1.वृत्त कक्षा 11 (Circle Class 11),कक्षा 11 में वृत्त (Circle in Class 11):

Circle Class 11

वृत्त कक्षा 11 (Circle Class 11) में वृत्त का समीकरण,वृत्त का केन्द्र व वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वृत्त कक्षा 11 के उदाहरण (Circle Class 11 Examples):

निम्नलिखित प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक में वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए:
Example:1.केन्द्र (0,2) और त्रिज्या 2 इकाई
Solution:केन्द्र (0,2) और त्रिज्या 2 इकाई
वृत्त का केन्द्र (h,k)=(0,2)
त्रिज्या (r)=2 इकाई
वृत्त का समीकरण:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow(x-0)^2+(y-2)^2=2^2 \\ \Rightarrow x^2+y^2-4 y+4=4 \\ \Rightarrow x^2+y^2-4 y=0
Example:2.केन्द्र (-2,3) और त्रिज्या 4 इकाई
Solution:केन्द्र (-2,3) और त्रिज्या 4 इकाई
वृत्त का केन्द्र (h,k)=(-2,3)
त्रिज्या (r)=4 इकाई
वृत्त का समीकरण:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow (x-(-2))^2+(y-3)^2=4^2 \\ \Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=16 \\ \Rightarrow x^2+4 x+4+y^2-6 y+9=16 \\ \Rightarrow x^2+y^2+4 x-6 y-3=0
Example:3.केन्द्र \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) और त्रिज्या  इकाई \frac{1}{12}
Solution:केन्द्र \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) और त्रिज्या इकाई \frac{1}{12}
वृत्त का केन्द्र (h,k)=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)
त्रिज्या (r)= \frac{1}{12} इकाई
वृत्त का समीकरण:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{12^2} \\ \Rightarrow \frac{(2 x-1)^2}{4}+\frac{(4 y-1)^2}{16}=\frac{1}{144} \\ \Rightarrow 4(2 x-1)^2+(4 y-1)^2=\frac{16}{144} \\ \Rightarrow 4\left(4 x^2-4 x+1\right)+\left(16 y^2-8 y+1\right)=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow 16 x^2-16 x+4+16 y^2-8 y+1=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow 144 x^2-144 x+36+144 y^2-72 y+9=1 \\ \Rightarrow 144 x^2+144 y^2-144 x-72 y+44=0 \\ \Rightarrow 4\left(36 x^2+36 y^2-36 x-18 y+11\right)=0 \\ \Rightarrow 36 x^2+36 y^2-36 x-18 y+11=0
Example:4.केन्द्र (1,1) और त्रिज्या \sqrt{2} इकाई
Solution:केन्द्र (1,1) और त्रिज्या \sqrt{2} इकाई
वृत्त का केन्द्र (h,k)=(1,1)
त्रिज्या (r)=\sqrt{2} इकाई
वृत्त का समीकरण:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=(\sqrt{2})^2 \\ \Rightarrow x^2-2 x+1+y^2-2 y+1=2 \\ \Rightarrow x^2+y^2-2 x-2 y=0
Example:5.केन्द्र (-a,-b) और त्रिज्या  \sqrt{a^2-b^2} इकाई
Solution:केन्द्र (-a,-b) और त्रिज्या \sqrt{a^2-b^2} इकाई
वृत्त का केन्द्र (h,k)=(-a,-b)
त्रिज्या (r)=\sqrt{a^2-b^2} इकाई
वृत्त का समीकरण:

Circle Class 11

निम्नलिखित प्रश्न 6 से 9 तक में प्रत्येक वृत्त का केन्द्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
Example:6. (x+5)^2+(y-3)^2=36
Solution: (x+5)^2+(y-3)^2=36 \\ \Rightarrow(x-(-5))^2+(y-3)^2=6^2
वृत्त के समीकरण से तुलना करने पर: \left(x-h\right)^2+(y-k)^2=r^2
h=-5,k=3,r=6
अतः C(-5,3),r=6
Example:7. x^2+y^2-4 x-8 y-45=0
Solution:  x^2+y^2-4 x-8 y-45=0 \\ \Rightarrow\left(x^2-4 x\right)+\left(y^2-8 y\right)=45
कोष्ठकों को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\left(x^2-4 x+4\right)+\left(y^2-8 y+16\right)=45+20 \\ \Rightarrow(x-2)^2+(y-4)^2=65 \\ \Rightarrow(x-2)^2+(y-4)^2=(\sqrt{65})^2 \\ h=2, k=4, r=\sqrt{65} \\ \Rightarrow C(2,4), r=\sqrt{65}
Example:9. 2 x^2+2 y^2-x=0
Solution: 2 x^2+2 y^2-x=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2-\frac{x}{2}=0 \\ \Rightarrow\left(x^2-\frac{x}{2}\right)+\left(y^2\right)=0
कोष्ठकों को पूर्ण वर्ग बनाने पर:

\left(x^2-\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)+(y-0)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x-\frac{1}{4}\right)^2+(y-0)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ h=\frac{1}{4}, k=0, r=\frac{1}{4} \\ (h, k)=\left(\frac{1}{4}, 0\right), r=\frac{1}{4}
Example:10.बिन्दुओं (4,1) और (6,5) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र रेखा 4x+y=16 पर स्थित है।
Solution:माना वृत्त का समीकरण:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
यह (4,1) व (6,5) से गुजरता है अतः उक्त बिन्दु समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे:

(4-h)^2+(1-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow 16-8 h+h^2+1-2 k+k^2=r^2 \\ \Rightarrow 17-8 h+h^2+k^2-2 k=r^2 \\ \Rightarrow h^2+k^2-8 h-2 k=r^2-17 \cdots(1) \\ (6-h)^2+(5-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow 36-12 h+h^2+25-10 k+k^2=r^2 \\ \Rightarrow h^2+k^2-12 h-10 k=r^2-61 \cdots(2)
वृत्त का केन्द्र 4x+y=16 पर स्थित है अतः
4h+k=16  …… (3)
(1) में से (2) घटाने पर:
4h+8k=44  …. (4)
(4) में से (3) घटाने पर:
7k=28 \Rightarrow k=4
k का मान (3) में रखने पर:

4 h+4=16 \Rightarrow 4 h=12 \\ \Rightarrow h=3
h तथा k का मान समीकरण (2) में रखने पर:
(3)^2+(4)^2-8 \times 3-2 \times 4=r^2-17 \\ \Rightarrow 9+16-24-8=r^2-17 \\ \Rightarrow r^2=10 \Rightarrow r=\sqrt{10}
अतः वृत्त का समीकरण:
(x-3)^2+(y-4)^2=(\sqrt{10})^2 \\ \Rightarrow x^2-6 x+9+y^2-8 y+16=10 \\ \Rightarrow x^2+y^2-6 x-8 y+15=0

Example:11.बिन्दुओं (2,3) और (-1,1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र रेखा x-3y-11=0 पर स्थित है।
Solution:माना वृत्त का समीकरण:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
यह (2,3) और (-1,1) से गुजरता है अतः उक्त बिन्दु समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे:

(2-h)^2+(3-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow 4-4 h+h^2+9-6 k+k^2=r^2 \\ \Rightarrow h^2+k^2-4 h-6 k=r^2-13 \cdots(1) \\ (-1-h)^2+(1-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow 1+2 h+h^2+1-2 k+k^2=r^2 \\ \Rightarrow h^2+k^2+2 h-2 k=r^2-2 \cdots(2)
वृत्त का केन्द्र (h,k) रेखा x-3y-11=0 पर स्थित है अतः
h-3k-11=0   …. (3)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर:
-6h-4k=-11 \\ \Rightarrow  6h+4k=11  \cdots(4)
समीकरण (3) व (4) को हल करने पर:

h=\frac{7}{2}, k=\frac{-5}{2}
h तथा k का मान समीकरण (2) में रखने पर:

\left(\frac{7}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2+2 \times \frac{7}{2}-2 \times \frac{-5}{2}=r^2-2 \\ \Rightarrow \frac{49+25+28+20+8}{4}=r^2 \\ \Rightarrow \frac{130}{4}=r^2
अतः वृत्त का समीकरण होगा:

\left(x-\frac{7}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2=\frac{130}{4} \\ \Rightarrow x^2-7 x+\frac{49}{4}+y^2+5 y+\frac{25}{4}=\frac{130}{4} \\ \Rightarrow x^2+y^2-7 x+5 y+\frac{49+25-130}{4}=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2-7 x+5 y-14=0
Example:12.त्रिज्या 5 के उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र x-अक्ष पर हो और जो बिन्दु (2,3) से जाता है।
Solution:माना वृत्त का समीकरण:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow(x-h)^2+(y-k)^2=5^2 \cdots(1)
यह (2,3) से गुजरता है अतः

(2-h)^2+(3-k)^2=25 \\ \Rightarrow 4-4 h+h^2+9-6 k+k^2=25 \\ \Rightarrow h^2+k^2-4 h-6 k=12 \cdots(2)
केन्द्र x-अक्ष पर है अतः k=0

h^2-4 h-12=0 \\ \Rightarrow h^2-6 h+2 h-12=0 \\ \Rightarrow h(h-6)+2(h-6)=0 \\ \Rightarrow(h+2)(h-6)=0 \\ \Rightarrow h=-2,6
(h,k)=(-2,0) तथा (h,k)=(6,0)
समीकरण (1) में रखने पर:

(x+2)^2+(y-0)^2=25 \\ \Rightarrow x^2+y^2+4 x-2=0 \\ (x-6)^2+(y-0)^2=25 \\ \Rightarrow x^2-12 x+36+y^2=25 \\ \Rightarrow x^2+y^2-12 x+11=0
Example:13.(0,0) से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों पर a और b अंतखण्ड बनाता है।
Solution:(0,0) से गुजरने वाले तथा x व y अक्ष पर a व b अन्त:खण्ड बनाने वाले वृत्त के केन्द्र के निर्देशांक होंगे (h, k)=\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
त्रिज्या (r)=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}
वृत्त का समीकरण:

\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\left(y-\frac{b}{2}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{4} \\ \Rightarrow x^2+y^2-a x-b y=0
Example:14.उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र (2,2) हो तथा बिन्दु (4,5) से जाता है।
Solution:माना वृत्त का समीकरण:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \\ \Rightarrow(h, k)=(2,2) रखने पर:

(x-2)^2+(y-2)^2=r^2 \cdots(1)
यह (4,5) से गुजरता है अतः
(4-2)^2+(5-2)^2=r^2 \\ \Rightarrow 4+9=r^2 \\ \Rightarrow r^2=13 \\ r^2 का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\Rightarrow(x-2)^2+(y-2)^2=13 \\ \Rightarrow x^2+y^2-4 x-4 y+4+4=13 \\ \Rightarrow x^2+y^2-4 x-4 y-5=0
Example:15.क्या बिन्दु (-2.5,3.5) वृत्त के अन्दर,बाहर या वृत्त पर स्थित हैं?
Solution: x^2+y^2=25 \\ \Rightarrow(-2.5)^2+(3.5)^2-25 \\ \Rightarrow 6.25+12.25-25 \\ \Rightarrow-6.5<0
अतः बिन्दु वृत्त के अन्दर स्थित है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वृत्त कक्षा 11 (Circle Class 11),कक्षा 11 में वृत्त (Circle in Class 11) को समझ सकते हैं।

3.वृत्त कक्षा 11 की समस्याएँ (Circle Class 11 Problems):

Circle Class 11

(1.)निम्न वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए

(x+\cos \alpha+y \sin \alpha-a)^2+(x \sin \alpha-y \cos \alpha-b)^2=k^2
(2.)वृत्त x^2+y^2-6 x+2 y-8=0 के उस व्यास का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूलबिन्दु से गुजरता है।
उत्तर (Answers):(1)k (2.)x+3y=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वृत्त कक्षा 11 (Circle Class 11),कक्षा 11 में वृत्त (Circle in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वृत्त कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Circle Class 11),कक्षा 11 में वृत्त (Circle in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वृत्त कक्षा 11 (Circle Class 11) में वृत्त का समीकरण,वृत्त का केन्द्र व वृत्त की त्रिज्या
ज्ञात करने से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।