1.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method):

Integration by Substitution Class 12

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12) में स्वतन्त्र चर x को t में परिवर्तित करने के लिए x=g(t) प्रतिस्थापित करते हुए दिए गए समाकलन को अन्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

I=\int f(x) d x
अब x=g(t) प्रतिस्थापित कीजिए ताकि \frac{d x}{d t}=g^{\prime}(t) \Rightarrow d x=g^{\prime}(t) d t
लिखते हैं।
इस प्रकार I=f(x) d x=f\{g(t)\} g^{\prime}(t) d t
प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के लिए यह चर परिवर्तन का सूत्र हमारे पास उपलब्ध एक महत्त्वपूर्ण साधन है।
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2.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 के उदाहरण (Integration by Substitution Class 12 Examples):

1 से 36 तक के प्रश्नों में प्रत्येक का समाकलन ज्ञात कीजिए।
Example:1.\frac{2 x}{1+x^{2}}
Solution:I=\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x \\ \text { Put } 1+x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t} d t \\ =\log t+C \\ \Rightarrow I=\log \left(1+x^{2}\right)+C
Example:2.\frac{(\log x)^{2}}{x}
Solution:I=\int \frac{(\log x)^{2}}{x} d x \\ \text{ put } \log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=d t \\ I =\int t^{2} d t \\ =\frac{1}{3} t^{3}+C \\ \Rightarrow I =\frac{1}{3}(\log \mid x \mid)^{3}+C
Example:3.\frac{1}{x+x \log x}
Solution:I=\int \frac{1}{x+x \log x} d x \\ =\int \frac{1}{x(1+\log x)} d x \\ \text{ put } 1+\log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} dx=dt \\ I =\int \frac{1}{t} d t \\ =\log t+C \\ \Rightarrow I =\log |1+\log x|+C
Example:4. \sin x \sin (\cos x)
Solution:I=\int \sin x \sin (\cos x) d x \\ \text{ put } \cos x=t \Rightarrow-\sin x d x=d t \\ I=-\int \sin t dt \\=\cos t+C \\ \Rightarrow I =\cos (\cos x)+C
Example:5. \sin (a x+b) \cos (a x+b)
Solution:I= \int \sin (a x+b) \cos (a x+b) d x\\ \text { put } \sin (a x+b)=t \Rightarrow a \cos (a x+b) d x=d t\\ I=\frac{1}{a} \int t d t\\ =\frac{t^{2}}{2 a}+c\\ \Rightarrow I= \frac{1}{2 a} \sin ^{2}(a x+b) t +C
विकल्पत (Alternative): I=\int \sin (a x+b) \cos (a x+b) d x\\ =\frac{1}{2} \int 2 \sin (a x+b ) \cos(ax+b) d x \\ =\frac{1}{2} \int[\sin 2(a x+b)] d x \\ \text{put } 2(a x+b)=t \Rightarrow 2a dx=d t \\ =\frac{1}{4 a} \int \sin t d t \\ =-\frac{1}{4 a} \cos t+c \\ \Rightarrow I=-\frac{1}{4 a} \cos 2(a x+b)+c
Example:6. \sqrt{(a x+b)}
Solution:I =\int \sqrt{(a x+b)} d x \\ \text { put } a x+b =t \\ \Rightarrow a d x=d t \\ \Rightarrow d x=\frac{d t}{a} \\ I =\frac{1}{a} \int \sqrt{t} d t \\ =\frac{1}{a} \cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c \\ \Rightarrow I =\frac{2}{3 a} \cdot(a x+b)^{\frac{3}{2}}+C
Example:7. x \sqrt{x+2}
Solution:I=\int x \sqrt{x+2} dx \\ \text{ put } x+2=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\int(t-2) \sqrt{t} d t \\ =\int\left(t^{\frac{3}{2}}-2 t^{\frac{1}{2}}\right) d t \\ =\frac{t^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c \\ =\frac{2}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}+C
Example:8.x \sqrt{1+2 x^{2}}
Solution: I=\int x \sqrt{1+2 x^{2}} d x \\ \text{ Put } 1+2 x^{2}=t \Rightarrow 4 x d x=d t \\ I=\frac{1}{4} \int \sqrt{t} d t \\ =\frac{1}{4} \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{6}\left(1+2 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}+C
Example:9.(4 x+2) \sqrt{\left(x^{2}+x+1\right)}
Solution:I =\int(4 x+2) \sqrt{\left(x^{2}+x+1\right)} d x \\ x^{2}+x+1=t \\ (2 x+1) d x=dt \\ I =2 \int \sqrt{t} d t \\ =2 \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow I =\frac{4}{3} \left(x^{2}+x+1 \right)^{\frac{3}{2}}+C
Example:10.\frac{1}{x-\sqrt{x}}
Solution:I=\int \left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right) d x \\ =\int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} d x \\ \text { Put } \sqrt{x}-1=t \\ \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d t \\ I=2 \int \frac{1}{t} d t \\ =2 \log \mid t \mid+C \\ \Rightarrow I =2 \log \mid \sqrt{x}-1 \mid+C
Example:11.\frac{x}{\sqrt{x+4}}, x>0
Solution:I=\int \frac{x}{\sqrt{x+4}} d x \\ \text{Put } x+4=t \quad \Rightarrow d x=d t \\ I=\int \frac{t-4}{\sqrt{t}} dt \\ I=\int\left(t^{\frac{1}{2}}-4 t^{-\frac{1}{2}}\right) d t \\ =\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{4 t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C \\ \Rightarrow I=\frac{2}{3}(x+4)^{\frac{3}{2}}-8(x+4)^{\frac{1}{2}}+C \\ =\frac{2}{3} \sqrt{(x+4)}(x+4-12)+C \\ \Rightarrow I=\frac{2}{3} \sqrt{(x+4)}(x-8)+C
Example:12.\left(x^{3}-1\right)^{\frac{1}{3}} x^{5}
Solution:I=\int\left(x^{3}-1\right)^{\frac{1}{3}} x^{5} d x \\ \text{ Put } x^{3}-1=t \Rightarrow 3 x^{2} d x=dt \\ \Rightarrow I =\frac{1}{3} \int t^{\frac{1}{3}}(t+1) d t \\ =\frac{1}{3} \int\left(t^{\frac{4}{3}} + t^{\frac{1}{3}}\right) d t \\ =\frac{1}{3}\left[\frac{t^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}}+\frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}\right]+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{7}\left(x^{3}-1\right)^{\frac{7}{3}}+\frac{1}{4}\left(x^{3}-1\right)^{\frac{4}{3}}+C
Example:13.\frac{x^{2}}{\left(2+3 x^{3}\right)^{3}}
Solution:I=\int \frac{x^{2}}{\left(2+3 x^{3}\right)^{3}} d x \\ \text { Put } 2+3 x^{3}=t \Rightarrow 9 x^{2} d x=d t \\ I=\frac{1}{9} \int \frac{d t}{t^{3}} \\ =\frac{1}{9} \int t^{-3} d t \\ =\frac{1}{9} \frac{t^{-2}}{(-2)}+ C \\ \Rightarrow I=-\frac{1}{18\left(2+3 x^{3}\right)^{2}}+C
Example:14.\frac{1}{x(\log x)^{m}}, x>0
Solution:I=\int \frac{1}{x(\log x)^{m}} d x \\ \text{ put } \log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t^{m}} d t \\ =\int t^{-m} d t \\ =\frac{t^{-m+1}}{-m+1}+C \\ \Rightarrow I=\frac{(\log x)^{-m}}{1-m}+C
Example:15.\frac{x}{9-4 x^{2}}
Solution:I=\int \frac{x}{9-4 x^{2}} d x \\ \text{ Put } 9-4 x^{2}=t \\ (-8 x) d x=d t \\ \Rightarrow x d x=-\frac{1}{8} d t \\ I=-\frac{1}{8} \int \frac{1}{t} d t \\ =-\frac{1}{8} \log |t|+C \\ \Rightarrow I =-\frac{1}{8} \log \left|9-4 x^{2}\right|+C
Example:16.e^{2 x+3} 
Solution:I=\int e^{2 x+3} d x \\ \text{ put } 2 x+3=t \Rightarrow 2 d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int e^{t} d t \\ =\frac{1}{2} e^{t}+c \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2} e^{2 x+3}+C
Example:17.\frac{x}{e^{x^{2}}}
Solution:I=\int \frac{x}{e^{x^{2}}} d x \\ \text{put } x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{1}{e^{t}} d t \\ =\frac{1}{2} \int e^{-t d t} \\ =-\frac{1}{2} e^{-t}+C \\ I=-\frac{1}{2 e^{x^{2}}}+C
Example:18.\frac{e^{tan^{-1} x}}{1+x^{2}}
Solution:I=\int \frac{e^{tan^{-1} x} }{1+x^{2}} d x \\ \text { Put } \tan ^{-1} x=t \Rightarrow \frac{1}{1+x^{2}} d x=d t \\ I=\int e^{t} d t \\ =e^{t}+C \\ \Rightarrow I=e^{tan^{-1} x}+C

Integration by Substitution Class 12

Example:19.\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}
Solution:I=\int \frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1} d x \\ =\int\left(\frac{e^{x}-{e}^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right) d x \\ \text { Put } e^{x}+e^{-x}=t \\ \Rightarrow\left(e^{x}-e^{-x}\right) d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t} d t \\ I =\log t+C \\ \Rightarrow I=\log \left(e^{x}+e^{-x}\right)+C
Example:20.\tan ^{2}(2 x-3)
Solution:I=\int \tan ^{2}(2 x-3) d x \\ =\int\left[\sec ^{2}(2 x-3)-1\right] d x \\ =\int \sec ^{2}(2 x-3) d x-\int 1 \cdot d x \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2} \tan (2 x-3)-x+C
Example:21.\sec ^{2}(7-4 x)
Solution: I=\int \sec ^{2}(7-4 x) d x \\ \text{put }(7-4 x)=t \Rightarrow-4 d x=d t \\ I =-\frac{1}{4} \int \sec ^{2} t d t \\ I=-\frac{1}{4} \tan t+C \\ \Rightarrow I =-\frac{1}{4} \tan (7-4 x)+C
Example:22.\frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}}
Solution:I=\int \frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}} d x \\ \text{ put } \sin ^{-1} x=t \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}} d x=d t \\ I =\int t \cdot d t \\ =\frac{t^{2}}{2}+c \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2}\left(\sin ^{-1} x\right)^{2}+C
Example:23.\frac{2 \cos x-3 \sin x}{6 \cos x+4 \sin x}
Solution:I =\int \frac{2 \cos x-3 \sin x}{6 \cos x+4 \sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{2 \cos x-3 \sin x}{3 \cos x+2 \sin x} d x \\ \text { put }(3 \cos x+2 \sin x)=t \\ -(3 \sin x+2 \cos x) d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t} \\ =\frac{1}{2} \log |t|+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \log |3 \cos x+2 \sin x|+C
Example:24.\frac{1}{\cos ^{2} x\left(1-\tan x\right)^{2}}
Solution:I=\int \frac{1}{\cos ^{2} x(1-\tan x)^{2}} d x \\ =\int \frac{\sec ^{2} x}{(1-\tan x)^{2}} d x \\ \text{ put }1-\tan x=t \Rightarrow-\sec ^{2} x dx=dt \\ I =-\int \frac{1}{t^{2}} d t \\ =-\int t^{-2} d t \\ =-\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C \\ =-t^{-1}+C \\ =\frac{1}{t}+C \\ \Rightarrow I =\frac{1}{1-\tan x}+C
Example:25.\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}
Solution:I=\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x \\ \text{ put } \sqrt{x}=t \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=dt \\ I=2 \int \cos t d t \\ =2 \sin t+C \\ \Rightarrow I=2 \sin \sqrt{x}+C
Example:26.\sqrt{\sin 2 x} \cos 2 x
Solution:I=\int \sqrt{\sin 2 x} \cos 2 x d x \\ \text{Put } \sin 2 x=t \Rightarrow 2 \cos 2 x d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int \sqrt{t} d t \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{3}(\sin 2 x)^{\frac{3}{2}}+C
Example:27. \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}
Solution:I =\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}} d x \\ \text { Put } 1+\sin x=t \Rightarrow \cos x d x=d t \\ I=\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t \\ =\int t^{-\frac{1}{2}} d t \\ =\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C \\ =2 \sqrt{t}+c \\ \Rightarrow I=2 \sqrt{1+\sin x}+C
Example:28.\cot x \log \sin x
Solution:I=\int \cot x \log \sin x d x \\ \text{ put } \log \sin x=t \Rightarrow \cot x d x=d t \\ I=\int t dt \\ =\frac{1}{2} t^{2}+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2}(\log \sin x)^{2}+C
Example:29. \frac{\sin x}{1+\cos x}
Solution:I=\int \frac{\sin x}{1+\cos x} d x \\ \text{put } (1+\cos x)=t \Rightarrow-\sin x d x=d t \\ I=-\int \frac{1}{t} d t \\ =-\log |t|+c \\ \Rightarrow I=-\log |1+\cos x|+C
Example:30.\frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}}
Solution:I=\int \frac{\sin x}{\left(1+\cos ^{2}\right)^{2}} d x \\ \text{Put } 1+\cos x=t \Rightarrow-\sin x d x=dt \\ I=-\int \frac{1}{t^{2}} d t \\ =-\int \bar{t}^{2} d t \\ =-\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C \\ =\frac{1}{t}+C \\ \Rightarrow I =\frac{1}{1+\cos x}+C
Example:31.\frac{1}{1+\cot x}
Solution:I=\int \frac{1}{1+\cot x} d x \\ =\int \frac{1}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} d x \\ =\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x \\=\frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\sin x+\cos x+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} d x+\frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int 1 \cdot d x+\frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ \text { put } \sin x+\cos x=t \Rightarrow(\cos x-\sin x) dx=dt \\ I=\frac{x}{2}-\frac{1}{2} \int t \\ =\frac{x}{2}-\frac{1}{2} \log \mid t \mid+ C \\ \Rightarrow I=\frac{x}{2}-\log \mid \sin x+\cos x \mid+C
Example:32.\frac{1}{1-\tan x}
Solution:I=\int \frac{1}{1-\tan x} d x \\ =\int \frac{1}{1-\frac{\sin x}{\cos x}} d x \\ =\int \frac{\cos x}{\cos x-\sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{2 \cos x}{\cos x-\sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x+\cos x-\sin x}{\cos x-\sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x-\sin x} d x \\ =-\frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}+\frac{1}{2} \int 1 \cdot d x \\ \text { put } \cos x-\sin x =t \Rightarrow(-\sin x-\cos x) d x=d t \\ I =-\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t}+\frac{x}{2}+C \\ =-\frac{1}{2} \log |t|+\frac{x}{2} t+C \\ \Rightarrow I =-\frac{1}{2} \log |\cos x-\sin x|+\frac{x}{2}+C
Example:33.\frac{\sqrt{t a n x}}{\sin x \cos x}
Solution:I=\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x \\ =\int \frac{\sqrt{t a x} x}{\tan x \cos 2 x} d x \\ =\int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan x}} d x \\ \text { Put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t \\ I =\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t \\ =\int \frac{-\frac{1}{2}}{t} d t \\ =\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C \\ \Rightarrow =2 \sqrt{\tan x}+C
Example:34.\frac{(1+\log x)^{2}}{x}
Solution:I=\int \frac{(1+\log x)^{2}}{x} d x \\ \text{ Put } 1+\log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=d t \\ I=\int t^{2} d t \\ =\frac{1}{3} t^{3}+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{3}(1+\log x)^{3}+C
Example:35.\frac{x^{3} \sin \left(\tan ^{-1} x^{4}\right)}{1+x^{8}}
Solution: I =\int \frac{x^{3} \sin \left(\tan^{-1} x^{4}\right)}{1+x^{8}} d x \\ \text{ put } \tan ^{-1} x^{4}=t \Rightarrow \frac{1}{1+x^{8}} \cdot 4 x^{3} d x=d t \\ I=\frac{1}{4} \int \sin t d t \\ =\frac{1}{4} \cdot(-\cos t)+C \\ I=-\frac{1}{4} \cos \left(\tan ^{-1} x^{4}\right)+C
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 की समस्याएँ (Integration by Substitution Class 12 Problems):
निम्न फलनों का समाकलन ज्ञात कीजिए:

Integration by Substitution Class 12

उत्तर (Answers): (1.) \frac{1}{3}(x+\log x)^{3}+C \\ (2.) \tan x-\cot x+C \\ (3) \log \left(10^{x}+x^{10}\right)+C
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12) में स्वतन्त्र चर x
को t में परिवर्तित करने के लिए x=g(t) प्रतिस्थापित करते हुए दिए गए समाकलन को अन्य रूप
में परिवर्तित किया जा सकता है।