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Differential Co-efficient of function

1.फलन का अवकल गुणांक (Differential Co-efficient of function)-

फलन का अवकल गुणांक (Differential Co-efficient of function) ज्ञात करने का तात्पर्य है कि फलन का प्रथम कोटि अर्थात् प्रथम क्रम का अवकल गुणांक ज्ञात करना। यहां हम विभिन्न प्रकार के फलन अर्थात् अस्पष्ट फलन,लघुगुणकीय फलन,त्रिकोणमितीय फलन तथा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के फलन का अवकल गुणांक (Differential Co-efficient of function) ज्ञात करेंगे। अर्थात् इस आर्टिकल में विभिन्न सवालों के प्रथम कोटि के अवकल गुणांक ज्ञात करेंगे।
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2.फलन का अवकल गुणांक (Differential Co-efficient of function) पर आधारित सवाल-

निम्न फलन का अवकल गुणांक (Differential Co-efficient of function) ज्ञात कीजिए-
Question-1.\cot ^{ -1 }{ \left\{ \frac { \sqrt { 1+\sin { x } } +\sqrt { 1-\sin { x } } }{ \sqrt { 1+\sin { x } } -\sqrt { 1-\sin { x } } } \right\} }
Solution-y=\cot ^{ -1 }{ \left\{ \frac { \sqrt { 1+\sin { x } } +\sqrt { 1-\sin { x } } }{ \sqrt { 1+\sin { x } } -\sqrt { 1-\sin { x } } } \right\} } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left\{ \frac { \left( \sqrt { 1+\sin { x } } +\sqrt { 1-\sin { x } } \right) \left( \sqrt { 1+\sin { x } } +\sqrt { 1-\sin { x } } \right) }{ \left( \sqrt { 1+\sin { x } } -\sqrt { 1-\sin { x } } \right) \left( \sqrt { 1+\sin { x } } +\sqrt { 1-\sin { x } } \right) } \right\} } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left\{ \frac { 1+sinx+1-sinx+2\sqrt { 1+\sin { x } } \sqrt { 1-\sin { x } } }{ 1+sinx-1+sinx } \right\} } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left\{ \frac { 2+2\sqrt { 1-\sin ^{ 2 }{ x } } }{ 2sinx } \right\} } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left\{ \frac { 2+2cosx }{ 2sinx } \right\} } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left\{ \frac { 1+cosx }{ sinx } \right\} } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left\{ \frac { 1+2\cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } -1 } }{ 2\sin { \frac { x }{ 2 } } \cos { \frac { x }{ 2 } } } \right\} } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left\{ \frac { 2\cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } }{ 2\sin { \frac { x }{ 2 } } \cos { \frac { x }{ 2 } } } \right\} } \\ \Rightarrow y=\cot ^{ -1 }{ \left\{ \cot { \frac { x }{ 2 } } \right\} } \\ \Rightarrow y=\frac { x }{ 2 }

x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ 2 }

Question-2.\log { x } =\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { y-{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \right) }

Solution-\log { x } =\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { y-{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \right) } \\ \Rightarrow \tan { \left( \log { x } \right) = } \frac { y-{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow y-{ x }^{ 2 }={ x }^{ 2 }\tan { \left( \log { x } \right) } \\ \Rightarrow y={ x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }\tan { \left( \log { x } \right) }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =2x+2x\tan { \left( \log { x } \right) } +{ x }^{ 2 }\sec ^{ 2 }{ \left( \log { x } \right) } .\frac { 1 }{ x } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =2x+2x\tan { \left( \log { x } \right) } +{ x }\sec ^{ 2 }{ \left( \log { x } \right) } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =2x\left\{ 1+\tan { \left( \log { x } \right) } \right\} +{ x }\sec ^{ 2 }{ \left( \log { x } \right) }

Question-3.यदि \cos ^{ -1 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) } =\tan ^{ -1 }{ a } तब सिद्ध कीजिए कि \frac { dy }{ dx } =\frac { y }{ x }

Solution-\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) } =\tan ^{ -1 }{ a } \\ \Rightarrow \cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1-{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ 2 } }{ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ 2 } } \right) } =\tan ^{ -1 }{ a } \\ \frac { y }{ x } =tan\theta \\ \Rightarrow \cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1-{ \left( tan\theta \right) }^{ 2 } }{ 1+{ \left( tan\theta \right) }^{ 2 } } \right) } =\tan ^{ -1 }{ a } \\ \Rightarrow \cos ^{ -1 }{ \left( cos2\theta \right) } =\tan ^{ -1 }{ a } \\ \Rightarrow 2\theta =\tan ^{ -1 }{ a } \\ \Rightarrow 2\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { y }{ x } \right) } =\tan ^{ -1 }{ a }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { 1 }{ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ 2 } } .\left( \frac { x\frac { dy }{ dx } -y.1 }{ { x }^{ 2 } } \right) =0\\ \Rightarrow \frac { x\frac { dy }{ dx } -y }{ { x }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow x\frac { dy }{ dx } -y=0\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { y }{ x }

Question-4.यदि siny=x sin(a+y) तब सिद्ध कीजिए कि \frac { dy }{ dx } =\frac { \sin ^{ 2 }{ \left( a+y \right) } }{ sina }
Solution-siny=x\sin { \left( a+y \right) } \\ \Rightarrow \frac { siny }{ \sin { \left( a+y \right) } } =x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { \sin { \left( a+y \right) } cosy\frac { dy }{ dx } -siny\cos { \left( a+y \right) \frac { dy }{ dx } } }{ \sin ^{ 2 }{ \left( a+y \right) } } =1\\ \Rightarrow \left[ \sin { \left( a+y \right) } cosy-siny\cos { \left( a+y \right) } \right] \frac { dy }{ dx } =\sin ^{ 2 }{ \left( a+y \right) } \\ \Rightarrow \sin { \left( a+y-y \right) } \frac { dy }{ dx } =\sin ^{ 2 }{ \left( a+y \right) } \\ \Rightarrow sina.\frac { dy }{ dx } =\sin ^{ 2 }{ \left( a+y \right) } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { \sin ^{ 2 }{ \left( a+y \right) } }{ sina }

Question-5.यदि y=sin(sinx) तब प्रदर्शित कीजिए कि \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +tanx\frac { dy }{ dx } +y\cos ^{ 2 }{ x } =0
Solution- y=sin(sinx) ……….(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =\cos { \left( sinx \right) } .cosx....(2)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\sin { \left( sinx \right) } .\cos ^{ 2 }{ x } -\cos { \left( sinx \right) } .sinx\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\sin { \left( sinx \right) } .\cos ^{ 2 }{ x } -\cos { \left( sinx \right) } .\frac { sinx }{ cosx } .cosx\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\sin { \left( sinx \right) } .\cos ^{ 2 }{ x } -\cos { \left( sinx \right) } .cosx.tanx
समीकरण (1) तथा (2) से मान रखने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-y.\cos ^{ 2 }{ x } -\frac { dy }{ dx } .tanx\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +\frac { dy }{ dx } .tanx+y.\cos ^{ 2 }{ x } =0

Question-6.यदि y={ e }^{ ax }sinbx 
तब प्रदर्शित कीजिए कि \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -2a\frac { dy }{ dx } +\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) y=0
Solution-y={ e }^{ ax }sinbx......(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =a{ e }^{ ax }sinbx+b{ e }^{ ax }cosbx....(2)
पुनःx के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }{ e }^{ ax }sinbx+ab{ .e }^{ ax }cosbx+ab.{ e }^{ ax }cosbx-{ b }^{ 2 }{ e }^{ ax }sinbx\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\left( { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right) { e }^{ ax }sinbx+2ab.{ e }^{ ax }cosbx+2{ a }^{ 2 }{ e }^{ ax }sinbx-2{ a }^{ 2 }{ e }^{ ax }sinbx\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) { e }^{ ax }sinbx+2a\left( b.{ e }^{ ax }cosbx+a.{ e }^{ ax }sinbx \right)
समीकरण (1) व ( 2) से मान रखने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) y+2a\frac { dy }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -2a\frac { dy }{ dx } +\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) y=0

Question-7.यदि y=\frac { \sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } तब सिद्ध कीजिए कि \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) { y }_{ 2 }-3x{ y }_{ 1 }-y=0
Solution-y=\frac { \sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } .......(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } .\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } -\sin ^{ -1 }{ x } \left( -\frac { 2x }{ 2\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \right) }{ 1-{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +x.\sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { dy }{ dx } =\frac { \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +x.\sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } ......(2)

पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -2x\frac { dy }{ dx } =0+\frac { \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \left[ \sin ^{ -1 }{ x } +\frac { x }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \right] -x.\sin ^{ -1 }{ x } .\left( -\frac { 2x }{ 2\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \right) }{ 1-{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -2x\frac { dy }{ dx } =\frac { \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } .\sin ^{ -1 }{ x } +x+{ x }^{ 2 }\frac { \sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -2x\frac { dy }{ dx } =\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } +\frac { \sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } +\frac { \sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } }

समीकरण (1) व (2) से मान रखने पर-

\Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -2x\frac { dy }{ dx } =\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } +y+\left[ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { dy }{ dx } -1 \right] \frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -2x\frac { dy }{ dx } =y+x\frac { dy }{ dx } -\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } +\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -2x\frac { dy }{ dx } =y+x\frac { dy }{ dx } \\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -3x\frac { dy }{ dx } -y=0\\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) { y }_{ 2 }-3x{ y }_{ 1 }-y=0
इस प्रकार उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा फलन का अवकल गुणांक (Differential Co-efficient of function) को समझा जा सकता है।

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