Quadratic Equations Class 11
1.द्विघात समीकरण कक्षा 11 (Quadratic Equations Class 11),कक्षा 11 में द्विघातीय समीकरण (Quadratic Equations in Class 11):
द्विघात समीकरण कक्षा 11 (Quadratic Equations Class 11) में द्विघात समीकरण का अध्ययन पूर्व की कक्षाओं में कर चुके हैं और हमने उनको वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में उन स्थितियों में हल किया है जहाँ विविक्तिकर है।इस आर्टिकल में द्विघातीय समीकरण के रूप का अध्ययन करेंगे।
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2.द्विघात समीकरण कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Quadratic Equations Class 11 Solved Examples):
निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को हल कीजिए:
Example:1. x^2+3=0
Solution: x^2+3=0 \\ \Rightarrow x^2=-3 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{-3} \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{3} i
Example:2. 2 x^2+x+1=0
Solution: 2 x^2+x+1=0
यहाँ b^2-4 a c=(1)^2-4 \times 2 \times 1=-7<0
a=2,b=,1c=1
अतः इसके हल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{4} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{4} \\ \Rightarrow x =\frac{-1 \pm \sqrt{7} i}{4}
Example:3. x^2+3 x+9=0
Solution: x^2+3 x+9=0
a=1,b=3,c=9
यहाँ b^2-4ac=(3)^2-4 \times 1 \times 9 \\ =9-36=-27 \\ \Rightarrow b^2-4 a c =-27<0
अतः इसके हल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2a} \\=\frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2-4 \times 1 \times 9}}{2 \times 1} \\=\frac{-3 \pm \sqrt{9-36}}{2} \\=\frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} \\ =\frac{-3 \pm \sqrt{-3 \times 9}}{2} \\ =\frac{-3 \pm 3 \sqrt{-3}}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{-3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2}
Example:4. -x^2+x-2=0
Solution: -x^2+x-2=0
a=-1,b=1,c=-2
यहाँ b^2-4 a c=(1)^2-4 \times -1 \times-2=1-4 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-3<0
अतः इसके हल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4 \times(-1) \times(-2)}}{2 \times-1} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{-2} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{-2} \\ \Rightarrow x =\frac{-1 \pm \sqrt{7} i}{-2}
Example:5. x^2+3 x+5=0
Solution: x^2+3 x+5=0
a=1,b=3,c=5
यहाँ b^2-4 a c=(3)^2-4 \times 1 \times 5=9-20 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-11<0
अतः इसके हल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2-4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1} \\ =\frac{-3 \pm \sqrt{9-20}}{2} \\ =\frac{-3 \pm \sqrt{-11}}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{-3 \pm \sqrt{11} i}{2}
Example:6. x^2-x+2=0
Solution: x^2-x+2=0
यहाँ a=1,b=-1,c=2
b^2-4 a c=(-1)^2-4 \times 1 \times 2 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=1-8=-7<0
अतः इसके हल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} \\ =\frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{2} \\ =\frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} \\ =\frac{1 \pm \sqrt{7} i}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{1 \pm \sqrt{7} i}{2}
Example:7. \sqrt{2} x^2+x+\sqrt{2}=0
Solution: \sqrt{2} x^2+x+\sqrt{2}=0
यहाँ a=\sqrt{2}, b=1, c=\sqrt{2} \\ b^2-4 a c=(1)^2-2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}=1-4 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-3<0
अतः इसके हल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}}{2 \times \sqrt{2}} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2 \sqrt{2}} \\ x=\frac{-1 \pm \sqrt{7} i}{2 \sqrt{2}}
Example:8. \sqrt{3} x^2-\sqrt{2} x+3 \sqrt{3}=0
Solution: \sqrt{3} x^2-\sqrt{2} x+3 \sqrt{3}=0
यहाँ a=\sqrt{3}, b=-\sqrt{2}, c=3 \sqrt{3} \\ b^2-4 a c=(-\sqrt{2})^2-4 \times \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} \\ =2-36=-34 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-34<0
अतः इसके हल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\=\frac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-\sqrt{2})^2-4 \times \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3}}}{2 \times \sqrt{3}} \\=\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-36}}{2 \sqrt{3}} \\ =\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{-34}}{2 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x =\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{34} i}{2 \sqrt{3}}
Example:9. x^2+x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0
Solution: x^2+x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0 \\ \Rightarrow \sqrt{2} x^2+\sqrt{2} x+1=0
यहाँ a=\sqrt{2}, b=\sqrt{2}, c=1 \\ b^2-4 a c=(\sqrt{2})^2-4 \times \sqrt{2} \times 1=2-4 \sqrt{2} \\ \Rightarrow b^2-4 a c=2-4 \sqrt{2}<0
अतः इसके हल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2-4 \times \sqrt{2} \times 1}}{2 \times \sqrt{2}} \\=\frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2-4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2} \sqrt{-(4-\sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}} \\=\frac{\sqrt{2}(-1 \pm \sqrt{4-\sqrt{2}} i)}{2 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow x =\frac{-1 \pm \sqrt{4-\sqrt{2}} i}{2}
Example:10. x^2+\frac{x}{\sqrt{2}}+1=0
Solution: x^2+\frac{x}{\sqrt{2}}+1=0 \\ \Rightarrow \sqrt{2} x^2+x+\sqrt{2}=0
यहाँ a=\sqrt{2}, b=1, c=\sqrt{2} \\ b^2-4 a c=(-1)^2-4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}=1-8 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-7<0
अतः इसके हल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}}{2 \times \sqrt{2}} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow x =\frac{-1 \pm \sqrt{7} i}{2 \sqrt{2}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरण कक्षा 11 (Quadratic Equations Class 11),कक्षा 11 में द्विघातीय समीकरण (Quadratic Equations in Class 11) को समझ सकते हैं।
3.द्विघात समीकरण कक्षा 11 की समस्याएँ (Quadratic Equations Class 11 Problems):
(1.)यदि x=-5+2 \sqrt{-4} है,तो x^4+9 x^3+35 x^2-x+4 का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)सम्मिश्र संख्या 3-4 \sqrt{7 i} का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(3.)सम्मिश्र संख्या \frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)} का संयुग्मी ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) -160
(2.) \pm (\sqrt{7}-2 i)
(3.) \frac{63}{25}+\frac{16}{25} i
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात समीकरण कक्षा 11 (Quadratic Equations Class 11),कक्षा 11 में द्विघातीय समीकरण (Quadratic Equations in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.द्विघात समीकरण कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Quadratic Equations Class 11),कक्षा 11 में द्विघातीय समीकरण (Quadratic Equations in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.एक बहुपद समीकरण में कितने मूल होते हैं? (How Many Roots are There in a Polynomial Equation?):
उत्तर:एक बहुपद समीकरण n घात का है तो n घात की बहुपद समीकरण में n मूल होते हैं।
प्रश्न:2.सम्मिश्र संख्याओं की मुख्य बातें लिखिए। (Write HIGHLIGHTS of Complex Numbers):
उत्तर:(1.)a+ib के प्रारूप की एक संख्या,जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं,एक सम्मिश्र संख्या कहलाती है,a सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग और b इसका काल्पनिक भाग कहलाता है।
(2.)माना z_1=a+i b और z_2=c+i d तब
(i) z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)
(ii) z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)
(3.)किसी शून्येतर सम्मिश्र संख्या z=a+ib (a \neq 0, b \neq 0) के लिए,एक सम्मिश्र संख्या \left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)+i\left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right),का अस्तित्व होता है,इसे \frac{1}{z} या z^{-1} द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है और z का गुणात्मक प्रतिलोम कहलाता है जिससे कि (a+i b) \cdot\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+i \frac{(-b)}{a^2+b^2}\right)=1+i \cdot 0=1 प्राप्त होता है।
(4.)किसी पूर्णांक k के लिए i=1^{4k}, i, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i
(5.)सम्मिश्र संख्या z=x+iy का ध्रुवीय रूप r(\cos \theta+i \sin \theta) है,जहाँ r=\sqrt{x^2+y^2}(z का मापांक) और \cos \theta=\frac{x}{r}, \sin \theta=\frac{y}{r} (\theta, z का कोणांक कहलाता है।) \theta का मान,जिससे कि -\pi<\theta \leq \pi, z का प्रमुख कोणांक कहलाता है।
(6.)एक n घात वाले बहुपद समीकरण के n मूल होते हैं।
(7.)एक द्विघातीय समीकरण a x^2+b x+c=0, जहाँ a, b, c \in R, a \neq 0, b^2-4 a c<0, के हल x=\frac{-b \pm \sqrt{-b^2+4 a c}i}{2 a} के द्वारा प्राप्त होते हैं।
(8.)सम्मिश्र संख्या:प्रत्येक सम्मिश्र संख्या z=x+iy की संयुग्मी सम्मिश्र संख्या होती है इसे \overline{z} से निरूपित करते हैं। जहाँ \overline{z}=x-iy
(9.)सम्मिश्र z=x+iy का वर्गमूल
\sqrt{z}=\sqrt{x+i y}= \pm\left[\frac{\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)}{2}\right]^{\frac{1}{2}} \pm \left[\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}\right]^{\frac{1}{2}}
प्रश्न:3.सम्मिश्र संख्याओं की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि लिखिए। (Write the Historical Background of Complex Numbers):
उत्तर:यूनानियों ने इस तथ्य को पहचाना था कि एक ऋण संख्या के वर्गमूल का वास्तविक संख्या पद्धति में कोई अस्तित्व नहीं है परंतु इसका श्रेय भारतीय गणितज्ञ महावीराचार्य (Mahavira) (850 ईस्वी) को जाता है जिन्होंने सर्वप्रथम इस कठिनाई का स्पष्टतः उल्लेख किया।”उन्होंने अपनी कृति ‘गणित सार संग्रह’ में बताया कि ऋण (राशि) एक पूर्णवर्ग (राशि) नहीं है,अतः इसका वर्गमूल नहीं होता है।” एक दूसरे भारतीय गणितज्ञ भास्कर (Bhaskara) ने 1150 ईस्वी में अपनी कृति ‘बीजगणित’ में लिखा है, “ऋणराशि का कोई वर्गमूल नहीं होता है क्योंकि यह एक वर्ग नहीं है।” Cardan (1545 ईस्वी) ने x+y=10,xy=40 को हल करने में उत्पन्न समस्या पर ध्यान दिया।उन्होंने x=5+\sqrt{-15} तथा y=5-\sqrt{-15} इसके हल के रूप में ज्ञात किया जिससे उन्होंने स्वयं अमान्यकर दिया कि ये संख्या व्यर्थ (useless) हैं।Albert Girad (लगभग 1625 ईस्वी) ने ऋण संख्याओं के वर्गमूल को स्वीकार किया और कहा कि,इससे हम बहुपदीय समीकरण की जितनी घात होगी,उतने मूल प्राप्त करने में सक्षम होंगे।Euler ने सर्वप्रथम \sqrt{-1} को i संकेतन प्रदान किया तथा W.R. Hamilton (लगभग 1830 ईस्वी) ने एक शुद्ध गणितीय परिभाषा देकर और तथाकथित ‘काल्पनिक संख्या’ के प्रयोग को छोड़ते हुए समय सम्मिश्र संख्या a+ib को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म (a, b) के रूप में प्रस्तुत किया।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघात समीकरण कक्षा 11 (Quadratic Equations Class 11),कक्षा 11 में द्विघातीय समीकरण (Quadratic Equations in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
