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Integration by Substitution Class 12

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1 1.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method):

1.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method):

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12) में स्वतन्त्र चर x को t में परिवर्तित करने के लिए x=g(t) प्रतिस्थापित करते हुए दिए गए समाकलन को अन्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

I=\int f(x) d x
अब x=g(t) प्रतिस्थापित कीजिए ताकि \frac{d x}{d t}=g^{\prime}(t) \Rightarrow d x=g^{\prime}(t) d t
लिखते हैं।
इस प्रकार I=f(x) d x=f\{g(t)\} g^{\prime}(t) d t
प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के लिए यह चर परिवर्तन का सूत्र हमारे पास उपलब्ध एक महत्त्वपूर्ण साधन है।
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2.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 के उदाहरण (Integration by Substitution Class 12 Examples):

1 से 36 तक के प्रश्नों में प्रत्येक का समाकलन ज्ञात कीजिए।
Example:1.\frac{2 x}{1+x^{2}}
Solution:I=\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x \\ \text { Put } 1+x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t} d t \\ =\log t+C \\ \Rightarrow I=\log \left(1+x^{2}\right)+C
Example:2.\frac{(\log x)^{2}}{x}
Solution:I=\int \frac{(\log x)^{2}}{x} d x \\ \text{ put } \log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=d t \\ I =\int t^{2} d t \\ =\frac{1}{3} t^{3}+C \\ \Rightarrow I =\frac{1}{3}(\log \mid x \mid)^{3}+C
Example:3.\frac{1}{x+x \log x}
Solution:I=\int \frac{1}{x+x \log x} d x \\ =\int \frac{1}{x(1+\log x)} d x \\ \text{ put } 1+\log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} dx=dt \\ I =\int \frac{1}{t} d t \\ =\log t+C \\ \Rightarrow I =\log |1+\log x|+C
Example:4. \sin x \sin (\cos x)
Solution:I=\int \sin x \sin (\cos x) d x \\ \text{ put } \cos x=t \Rightarrow-\sin x d x=d t \\ I=-\int \sin t dt \\=\cos t+C \\ \Rightarrow I =\cos (\cos x)+C
Example:5. \sin (a x+b) \cos (a x+b)
Solution:I= \int \sin (a x+b) \cos (a x+b) d x\\ \text { put } \sin (a x+b)=t \Rightarrow a \cos (a x+b) d x=d t\\ I=\frac{1}{a} \int t d t\\ =\frac{t^{2}}{2 a}+c\\ \Rightarrow I= \frac{1}{2 a} \sin ^{2}(a x+b) t +C
विकल्पत (Alternative): I=\int \sin (a x+b) \cos (a x+b) d x\\ =\frac{1}{2} \int 2 \sin (a x+b ) \cos(ax+b) d x \\ =\frac{1}{2} \int[\sin 2(a x+b)] d x \\ \text{put } 2(a x+b)=t \Rightarrow 2a dx=d t \\ =\frac{1}{4 a} \int \sin t d t \\ =-\frac{1}{4 a} \cos t+c \\ \Rightarrow I=-\frac{1}{4 a} \cos 2(a x+b)+c
Example:6. \sqrt{(a x+b)}
Solution:I =\int \sqrt{(a x+b)} d x \\ \text { put } a x+b =t \\ \Rightarrow a d x=d t \\ \Rightarrow d x=\frac{d t}{a} \\ I =\frac{1}{a} \int \sqrt{t} d t \\ =\frac{1}{a} \cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c \\ \Rightarrow I =\frac{2}{3 a} \cdot(a x+b)^{\frac{3}{2}}+C
Example:7. x \sqrt{x+2}
Solution:I=\int x \sqrt{x+2} dx \\ \text{ put } x+2=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\int(t-2) \sqrt{t} d t \\ =\int\left(t^{\frac{3}{2}}-2 t^{\frac{1}{2}}\right) d t \\ =\frac{t^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c \\ =\frac{2}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}+C
Example:8.x \sqrt{1+2 x^{2}}
Solution: I=\int x \sqrt{1+2 x^{2}} d x \\ \text{ Put } 1+2 x^{2}=t \Rightarrow 4 x d x=d t \\ I=\frac{1}{4} \int \sqrt{t} d t \\ =\frac{1}{4} \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{6}\left(1+2 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}+C
Example:9.(4 x+2) \sqrt{\left(x^{2}+x+1\right)}
Solution:I =\int(4 x+2) \sqrt{\left(x^{2}+x+1\right)} d x \\ x^{2}+x+1=t \\ (2 x+1) d x=dt \\ I =2 \int \sqrt{t} d t \\ =2 \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow I =\frac{4}{3} \left(x^{2}+x+1 \right)^{\frac{3}{2}}+C
Example:10.\frac{1}{x-\sqrt{x}}
Solution:I=\int \left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right) d x \\ =\int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} d x \\ \text { Put } \sqrt{x}-1=t \\ \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d t \\ I=2 \int \frac{1}{t} d t \\ =2 \log \mid t \mid+C \\ \Rightarrow I =2 \log \mid \sqrt{x}-1 \mid+C
Example:11.\frac{x}{\sqrt{x+4}}, x>0
Solution:I=\int \frac{x}{\sqrt{x+4}} d x \\ \text{Put } x+4=t \quad \Rightarrow d x=d t \\ I=\int \frac{t-4}{\sqrt{t}} dt \\ I=\int\left(t^{\frac{1}{2}}-4 t^{-\frac{1}{2}}\right) d t \\ =\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{4 t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C \\ \Rightarrow I=\frac{2}{3}(x+4)^{\frac{3}{2}}-8(x+4)^{\frac{1}{2}}+C \\ =\frac{2}{3} \sqrt{(x+4)}(x+4-12)+C \\ \Rightarrow I=\frac{2}{3} \sqrt{(x+4)}(x-8)+C
Example:12.\left(x^{3}-1\right)^{\frac{1}{3}} x^{5}
Solution:I=\int\left(x^{3}-1\right)^{\frac{1}{3}} x^{5} d x \\ \text{ Put } x^{3}-1=t \Rightarrow 3 x^{2} d x=dt \\ \Rightarrow I =\frac{1}{3} \int t^{\frac{1}{3}}(t+1) d t \\ =\frac{1}{3} \int\left(t^{\frac{4}{3}} + t^{\frac{1}{3}}\right) d t \\ =\frac{1}{3}\left[\frac{t^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}}+\frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}\right]+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{7}\left(x^{3}-1\right)^{\frac{7}{3}}+\frac{1}{4}\left(x^{3}-1\right)^{\frac{4}{3}}+C
Example:13.\frac{x^{2}}{\left(2+3 x^{3}\right)^{3}}
Solution:I=\int \frac{x^{2}}{\left(2+3 x^{3}\right)^{3}} d x \\ \text { Put } 2+3 x^{3}=t \Rightarrow 9 x^{2} d x=d t \\ I=\frac{1}{9} \int \frac{d t}{t^{3}} \\ =\frac{1}{9} \int t^{-3} d t \\ =\frac{1}{9} \frac{t^{-2}}{(-2)}+ C \\ \Rightarrow I=-\frac{1}{18\left(2+3 x^{3}\right)^{2}}+C
Example:14.\frac{1}{x(\log x)^{m}}, x>0
Solution:I=\int \frac{1}{x(\log x)^{m}} d x \\ \text{ put } \log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t^{m}} d t \\ =\int t^{-m} d t \\ =\frac{t^{-m+1}}{-m+1}+C \\ \Rightarrow I=\frac{(\log x)^{-m}}{1-m}+C
Example:15.\frac{x}{9-4 x^{2}}
Solution:I=\int \frac{x}{9-4 x^{2}} d x \\ \text{ Put } 9-4 x^{2}=t \\ (-8 x) d x=d t \\ \Rightarrow x d x=-\frac{1}{8} d t \\ I=-\frac{1}{8} \int \frac{1}{t} d t \\ =-\frac{1}{8} \log |t|+C \\ \Rightarrow I =-\frac{1}{8} \log \left|9-4 x^{2}\right|+C
Example:16.e^{2 x+3} 
Solution:I=\int e^{2 x+3} d x \\ \text{ put } 2 x+3=t \Rightarrow 2 d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int e^{t} d t \\ =\frac{1}{2} e^{t}+c \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2} e^{2 x+3}+C
Example:17.\frac{x}{e^{x^{2}}}
Solution:I=\int \frac{x}{e^{x^{2}}} d x \\ \text{put } x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{1}{e^{t}} d t \\ =\frac{1}{2} \int e^{-t d t} \\ =-\frac{1}{2} e^{-t}+C \\ I=-\frac{1}{2 e^{x^{2}}}+C
Example:18.\frac{e^{tan^{-1} x}}{1+x^{2}}
Solution:I=\int \frac{e^{tan^{-1} x} }{1+x^{2}} d x \\ \text { Put } \tan ^{-1} x=t \Rightarrow \frac{1}{1+x^{2}} d x=d t \\ I=\int e^{t} d t \\ =e^{t}+C \\ \Rightarrow I=e^{tan^{-1} x}+C

Example:19.\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}
Solution:I=\int \frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1} d x \\ =\int\left(\frac{e^{x}-{e}^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right) d x \\ \text { Put } e^{x}+e^{-x}=t \\ \Rightarrow\left(e^{x}-e^{-x}\right) d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t} d t \\ I =\log t+C \\ \Rightarrow I=\log \left(e^{x}+e^{-x}\right)+C
Example:20.\tan ^{2}(2 x-3)
Solution:I=\int \tan ^{2}(2 x-3) d x \\ =\int\left[\sec ^{2}(2 x-3)-1\right] d x \\ =\int \sec ^{2}(2 x-3) d x-\int 1 \cdot d x \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2} \tan (2 x-3)-x+C
Example:21.\sec ^{2}(7-4 x)
Solution: I=\int \sec ^{2}(7-4 x) d x \\ \text{put }(7-4 x)=t \Rightarrow-4 d x=d t \\ I =-\frac{1}{4} \int \sec ^{2} t d t \\ I=-\frac{1}{4} \tan t+C \\ \Rightarrow I =-\frac{1}{4} \tan (7-4 x)+C
Example:22.\frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}}
Solution:I=\int \frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}} d x \\ \text{ put } \sin ^{-1} x=t \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}} d x=d t \\ I =\int t \cdot d t \\ =\frac{t^{2}}{2}+c \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2}\left(\sin ^{-1} x\right)^{2}+C
Example:23.\frac{2 \cos x-3 \sin x}{6 \cos x+4 \sin x}
Solution:I =\int \frac{2 \cos x-3 \sin x}{6 \cos x+4 \sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{2 \cos x-3 \sin x}{3 \cos x+2 \sin x} d x \\ \text { put }(3 \cos x+2 \sin x)=t \\ -(3 \sin x+2 \cos x) d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t} \\ =\frac{1}{2} \log |t|+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \log |3 \cos x+2 \sin x|+C
Example:24.\frac{1}{\cos ^{2} x\left(1-\tan x\right)^{2}}
Solution:I=\int \frac{1}{\cos ^{2} x(1-\tan x)^{2}} d x \\ =\int \frac{\sec ^{2} x}{(1-\tan x)^{2}} d x \\ \text{ put }1-\tan x=t \Rightarrow-\sec ^{2} x dx=dt \\ I =-\int \frac{1}{t^{2}} d t \\ =-\int t^{-2} d t \\ =-\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C \\ =-t^{-1}+C \\ =\frac{1}{t}+C \\ \Rightarrow I =\frac{1}{1-\tan x}+C
Example:25.\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}
Solution:I=\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x \\ \text{ put } \sqrt{x}=t \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=dt \\ I=2 \int \cos t d t \\ =2 \sin t+C \\ \Rightarrow I=2 \sin \sqrt{x}+C
Example:26.\sqrt{\sin 2 x} \cos 2 x
Solution:I=\int \sqrt{\sin 2 x} \cos 2 x d x \\ \text{Put } \sin 2 x=t \Rightarrow 2 \cos 2 x d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int \sqrt{t} d t \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{3}(\sin 2 x)^{\frac{3}{2}}+C
Example:27. \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}
Solution:I =\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}} d x \\ \text { Put } 1+\sin x=t \Rightarrow \cos x d x=d t \\ I=\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t \\ =\int t^{-\frac{1}{2}} d t \\ =\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C \\ =2 \sqrt{t}+c \\ \Rightarrow I=2 \sqrt{1+\sin x}+C
Example:28.\cot x \log \sin x
Solution:I=\int \cot x \log \sin x d x \\ \text{ put } \log \sin x=t \Rightarrow \cot x d x=d t \\ I=\int t dt \\ =\frac{1}{2} t^{2}+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2}(\log \sin x)^{2}+C
Example:29. \frac{\sin x}{1+\cos x}
Solution:I=\int \frac{\sin x}{1+\cos x} d x \\ \text{put } (1+\cos x)=t \Rightarrow-\sin x d x=d t \\ I=-\int \frac{1}{t} d t \\ =-\log |t|+c \\ \Rightarrow I=-\log |1+\cos x|+C
Example:30.\frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}}
Solution:I=\int \frac{\sin x}{\left(1+\cos ^{2}\right)^{2}} d x \\ \text{Put } 1+\cos x=t \Rightarrow-\sin x d x=dt \\ I=-\int \frac{1}{t^{2}} d t \\ =-\int \bar{t}^{2} d t \\ =-\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C \\ =\frac{1}{t}+C \\ \Rightarrow I =\frac{1}{1+\cos x}+C
Example:31.\frac{1}{1+\cot x}
Solution:I=\int \frac{1}{1+\cot x} d x \\ =\int \frac{1}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} d x \\ =\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x \\=\frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\sin x+\cos x+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} d x+\frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int 1 \cdot d x+\frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ \text { put } \sin x+\cos x=t \Rightarrow(\cos x-\sin x) dx=dt \\ I=\frac{x}{2}-\frac{1}{2} \int t \\ =\frac{x}{2}-\frac{1}{2} \log \mid t \mid+ C \\ \Rightarrow I=\frac{x}{2}-\log \mid \sin x+\cos x \mid+C
Example:32.\frac{1}{1-\tan x}
Solution:I=\int \frac{1}{1-\tan x} d x \\ =\int \frac{1}{1-\frac{\sin x}{\cos x}} d x \\ =\int \frac{\cos x}{\cos x-\sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{2 \cos x}{\cos x-\sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x+\cos x-\sin x}{\cos x-\sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x-\sin x} d x \\ =-\frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}+\frac{1}{2} \int 1 \cdot d x \\ \text { put } \cos x-\sin x =t \Rightarrow(-\sin x-\cos x) d x=d t \\ I =-\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t}+\frac{x}{2}+C \\ =-\frac{1}{2} \log |t|+\frac{x}{2} t+C \\ \Rightarrow I =-\frac{1}{2} \log |\cos x-\sin x|+\frac{x}{2}+C
Example:33.\frac{\sqrt{t a n x}}{\sin x \cos x}
Solution:I=\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x \\ =\int \frac{\sqrt{t a x} x}{\tan x \cos 2 x} d x \\ =\int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan x}} d x \\ \text { Put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t \\ I =\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t \\ =\int \frac{-\frac{1}{2}}{t} d t \\ =\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C \\ \Rightarrow =2 \sqrt{\tan x}+C
Example:34.\frac{(1+\log x)^{2}}{x}
Solution:I=\int \frac{(1+\log x)^{2}}{x} d x \\ \text{ Put } 1+\log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=d t \\ I=\int t^{2} d t \\ =\frac{1}{3} t^{3}+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{3}(1+\log x)^{3}+C
Example:35.\frac{x^{3} \sin \left(\tan ^{-1} x^{4}\right)}{1+x^{8}}
Solution: I =\int \frac{x^{3} \sin \left(\tan^{-1} x^{4}\right)}{1+x^{8}} d x \\ \text{ put } \tan ^{-1} x^{4}=t \Rightarrow \frac{1}{1+x^{8}} \cdot 4 x^{3} d x=d t \\ I=\frac{1}{4} \int \sin t d t \\ =\frac{1}{4} \cdot(-\cos t)+C \\ I=-\frac{1}{4} \cos \left(\tan ^{-1} x^{4}\right)+C
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 की समस्याएँ (Integration by Substitution Class 12 Problems):
निम्न फलनों का समाकलन ज्ञात कीजिए:

(1.) \frac{(x+1)(x+\log x)^{2}}{x} \\ (2 ) \frac{1}{\sin^{2} x \cos ^{2} x} \\ (3.) \frac{10 x^{9}+10^{x} \log e^{10} }{x^{10}+10^{x}}

उत्तर (Answers): (1.) \frac{1}{3}(x+\log x)^{3}+C \\ (2.) \tan x-\cot x+C \\ (3) \log \left(10^{x}+x^{10}\right)+C
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि को स्पष्ट कीजिए। (Explain the method of integration by substitution):

उत्तर:समाकलन के चर में परिवर्तन दिए हुए समाकलन को किसी एक आधारभूत समाकलन में परिवर्तित कर देता है।यह विधि जिसमें हम एक चर को किसी दूसरे चर में परिवर्तित करते हैं प्रतिस्थापन विधि कहलाती है।जब समाकल्य में कुछ त्रिकोणमितीय फलन सम्मिलित हों तो हम समाकलन ज्ञात करने के लिए कुछ सुपरिचित सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हैं।

प्रश्न:2.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन में किस बात का ध्यान रखेंगे? (What considerations would you bear in mind while integration by substitution?):

उत्तर:उपयोगी प्रतिस्थापन क्या होगा इसका अनुमान लगाना हमेशा महत्त्वपूर्ण है।सामान्यतः हम एक ऐसे फलन के लिए प्रतिस्थापन करते हैं जिसका अवकलज भी समाकल्य में सम्मिलित हों।

प्रश्न:3.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के कुछ प्रामाणिक सूत्र लिखो।(Write down some standard formulae of integration by substitution):

उत्तर:प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए कुछ निम्नलिखित प्रामाणिक सूत्रों का प्रयोग करते हैं:
(i) \int \tan x d x=\log \mid \sec x \mid+c \\ (ii) \int \cot x d x=\log |\sin x|+c \\ (iii) \int \sec x d x=\log |\sec x+\tan x|+c \\ (iv) \int cosec x d x=\log |\operatorname{cosec} x-\cot x|+C
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12),प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि (Integration by Substitution Method) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Integration by Substitution Class 12

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12
(Integration by Substitution Class 12)

Integration by Substitution Class 12

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कक्षा 12 (Integration by Substitution Class 12) में स्वतन्त्र चर x
को t में परिवर्तित करने के लिए x=g(t) प्रतिस्थापित करते हुए दिए गए समाकलन को अन्य रूप
में परिवर्तित किया जा सकता है।

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