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Definite Integral Class 12

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1.निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12),निश्चित् समाकलन के उदाहरण (Definite Integral Examples):

निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12) में योग सीमा के रूप में तथा अन्तिम बिन्दुओं पर फलन के मानों के अन्तर के रूप में अध्ययन कराया जाता है।निश्चित् समाकलन का एक अद्वितीय मान होता है।एक निश्चित् समाकलन को अनिश्चित समाकलन की विधि से समाकलन किया जाता है तथा निश्चित् समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए निश्चित् समाकलनों के गुणधर्मों का भी प्रयोग किया जाता है।तत्पश्चात् यह परिसर [a,b] पर f का निश्चित् समाकलन कहलाता है जहाँ a और b समाकलन की सीमाएँ कहलाती हैं a निम्न सीमा कहलाती है और b को उच्च सीमा कहते हैं।

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Also Read This Article:-Differential Equation Reducible to LDE

2.निश्चित् समाकलन कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Definite Integral Class 12):

Example:1. \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+\sin 2 x} d x का मान है?
Solution: \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+\sin 2 x} d x \\ I =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x\right)} d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{(\sin x+\cos x)^{2}} d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sin x+\cos x) d x \\ =[-\cos x+\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ =-\cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4}+\cos 0-\sin 0 \\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+1-0 \\I =1
Example:2. \int_{2}^{5} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}} d x का मान है?
Solution: I=\int_{2}^{5} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}} d x \cdots(1) \\ I=\int_{2}^{5} \frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{7-x}+\sqrt{x}} \cdots(2)  
[गुणधर्म IV से: \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x]
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I =\int_{2}^{5}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}}+\frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{7-x}+\sqrt{x}}\right) d x \\=\int_{2}^{5}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{7-x}}\right) d x \\ =\int_{2}^{5} 1 d x \\ =[x]_{2}^{5}=5-2=3
Example:3. \int_{a-c}^{b-c} f(x+c) d x का मान है:
Solution: \int_{a-c}^{b-c} f(x+c) d x \\ =\int_{a-c}^{b} f(x+c) d x+\int_{b}^{-c} f(x+c) d x \\ =-\int_{b}^{a-c} f(x+c) d x+\int_{b}^{c} f(x+c) d x \\ =-\int_{b}^{a} f(x+c) dx-\int_{b}^{-c} f(x+c) d x -\int_{b}^{c} f(x+c) d x \\ =\int_{a}^{b} f(x+c) dx+\int_{b}^{c} f(x+c) d x -\int_{b}^{c} f(x+c) d x \\ =\int_{a}^{b} f(x+c) d x
Example:4. A(x)=\int_{0}^{x} \theta^{2} d \theta हो तो A(3) का मान होगा:
Solution: A(x)=\int_{0}^{x} \theta^{2} d \theta \\ A(x)=\left[\frac{\theta^{3}}{3}\right]_{0}^{x} \\ \Rightarrow A(x)=\frac{x^{3}}{3} \\ \Rightarrow A(3)=\frac{3^{3}}{3}=9
निम्नलिखित का समाकलन कीजिए:
Example:5. \int_{1}^{2} \frac{(x+3)}{x(x+2)} d x
Solution: \int_{1}^{2} \frac{(x+3)}{x(x+2)} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{x+2+1}{x(x+2)} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{x+2}{x(x+2)} d x+\int_{1}^{2} \frac{1}{x(x+2)} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x+\frac{1}{2} \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right] d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x+\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x-\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+2} d x \\ =\frac{3}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x-\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x+2} d x \\ =\frac{3}{2}[\log x]_{1}^{2}-\frac{1}{2}[\log (x+2)]_{1}^{2} \\ =\frac{3}{2}[\log 2-\log 1]-\frac{1}{2}\left[\log 4-\log 3\right] \\ =\frac{3}{2} \log 2-\frac{1}{2} \log 4+\frac{1}{2} \log 3 \\ =\frac{3}{2} \log 2-\frac{1}{2} \log 2^{2}+\frac{1}{2} \log 3 \\=\frac{3}{2} \log 2-\log 2+\frac{1}{2} \log 3 \\=\frac{1}{2} \log 2+\frac{1}{2} \log 3 \\=\frac{1}{2} \log 6
Example:6. \int_{1}^{2} \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x
Solution: \int_{1}^{2} \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{x e^{x}+e^{x}-e^{x}}{(1+x)^{2}} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{x e^{x}+e^{x}}{(1+x)^{2}} d x-\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{(1+x)^{2}} dx \\ =\int_{1}^{2} \frac{(1+x) e^{x}}{(1+x)^{2}} d x-\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{(1+x)^{2}} d x \\ =\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{1+x} d x-\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{(1+x)^{2}} d x \\ \int e^{x}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^{x} f(x) से

=\left[\frac{e^{x}}{1+x}\right]_{1}^{2} \\ =\frac{e^{2}}{3}-\frac{e}{2} \\ =\frac{2 e^{2}-3 e}{6} \\ =\frac{1}{6} e(2 e-3)
Example:7. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) d x
Solution: \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) d x \\ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x} d x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{x}}{1+\cos x} d x
माना f(x) =\frac{\sin x}{1+\cos x} \\ f^{\prime}(x) =\frac{(1+\cos x) \cos x+\sin ^{2} x}{(1+\cos x)^{2}} \\ =\frac{\cos x+\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{(1+\cos x)^{2}} \\ =\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^{2}} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =\frac{1}{(1+\cos x)} \\ \int e^{x}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^{x} f(x) से 

I=\left[\frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ =\frac{e^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2}}{1+\cos \frac{\pi}{2}}-\frac{e^{0} \sin \theta}{1+\cos 0}\\ =\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{1}=e^{\frac{\pi}{2}}
Example:8. \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(x-x^{3}\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} d x
Solution: \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(x-x^{3}\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} d x \\ I=\int_{\frac{1}{3}}^{1}\left[x^{3}\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)\right]^{\frac{1}{3}} d x \\ =\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x^{4}}{\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)^{\frac{1}{3}}} d x \\ =\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{3}} d x

put \frac{1}{x^{2}}-1=t \\ -\frac{2}{x^{3}} d x=d t \\ \frac{1}{x^{3}} d x=-\frac{d t}{2}
जब x=\frac{1}{3} तो t=8
जब x=1 तो t=0

I =\int_{8}^{0} t^{\frac{1}{3}}\left(-\frac{d t}{2}\right) \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{8} t^{\frac{1}{3}} d t \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}\right]_{0}^{8} \\ =\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\left[8^{\frac{4}{3}}-0\right] \\ =\frac{3}{8} \times 16 \\ I=6

Example:9. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \cos ^{2} x d x
Solution: \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \cos ^{2} x d x \\ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right) d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{2} d x+\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \cos 2 x d x \\ =\frac{1}{2} \cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{2} x^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 x d x -\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{d}{d x} x^{2} \int \cos 2 x dx\right] d x \\ =\frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{3}+\frac{1}{2}\left[x^{2} \frac{\sin 2 x}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 x \cdot \frac{\sin 2 x}{2} d x \\ =\frac{\pi^{3}}{48}+\frac{1}{4} \times 0-\frac{1}{2} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x d x +\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sin 2 x d x\right] d x \\ =\frac{\pi^{3}}{48}+\frac{1}{2}\left[\frac{x \cos 2 \pi}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{8}[\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ =\frac{\pi^{3}}{48}+\frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \cos \pi-\frac{1}{8} \times 0 \times \cos 0-\frac{1}{8} \times 0 \\ =\frac{\pi^{3}}{48}-\frac{\pi}{8} \\ I =\frac{\pi}{48}\left(\pi^{2}-6\right)
Example:10. \int_{0}^{1} \tan ^{-1} x d x
Solution: \int_{0}^{1} \tan ^{-1} x d x \\ I =\int_{0}^{1} \tan ^{-1} x d x \\ =\tan ^{-1} x \int_{0}^{1} 1 \cdot d x-\int_{0}^{1}\left[\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right) \int 1 \cdot d x\right] d x \\ I=[x \tan^{-1} x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\left(\frac{x}{1+x^{2}}\right) d x \\ =[1 \tan^{-1}(1)-0]-\frac{1}{2}\left[\log \left(1+x^{2}\right)\right]_{0}^{1} \\ =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \log 2
Example:11. \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 3 x \sin 2 x d x
Solution: \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 3 x \sin 2 x d x \\ I =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \sin 3 x \sin 2 x d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[\cos x-\cos 5 x] d x
[सूत्र से 2 \sin A \sin B=\cos (A-B)-\cos (A+B)]

I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x d x-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 5 x d x \\ =\frac{1}{2}[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin 5 x}{5}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ =\frac{1}{2}\left[\sin \frac{\pi}{4}-\sin 0\right]-\frac{1}{10}\left(\sin \frac{5 \pi}{4}-\sin 0\right) \\ =\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{10} \sin 45 \\ =\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ =\frac{5+1}{10 \sqrt{2}} \\ =\frac{6}{10 \sqrt{2}} \\ =\frac{3}{5 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow I =\frac{3 \sqrt{2}}{10}
Example:12. \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x
Solution: \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x \\ I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x \\ I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x

put \sin ^{-1} x=t \Rightarrow x=\sin t \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=d t

जब x=0 तो t=0
जब x=\frac{1}{\sqrt{2}} तो t=\frac{\pi}{4}

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{t}{1-\sin ^{2} t} d t \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{t}{\cos ^{2} t} d t \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t \sec^{2} t d t \\ =t \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec ^{2} t d t-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left [ \frac{d}{d t}(t) \int \sec ^{2} t dt \right ] dt\\ =[t \tan t]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan t d t \\ =\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4}-0-[\log \sec t]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ =\frac{\pi}{4}-\log \sqrt{2} \\ I =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \log 2
Example:13. \int_{-2}^{2}\left|1-x^{2}\right| d x
Solution: \int_{-2}^{2}\left|1-x^{2}\right| d x
\left|1-x^{2}\right|=-\left(1-x^{2}\right) जब -2 \leq x \leq-1
\left|1-x^{2}\right|=1-x^{2} जब -1 \leq x \leq 1
\left|1-x^{2}\right|=-\left(1-x^{2}\right) जब  1 \leq x \leq 2

I=\int_{-2}^{-1}-\left(1-x^{2}\right) d x+\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)-\int_{1}^{2}\left(1-x^{2}\right) d x \\ =-\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{-1}+\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}-\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} \\ =-\left[-1+\frac{1}{3}+2-\frac{8}{3}\right]+1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}-\left[2-\frac{8}{3}-1+\frac{1}{3}\right] \\ =-\left[\frac{-3+1+6-8}{3}\right]+\left(\frac{3-1+3-1}{3}\right)-\left(\frac{6-8-3+1}{3}\right) \\ =-\left(-\frac{4}{3}\right)+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}
Example:14. \int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x(1+\sin x)}{\left(1+\cos ^{2} x\right)} d x
Solution: \int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x(1+\sin x)}{\left(1+\cos ^{2} x\right)} d x \\ I=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x+\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \\ f(x)=\frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x \\ f(-x)=\frac{-2 x}{1+\cos ^{2} x}=-f(x)
f(x)=-f(x) विषम फलन है
अतः \int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x=0 \\ f(x)=\frac{2 x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \\ f(-x)=\frac{2 x \sin x}{1+\cos ^{2} x}
f(x)=f(-x) सम फलन है
अतः I=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{ 2x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \\ I= 2\int_{0}^{\pi} \frac{2 x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \\ I=4 \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \cdots(1) \\ I =4 \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin (\pi-x)}{1+\cos ^{2}(\pi-x)} d x \\ =4 \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=4\left[\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x+\int_{0}^{\pi} \frac{(1+x) \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\right] \\ I=2\left[\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x+\pi \sin x-x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\right] \\ I=2 \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x

put \cos x=t \Rightarrow-\sin x d x=d t
जब x=0 तो t=1
जब x=\pi तो t=-1

=2 \pi \int_{1}^{-1} \frac{1}{1+t^{2}}(-d t) \\ =2 \pi \int_{-1}^{1} \frac{d t}{1+t^{2}} \\ =2 \pi\left[\tan ^{-1} t\right]^{1}_{-1} \\ =2 \pi[\tan^{-1} (1)-\tan^{-1} (-1)] \\ =2 \pi\left[\frac{\pi}{4}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right] \\ =2 \pi\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right) \\ =2 \pi\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ \Rightarrow I=\pi^{2} \\ I=4
Example:15. \int_{0}^{\infty}\left(\cot ^{-1} x\right)^{2} d x
Solution: \int_{0}^{\infty}\left(\cot ^{-1} x\right)^{2} d x \\ I= \cot ^{-1} x \int_{0}^{\infty} 1 \cdot d x-\int_{0}^{\infty}\left[\frac{d}{d x}\left(\cot ^{-1} x\right)^{2} \int 1 \cdot d x\right] d x \\ =[x \cot^{-1} x]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} \frac{2 x \cot ^{-1} x}{1+x^{2}} d x \\ =\int_{0}^{\infty} \frac{2 x \cot ^{-1} x}{1+x^{2}} d x,[x \cot^{-1} x]_{0}^{\infty}=0

put \cot ^{-1} x=t \Rightarrow-\frac{1}{1+x^{2}} d x=d t
जब x=0 तो t=\frac{\pi}{2}
जब x=\infty तो t=0

I=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} 2 t \cot t d t \\ =-2t \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \cot t dt+2\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \left[\frac{d}{d t}(t) \int \cot d t\right] d t \\ =-2 [t \log \sin t]_{\frac{\pi}{2}}^{0}-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin t d t \\ =-2 \times 0-2 \left(-\frac{\pi}{2} \log 2\right) \\ \left[ \because \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin t d t=\frac{-\pi}{2} \log 2\right] \\ I =\pi \log 2
Example:16. \int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1-2 a \cos x+a^{2}} , a>1
Solution: \int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1-2 a \cos x+a^{2}} , a>1 \\ I=\int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1-2 a \left(\frac{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}}\right)+a^{2}} \\ =\int_{0}^{\pi} \frac{\left(1+\tan ^{2} \frac{x}{2}\right) d x}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}-2 a+2 a \tan ^{2} \frac{x}{2}+a^{2}+a^{2} \tan ^{2} \frac{x}{2}} \\ =\int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} \frac{x}{2} d x}{1-2 a+a^{2}+\left(1+2 a+a^{2}\right) \tan ^{2} \frac{x}{2}} \\ =\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\left(1+2 a+a^{2}\right)} \cdot \frac{\sec ^{2} \frac{x}{2}}{ \frac{1-2 a+a^{2}}{1+2 a+a^{2}}+\tan ^{2} x} \\ =\frac{1}{(a+1)^{2}} \int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} \frac{x}{2}}{\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^{2}+\tan ^{2} \frac{x}{2}}

Put \tan \frac{x}{2}=t \Rightarrow \frac{1}{2} \sec ^{2} x d x=d t
जब x=0 तो t=0
जब x=\pi तो t=\infty

I=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(a+1)^{2}} \cdot \frac{2 d t}{\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^{2}+t^{2}} \\ =\frac{1}{(a+1)^{2}} \cdot\left(\frac{2}{\frac{a-1}{a+1}}\right)\left[\tan^{-1} \frac{t}{\frac{a-1}{a+1}}\right]_{0}^{\infty} \\ =\frac{2}{(a+1)^{2}}\times \frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{a^{2}-1} \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{a^{2}-1}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12),निश्चित् समाकलन के उदाहरण (Definite Integral Examples) को समझ सकते हैं।

3.निश्चित् समाकलन कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Definite Integral Class 12):

(1.)सिद्ध कीजिए: \int_{0}^{\pi} \frac{x d x}{1+\cos \alpha \sin x}=\frac{\pi \alpha}{\sin \alpha}
(2.) \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(x^{2}+b^{2}\right)} का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer): (2)\frac{\pi}{2 a b(a+b)}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12),निश्चित् समाकलन के उदाहरण (Definite Integral Examples) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12),निश्चित् समाकलन के उदाहरण (Definite Integral Examples) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समाकलन गणित की प्रथम आधरभूत प्रमेय क्या है? (What is the First fundamental Theorem of integral Calculus?):

उत्तर:मान लीजिए कि क्षेत्रफल फलन A(x)=\int_{a}^{x} f(x) d x,\forall x \geq a द्वारा परिभाषित है जहाँ फलन f अन्तराल [a,b] पर संतत फलन माना गया है।तब A^{\prime}(x)=f(x) \forall x \in[a, b]

प्रश्न:2.समाकलन गणित की द्वितीय आधारभूत प्रमेय क्या है? (What is the Second fundamental Theorem of Integral Calculus?):

उत्तर:मान लीजिए किसी बन्द अन्तराल [a,b] पर f,x का संतत फलन है और F एक दूसरा फलन है जहाँ \frac{d}{dx} F(x)=f(x),f के प्रान्त के सभी x के लिए तब
\int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)+c]_{a}^{b}=F(b)-F(a)
यह परिसर [a,b] पर f का निश्चित् समाकलन कहलाता है जहाँ a तथा b समाकलन की सीमाएँ कहलाती है a निम्न सीमा कहलाती है और b को उच्च सीमा कहते हैं।

प्रश्न:3.समाकलन और अवकलन में क्या सम्बन्ध है? (What is the relation between integration and differentiation?):

उत्तर:समाकलन,अवकलन का व्युत्क्रम प्रक्रम है।अवकलन गणित में हमें एक फलन दिया हुआ होता है और हमें इस फलन का अवकलज अथवा अवकल ज्ञात करना होता है परन्तु समाकलन गणित में हमें एक ऐसा फलन ज्ञात करना होता है जिसका अवकल दिया हुआ होता है।अतः समाकलन एक ऐसा प्रक्रम है जो कि अवकलन का व्युत्क्रम है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्धारा निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12),निश्चित् समाकलन के उदाहरण (Definite Integral Examples) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Definite Integral Class 12

निश्चित् समाकलन कक्षा 12
(Definite Integral Class 12)

Definite Integral Class 12

निश्चित् समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral Class 12) में योग सीमा के रूप में तथा
अन्तिम बिन्दुओं पर फलन के मानों के अन्तर के रूप में अध्ययन कराया जाता है।

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