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Examples of complex numbers

1.सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण का परिचय (Introduction to Examples of complex numbers)-

सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण (Examples of complex numbers) के द्वारा हम सम्मिश्र संख्याओं को समझेंगे। इससे पूर्व आर्टिकल में हमने सम्मिश्र संख्याओं तथा संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्मों का उल्लेख किया था। इसलिए इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व उस आर्टिकल को अवश्य पढ़ना चाहिए।
(1.)काल्पनिक संख्या (Imaginary number)-
उस प्रत्येक संख्या को जिसका वर्ग ऋणात्मक संख्या हो,अधिकल्पित या काल्पनिक संख्या कहते हैं।
(2.)क्रमित युग्म के रूप में सम्मिश्र राशि (Complex Number as ordered pair)-
हेमिल्टन (1805-1865) ने सम्मिश्र राशि को एक क्रमित युग्म के रूप में परिभाषित किया जिसके अनुसार सम्मिश्र राशि z=a+ib को (a,b) से निरूपित किया जाता है।सम्मिश्र राशि z के वास्तविक तथा काल्पनिक भाग को क्रमशः Re(z) और Im(z) से व्यक्त करते हैं।
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2.सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण,सम्मिश्र संख्या की समस्याएं (Examples of complex numbers,complex numbers problems)-

Example-1. { \left( 1+i \right) }^{ 5 }{ \left( 1-i \right) }^{ 5 } को सरल रूप में लिखिए।
Solution{ \left( 1+i \right) }^{ 5 }{ \left( 1-i \right) }^{ 5 }\\ ={ \left[ \left( 1+i \right) \left( 1-i \right) \right] }^{ 5 }\\ ={ \left[ 1-{ i }^{ 2 } \right] }^{ 5 }\\ ={ \left[ 1+1 \right] }^{ 5 }\\ ={ 2 }^{ 5 }\\ =32
Example-2. \frac { 1 }{ 3+4i } का योज्य और गुणन प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
Solution\frac { 1 }{ 3+4i } \\ =\frac { 1 }{ 3+4i } \times \frac { 3-4i }{ 3-4i } \\ =\frac { 3-4i }{ 9-16{ i }^{ 2 } } \\ =\frac { 3-4i }{ 9+16 } \\ =\frac { 3 }{ 25 } -\frac { 4 }{ 25 } i
योज्य प्रतिलोम==-\left( \frac { 3 }{ 25 } -\frac { 4 }{ 25 } i \right) \\ =-\frac { 3 }{ 25 } +\frac { 4 }{ 25 } i
गुणन प्रतिलोम=3+4i
Example-3.सम्मिश्र संख्या \frac { { \left( 2+i \right) }^{ 3 } }{ 3+i } की संयुग्मी संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution\frac { { \left( 2+i \right) }^{ 3 } }{ 3+i } \\ =\frac { 8+12i-6-i }{ 3+i } \\ =\frac { 2+11i }{ 3+i } \times \frac { 3-i }{ 3-i } \\ =\frac { 6-2i+33i+11 }{ 9+1 } \\ =\frac { 17+31i }{ 10 } \\ =\frac { 17 }{ 10 } +\frac { 31 }{ 10 } i
संयुग्मी संख्या==\frac { 17 }{ 10 } -\frac { 31 }{ 10 } i
Example-4.\frac { 1 }{ 2-3i } का मापांक ज्ञात करो।
Solution-\frac { 1 }{ 2-3i } \\ \left| \frac { 1 }{ 2-3i } \right| \\ =\frac { 1 }{ \left| 2-3i \right| } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ \left( -3 \right) }^{ 2 } } } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 4+9 } } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 13 } }

इस प्रकार उपर्युक्त सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण (Examples of complex numbers) के द्वारा सम्मिश्र संख्याओं को समझा जा सकता है।
Example-5.यदि { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }=1 तो \frac { 1+b+ia }{ 1+b-ia } का मान ज्ञात कीजिए।
Solution-\frac { 1+b+ia }{ 1+b-ia } \\ \frac { 1+b+ia }{ 1+b-ia } =\frac { \left( 1+b+ia \right) \left( 1+b+ia \right) }{ \left( 1+b-ia \right) \left( 1+b+ia \right) } \\ =\frac { 1+b+ia+b+{ b }^{ 2 }+iab+ia+iab-{ a }^{ 2 } }{ { \left( 1+b \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \\ =\frac { 1+2b+{ b }^{ 2 }-{ a }^{ 2 }+2ia+2iab }{ 1+2b+{ b }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \\ =\frac { 1+2b+{ b }^{ 2 }-{ a }^{ 2 }+2i\left( a+ab \right) }{ 1+2b+1 } \\ =\frac { 1+2b+{ b }^{ 2 }-\left( 1-{ b }^{ 2 } \right) +2ia\left( 1+b \right) }{ 1+2b+1 } \\ =\frac { 1+2b+{ b }^{ 2 }-1+{ b }^{ 2 }+2ia\left( 1+b \right) }{ 1+2b+1 } \\ =\frac { 2b\left( 1+b \right) +2ia\left( 1+b \right) }{ 2\left( 1+b \right) } \\ =\frac { 2\left( 1+b \right) \left( b+ia \right) }{ 2\left( 1+b \right) } \\ =b+ia
Example-6.समीकरण \frac { \left( 1+i \right) x-2i }{ 3+i } +\frac { \left( 2-3i \right) y+i }{ 3-i } =i को सन्तुष्ट करनेवाले x,y के मान ज्ञात कीजिए।
Solution\frac { \left( 1+i \right) x-2i }{ 3+i } +\frac { \left( 2-3i \right) y+i }{ 3-i } =i\\ \Rightarrow \frac { \left( x+xi-2i \right) \left( 3-i \right) }{ \left( 3+i \right) \left( 3-i \right) } +\frac { \left( 2y-3iy+i \right) \left( 3+i \right) }{ \left( 3-i \right) \left( 3+i \right) } =i\\ \Rightarrow \frac { 3x-ix+3ix+x-6i-2 }{ 9+1 } +\frac { 6y+2iy-9iy+3y+3i-1 }{ 9+1 } =i\\ \Rightarrow \frac { 4x+2ix-6i-2 }{ 10 } +\frac { 9y-7iy+3i-1 }{ 10 } =i\\ \Rightarrow 4x+9y+2ix-7iy-3i-3=10i\\ \Rightarrow \left( 4x+9y-3 \right) +i\left( 2x-7y-3 \right) =10i
दोनों पक्षों के वास्तविक व काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-
4x+9y-3=0 ………(1)
2x-7y-3=10 ………( 2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर-
4x-14y-6=20 ……..(3)
4x+9y-3=0 ………(1)
– – + घटाने पर-
————————————-
-23y-3=20
-23y=23
y=-1
y का मान समीकरण (1) में रखने पर-
4x+9(-1)-3=0
4x-12=0
x=\frac { 12 }{ 4 }
x=3

इस प्रकार उपर्युक्त सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण (Examples of complex numbers) के द्वारा सम्मिश्र संख्याओं को समझा जा सकता है।

Example-7.यदि a+ib=\frac { c+i }{ c-i } , जहां c एक वास्तविक संख्या हो तो सिद्ध कीजिए कि { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }=1 और \frac { b }{ a } =\frac { 2c }{ { c }^{ 2 }-1 }
Solution-a+ib=\frac { c+i }{ c-i } \\ \Rightarrow a+ib=\frac { \left( c+i \right) }{ \left( c-i \right) } \times \frac { \left( c+i \right) }{ \left( c+i \right) } \\ \Rightarrow a+ib=\frac { { c }^{ 2 }+2ci+{ i }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 }-{ i }^{ 2 } } \\ \Rightarrow a+ib=\frac { { c }^{ 2 }-1+2ci }{ { c }^{ 2 }+1 } \\ \\ \Rightarrow a+ib=\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } +\frac { 2ci }{ { c }^{ 2 }+1 }
दोनों पक्षों के वास्तविक व काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

\Rightarrow a=\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } ...(1)\quad and\quad b=\frac { 2c }{ { c }^{ 2 }+1 } ..(2)

समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने पर-

\Rightarrow { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }=\frac { { \left( { c }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 } }{ { \left( { c }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } } +\frac { { \left( 2c \right) }^{ 2 } }{ { \left( { c }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } } \\ =\frac { { c }^{ 4 }-2{ c }^{ 2 }+1+4{ c }^{ 2 } }{ { \left( { c }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } } \\ =\frac { { c }^{ 4 }+2{ c }^{ 2 }+1 }{ { \left( { c }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } } \\ =\frac { { \left( { c }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } }{ { \left( { c }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }=1
समीकरण (2) में (1) का भाग देने पर-

\Rightarrow \frac { b }{ a } =\frac { \frac { 2c }{ { c }^{ 2 }+1 } }{ \frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } } \\ \Rightarrow \frac { b }{ a } =\frac { 2c }{ { c }^{ 2 }-1 }
Example-8.यदि { \left( x+iy \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }=a+ib है तो सिद्ध कीजिए कि \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =4\left( { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right)
Solution{ \left( x+iy \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }=a+ib\\ \Rightarrow x+iy={ \left( a+ib \right) }^{ 3 }\\ \Rightarrow x+iy={ a }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }bi+3a{ i }^{ 2 }{ b }^{ 2 }+{ i }^{ 3 }{ b }^{ 3 }\\ \Rightarrow x+iy={ a }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }bi-3a{ b }^{ 2 }-{ i }{ b }^{ 3 }\\ \Rightarrow x+iy={ a }^{ 3 }-3a{ b }^{ 2 }+i\left( 3{ a }^{ 2 }b-{ b }^{ 3 } \right)
दोनों पक्षों के वास्तविक व काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

x={ a }^{ 3 }-3a{ b }^{ 2 }\\ \Rightarrow x=a\left( { a }^{ 2 }-3{ b }^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow \frac { x }{ a } ={ a }^{ 2 }-3{ b }^{ 2 }\\ y=3{ a }^{ 2 }b-{ b }^{ 3 }\\ \Rightarrow y=b\left( 3{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow \frac { y }{ b } =3{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }...(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर-

\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =3{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-3{ b }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =4{ a }^{ 2 }-4{ b }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =4\left( { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right)
Example-9.यदि \frac { { \left( x+i \right) }^{ 2 } }{ 3x+2 } =a+ib है, तो सिद्ध कीजिए कि \frac { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } }{ { \left( 3x+2 \right) }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }
Solution-\frac { { \left( x+i \right) }^{ 2 } }{ 3x+2 } =a+ib\\ \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+2xi+{ i }^{ 2 } }{ 3x+2 } =a+ib\\ \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ 3x+2 } +\frac { 2xi }{ 3x+2 } =a+ib
दोनों पक्षों के वास्तविक व काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ 3x+2 } =a...(1)\\ \Rightarrow \frac { 2x }{ 3x+2 } =b...(2)

समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने पर-

\frac { { \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 } }{ { \left( 3x+2 \right) }^{ 2 } } +\frac { { \left( 2x \right) }^{ 2 } }{ { \left( 3x+2 \right) }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { { x }^{ 4 }-2{ x }^{ 2 }+1+4{ x }^{ 2 } }{ { \left( 3x+2 \right) }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { { x }^{ 4 }+2{ x }^{ 2 }+1 }{ { \left( 3x+2 \right) }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } }{ { \left( 3x+2 \right) }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }
इस प्रकार उपर्युक्त सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण (Examples of complex numbers) के द्वारा सम्मिश्र संख्याओं को समझा जा सकता है।

3.क्या 5 एक सम्मिश्र संख्या है? (Is 5 a complex number?)-

एक सम्मिश्र संख्या a + bi के रूप की एक संख्या है, जहां i = काल्पनिक और a और b वास्तविक संख्याएं हैं। उदाहरण के लिए, 5 + 3i, – + 4i, 4.2 – 12i, और – i सभी सम्मिश्र संख्याएं हैं।a को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहा जाता है और bi को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग कहा जाता है।
अतः 5 एक सम्मिश्र संख्या है।

4.कितनी जटिल संख्याएँ हैं? (How many complex numbers are there?)-

कभी-कभी केवल काल्पनिक, वह होता है जिसकी मैं कल्पना कर सकता हूं, जैसा कि मैंने प्रत्येक समीकरण में कहा है, लेकिन कभी-कभी कोई मात्रा मौजूद नहीं होती है जो कि हम कल्पना करते हैं।
इस प्रकार अनन्त सम्मिश्र संख्याएं हैं।

5. क्या 0 कोई सम्मिश्र संख्या है? (Is 0 a complex number?)-

हां 0 एक सम्मिश्र संख्या है। जिसकारण वास्तविक व काल्पनिक भाग दोनों 0 है।

6.सम्मिश्र संख्याओं का सूत्र क्या है?,सम्मिश्र संख्या सूत्र (What is the formula of complex numbers?,complex numbers formulas)-

एक सम्मिश्र संख्या एक संख्या होती है जिसे a + bi, a + ib के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और I काल्पनिक इकाई है जो i 2 = – 1 i ^ 2 = -1 i2 = द्वारा परिभाषित काल्पनिक इकाई है -1।C द्वारा निरूपित सम्मिश्र संख्याओं के सेट में वास्तविक संख्याओं (R) का सेट और शुद्ध काल्पनिक संख्याओं का सेट शामिल है।

7. वास्तविक और सम्मिश्र संख्या क्या है? (What is real and complex numbers?)-

एक वास्तविक संख्या इस प्रकार 8, 4.357, –3/5, π, या ऐसी कोई अन्य संख्या हो सकती है।एक सम्मिश्र संख्या ऐसी संख्या है जिसमें i शामिल है।इस प्रकार, 3i, 2 + 5.4i -πi और – 3i सभी सम्मिश्र संख्याएँ हैं। (वास्तव में, वास्तविक संख्याएं सम्मिश्र संख्याओं का सबसेट होती हैं-किसी भी वास्तविक संख्या r को r + 0i के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक सम्मिश्र प्रतिनिधित्व है।)

8.सम्मिश्र संख्या परिभाषा (complex numbers definition)-

एक सम्मिश्र संख्या वह संख्या है जिसे a+ib के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां a और b वास्तविक संख्या हैं, और i काल्पनिक इकाई का प्रतिनिधित्व करता है, जो समीकरण i2 = −1 को संतुष्ट करता है।क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है,i को एक काल्पनिक संख्या कहा जाता है।

9.जटिल संख्या का चरण (phase of complex number)-

हर अशून्य संख्या को उसके परिमाण और कोण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।इस कोण को कभी-कभी सम्मिश्र संख्या का चरण या कोणांक कहा जाता है।यद्यपि किसी सम्मिश्र संख्या के कोण के सूत्र थोड़े जटिल होते हैं, लेकिन कोण में कुछ गुण होते हैं जिनका वर्णन करना सरल है।

इस प्रकार उपर्युक्त सम्मिश्र संख्याओं के प्रश्नों के उत्तर (Examples of complex numbers) के द्वारा सम्मिश्र संख्याओं को समझा जा सकता है।

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