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Complement of a Set Class 11

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1.समुच्चय का पूरक कक्षा 11 (Complement of a Set Class 11),गणित में समुच्चय का पूरक (Complement of a Set in Mathematics):

  • समुच्चय का पूरक कक्षा 11 (Complement of a Set Class 11) में समुच्चय का पूरक की परिभाषा निम्नलिखित है:
    परिभाषा (Definition):मान लीजिए कि U एक सार्वत्रिक समुच्चय है और A,U का एक उपसमुच्चय है तो A का पूरक समुच्चय U के उन अवयवों का समुच्चय है जो A के अवयव नहीं हैं।प्रतीकात्मक रूप में हम U के सापेक्ष A के पूरक को प्रतीक A’ से निरूपित करते हैं।अतः A^{\prime}=\{x: x \in U \text{ और } x \notin A \} हम लिखते हैं।A’=U-A
  • ध्यान दीजिए कि A के पूरक समुच्चय को विकल्पत: सार्वत्रिक समुच्चय U तथा समुच्चय A के अन्तर के रूप में देखा जा सकता है।
  • टिप्पणी:यदि A सार्वत्रिक समुच्चय U का एक उपसमुच्चय है तो इसका पूरक A’ भी U का एक उपसमुच्चय होता है।
    हम पूर्व में (A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime} तथा (A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime} को सिद्ध कर चुके हैं।यदि A और B सार्वजनिक समुच्चय (सार्वत्रिक समुच्चय) U के कोई दो उपसमुच्चय हैं तो उपर्युक्त परिणाम व्यापक रूप से सत्य होता है।इसे शब्दों में निम्न प्रकार व्यक्त करते हैं:
  • “दो समुच्चयों के सम्मिलन (संघ) का पूरक उनके पूरक समुच्चयों का सर्वनिष्ठ होता है तथा दोनों समुच्चयों के सर्वनिष्ठ का पूरक उनके पूरक समुच्चयों का सम्मिलन (संघ) होता है।”इनको De Morgan के नियम कहते हैं।यह नाम गणितज्ञ De Morgan के नाम पर रखा गया है।
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2.समुच्चय का पूरक कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Complement of a Set Class 11 Solved Examples):

Example:1.मान लीजिए कि U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={1,2,3,4}, B={2,4,6,8} और C={3,4,5,6} तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i)A^{\prime}
(ii)B^{\prime}
(iii)(A \cup C)^{\prime}
(iv)(A \cup B)^{\prime}
(v)(A^{\prime})^{\prime}
(vi)(B-C)^{\prime}
Solution:(i) A^{\prime} \\ A=\{1,2,3,4\},U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \\ A^{\prime}=\{5,6,7,8,9\}
(ii) B^{\prime} \\ B=\{2,4,6,8\}, U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \\ B^{\prime}=\{1,3,5,7,9\}
(iii) (A \cup C)^{\prime} \\ A=\{1,2,3,4\}, C=\{3,4,5,6\}, U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \\ A \cup C=\{1,2,3,4,5,6\} \\ (A \cup C)^{\prime}=\{7,8,9\}
(iv) (A \cup B)^{\prime} \\ A=\{1,2,3,4\}, B=\{2,4,6,8\}, U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \\ A \cup B=\{1,2,3,4,6,8\} \\ (A \cup B)^{\prime}=\{5,7,9\}
(v) \left ( A^{\prime} \right )^{\prime} \\ A=\{1,2,3,4\}, U=\{1,2,3, 4,5,6,7,8,9\} \\ A^{\prime}=\{5,6,7,8,9\} \\ \Rightarrow \left ( A^{\prime} \right )^{\prime}=\{1,2,3,4\}
(vi) (B-C)^{\prime} \\ B=\{2,4,6,8\}, C=\{3,4,5,6\}, U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \\ \Rightarrow (B-C)=\{2,8\} \\ \Rightarrow (B-C)^{\prime}=\{1,3,4,5,6,7,9\}
Example:2.यदि U={a,b,c,d,e,f,g,h} तो निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए:
(i)A={a,b,c} (ii)B={d,e,f,g} (iii)C={a,c,e,g} (iv)D={f,g,h,a}
Solution:(i)A={a,b,c},U={a,b,c,d,e,f,g,h}
A’={d,e,f,g,h}
(ii)B={d,e,f,g},U={a,b,c,d,e,f,g,h}
B’={a,b,c,h}
(iii)C={a,c,e,g},U={a,b,c,d,e,f,g,h}
C’={b,d,f,h}
(iv)D={f,g,h,a},U={a,b,c,d,e,f,g,h}
D’={b,c,d,e}

Example:3.प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय मानते हुए निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए:
(i){x:x एक प्राकृत सम संख्या है}
(ii){x:x एक प्राकृत विषम संख्या है}
(iii){x:x संख्या 3 का एक धन गुणज है}
(iv){x:x एक अभाज्य संख्या है}
(v){x:x,3 और 5 से विभाजित होने वाली एक संख्या है}
(vi){x:x एक पूर्ण वर्ग संख्या है}
(vii){x:x एक पूर्ण घन संख्या है}
(viii){x:x+5=8}
(ix){x:2x+5=9}

(x) \{x:x \geq 7\}
(xi) \{x:x \in N \text{ और }  2x+1>10 \}
Solution:(i)माना A={x:x एक प्राकृत सम संख्या है}
A’={x:x एक विषम प्राकृत संख्या है}
(ii)माना A={x:x एक प्राकृत विषम संख्या है}
A’={x:x  एक सम प्राकृत संख्या है}
(iii)माना A={x:x संख्या 3 का एक धन गुणज है}
A’={ x: x \in N और x संख्या 3 का धन गुणज नहीं है}
(iv)माना A={x:x एक अभाज्य संख्या है}
A’={x:x एक धन भाज्य संख्या है और x \neq 1}
(v)माना A={x:x,3 और 5 से विभाजित होने वाली एक संख्या है}
A’={ x:x, x \in N और  x एक धन पूर्णांक है जो 3 से भाज्य नहीं है या जो 5 से भाज्य नहीं है}
(vi)माना A={x:x एक पूर्ण वर्ग संख्या है}
A’={x:x एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है}
(vii)माना A={x:x एक पूर्ण घन संख्या है}
A’={ x: x \in N और x एक पूर्ण घन संख्या नहीं है}
(viii)माना A={x:x+5=8}

x+5=8 \Rightarrow x=3 \\ A^{\prime}=\{ x : x \in N \text{ तथा } x \neq 3 \}
(ix)माना A={x: 2x+5=9}

2 x+5=9 \Rightarrow x=2 \\ A^{\prime}=\{ x : x \in N \text{ तथा } x \neq 2 \}
(x)माना A=\{x: x \geq 7\}
A^{\prime}=\{x : x \in N \text { और } x<7\}
(xi)माना A=\{x: x \in N \text { और } 2 x+1>10\} \\ 2 x+1>10 \Rightarrow x>\frac{9}{2}\\ A^{\prime}=\left\{x: x \in N \text { और } x<\frac{9}{2}\right\}
Example:4.यदि U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={2,4,6,8} और B={2,3,5,7} तो सत्यापित कीजिए कि:

\text{(i)}(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime} \\ \text{(ii)}(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}
Solution:(i)(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime} \\ A=\{2,4,6,8\},B=\{2,3,5,7\}\\ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\\A \cup B=\{2,3,4,5,6,7,8\} \\ (A \cup B)^{\prime}=\{1,9\} \ldots(1) \\ A^{\prime}=\{1,3,5,7,9\}, B^{\prime}=\{1,4,6,8,9\} \\ A^{\prime} \cap B^{\prime}=\{1,9\} \cdots(2)
(1) व (2) से:

(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}
Solution:(ii)(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime} \\ A=\{2,4,6,8\}, B=\{2,3,5,7\} \\ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \\ A \cap B=\{2\} \\ (A \cap B)^{\prime}=\{1,3,4,5,6,7,8,9\} \cdots(1) \\ A^{\prime}=\{1,3,5,7,9\}, B^{\prime}=\{1,4,6,8,9\} \\ A^{\prime} \cup B^{\prime}=\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\cdots(2)
(1) व (2) से:

(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}
Example:5.निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए उपर्युक्त वेन आरेख खींचिए:

\text { (i) } (A \cup B)^{\prime} \\ \text { (ii) } A^{\prime} \cap B^{\prime} \\ \text { (iii) }(A \cap B)^{\prime} \\ \text { (iv) } A^{\prime} \cup B^{\prime}

Solution:-

Example:6.मान लीजिए कि किसी समतल में स्थित सभी त्रिभुजों का समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय U है।यदि A उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय हैं जिनमें कम से कम एक कोण 60° से भिन्न है तो A’ क्या है?
Solution:A={x:x उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय जिनमें कम से कम एक कोण 60° से भिन्न है}
U={x:x सभी त्रिभुजों का समुच्चय}
A’={x:x सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय}
Example:7.निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों को भरिए:

\text { (i) } A \cup A^{\prime}=..... \\ \text { (ii) } \phi^{\prime} \cap A=....... \\ \text { (iii) } A \cap A=..... \\ \text { (iv) } U^{\prime}\cap A =.....

Solution:-\text { (i) } A \cup A^{\prime}=U \\ \text { (ii) } \phi^{\prime} \cap A=A \\ \text { (iii) } A \cap A^{\prime}=\phi \\ \text { (iv) } U^{\prime}\cap A =\phi
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समुच्चय का पूरक कक्षा 11 (Complement of a Set Class 11),गणित में समुच्चय का पूरक (Complement of a Set in Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.समुच्चय का पूरक कक्षा 11 की समस्याएं (Complement of a Set Class 11 Problems):

(1.)सिद्ध करो (Prove that):

\text{(i)} A \cap B^{\prime}=\phi \text{( ii )} A-B \subset B^{\prime}
(2.)सिद्ध करो (Prove that):

A-B=B^{\prime}-A^{\prime}
  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समुच्चय का पूरक कक्षा 11 (Complement of a Set Class 11),गणित में समुच्चय का पूरक (Complement of a Set in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समुच्चय का पूरक कक्षा 11 (Complement of a Set Class 11),गणित में समुच्चय का पूरक (Complement of a Set in Mathematics) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.पूरक संक्रिया के गुणधर्म कौन-कौनसे हैं? (What are the main Properties of Complement operation?):

उत्तर यदि A और B किसी सार्वत्रिक समुच्चय U के उपसमुच्चय हैं तो पूरकों के गुणधर्म निम्न हैं:
(i) U^{\prime}=\phi
उपपत्ति (Proof):माना x \in U^{\prime} तब
x \in U^{\prime} \Rightarrow x \in U और x \notin U \\ \Rightarrow x \in \phi
परन्तु \phi \subset U^{\prime} [ \phi प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है]
\Rightarrow U^{\prime}=\phi
(ii)\phi^{\prime}=U
उपपत्ति (Proof):माना x \in \phi^{\prime} तब
x \in \phi^{\prime} \Rightarrow x \in U और \notin \phi \ \Rightarrow x \in U [ \because \phi कोई अवयव नहीं है]
\therefore \phi \subset U \cdots(1)
पुनः यदि x \in U तब
x \in U \Rightarrow x \notin \phi [\phi कोई अवयव नहीं रखता है]
\Rightarrow x \in \phi^{\prime} \cdots(2) \\ \therefore U \subset \phi^{\prime}
इसलिए (1) व (2) से:
\phi^{\prime}=U
(iii)A \cup A^{\prime}=U
उपपत्ति (Proof):U सार्वत्रिक समुच्चय है A के लिए
\therefore A \subset U और A^{\prime} \subset U
अतः A \subset U और A^{\prime} \subset U \Rightarrow A \cup A^{\prime} \subset U \cdots(1)
यदि x \in \cup तब
x \in U \Rightarrow x \in A या x \in A^{\prime} \\ \Rightarrow x \in A \cup A^{\prime} \\ \therefore U \subset A \cup A' \cdots(2)
(1) व (2) से:
A \cup A^{\prime}=U
(iv) A \cap A^{\prime}=\phi
उपपत्ति (Proof):माना x \in A , A \cap A^{\prime} तब
x \in A \cap A^{\prime} \Rightarrow x \in A और x \in A^{\prime} \\ \Rightarrow x \in A और x \notin A \\ \Rightarrow x \in \phi \\ \therefore A \cap A^{\prime} \subset \phi
परन्तु \phi \subset A \cap A^{\prime} [ \because \phi प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है]
A \cap A^{\prime}=\phi
(v)\left(A^{\prime}\right)^{\prime}
उपपत्ति (Proof):माना x \in \left(A^{\prime}\right)^{\prime} तब
x \in\left(A^{\prime}\right)^{\prime} \Rightarrow x \in A^{\prime} \\ \Rightarrow x \in A [ \because x \in A या x \in A^{\prime} ]
(A^{\prime})^{\prime} \subset A \cdots(1)
पुनः यदि x \in A तब
x \in A \Rightarrow x \notin A^{\prime}[\because A \cap A=\phi] \\ \Rightarrow x+\left(A^{\prime}\right)^{\prime} \\ \therefore A \subset (A^{\prime})^{\prime} \cdots(2)
(1) व (2) से:
\left(A^{\prime}\right)^{\prime}=A
(vi)De Morgan Theorem
\text { (a) }(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime} \\ \text { (b) }(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}
पूर्व आर्टिकल में सिद्ध किया है।अतः उसे देखे।

प्रश्न:2.अन्तर संक्रिया के डी मार्गन नियम को सिद्ध करो। (Prove that the De Morgan Law of the Difference Operation):

उत्तर:A-(B \cap C)=(A-B) \cup(A-C)
माना x \in A-(B \cap C) तब
x \in A-(B \cap C) \Rightarrow x \in A और x \notin B \cap C \\ x \in A और ( x \notin B या x \notin C) \\ \Rightarrow (x \in A और x \notin B) या (x \in A और x \notin C) \\ \Rightarrow x \in A-B या x \in A-C \\ \Rightarrow x \in(A-B) \cup (A-C) \\ \therefore A-(B \cap C) C(A-B) \cup(A-C) \cdots(1) \\ x \in(A-B) \cup(A-C) \\ x \in(A-B) \cup(A-C) \\ \Rightarrow x \in A-B या x \in A -Cऔर \Rightarrow (x \in A \text { और } x \notin B \text { या }(x \in A \text { और } x \notin C) \\ \Rightarrow x \in A \text { और } x(x \neq B \text { या } x \notin C) \\ \Rightarrow x \in A \text { और } x \notin B \cap C \\ \Rightarrow x \in A-(B \cap C) \\ (A-B) \cup(A-C) \subset A-(B \cap C) \cdots(2)
(1) व (2) से:
A-(B \cap C)=(A-B) \cup(A-C)

प्रश्न:3.समुच्चयों में वेन आरेख का क्या उपयोग है? (What is the use of Venn Diagram in a set?):

उत्तर:समुच्चयों पर प्रारम्भिक संक्रियाओं को आरेख द्वारा सरलता से समझा जा सकता है जिन्हें वेन आरेख कहते हैं।इस विधि में सार्वत्रिक समुच्चय को एक आयत के रूप में तथा अन्य समुच्चयों को वृत्तों के रूप में दर्शाते हैं।अनेक प्रश्नों को तार्किक रूप से हल करने में वेन आरेख काफी उपयोगी सिद्ध होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समुच्चय का पूरक कक्षा 11 (Complement of a Set Class 11),गणित में समुच्चय का पूरक (Complement of a Set in Mathematics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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समुच्चय का पूरक कक्षा 11
(Complement of a Set Class 11)

Complement of a Set Class 11

समुच्चय का पूरक कक्षा 11 (Complement of a Set Class 11) में समुच्चय का पूरक की
परिभाषा निम्नलिखित है:परिभाषा (Definition):मान लीजिए कि U एक सार्वत्रिक समुच्चय है
और A,U का एक उपसमुच्चय है

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