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Differential Equation Reducible to LDE

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1 1.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE)रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित होने योग्य अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Linear Differential Equation):
1.2 3.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Differential Equation Reducible to LDE):

1.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE)रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित होने योग्य अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Linear Differential Equation):

रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE) से तात्पर्य ऐसी अवकल समीकरण से है जिनमें y और x में किसी चर को अन्य चर में प्रतिस्थापन से रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित करने वह रैखिक अवकल में परिवर्तित हो जाती है।
बर्नूली समीकरण (Bernoulli Equation):

\frac{d y}{d x}+P y=Q y^{n} \cdots(1)
उपर्युक्त प्रकार की अवकल समीकरणों को y^{n} से विभाजित करके रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है।अतः दोनों तरफ y^{n} का भाग देने पर:

y^{-n}\left(\frac{d y}{d x}\right)+P y^{1-n}=Q \cdots(2)
माना y^{1-n}=v \\ (1-n) y^{-n}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow y^{-n} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{(1-n)}\left(\frac{d y}{d x}\right)
समीकरण (2) में उपर्युक्त मान प्रतिस्थापित करने पर:

\frac{1}{(1-n)} \frac{d v}{d x}+P v=Q \\ \Rightarrow \left(\frac{d v}{d x}\right)+(1-n) Pv=(1-n) Q
जो कि रैखिक समीकरण है।
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2.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Differential Equation Reducible to LDE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
Example:1.\frac{d y}{d x} + x y=x^{3} y^{3}
Solution:\frac{d y}{d x} + x y=x^{3} y^{3}
दोनों पक्षों को y^{-3} से गुणा करने पर:

y^{-3}\left(\frac{d y}{d x}\right)+x y^{-2}=x^{3}
Put y^{-2}=v \\ -2 y^{-3}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow y^{-3}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{d v}{d x}\right) \\ \Rightarrow-\frac{1}{2}\left(\frac{d v}{d x}\right)+x v=x^{3} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}-2 x v=-2 x^{3}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.) =e^{\int P d x}=e^{\int(-2 x) d x} \\ \Rightarrow I.F.=e^{-x^{2}}
समीकरण का व्यापक हल: v (I.F)=\int (I.F)Q dx+C \\ \Rightarrow v \cdot e^{-x^{2}}=\int e^{-x^{2}}\left(-2 x^{3}\right) d x+C \\ \Rightarrow v \cdot e^{-x^{2}}=-2 \int x\left(x^{2} e^{-x^{2}}\right) d x+C

Put -x^{2}=t \Rightarrow-2 x d x=d t \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}=- \int t e^{t} d t+C \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}=-t \int e^{t} d t+\int\left[\frac{d}{d t}(t) \int e^{t} d t\right] dt+C \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}=-t e^{t}+\int e^{t} d t+C \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}=-t e^{t}+e^{t} +C \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}= x^{2} e^{-x^{2}}+e^{-x^{2}}+C \\ \Rightarrow y^{-2} e^{-x^{2}}=x^{2} e^{-x^{2}}+e^{-x^{2}}+C \\ \Rightarrow y^{-2}=x^{2}+1+c e^{x^{2}}
Example:2.\frac{d y}{d x}=e^{x-y}\left(e^{x}-e^{y}\right)
Solution:\frac{d y}{d x}=e^{x-y}\left(e^{x}-e^{y}\right)
दोनों पक्षों को e^{y} से गुणा करने पर:

e^{y}\left(\frac{d y}{d x}\right) =e^{x}\left(e^{x}-e^{y}\right) \\ \Rightarrow e^{y}\left(\frac{d y}{d x}\right) =e^{2 x}-e^{x} \cdot e^{y} \\ \Rightarrow e^{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)+e^{x} e^{y}=e^{2 x}
Put e^{y}=v \Rightarrow e^{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+v e^{x}=e^{2 x}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int e^{x} d x} \\ =e^{e^{x}}
समीकरण का व्यापक हल: v (I.F)=\int(I.F.)Q d x+c \\ \Rightarrow v\left(e^{e^{x}}\right)=\int e^{x^{x}} \cdot e^{2 x} d x+c
Put e^{x}=t \Rightarrow e^{x} d x=d t \\ \Rightarrow v\left(e^{e^{x}}\right)=\int e^{t} \cdot t d t+c \\ \Rightarrow v\left(e^{e^{x}}\right)=t \int e^{t} d t-\int\left[\frac{d}{dt}(t) \int e^{t} d t\right] d t+c \\ =t e^{t}-e^{t}+c \\ \Rightarrow v \left(e^{e^{x}}\right)=e^{x} \cdot e^{e^{x}}-e^{e^{x}}+c \\ \Rightarrow e^{y} \cdot e^{e^{x}}=e^{x} \cdot e^{e^{x}}-e^{e^{x}}+c \\ \Rightarrow e^{y}=e^{x}-1+C e^{-e^{x}}
Example:3.\frac{d y}{d x}-y \tan x=-y^{2} \sec x
Solution:\frac{d y}{d x}-y \tan x=-y^{2} \sec x
दोनों पक्षों को y^{2} से भाग देने पर:

y^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)-y^{-1} \tan x=-\sec x
Put y^{-1}=v \Rightarrow-{y}^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow-\frac{d v}{d x}-v \tan x=-\sec x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+v \tan x=\sec x
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \tan x d x} \\ =e^{\log \sec x} \\ =\sec x
समीकरण का व्यापक हल: v (I.F.) =\int(I.F) Q d x+C \\ v \sec x =\int \sec x \cdot \sec x d x+C \\ =\int \sec ^{2} x d x+C \\ =\tan x+C \\ v \sec x=\tan x+C \\ \Rightarrow y^{-1} \sec x=\tan x+C \\ \Rightarrow \frac{1}{y}=\sin x+C \cos x

Example:4.\tan x \cos y \frac{d y}{d x}+\sin y+e^{\sin x}=0
Solution:\tan x \cos y \frac{d y}{d x}+\sin y+e^{\sin x}=0

\cos y \left ( \frac{dy}{dx} \right )+\sin y \cot x=-e^{\sin x} \cot x
Put \sin y=v \Rightarrow \cos y\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow \left(\frac{d v}{d x}\right)+v \cot x=-e^{\sin x} \cot x
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=\int e^{\cot x d x} \\ =e^{\log (\sin x)}=\sin x
समीकरण का व्यापक हल: 

v.(I .F)=\int(I \cdot F) Q d x+C \\ v (\sin x)=\int \sin x\left(-e^{\sin x} \cdot \cot x\right) d x+C \\ =-\int \cos x e^{\sin x} d x+C
Put \sin x=t \Rightarrow \cos x d x=d t \\ v \sin x=-\int e^{t} d t+C \\ \Rightarrow v \sin x=-e^{t}+C \\ \sin x \sin y=-e^{\sin x}+C

Example:5.\frac{d y}{d x}+x \sin 2 y=x^{3} \cos ^{2} y
Solution:\frac{d y}{d x}+x \sin 2 y=x^{3} \cos ^{2} y
दोनों पक्षों को \cos ^{2} y से भाग देने पर:

\sec ^{2} y\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{2 x \sin y \cos y}{\cos ^{2} y}=x^{3} \\ \Rightarrow \sec ^{2} y\left(\frac{d y}{d x}\right)+2 x \tan y=x^{3}
Put \tan y=v \\ \sec^{2} \left(\frac{d y}{d x}\right)=\left(\frac{d v}{d x}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{d v}{d x}\right)+2 x v=x^{3}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int 2 x d x} \\ =e^{x^{2}}
समीकरण का व्यापक हल:

v (I .F)=\int(I \cdot F) Q d x+C \\ v e^{x^{2}}=\int e^{x^{2}} \cdot x^{3} d x+C
Put x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ \Rightarrow v e^{x^{2}}=\frac{1}{2} \int t e^{t} d t+C \\ \Rightarrow e^{x^{2}} \tan y=\frac{1}{2} t \int e^{t} d t-\frac{1}{2} \int\left[\frac{d}{d t}(t) \int e^{t} d t\right] d t+C \\ =\frac{1}{2} t e^{t}-\frac{1}{2} e^{t}+C \\ \Rightarrow e^{x^{2}} \tan y=\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}- \frac{1}{2} e^{x^{2}}+C \\ \Rightarrow \tan y=\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)+C e^{-x^{2}}
Example:6.\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(\frac{y}{x}\right) \log y=\frac{y}{x^{2}}(\log y)^{2}
Solution:\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(\frac{y}{x}\right) \log y=\frac{y}{x^{2}}(\log y)^{2}
दोनों पक्षों को \frac{1}{y}(\log y)^{-2} से गुणा करने पर:

\frac{1}{y}(\log y)^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{(\log y)^{-1}}{x}=\frac{1}{x^{2}}
Put (\log y)^{-1}=v \Rightarrow-\frac{1}{y}(\log y)^{-2} \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow -\frac{d v}{d x}+\frac{v}{x}=\frac{1}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{dv}{d x}-\frac{v}{x}=-\frac{1}{x^{2}}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int\left(-\frac{1}{x}\right) d x} \\ \Rightarrow I.F.=\frac{1}{x}
समीकरण का व्यापक हल:

v (I.F)=\int(I.F) Q d x+C \\ \Rightarrow (\log y)^{-1} \cdot \frac{1}{x}=\int \frac{1}{x} \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) d x+C \\ \Rightarrow \frac{1}{x \log y}=-\int \frac{1}{x^{3}} d x+C \\ \Rightarrow \frac{1}{x \log y}=\frac{1}{2 x^{2}}+C \\ \Rightarrow \frac{1}{\log y}=\frac{1}{2 x}+C x
Example:7. \left(1+x^{2}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}} यदि x=1,y=0
Solution:\left(1+x^{2}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}
दोनों पक्षों में \frac{1}{1+x^{2}} का भाग देने पर:

\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{1+x^{2}} y=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x} \\ =e^{\log \left(1+x^{2}\right)} \\ \Rightarrow I.F=1+x^{2}
समीकरण का व्यापक हल:

y. (I.F)=\int(I.F) \quad Q d x+C \\ y\left(1+x^{2}\right)=\int\left(1+x^{2}\right) \cdot \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^{2}\right)=\int \frac{1}{1+x^{2}} d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^{2}\right)=\tan ^{-1} x+C
जब x=1 तो y=0

\Rightarrow 0=\tan (1)+C \Rightarrow C=-\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow y\left(1+x^{2}\right)=\tan ^{-1} x-\frac{\pi}{4}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE)रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित होने योग्य अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Linear Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Differential Equation Reducible to LDE):

(1.)हल कीजिए: \left(\frac{d y}{d x}\right)+y=x^{3} y^{6}
(2.)हल कीजिए: \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{e^{y}}{x^{2}}-\frac{1}{x}
(3.)समीकरण \left(\frac{d y}{d x}\right)+2 y \tan x=\sin x का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।यदि x=\frac{\pi}{3}
उत्तर (Answers):(1)y^{-5}=\frac{5}{2} x^{3}+6 x^{5} \\ (2)2 x e^{-y}-1=2 x^{2} C \\ (3)y=\cos x-2 \cos ^{2} x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE)रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित होने योग्य अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Linear Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अवकल समीकरण किसे कहते हैं? (What is differential equation called?):

उत्तर:एक ऐसा समीकरण जिसमें स्वतंत्रत चर (चरों) के सापेक्ष आश्रित चर के अवकलज (अवकलजों) सम्मिलित हों अवकल समीकरण कहलाता है।

प्रश्न:2.अवकल समीकरण की कोटि किसे कहते हैं? (What is the order of differential equation called?):

उत्तर:किसी अवकल समीकरण में सम्मिलित उच्चतम अवकलज की कोटि उस अवकल समीकरण की कोटि कहलाती है।

प्रश्न:3.अवकल समीकरण की घात किसे कहते है? (What is the degree of differential equation called?):

उत्तर:यदि कोई अवकल समीकरण अवकलजों में बहुपद समीकरण है तो उस अवकल समीकरण की घात परिभाषित होती है।किसी अवकल समीकरण की घात (यदि परिभाषित हो) उस अवकल समीकरण में सम्मिलित उच्चतम कोटि अवकलज की उच्चतम घात (केवल धनात्मक पूर्णांक) होती है।

प्रश्न:4.अवकल समीकरण के हल को स्पष्ट करो।(Explain the solution of the differential equation):

उत्तर:एक दिए हुए अवकल समीकरण को संतुष्ट करने वाला फलन उस अवकल समीकरण का हल कहलाता है।एक ऐसा हल जिसमें उतने ही स्वेच्छ अचर हों जितनी उस समीकरण की कोटि है, व्यापक हल कहलाता है और स्वेच्छ अचरों से मुक्त हल विशिष्ट हल कहलाता है।

प्रश्न:5.किसी फलन से अवकल समीकरण कैसे ज्ञात करते हैं? (How do differential equations from a function be determined?):

उत्तर:किसी दिए हुए फलन से अवकल समीकरण बनाने के लिए उस फलन का उत्तरोत्तर उतनी ही बार अवकलन करते हैं जितने उस फलन में स्वेच्छ अचर होते हैं और तब स्वेच्छ अचरों को विलुप्त करते हैं।

प्रश्न:6.चर पृथक्करण विधि अवकल समीकरण को हल करने हेतु कब प्रयोग करते हैं? (When is the variable separation method used to solve the differential equation?):

उत्तर:चर पृथक्करणीय विधि ऐसे समीकरण को हल करने के लिए उपयोग की जाती है जिसमें चरों को पूरी तरह से पृथक किया जा सकता है अर्थात y वाले पद dy के साथ रहने चाहिए और x वाले पद dx के साथ रहने चाहिए।

प्रश्न:7.समघातीय अवकल समीकरण किसे कहते हैं? (What is the homogeneous differential equation called?):

उत्तर:एक ऐसा अवकल समीकरण जिसको \frac{dy}{dx}=f(x,y) अथवा \frac{dx}{dy}=g(x,y) के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है जहां f(x,y) एवं g(x,y) शून्य घात वाले समघातीय फलन हैं,समघातीय अवकल कहलाता है।

प्रश्न:8.प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण किसे कहते हैं? (What is the first order linear differential equation called?):

उत्तर:\frac{d y}{d x}+P y=Q के रूप वाला अलकल समीकरण जिसमें P तथा Q अचर अथवा केवल x के फलन हैं,प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE)रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित होने योग्य अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Linear Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Differential Equation Reducible to LDE

रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण
(Differential Equation Reducible to LDE)

Differential Equation Reducible to LDE

रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible
to LDE) से तात्पर्य ऐसी अवकल समीकरण से है जिनमें y और x में किसी चर को अन्य चर में
प्रतिस्थापन से रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित करने वह रैखिक अवकल में परिवर्तित हो जाती है।

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