1.सम्मिश्र संख्याएं (Complex Numbers), सम्मिश्र संख्याओं का कोणांक (Complex Numbers Argument):

Complex Numbers

सम्मिश्र संख्याएं (Complex Numbers):जैन गणितज्ञ महावीराचार्य ने 850 ई. में यह संकेत दिया कि ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल नहीं होते।1637 ई. में रेने डिकार्टिज ने संख्याओं को वास्तविक व काल्पनिक नाम दिए।आयलर ने 1748 ई. में काल्पनिक संख्याओं के लिए i का प्रयोग किया।गाॅउस ने सर्वप्रथम 1832 में सम्मिश्र संख्याओं को वास्तविक और काल्पनिक भागों में व्यक्त किया और a+ib को सम्मिश्र संख्या कहा।
द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 के वास्तविक हल मानक सूत्र से प्राप्त करते हैं। इसमें यदि विविक्तिकर b^{2}-4ac\geq 0 हो तो हल वास्तविक प्राप्त होते हैं परन्तु विविक्तिकर b^{2}-4ac < 0 की स्थिति में हम उपर्युक्त समीकरण के वास्तविक हल निकालने में असमर्थ हैं।क्योंकि इस स्थिति में एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या नहीं है।इस प्रकार की समस्या का समाधान करने हेतु वास्तविक संख्या प्रणाली का विस्तार कर एक ऐसी संख्या प्रणाली विकसित की गई जिसमें ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल भी सम्मिलित हैं।ऐसी संख्याएं सम्मिश्र संख्याएं (Complex Numbers) कहलाती हैं।
समान चिन्ह वाली दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है किन्तु यदि \sqrt{-1} को \sqrt{-1} से गुणा करें तो गुणनफल ऋणात्मक आता है।गणितज्ञों ने ऐसी संख्याओं को काल्पनिक संख्याएं (Imaginary Quantities) कहा है।
सम्मिश्रण संख्या की परिभाषा(Definition of Complex Number):उस प्रत्येक संख्या को जिसका वर्ग ऋणात्मक संख्या हो,अधिकल्पित या काल्पनिक संख्या कहते हैं।
यदि a,b \in R तो a+ib या a-ib रूप वाले व्यंजक सम्मिश्र संख्याएं (Complex Numbers) कहलाती हैं। जिसे प्रायः z से व्यक्त किया जाता है यथा z=a+ib जहां i=\sqrt{-1} (मानक रूप); यहां a वास्तविक भाग तथा b काल्पनिक भाग कहलाता है।
क्रमित युग्म में सम्मिश्र राशि (Complex Number in Ordered pair): हेमिल्टन (1805-1865) ने सम्मिश्र राशि को एक क्रमित युग्म के रूप में परिभाषित किया जिसके अनुसार सम्मिश्र राशि (Complex Numbers) z=a+ib को (a,b) से निरूपित किया जाता है जहां a,b \in R सम्मिश्र राशि (Complex Numbers) के वास्तविक व काल्पनिक भाग को क्रमशः Re(z) और Im(z) से व्यक्त करते हैं।
सम्मिश्र संख्याओं पर प्रमेय (Theorem on Complex Numbers):
प्रमेय (Theorem):1.यदि कोई सम्मिश्र संख्या शून्य के बराबर हो तो उसके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग शून्य के बराबर होते हैं।
प्रमेय (Theorem):2.यदि दो सम्मिश्र संख्याएं बराबर हो तो उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग अलग-अलग बराबर होते हैं।
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2.सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण (Complex Numbers Examples):

Example:1.-2 का मुख्य कोणांक लिखिए।
Solution:-2+i.0
a=-2,b=0
कोणांक (Argument) \theta=\pi-\tan^{-1} \left|\frac{b}{a}\right| \\ =\pi-\tan^{-1} \left|\frac{0}{-2}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1} 0
कोणांक (Argument) \theta=\pi
Example:2.\frac{5 \sqrt{3}}{2}+\frac{5 i}{2} का ध्रुवीय रूप लिखिए।
Solution:- \frac{5 \sqrt{3}}{2}+\frac{5 i}{2}
माना \frac{5 \sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2} i=r \cos \theta+i r \sin \theta \\ \Rightarrow r \cos \theta=\frac{5 \sqrt{3}}{2}
तथा r \sin \theta=\frac{5}{2}
वर्ग करके जोड़ने पर-

r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)=\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{75}{4}+\frac{25}{4} \\ \Rightarrow r^{2}=25 \\ \Rightarrow r=5 \\ a=\frac{5 \sqrt{3}}{2}, b=\frac{5}{2} \\ \theta=\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =\tan ^{-1}\left|\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5 \sqrt{3}}{2}}\right| \\ =\tan^{-1} \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right| \\ \theta=\frac{\pi}{6}
अतः r (cos \theta+i \sin \theta)=5(\cos \frac{\pi}{6} +i \sin \frac{\pi}{6})
Example:3.4+5 \omega^{4}+3 \omega^{5} का मान होगा?
Solution:4+5 \omega^{4}+3 \omega^{5} \\ 4+5 \omega+3 \omega^{2} \quad\left(\therefore \omega^{3} =1 \right) \\ \Rightarrow 4+2 w+3 w+3 w^{2} \\ \Rightarrow 4+2 w+3\left(w+w^{2}\right) \\ \Rightarrow 4+2 w+3(-1) \quad\left[\because 1+w+\omega^{2}=0\right] \\ \Rightarrow 1+2 \omega \\ \Rightarrow 1+2\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right) \quad\left[\therefore \omega=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right] \\ \Rightarrow 1-1+i \sqrt{3} \\ \Rightarrow \sqrt{3} i
Example:4.\frac{1}{(1-\cos \theta+i \sin \theta)} को a+ib के रूप में लिखिए।

Solution: \frac{1}{(1-\cos \theta+i \sin \theta)} \\ =\frac{1}{(1-\cos \theta)+i (\sin \theta)} \\ =\frac{1}{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}+2 i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} \\ =\frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} +i \cos \frac{\theta}{2})} \times \frac{\sin \frac{\theta}{2}-i \cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}-i \cos \frac{\theta}{2}} \\ =\frac{\sin \frac{\theta}{2}-i \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \left(\sin ^{2} \frac{\theta}{2}+\cos ^{2} \frac{\theta}{2} \right)} \\ =\frac{\sin \frac{\theta}{2}(1-i \cot \frac{\theta}{2})}{2 \sin \frac{\theta}{2}} \\ =\frac{1}{2}-\frac{i}{2} \cot \frac{\theta}{2}

Example:5. |1-i|^{x}=2^{x}  के शून्येत्तर पूर्णांक मूलों की संख्या है:

Solution:-|1-i|^{x}=2^{x} \\ \Rightarrow\left[\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}}\right]^{x}=2^{x} \\ \Rightarrow (\sqrt{2})^{x}=2^{x} \\ \Rightarrow 2^{\frac{x}{2}}=2^{x} \\ \Rightarrow \frac{x}{2}=x \Rightarrow \frac{x}{2}=0 \\ \Rightarrow x=0
शून्येत्तर पूर्णांक मूल नहीं है।

Complex Numbers

Example:6.यदि \left|z_{1}\right|=1=\left|z_{2}\right| तो सिद्ध कीजिए

\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}\right|
Solution: L.H.S. \left|z_{1}+z_{2}\right| =\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| \\ =1+1 \\ \left|z_{1}+z_{2}\right| =2

R.H.S \left|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}\right| =\left|\frac{1}{z_{1}}\right|+\left|\frac{1}{z_{2}}\right| \\ =\frac{1}{\left|z_{1}\right|}+\frac{1}{\left|z_{2}\right|} \\ =\frac{1}{1}+\frac{1}{1} \\ =2
अतः \left|z_{1}+z_{2}\right|+\left|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}\right|
Example:7.यदि \frac{(-a+i)^{2}}{2 a-i}=p+i q तो सिद्ध कीजिए कि p^{2}+q^{2}=\frac{\left(a^{2}+1\right)^{2}}{4 a^{2}+1}
Solution:\frac{(a+i)^{2}}{2 a-i}-p+i q \\ \Rightarrow \frac{(a+i)^{2}(2 a+i)=p+i a}{(2 a-i)(2 a+i)} \\ \Rightarrow \frac{(a+i)(2 a^{2}+a i+2 a i+i^{2})}{4 a^{2}-i^{2}}=p+i q \\ \Rightarrow \frac{(a+i)\left(2 a^{2}+3 a i-1\right)}{4 a^{2}+1}=p+i q \\ \Rightarrow \frac{\left(2 a^{3}-4 a\right)+i\left(5 a^{2}-1\right)}{4 a^{2}+1}=p+i q
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

\Rightarrow \frac{2 a^{3}-4 a}{4 a^{2}+1}=p, \frac{5 a^{2}-1}{4 a^{2}+1}=q

वर्ग करके जोड़ने पर –

p^{2}+q^{2}=\frac{\left(2 a^{3}-4 a\right)^{2}}{\left(4 a^{2}+1\right)^{2}}-\frac{\left(5 a^{2}-1\right)^{2}}{\left(4 a^{2}+1\right)^{2}}\\ \Rightarrow p^{2}+q^{2}=\frac{4 a^{6}-16 a^{4}+16 a^{2}+25 a^{4}-10 a^{2}+1}{\left(4 a^{2}+1\right)^{2}} \\ \Rightarrow p^{2}+q^{2} =\frac{4 a^{6}+9 a^{4}+6 a^{2}+1}{\left(4 a^{2}+1\right)^{2}} \\ \Rightarrow p^{2}+q^{2} =\frac{4 a^{6}+a^{4}+8 a^{4}+2 a^{2}+4 a^{2}+1}{\left(4 a^{2}+1\right)^{2}} \\ =\frac{a^{4} \left(4a^{2}+1\right)+2 a^{2}\left(4a^{2}+1\right)+1\left(4 a^{2}+1\right)}{\left(4 a^{2}+1\right)^{2}} \\ =\frac{\left(4 a^{2}+1\right)\left(a^{4}+2 a^{2}+1\right)}{\left(4 a^{2}+1\right)^{2}}\\ \Rightarrow p^{2}+q^{2}=\frac{\left(a^{4}+2 a^{2}+1\right)}{4 a^{2}+1}\\ \Rightarrow p^{2}+q^{2}=\frac{\left(a^{2}+1\right)^{2}}{4 a^{2}+1}
Example:8.यदि \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right| तथा कोणांक z_{1} +कोणांक z_{2}=0 तो सिद्ध कीजिए कि z_{1}=\bar{z_{2}}
Solution:माना z_{1}=a+i b,z_{2}=c+i d \\ \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right| \\ \Rightarrow |a+i b|=|c+i d| \\ \Rightarrow a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2} \ldots(1)
कोणांक z_{1} +कोणांक z_{2}=0

\Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{d}{c}\right)=0 \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)=-\tan^{-1} \left(\frac{d}{c}\right) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)=\tan^{-1} \left(-\frac{d}{c}\right) \\ \Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{-d}{c} \\ \Rightarrow b=-\frac{a d}{c} \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से-

a^{2}+\frac{a^{2} d^{2}}{c^{2}}=c^{2}+d^{2} \\ \Rightarrow a^{2}\left(c^{2}+d^{2}\right)=c^{2}+d^{2} \\ \Rightarrow a^{2}=c^{2} \\ \Rightarrow a=c
समीकरण (2) में मान रखने पर-

b=-\frac{c d}{c} \\ \Rightarrow b=-d
अतः z_{1}=\bar{z}_{2}
Example:9.यदि \theta_{1} ,\theta_{2} क्रमशः सम्मिश्र संख्याओं के कोणांक हैं तो सिद्ध कीजिए कि

z_{1} \bar{z}_{2}+\bar{z}_{1} z_{2}=2\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right| \cos \left(\theta_{1} -\theta_{2}\right)
Solution:माना z_{1}=a+i b \\ \bar{z}_{1} =a-i b \\ z_{2}=c+i d, \bar{z}_{2}=c-i d \\ \theta_{1}=\tan ^{-1}\left(\frac{b}{a}\right), \theta_{2}=\tan ^{-1}\left(\frac{d}{c}\right) \\ \theta_{1}-\theta_{2}=\tan ^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{d}{c}\right) \\ =\tan^{-1} \frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{1+\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{d}{c}\right)} \\ =\tan^{-1} \left(\frac{b c-a d}{a c+b d}\right) \\ \theta_{1}-\theta_{2}=\cos ^{-1} \frac{(a c+b d)}{\sqrt{\left(a^{2}+ b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)}} \\ \Rightarrow \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=\frac{a c+b d}{\sqrt{\left( a^{2}+b^{2} \right)\left(c^{2}+d^{2}\right)}} \\ z_{1} \bar{z}_{2}+\overline{z}_{1} z_{2}=2|z_{1}| |z_{2}| \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)

L.H.S.= z_{1} \bar{z}_{2}+\bar{z}_{1} z_{2} \\ =(a+i b)(c-i d)+(a-i b)(c+i d)\\ z_{1} \bar{z}_{2}+\bar{z}_{1} z_{2}=2(ac+bd) \cdots(1)

R.H.S. 2|z_{1}| |z_{2}| \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\\ =2 \sqrt{a^{2}+b^{2}} \sqrt{c^{2}+d^{2}} \frac{a c+b d}{\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)}}\\ 2|z_{1}|\left|z_{2}\right| \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2} \right)=2(ac+b d) \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से-

z_{1} \bar{z}_{2}+\bar{z}_{1} z_{2}=2\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right| \cos \left(\theta_{1} -\theta_{2}\right)
Example:10.सिद्ध कीजिए कि \left(a+b \omega+c \omega^{2}\right)\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-a b-b c-c a

Solution: \left(a+b \omega+c \omega^{2}\right)\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-a b-b c-c a

L.H.S. \left(a+b \omega+c \omega^{2}\right)\left(a+b w^{2}+c \omega\right) \\ \Rightarrow a^{2}+a b \omega^{2}+a c \omega+a b \omega+b^{2} \omega^{3}+b c \omega^{2}+a c \omega^{2}+b c \omega^{4}+c^{2} \omega^{3} \\ \Rightarrow a^{2}+a b\left(\omega+\omega^{2}\right)+a c\left(\omega+\omega^{2}\right)+b^{2}(1)+b c \omega(1)+c^{2} a+b c \omega^{2}\left[\omega^{3}=1\right] \\ \Rightarrow a^{2}+a b(-1)+a c(-1)+b^{2}+b c\left(w+\omega^{2}\right)+c^{2}\left[\because 1+w+\omega^{2}=0\right] \\ \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=R.H.S
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र संख्याओं (Complex Numbers) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र संख्याओं की समस्याएं (Complex Numbers Problems):

Complex Numbers

(1.)3-4i का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(2.)यदि x=a+b, y=a w+b w^{2} तथा z=a \omega^{2}+b w तो सिद्ध कीजिए कि x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 a b 
(3.)सरल कीजिए: (x-1)^{3}+8=0
(4.)वह समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल समीकरण ax^{2}+bx+c=0 के मूलों के व्युत्क्रम हों।
उत्तर (Answers): (1)\sqrt{3-4i}=\pm (2-i) \\ (2)x=-1,1-2 \omega,1-2 \omega^{2} \\ (3)cx^{2}+bx+a=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र संख्याओं (Complex Numbers) को समझ सकते हैं।

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4.सम्मिश्र संख्याओं (Complex Numbers) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Complex Numbers

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र संख्याएं (Complex Numbers),सम्मिश्र संख्याओं का कोणांक (Complex Numbers Argument) को समझ सकते हैं।