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Differentiability and Continuity

1.अवकलनीयता और सांतत्य (Differentiability and Continuity)-

अवकलनीयता और सांतत्य (Differentiability and Continuity) से पूर्व सीमा का अध्ययन करना आवश्यक है।पूर्व आर्टिकल में हम सीमा का अध्ययन कर चुके हैं।यहां हम सीमा की सहायता से संतत फलनों का अध्ययन करेंगे।
(1.)सांतत्य की कोशी परिभाषा (Cauchy’s Definition of Continuity)-
कोई फलन f(x) इसके प्रान्त D के किसी बिन्दु a पर संतत कहलाता है यदि किसी स्वेच्छ सूक्ष्म धनात्मक संख्या \epsilon ,जो कि कितनी भी छोटी क्यों न हो,के संगत धनात्मक संख्या \delta (\epsilon पर निर्भर) इस प्रकार विद्यमान है ताकि
|f(x)=f(a)|<\epsilon \text { जबकि }|x-a|<\delta
अर्थात् दूसरे शब्दों में फलन f(x) अपने प्रान्त D के किसी बिन्दु a पर संतत कहलाता है यदि प्रत्येक के लिए अन्तराल (a-\delta,a+\delta) के प्रत्येक बिन्दु के लिए f(x) तथा f(a) का संख्यात्मक अन्तर \varepsilon से कम किया जा सके।
(2.)सांतत्य की वैकल्पिक परिभाषा (Alternate Definition of Continuity),सांतत्य और अवकलनीयता सूत्र (Continuity and differentiability formula)-
फलन f(x) अपने प्रान्त D के किसी बिन्दु a पर संतत होता है यदि और केवल यदि \lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) विद्यमान हो तथा यह f(a) के बराबर हो अर्थात्

\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) \\ \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(a)=f(a) \\ \Rightarrow f(a+0)=f(a-0)=f(a)
अर्थात् a पर f(x) की दक्षिण (बायीं सीमा)=a पर f(x) की वाम (बायीं) सीमा=a पर f(x) का मान
(3.) एक बिन्दु पर बायीं तथा दायीं ओर से सांतत्य (Continuity at a Point from Left and Right)-
कोई फलन f(x) अपने प्रान्त के किसी बिन्दु a पर
(i)बायीं ओर संतत कहलाता है यदि

\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=f(a)
अर्थात् f(a-0)=f(a)
(ii)दायीं ओर से संतत कहलाता है यदि

\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a)
अर्थात् f(a+0)=f(a)
(4.)विवृत अन्तराल में संतत फलन (Continuous function in an open interval)-
फलन f(x) विवृत अन्तराल (a,b) में संतत कहलाता है यदि वह उस अन्तराल के प्रत्येक बिन्दु पर संतत हो।
(5.)संवृत्त अन्तराल में संतत फलन (Continuous function in a closed interval)-
फलन f(x),संवृत्त अन्तराल [a,b] में संतत कहलाता है यदि वह
(i)बिन्दु a पर दायीं ओर से संतत है,
(ii)बिन्दु b पर बायीं ओर से संतत है तथा
(iii)विवृत अन्तराल (a,b) में संतत हो।
(6.)संतत फलन (Continuous Function)-
यदि कोई फलन अपने प्रान्त के प्रत्येक बिन्दु पर संतत है तो वह संतत फलन कहलाता है।कुछ संतत फलनों के उदाहरण निम्न है-
(i)तत्समक फलन f(x)=x,
(ii)अचर फलन f(x)=c, जहां c अचर है
(iii)बहुपद फलन f(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a x^{n}
(iv)त्रिकोणमितीय फलन f(x)=\sin x ,\cos x
(v) चरघातांकीय फलन f(x)=a^{x}, a>0
(vi)लघुगुणकीय फलन f(x)=\log_{e}x
(vii)निरपेक्ष मान फलन f(x)=|x|,x+|x|,x-|x|,x|x|
(7.)असंतत फलन (Discontinuous Function)-
(i)f(x)=[x]=अधिकतम पूर्णांक जो कि x से कम या बराबर है,सभी पूर्णांकों पर असंतत है।
(ii)f(x)=x-[x],प्रत्येक पूर्णांक पर असंतत है।
(iii)f(x)=\tan x \sec x=\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \cdots पर असंतत है।
(iv)f(x)=\cot x, \operatorname{cosec} x ; x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi \cdots पर असंतत है।
(v)f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right), \cos \left(\frac{1}{x}\right),,x=0 पर असंतत है।
(vi)f(x)=e^{\frac{1}{x}},x=0 पर असंतत है।
(vii)f(x)=\frac{1}{x},x=0 पर असंतत है।
(8.)संतत फलनों के गुणधर्म (Properties of continuous function)-
(i)यदि f(x) तथा g(x) अपने प्रान्त D में कोई दो संतत फलन हैं तो f(x) \pm g(x) ,f(x).g(x),cf(x) भी अपने प्रान्त में संतत होंगे।इसी प्रकार \frac{f(x)}{g(x)} उन बिन्दुओं पर संतत होगा, जहां g(x) \neq 0 \quad \forall x \in D
(ii)यदि f(x) तथा g(x) अपने-अपने प्रान्त में दो संतत फलन हैं तो इनका संयुक्त फलन (gof)(x) भी प्रान्त D में संतत फलन होगा।
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2.अवकलनीयता और सांतत्य के उदाहरण (Differentiability and Continuity Examples),सांतत्य और अवकलनीयता के हल (Continuity and differentiability solutions),सांतत्य और अवकलनीयता की समस्याओं के हल (Continuity and differentiability problems solutions)-

निम्न फलनों के सांतत्य का परीक्षण कीजिए:
Example-1.f(x)=\left\{\begin{matrix} x \left(1+(\frac{1}{3}) \sin \left(\log x^{2}\right)\right) ; x \neq 0 \\ 0 ; x=0 \end{matrix}\right.
x=0 पर।
Solutionf(x)=x\left\{1+\left(\frac{1}{3}\right) \sin \left(\log x^{2}\right)\right\}
x=0 पर R.H.L f(0+0)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0+h)\left\{1+\left(\frac{1}{3}\right) \sin \log (0+h)^{2}\right\} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} h\left\{1+\left(\frac{1}{3}\right) \sin (2 \log h)\right\} \\ \Rightarrow f(0+0) =0
x=0 पर  L.H.L f(0-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h) \\=\lim _{h \rightarrow 0}(0-h)\left\{1+\left(\frac{1}{3}\right) \sin \log (0-h)^{2}\right\} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-h)\left\{1+\frac{1}{3} \sin \left(2 \log h^{2} \right) \right\} \\ \Rightarrow f(0-0) =0 \\ \Rightarrow f(0+0) =f(0-0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत फलन है।
Example-2. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} & ; x \neq 0 \\ 0 & ; x=0 \end{array}\right.
x=0 पर।
Solutionf(0)=0 \\ f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}
x=0 पर R.H.L f(0+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(\text { 0+h }) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{\frac{1}{0}+h}}{0+h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{\frac{1}{h}}}{h} \\ =\frac{e^{\infty}}{0} \\ \Rightarrow f(0+0)=\frac{\infty}{0} (अस्तित्व नहीं है)
x=0 पर L.H.L  f(0-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{\frac{1}{0-h}}}{0-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{\left(-\frac{1}{h}\right)}}{-h} \\=\infty (अस्तित्व नहीं है)

f(0+0) \neq f(0-0) \neq f(0)
अतः फलन x=0 पर असंतत है।
Example-3.f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x & ; x \leq 3 \\ 7-x & ; x>3 \end{array}\right.
x=3 पर।
Solution-f(x)=1+x
f(3)=1+3
f(3)=4

x=3 पर R.H.L f(3+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(3+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} 7-(3+h) \\ =\lim _{h\rightarrow c} (7-3-h) \\ \Rightarrow f(3+0) =\lim _{n \rightarrow 0}(4-h) \\ =4-0 \\ \Rightarrow f(3+0) =4
x=3 पर L.H.L f(3-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(3-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} (1+3-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} 4-h \\ =4-0 \\ \Rightarrow f(3-0)=4
f(3+0)=f(3-0)=f(3) 
अतः फलन x=3 पर संतत है।
Example-4.f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ sin x & ; \frac{-\pi}{2}<x \leq 0 \\ \tan x & , \quad 0<x<\pi / 2 \end{array}\right.

x=0 पर।
Solutionf(x)=\sin x \\ \Rightarrow f(0)=\sin x \\ \Rightarrow f(0)=0
x=0 पर R.H.L f(0+0)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \tan (0+h) \\=\lim _{h \rightarrow 0} \tanh \\ \\ =\tan 0 \Rightarrow f(0+0) =0
x=0 पर L.H.L f(0-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \sin (0-h) \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \sin (-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-\sinh ) \\ \Rightarrow f(0-0) =-\sin 0=0
f(0+0)=f(0-0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है
Example-5.\left\{\begin{array}{ll}\cos (x) & ; x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.
x=0 पर।
Solution f(x)=\cos \left(\frac{1}{x}\right) ; x \neq 0
x=0 पर R.H.L   f(0+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \cos \left(\frac{1}{0+h}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \cos (\frac{1}{h}) \\ \Rightarrow f(0+0)= finite value between 1 and -1 
x=0 पर L.H.L  f(0-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \cos \left(\frac{1}{6-h}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \cos (-1 / h) \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \cos (\frac{1}{h})\\ \Rightarrow f(0-0)= finite value between 1 and -1 
अतः x=0 पर फलन असंतत है।

Example-6.f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{(x-a)} cosec(x-a) & , x \neq a \\ 6 & \text { ; } x=a \end{array}\right.
x=a पर।
Solutionf(a)=0 \\ f(x)=\frac{1}{(x-a)} \operatorname{cosec}(x-a)
x=a पर R.H.L f(a+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(a+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{(a+h-a)} \operatorname{cosec}(a+h-a) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \operatorname{cosec}h \\ \Rightarrow f(a+0)=\infty
x=a पर L.H.L f(a-0)=\lim _{h \rightarrow 0} f(a-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{(a-h-a)} \operatorname{cosec}(a-h-a) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-h) \quad \operatorname{cosec}(-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(-\frac{1}{h}\right)(-\operatorname{cosech}) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{h}\right) \operatorname{cosec}h \\ \Rightarrow f(a-0)=\infty \\ f(a+0) \neq f(a-0) \neq f(a)
अतः फलन x=a पर असंतत है।
Example-7.।f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}}{a}-a, &  x<a \\ 0 & x=a \\ a-\frac{a^{3}}{x^{2}} & ; x>a \end{array}\right.
x=a पर
Solutionf(a)=0 \\ f(x)=a-\frac{a^{3}}{x^{2}}

x=a पर R.H.L f(a+0)=\lim _{h \rightarrow 0} f(a+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} a-\frac{a^{3}}{(a+h)^{2}} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{a}{1}-\frac{a^{3}}{\left(a^{2}+2 a h+h^{2}\right)}\right] \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{a^{3}+2 a^{2} h+a b^{2}-a^{3}}{a^{2}+2 a h+h^{2}}\right) \\=\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{2 a^{2} h+a h^{2}}{a^{2}+2 a h+h^{2}}\right) \\=\frac{0}{a^{2}+0} \\ =\frac{0}{a^{2}+0} \\ \Rightarrow f(a+0) =0 \\ f(x)=\frac{x^{2}}{a}-a
x=a पर L.H.L f(a-0)=\lim _{h \rightarrow 0} f(a-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left[(a-h)^{2}-a\right]}{a} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{a^{2}-2 a h+h^{2}-a^{2}}{a}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-2 a h+h^{2}}{a} \\=\frac{0}{a} \\ \Rightarrow f(a-0) =0 \\ f(a+0)=f(a-0)=f(a)
f(a+0)=f(a-0)=f(a)
अतः फलन x=a पर संतत है।
Example-8.फलन f(x)=x-[x] की x=3 पर संततता का परीक्षण कीजिए।
Solution– स्थिति-I मान लीजिए कि c एक ऐसी वास्तविक संख्या है जो किसी भी पूर्णांक के बराबर नहीं है।
अतः \lim _{x \rightarrow c} f(x) =\lim _{x \rightarrow c} x-\lim _{x \rightarrow c}[x] \\ =c-[c] \\ =c-c \\ =0 \\ f(x)= x-[x] \\ f(x) =x-[x] \\ f(c)= c-[c] \\ =c-c \\ =0 \\ \text { अतः} f(c)=\lim_{x \rightarrow c} f(x)

फलत: फलन उन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है जो पूर्णांक नहीं है।
स्थिति-II मान लीजिए कि c एक पूर्णांक है
तब [c-h]=c-1 तथा [c+h]=c
x=c पर R.H.L f(c+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(c+h) \\  =\lim _{h \rightarrow 0} [c+h-[c+h]]\\=\lim _{h \rightarrow 0}\left[c+h-c]\right]\\ =\lim _{n \rightarrow 0} [c+h-c] \\ =\lim _{h \rightarrow 0} h \\ \Rightarrow f(c+0) =0
x=c पर L.H.L f(c-0) =\lim_{h \rightarrow 0} f(c-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}[c-h-[c-h]) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}[(c-h-(c-1)]\\=\lim _{h \rightarrow 0}(c-h-c+1) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-h+1) \\=1
किसी भी पूर्णांक c के लिए ये सीमाएं समान नहीं हो सकती है। अतः सभी पूर्णांक के मानों के लिए फलन असंतत है।
फलत: फलन असंतत है।
Example-9.यदि निम्न f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{3}+x^{2}-16 x+20}{(x-2)^{2}} & , x \neq 2 \\ k & x=2 \end{array}\right.

बिन्दु x=2 पर संतत है तब k का मान ज्ञात कीजिए।
Solutionf(x) =\frac{x^{3}+x^{2}-16 x+20}{(x-2)^{2}} \\ =\frac{x^{3}-2 x^{2}+3 x^{2}-6 x-10 x+20}{(x-2)^{2}} \\ =\frac{x^{2}(x-2)+3 x(x-2)-10(x-2)}{(x-2)^{2}} \\ =\frac{(x-2)\left(x^{2}+3 x-10\right)}{(x-2)^{2}}\\ =\frac{(x-2) \left(x^{2} +3 x-10\right)}{(x-2)^{2}} \\ =\frac{x^{2}+5 x-2 x-10}{(x-2)^{2}} \\ =\frac{x(x+5) -2(x+5)}{x-2} \\ =\frac{(x-2)(x+5)}{(x-2)} \\ \Rightarrow f(x)=x+5 
x=2 पर R.H.L f(2+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(2+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} 2 +h+5 \\=\lim _{h \rightarrow 0} 7+h = 7
x=2 पर फलन संतत है अतः f(2+0)=f(2)
Example-10.निम्न फलन f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2} & ; \quad-1 \leq x<0 \\4 x-3 &  \quad 0<x \leq 1 \\5 x^{2}-4 x ; & 1<x \leq 2 \end{array}\right.

की अन्तराल [-1,2] में सांतत्य का परीक्षण कीजिए।
Solution– x=0 पर R.H.L f(0+h) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h) \\=\lim _{h \rightarrow 0} 4(0+h)-3 \\=\lim _{h \rightarrow 0} 4 h-3 \\ f0+0) =-3

x=0 पर L.H.L  f(0-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h) \\=\lim _{h \rightarrow 0}\left[-(0-h)^{2}\right] \\=\lim _{h \rightarrow 0}\left(-h^{2}\right) \\ =0
अतः फलन अन्तराल [-1,2] में असंतत है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा अवकलनीयता और सांतत्य (Differentiability and Continuity) को समझ सकते हैं।

3.अवकलनीयता और सांतत्य की समस्याएं (Differentiability and Continuity Problems),सांतत्य और अवकलनीयता समस्याएं (Continuity and differentiability problems)-

(1.) फलन f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x-|x|}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{array}\right. की बिन्दु x=0 पर सातत्य की जांच कीजिए।

(2.) फलन f(x)=|x|+|x-1| का x=0 तथा x=1 पर सांतत्य का परीक्षण कीजिए।

(3.)प्रदर्शित कीजिए कि फलन f(x),जो निम्न प्रकार परिभाषित है

f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{1}{x}}} & ; x \neq 0 \\ 0 & ; x=0 \end{array}\right. x=0 पर संतत नहीं है।

(4.)फलन f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2} & ; x<1 \\ x & ; \quad 1 \leq x<2 \\ \frac{x^{2}}{4} & ; x \geq 2 \end{array}\right. की  x=2 पर सांतत्य का परीक्षण कीजिए।

(5.) यदि निम्न फलन  f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1-\cos (cx)}{x \sin x} & ; x=0 \\ \frac{1}{2} & , x=0 \end{array}\right. बिन्दु x=0 पर संतत है तो c का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)असंतत
(2.) संतत
(4.)संतत        (5)c=\pm 1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकलनीयता और सांतत्य (Differentiability and Continuity) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.आपको कैसे पता चलेगा कि कोई फ़ंक्शन संतत या अवकलनीय है? (How do you know if a function is continuous or differentiable?)-

हम देखते हैं कि यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय होता है, तो यह उस बिंदु पर संतत होना चाहिए।सांतत्य और अवकलनीयता के बीच संबंध हैं।अवकलनीयता इम्प्लाइज कन्टिन्यूइटी यदि अवकलनीय फलन है,तो यह संतत है।यदि संतत नहीं है, तो अवकलनीय नहीं है।

5.क्या सांतत्य अवकलनीयता की गारंटी देती है? (Does continuity guarantee differentiability?)-

नहीं, सांतत्य में अवकलनीयता नहीं है।उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन ƒ: R → R ,ƒ (x) = | x | द्वारा परिभाषित बिंदु x=0 पर संतत है, लेकिन यह बिंदु x=0 पर अवकलनीय नहीं है।

6.सांतत्य के 3 नियम क्या हैं? (What are the 3 rules of continuity?)-

कैलकुलस में, एक फंक्शन x = a पर संतत होता है यदि और केवल यह तीन शर्तों को पूरा करता है:
फ़ंक्शन को x = a पर परिभाषित किया गया है।
x=a के रूप में फ़ंक्शन की सीमा मौजूद है।
x=a के रूप में फ़ंक्शन की सीमा फ़ंक्शन मान f (a) के बराबर है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर, उदाहरणों, सवालों को हल करके अवकलनीयता और सांतत्य (Differentiability and Continuity) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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