1.केन्द्रीय अन्तर संकारक (Central Differerence Operators)-

Central Differerence Operators

केन्द्रीय अन्तर संकारक (Central Differerence Operators) तथा सम्बन्ध के बारे में इस आर्टिकल में बताया गया है।डाॅ.शेपर्ड ने दो संकारकों \delta तथा \mu का प्रयोग किया,इनको क्रमशः केन्द्रीय अन्तर संकारक (Central Differerence Operators) तथा औसत संकारक कहते हैं।इन संकारकों का प्रयोग केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्रों में किया जा सकता है।
(1.)केन्द्रीय अन्तर संकारक\delta (Central Differerence Operators\delta )-
केन्द्रीय अन्तर संकारक (Central Differerence Operators) को निम्न सम्बन्ध द्वारा परिभाषित किया जाता है

\delta f\left( x \right) =f\left( x+\frac { 1 }{ 2 } h \right) -f\left( x-\frac { 1 }{ 2 } h \right) \\ ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }f\left( x \right) -{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }f\left( x \right) \\ =\left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) f\left( x \right) \\ \delta =\left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right)
यहां\delta f\left( x \right) , फलन  f(x) का प्रथम केन्द्रीय अन्तर संकारक (First central differerence) कहलाता है।इसी प्रकार फलन f(x) का द्वितीय केन्द्रीय अन्तर अग्र सम्बन्ध द्वारा परिभाषित किया जाता है-

{ \delta }^{ 2 }f\left( x \right) =\delta \left[ \delta f\left( x \right) \right] \\ =\delta \left[ f\left( x+\frac { 1 }{ 2 } h \right) -f\left( x-\frac { 1 }{ 2 } h \right) \right] \\ =\delta f\left( x+\frac { 1 }{ 2 } h \right) -\delta f\left( x-\frac { 1 }{ 2 } h \right) \\ =\left[ f\left( x+h \right) -f\left( x \right) \right] -\left[ f\left( x \right) -f\left( x-h \right) \right] \\ =f\left( x+h \right) -2f\left( x \right) +f\left( x-h \right)
इसी प्रकार उच्च कोटि के केन्द्रीय अन्तर ज्ञात किए जा सकते हैं। सामान्यतः

{ \delta }^{ n }f\left( x \right) ={ \delta }^{ n-1 }{ f }_{ x+\frac { h }{ 2 } }-{ \delta }^{ n-1 }{ f }_{ x-\frac { h }{ 2 } }\\ =\begin{matrix} n \\ \sum { \quad } \\ r=0 \end{matrix}{ \left( -1 \right) }^{ r }\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } { f }_{ x+\frac { nh }{ 2 } -rh }
यदि x के फलन f(x) को { y }_{ x } लिखें तो

\delta { y }_{ x }={ y }_{ x+\frac { h }{ 2 } }-{ y }_{ x-\frac { h }{ 2 } }

यदि हम केन्द्रीय अन्तर सारणी की तुलना अग्रांतर तथा पश्चान्तर सारणी से करें तो-

\triangle { y }_{ 0 }=\triangledown { y }_{ 1 }=\delta { y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ \triangle { y }_{ -1 }=\triangledown { y }_{ 0 }=\delta { y }_{ -\frac { 1 }{ 2 } }\\ { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ -1 }={ \delta }^{ 2 }{ y }_{ 0 }\\ { \triangle }^{ 3 }{ y }_{ -1 }={ \triangledown }^{ 2 }{ y }_{ 2 }={ \delta }^{ 3 }{ y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ { \triangle }^{ 4 }{ y }_{ -1 }={ \delta }^{ 4 }{ y }_{ 0 }

(2.) औसत संकारक (Average operators)-
औसत संकारक को निम्न सम्बन्ध द्वारा परिभाषित किया जाता है

\mu f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left[ f\left( x+\frac { h }{ 2 } \right) +f\left( x-\frac { h }{ 2 } \right) \right] \\ \Rightarrow \mu f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left[ { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }f\left( x \right) +{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }f\left( x \right) \right] \\ \Rightarrow \mu f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) f\left( x \right) \\ \Rightarrow \mu =\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right)

(3.)केन्द्रीय योग संकारक (Central sum operators)-
केन्द्रीय अन्तर संकारक के प्रतिलोम संकारक जो निम्न प्रकार से परिभाषित है,को केन्द्रीय योग संकारक \sigma कहते हैं

f\left( x \right) =\sigma \left[ f\left( x+\frac { h }{ 2 } \right) -f\left( x-\frac { h }{ 2 } \right) \right] \\ \sigma \delta =1
जहां 1 तत्समक संकारक है।

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2.संकारकों में सम्बन्ध (Relation between the Operators)-

(1.)\delta तथा \triangle में सम्बन्ध (Relation between\delta and \triangle )-

\delta f\left( x \right) =f\left( x+\frac { h }{ 2 } \right) -f\left( x-\frac { h }{ 2 } \right) \\ ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }f\left( x \right) -{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }f\left( x \right) \\ =\left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) f\left( x \right) \\ ={ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\left( E-1 \right) f\left( x \right) \\ ={ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\triangle f\left( x \right) [\therefore E\equiv 1+\triangle ]\\ \delta \equiv { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\triangle \equiv \triangle { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }
(2.)\delta तथा \triangledown में सम्बन्ध (Relation between \delta and \triangledown )-

\delta f\left( x \right) =f\left( x+\frac { h }{ 2 } \right) -f\left( x-\frac { h }{ 2 } \right) \\ =\left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) f\left( x \right) \\ ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\left( 1-{ E }^{ -1 } \right) f\left( x \right) \\ ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\triangledown f\left( x \right) [\because 1-{ E }^{ -1 }\equiv \triangledown ]\\ \delta \equiv { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\triangledown \equiv \triangledown { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ \delta \equiv { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\equiv \triangle { \left( 1+\triangle \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }
(3.)\mu ,\delta तथा E में सम्बन्ध (Relation between \mu ,\delta and E )-

\mu =\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right)
तथा { \mu }^{ 2 }\equiv \frac { 1 }{ 4 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) \\ { \mu }^{ 2 }\equiv \frac { 1 }{ 4 } \left[ { \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) }^{ 2 }+4 \right]
अतः { \mu }^{ 2 }\equiv \frac { 1 }{ 4 } \left[ { \delta }^{ 2 }+4 \right] =1+\frac { 1 }{ 4 } { \delta }^{ 2 }
पुनः2\mu \equiv { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\\ \delta \equiv { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }
अर्थात् 2\mu +\delta \equiv 2{ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }
अतः \mu +\frac { 1 }{ 2 } \delta \equiv { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }
तथा 2\mu -\delta \equiv 2{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }
या \mu \equiv { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }+\frac { 1 }{ 2 } \delta
अब \mu \delta f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) f\left( x \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( E-{ E }^{ -1 } \right) f\left( x \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { E }^{ 2 }-1 }{ E } \right) f\left( x \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \frac { \left( E-1 \right) \left( E+1 \right) }{ E } f\left( x \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \triangle \left( 1-{ E }^{ -1 } \right) f\left( x \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \triangle -\triangle { E }^{ -1 } \right) f\left( x \right)
अतः \mu \delta =\frac { 1 }{ 2 } \left( \triangle -\triangle { E }^{ -1 } \right)
हम जानते हैं कि \triangledown =\triangle { E }^{ -1 }
अतः \mu \delta =\frac { 1 }{ 2 } \left( \triangledown +\triangle \right)
(4.) \sigma तथा E में सम्बन्ध (Relation between \sigma and E)-

f\left( x \right) =\sigma \left[ f\left( x+\frac { h }{ 2 } \right) -f\left( x-\frac { h }{ 2 } \right) \right]

इसलिए { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }f\left( x \right) =\sigma \left[ { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }f\left( x+\frac { h }{ 2 } \right) -{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }f\left( x-\frac { h }{ 2 } \right) \right] \\ =\sigma \left[ f\left( x \right) -{ E }^{ -1 }f\left( x \right) \right] \\ =\sigma \left[ 1-{ E }^{ -1 } \right] f\left( x \right)
अतः { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\sigma \left[ 1-{ E }^{ -1 } \right]
या \sigma =\frac { { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ E-1 }

3.संकारकों के मध्य सारणी (Table of Relationship between the Operators)-

	E	\triangle	\triangledown	\delta
E	E	1+\triangle	{ \left( 1-\triangledown \right) }^{ -1 }	1+\frac { 1 }{ 2 } { \delta }^{ 2 }+\delta \sqrt { \left( 1+\frac { 1 }{ 4 } { \delta }^{ 2 } \right) }
\triangle	{ E }^{ -1 }	\triangle	{ \left( 1-\triangledown \right) }^{ -1 }-1	\frac { 1 }{ 2 } { \delta }^{ 2 }+\delta \sqrt { \left( 1+\frac { 1 }{ 4 } { \delta }^{ 2 } \right) }
\triangledown	1-{ E }^{ -1 }	1-{ \left( 1+\triangle \right) }^{ -1 }	\triangledown	-\frac { 1 }{ 2 } { \delta }^{ 2 }+\delta \sqrt { \left( 1+\frac { 1 }{ 4 } { \delta }^{ 2 } \right) }
\delta	{ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }	\triangle { \left( 1+\triangle \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }	\triangledown { \left( 1-\triangledown \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }	\delta
\mu	\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right)	\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } \triangle \right) \times { \left( 1+\triangle \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }	\left( 1-\frac { 1 }{ 2 } \triangledown \right) \times { \left( 1-\triangledown \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }	\sqrt { \left( 1+\frac { 1 }{ 4 } { \delta }^{ 2 } \right) }
\sigma	{ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\left( E-1 \right)	\frac { { \left( 1+\triangle \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ \triangle }	\frac { { \left( 1-\triangledown \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } }{ { { \left( 1-\triangledown \right) }^{ -1 }-1} }	1

4.केन्द्रीय अन्तर संकारक (Central Differerence Operators) पर आधारित सवाल-

सामान्य संकेतन से सिद्ध कीजिए कि (with usual notations,prove that):
Question-1.\sqrt { \left( 1+{ \delta }^{ 2 }{ \mu }^{ 2 } \right) } =1+\frac { 1 }{ 2 } { \delta }^{ 2 }
Solution-\sqrt { \left( 1+{ \delta }^{ 2 }{ \mu }^{ 2 } \right) } =1+\frac { 1 }{ 2 } { \delta }^{ 2 }

L.H.S.=\sqrt { \left( 1+{ \delta }^{ 2 }{ \mu }^{ 2 } \right) } \\ =\sqrt { 1+{ \delta }^{ 2 }\left( 1+\frac { 1 }{ 4 } { \delta }^{ 2 } \right) } [\because \mu =\sqrt { \left( 1+\frac { 1 }{ 4 } { \delta }^{ 2 } \right) } ]\\ =\sqrt { 1+{ \delta }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 4 } { \delta }^{ 4 } } \\ =\sqrt { { \left( 1+\frac { 1 }{ 2 } { \delta }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ =1+\frac { 1 }{ 2 } { \delta }^{ 2 } =R.H.S.
Question-2.{ \delta }^{ 2 }{ y }_{ 0 }={ y }_{ 1 }-2{ y }_{ 0 }+{ y }_{ -1 }
Solution-{ \delta }^{ 2 }{ y }_{ 0 }={ y }_{ 1 }-2{ y }_{ 0 }+{ y }_{ -1 }

L.H.S.={ \delta }^{ 2 }{ y }_{ 0 }\\ ={ \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) }^{ 2 }{ y }_{ 0 }[\because \delta ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }]\\ =\left( E-2+{ E }^{ -1 } \right) { y }_{ 0 }\\ =E{ y }_{ 0 }-2{ y }_{ 0 }+{ E }^{ -1 }{ y }_{ 0 }\\ ={ y }_{ 1 }-2{ y }_{ 0 }+{ y }_{ -1 }=R.H.S

Question-3.{ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ y }_{ x }=\mu { y }_{ x }+\frac { 1 }{ 2 } \delta { y }_{ x }
Solution–{ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ y }_{ x }=\mu { y }_{ x }+\frac { 1 }{ 2 } \delta { y }_{ x }

L.H.S=\mu { y }_{ x }+\frac { 1 }{ 2 } \delta { y }_{ x }\\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) { y }_{ x }+\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) { y }_{ x }\\ \left [ \because \mu ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } },\delta ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right ]\\ =\frac { 1 }{ 2 } { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ y }_{ x }+\frac { 1 }{ 2 } { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ y }_{ x }+\frac { 1 }{ 2 } { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ y }_{ x }-\frac { 1 }{ 2 } { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ y }_{ x }\\ ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ y }_{ x }=L.H.S

Question-4.\delta =\triangle { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\triangledown { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }
Solution–\delta =\triangle { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\triangledown { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }

L.H.S=\delta \\ ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\\ =\left( E-1 \right) { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\\ =\triangle { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }[\because 1+\triangle =E]…(1)
पुनः \delta ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\\ =\left( 1-{ E }^{ -1 } \right) { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ =\triangledown { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }…(2)
समीकरण (1)‌ व (2) से-

\delta =\triangle { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\triangledown { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }
Question-5.{ \delta }^{ 3 }{ y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }={ y }_{ 2 }-3{ y }_{ 1 }+3{ y }_{ 0 }-{ y }_{ -1 }
Solution–{ \delta }^{ 3 }{ y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }={ y }_{ 2 }-3{ y }_{ 1 }+3{ y }_{ 0 }-{ y }_{ -1 }

L.H.S.={ \delta }^{ 3 }{ y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ ={ \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) }^{ 3 }{ y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }[\because \delta ={ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }]\\ =\left( { E }^{ \frac { 3 }{ 2 } }-3{ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+3{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 3 }{ 2 } } \right) { y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ ={ E }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }-3{ E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }+3{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 3 }{ 2 } }{ y }_{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ ={ y }_{ 2 }-3{ y }_{ 1 }+3{ y }_{ 0 }-{ y }_{ -1 }=R.H.S

Question-6.{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\mu -\frac { 1 }{ 2 } \delta
Solution-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\mu -\frac { 1 }{ 2 } \delta

R.H.S=\mu -\frac { 1 }{ 2 } \delta \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+\frac { 1 }{ 2 } { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }-{ \frac { 1 }{ 2 } E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+\frac { 1 }{ 2 } { E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\\ ={ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=L.H.S
Question-7.\mu =\frac { 2-\triangledown }{ 2\sqrt { 1-\triangledown } }
Solution–\mu =\frac { 2-\triangledown }{ 2\sqrt { 1-\triangledown } }

R.H.S=\\ \frac { 2-\triangledown }{ 2\sqrt { 1-\triangledown } } \\ =\frac { 2-\left( 1-{ E }^{ -1 } \right) }{ 2\sqrt { 1-\left( 1-{ E }^{ -1 } \right) } } [\because \triangledown =1-{ E }^{ -1 }]\\ =\frac { 1+{ E }^{ -1 } }{ 2\sqrt { { E }^{ -1 } } } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( { E }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ E }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) \\ =\mu =L.H.S
इस प्रकार उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा केन्द्रीय अन्तर संकारक (Central Differerence Operators) तथा सम्बन्धों को समझा जा सकता है।

5.अंतर ऑपरेटर क्या है? (What is the difference operator?)-

एक अंतर ऑपरेटर एक ऑपरेटर है जो एक फ़ंक्शन को मैप करता है, कहता है, किसी अन्य प्रकार के लिए, जहां पैरामीटर दिए गए हैं। यह ऑपरेटर अवकलन के औपचारिक रूप से समान रूप से परिमित अंतर की गणना में भूमिका निभाता है।

6.केंद्रीय अंतर अन्तर्वेशन क्या है?,संख्यात्मक विश्लेषण में केंद्रीय अंतर सूत्र (What is central difference interpolation?,central difference formula in numerical analysis)-

एक विशिष्ट संख्यात्मक विश्लेषण वर्ग में, अंडरग्रेजुएट तथाकथित केंद्रीय अंतर सूत्र के बारे में सीखते हैं।इसके प्रयोग से व्यक्ति किसी दिए गए बिंदु पर किसी कार्य के अवकलज के लिए एक अनुमान लगा सकता है।लेकिन कुछ प्रकार के कार्यों के लिए, यह अनुमानित उत्तर उस बिंदु पर सटीक अवकलज के साथ मेल खाता है।

7.पश्च अंतर ऑपरेटर क्या है? (What is backward difference operator?)-

(प्रथम पश्च अंतर संकारक) द्वारा प्रस्तुत प्रथम पश्च डिफरेंस ऑपरेटर, के रूप में परिभाषित किया गया है। यह देखते हुए कि यह सूत्र मानों का उपयोग करता है और। पिछले चरण में बिंदु। जैसा कि यह पश्च दिशा में चलता है, इसे पश्च अंतर ऑपरेटर कहा जाता है।

8.संख्यात्मक विश्लेषण में केंद्रीय अंतर ऑपरेटर,केंद्रीय अंतर ऑपरेटर प्रतीक (central difference operator in numerical analysis,central difference operator symbol)-

एक अंतर ऑपरेटर, जो ∂ से दर्शाया जाता है, जो समीकरण ∂ƒ(x) =f\left( \frac { x+h }{ 2 } \right) -f\left( \frac { x-h }{ 2 } \right) द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां h अचर है।जो अन्तर्वेशन या गणना के क्रमिक बिंदुओं के बीच के अंतर को दर्शाता है।

9.संख्यात्मक अवकलन के लिए केंद्रीय अंतर सूत्र (central difference formula for numerical differentiation)-

f (a) \approx छोटी टूटी हुई रेखा का ढाल = \frac { y-मानों \quad में \quad अंतर }{ x-मानों \quad में \quad अंतर } =\frac { f(x+h)-f(x-h) }{ 2h }
यह f (a) के लिए केंद्रीय अंतर सन्निकटन कहलाता है।व्यवहार में, केंद्रीय अंतर सूत्र सबसे सटीक है।

10.संख्यात्मक विधियों में परिमित अंतर ऑपरेटर (finite difference operators in numerical methods)-

X और y के मूल्यों को क्रमशः तर्क और प्रविष्टि कहा जाता है। विभिन्न प्रकार के परिमित अंतर ऑपरेटरों को परिभाषित किया जाता है, उनमें से अग्र अंतर,बैकवर्ड अंतर और केंद्रीय अंतर ऑपरेटर व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

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