+B(2-1)\left(2^2+1\right)(2 C+D)\left(2^2-1\right) \\ \Rightarrow 15 A+5 B+6 C+3 D=1 \\ \Rightarrow \frac{15}{4}-\frac{5}{4}+6 C-\frac{3}{2}=1 \Rightarrow 6 C=1-\frac{15}{4}+\frac{5}{4}+\frac{3}{2} \\ \Rightarrow 6 C=\frac{4-15+5+6}{4} \Rightarrow C=0 \\ I=\int\left(\frac{1}{4(x-1)}-\frac{1}{4(x+1)}-\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}\right) d x \\ \Rightarrow \frac{1}{4} \int \frac{d x}{x-1}-\frac{1}{4} \int \frac{d x}{x+1}-\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^2+1} \\ =\frac{1}{4} \log |x-1|-\frac{1}{4} \log |x+1|-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{4} \log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C
Example:16. \frac{1}{x\left(x^n+1\right)}
Solution: \frac{1}{x\left(x^n+1\right)} \\ I=\int \frac{d x}{x\left(x^n+1\right)} \\ \text { put } x^n+1=t \Rightarrow n x^{n-1} d x=d t \\ \Rightarrow I=\int \frac{d t}{n x^n t}=\int \frac{d t}{n(t-1) t}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{1}{n(t-1) t}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t} \\ \Rightarrow \frac{1}{n}=A t+B(t-1) \\ \text { Put } t=0 \Rightarrow-B=\frac{1}{n} \Rightarrow B=-\frac{1}{n} \\ \text { Put } t=1 \Rightarrow A=\frac{1}{n} \\ I=\frac{1}{n} \int \frac{1}{t-1} d t-\frac{1}{n} \int \frac{1}{t} d t \\ =\frac{1}{n} \log |t-1|-\frac{1}{n} \log |t|+C \\ =\frac{1}{n} \log \left|\frac{t-1}{t}\right|+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{n} \log \left|\frac{x^n}{x^n+1}\right|+C
Example:17. \frac{\cos x}{(1-\sin x)(2-\sin x)}
Solution: \frac{\cos x}{(1-\sin x)(2-\sin x)} \\ I=\int \frac{\cos x}{(1-\sin x)(2-\sin x)} \\ \text { Put } \sin x=t \Rightarrow \cos x d x=d t \\ I=\int \frac{d t}{(1-t)(2-t)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{1}{(1-t)(2-t)}=\frac{A}{1-t}+\frac{R}{2-t} \\ =\frac{A(2-t)+B(1-t)}{(1-t)(2-t)} \\ \Rightarrow 1=A(2-t)+B(1-t) \\ \text { put } t=1 \Rightarrow 1=A(2-1) \Rightarrow A=1 \\ \text { Put } t=2 \Rightarrow 1=B(1-2) \Rightarrow B=-1 \\ I=\int\left(\frac{1}{1-t}-\frac{1}{2-t}\right) d t \\ =\int \frac{d t}{1-t}-\int \frac{d t}{2-t} \\ =-\log |1-t|+\log |2-t|+C \\ =\log \left|\frac{2-t}{1-t}\right|+c \\ \Rightarrow I=\log \left|\frac{2-\sin x}{1-\sin x}\right|+C
Example:18. \frac{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+4\right)}
Solution: \frac{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+4\right)} \\ I=\int \frac{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+4\right)} dx \\ x^2 को y मानकर आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{(y+1)(y+2)}{(y+3)(y+4)}=\frac{y^2+3 y+2}{y^2+7 y+12}=1-\frac{4 y+10}{y^2+7 y+12} \\ =1-\frac{4 y+10}{(4+3)(y+4)} \\ \frac{4 y+10}{(y+3)(y+4)}=\frac{A}{y+3}+\frac{B}{y+4} \\ =\frac{A(y+4) +B(y+3)}{(y+3)(y+4)} \\ \Rightarrow 4 y+10=A(y+4)+B(y+3) \\ \text { Put } y=-4, \Rightarrow 4 x-4+10=B(-4+3) \Rightarrow B=6 \\ \text { Put } y=-3 \Rightarrow 4 x-3+10=A(-3+4) \Rightarrow A=-2 \\ I=\int\left(1+\frac{2}{x^2+3}-\frac{6}{x^2+4}\right) d x \\ =x+2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}-6 \times \frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{x}{2}+C
Example:19. \frac{2 x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}
Solution: \frac{2 x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)} \\ I=\int \frac{2 x d x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)} \\ \text{put } x^2=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ =\int \frac{d t}{(1+t)(t+3)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{1+t}-\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t+3} \\ =\frac{1}{2} \log |1+t|-\frac{1}{2} \log |t+3|+C \\ =\frac{1}{2} \log \left|\frac{1+t}{t+3}\right|+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \log \left|\frac{x^2+1}{x^2+3}\right|+C
Example:20. \frac{1}{x\left(x^4-1\right)}
Solution: \frac{1}{x\left(x^4-1\right)} \\ I=\int \frac{d x}{x\left(x^4-1\right)} \\ \text{Put } x^4-1=t \Rightarrow 4 x^3 d x=d t तथा x^4=1+t \\ =\int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{d t}{4 x^3} \\ =\int \frac{d t}{4 t x^4} \\ =\int \frac{d t}{4 t(1+t)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
=\frac{1}{4} \int \frac{d t}{t}-\frac{1}{4} \int \frac{d t}{1+t} \\ =\frac{1}{4} \log t-\frac{1}{4} \log |1+t|+C \\ \Rightarrow \frac{1}{4} \log \left|\frac{t}{1+t}\right|+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{4} \log \left|\frac{x^4-1}{x^4}\right|+C
Example:21. \frac{1}{e^x-1}
Solution: \frac{1}{e^x-1} \\ I=\int \frac{d x}{e^x-1} \\ \text { put } e^x-1=t \Rightarrow e^x d x=d t तथा e^x=1+t \\ =\int \frac{1}{t} \cdot \frac{d t}{e^x}=\int \frac{d t}{t(1+t)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

I=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right) d t \\ =\log |t|-\log |1+t|+C \\ \Rightarrow I =\log \left|\frac{t}{1+t}\right|+C \\ \Rightarrow I =\log \left|\frac{e^x-1}{e^x}\right|+C
Example:22. \int \frac{x d x}{(x-1)(x-2)} बराबर है:

(A) \log \left|\frac{(x-1)^2}{x-2}\right|+c (B) \log \left|\frac{(x-2)^2}{x-1}\right|+c
(C) \log \left|\frac{(x-1)^2}{x-2}\right|+c (D) \log |(x-1)(x-2)|+c
Solution:आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{x}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2} \\ =\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)} \\ \Rightarrow x=A(x-2)+B(x-1) \\ \text { put } x=2, x=B \Rightarrow B=2 \\ \text { put } x=1,1=A(-1) \Rightarrow A=4 \\ I=\int-\frac{1}{x-1} d x+2 \int \frac{d x}{x-2} \\ =-\log |x-1|+2 \log |x-2|+C \\ \Rightarrow I=\log \left|\frac{(x-2)^2}{x-1}\right|+C
अतः विकल्प (B) सही है।
Example:23. \int \frac{d x}{x\left(x^2+1\right)} बराबर है:

(A) \log |x|-\frac{1}{2} \log \left(x^2+1\right)+c (B)\log |x|+\frac{1}{2} \log \left(x^2+1\right)+c
(C) -\log |x|+\frac{1}{2} \log \left(x^2+1\right)+c (D) \frac{1}{2} \log |x|+\log \left(x^2+1\right)+c
Solution:आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^2+1} \\ =\frac{A\left(x^2+1\right)+(B x+C) x}{x\left(x^2+1\right)} \\ \Rightarrow 1=(A+B) x^2+ x+A
तुलना करने पर: A=1, C=0, A+B=0 \Rightarrow B=-1 \\ I=\int \frac{1}{x} d x-\int \frac{x}{x^2+1} d x \\ \Rightarrow I=\log |x|-\frac{1}{2} \log \left(x^2+1\right)+C
अतः विकल्प (A) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Partial Fractions 12th),कक्षा 12 में आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन कक्षा 12 पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Integration by Partial Fractions 12th):

Integration by Partial Fractions 12th

मान ज्ञात कीजिए:

(1.) \int \frac{d x}{x^2-x-2} (2.) \int \frac{\left(x^2-2\right) d x}{x^4+5 x^2+4}
उत्तर (Answers): (1.) \frac{1}{3} \log \left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C
(2.) \tan ^{-1} \frac{x}{2}-\tan ^{-1} x+C
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Partial Fractions 12th),कक्षा 12 में आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Integration by Partial Fractions 12th),कक्षा 12 में आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Partial Fractions 12th) के इस
आर्टिकल में परिमेय फलनों को आंशिक भिन्नों में वियोजित करके समाकलन करना सीखेंगे।