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Difference of factorial function

1.क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function)-

  • क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function) का संख्यात्मक विश्लेषण में प्रयोग किया जाता है।यहां हम एक x के फलन को परिभाषित करेंगे जो परिमित अन्तर कलन में काफी लाभदायक सिद्ध होगा।इस प्रकार का फलन क्रमगुणित फलन (या क्रमगुणित बहुपद) कहलाता है।
(1.)क्रमगुणित फलन (Factorial Function)-
  • परिभाषा (Definition):एक क्रमगुणित फलन का बहुपद उन गुणनखण्डों का गुणन है जिसका प्रथम गुणनखंड x होता है।तथा उत्तरोत्तर गुणनखण्डों में एक अचर अन्तर का हृास होता है।
  • इसे { x }^{ \left( n \right) } द्वारा प्रदर्शित किया जाता है जो क्रमगुणित संकेतन कहलाता है,n एक धनात्मक पूर्णांक है तथा x की घात n क्रमगुणित (Factorial) पढ़ा जाता है अर्थात् एक क्रमगुणित बहुपद { x }^{ \left( n \right) } निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है:

{ x }^{ \left( n \right) }=x\left( x-h \right) \left( x-2h \right) ...............\left( x-\overline { n-1 } h \right)

  • जहां n एक धनात्मक पूर्णांक है तथा अन्तर का अन्तराल h है। विशेषतः जब h=1 तथा x,(x-1) से बड़ा पूर्णांक है तब

{ x }^{ \left( n \right) }=x\left( x-h \right) \left( x-2h \right) ...............\left( x-\overline { n-1 } h \right)
या { x }^{ \left( n \right) }=\frac { x\left( x-h \right) \left( x-2h \right) ...............\left( x-\overline { n-1 } h \right) \left( x-n \right) }{ \left( x-n \right) ! }
या { x }^{ \left( n \right) }=\frac { x! }{ \left( x-n \right) ! }

  • स्पष्टत: { x }^{ \left( 0 \right) }=1 तथा { x }^{ \left( 1 \right) }=x
  • परिमित अन्तर के सिद्धान्तों में क्रमगुणित अपने गुणधर्मों के कारण काफी महत्त्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।इसकी मदद से सीधे तथा अवकलन के साधारण नियमों द्वारा बहुपद के विभिन्न क्रमों में अन्तर ज्ञात किए जा सकते हैं।इसी प्रकार क्रमगुणित फलनों के रूप में फलन के दिए अन्तर का समाकलन करके संगत फलन ज्ञात किया जा सकता है।
(2.)क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function)-
  • परिभाषानुसार Δ{ x }^{ \left( n \right) }={ \left( x+h \right) }^{ \left( n \right) }-{ x }^{ \left( n \right) }\\ =\left[ \left( x+h \right) \left( x+h-h \right) \left( x+h-2h \right) ...............\left( x+h-\overline { n-1 } h \right) \right] -\left[ x\left( x-h \right) \left( x-2h \right) ...............\left( x-\overline { n-1 } h \right) \right] \\ =\left[ \left( x+h \right) \left( x \right) \left( x-h \right) ...............\left( x+\overline { n-2 } h \right) \right] -\left[ x\left( x-h \right) \left( x-2h \right) ...............\left( x-\overline { n-1 } h \right) \right] \\ =x\left( x-h \right) ...............\left( x+\overline { n-2 } h \right) \left[ \left( x+h \right) -\left( x-\overline { n-1 } h \right) \right] \\ ={ x }^{ \left( n-1 \right) }\left[ x+h-x+nh-h \right] \\ =nh{ x }^{ \left( n-1 \right) }.....(1)
  • पुनः { \triangle }^{ 2 }{ x }^{ \left( n \right) }=\triangle .Δ{ x }^{ \left( n \right) }\\ =\triangle [nh{ x }^{ \left( n-1 \right) }][(1) के प्रयोग से]
    =nh\triangle [{ x }^{ \left( n-1 \right) }]\\ =nh(n-1)h{ x }^{ \left( n-2 \right) } [(n-1) के लिए (1) के प्रयोग से]

{ \triangle }^{ 2 }{ x }^{ \left( n \right) }=n(n-1){ h }^{ 2 }{ x }^{ \left( n-2 \right) }......(2)

  • उपर्युक्त विधि को बार-बार काम में लेने पर-

{ \triangle }^{ n-1 }{ x }^{ \left( n \right) }=n(n-1).........2.{ h }^{ \left( n-1 \right) }x\\ { \triangle }^{ n }{ x }^{ \left( n \right) }=n(n-1).........2.1.{ h }^{ n }\\ \Rightarrow { \triangle }^{ n }{ x }^{ \left( n \right) }=n!{ h }^{ n }....(3)

  • विशेष स्थितियां (Particular Cases):
  • स्थिति (1): जब h=1,तब

Δ{ x }^{ \left( n \right) }=n{ x }^{ \left( n-1 \right) }\\ { \triangle }^{ 2 }{ x }^{ \left( n \right) }=n(n-1){ x }^{ \left( n-1 \right) },........ { \triangle }^{ n }{ x }^{ \left( n \right) }=n!

  • स्थिति (2): जब m\le n;{ \triangle }^{ m }{ x }^{ \left( n \right) }=n(n-1).........[n(m-1)].{ h }^{ m }{ x }^{ (n-m) }
  • स्थिति (3): { \triangle }^{ n+1 }{ x }^{ \left( n \right) }=\triangle .{ \triangle }^{ n }{ x }^{ \left( n \right) }\\ =\triangle [n!{ h }^{ n }]\\ =n!{ h }^{ n }-n!{ h }^{ n }=0 \\ { \triangle }^{ n+1 }{ x }^{ (n) }=0
  • टिप्पणी: (1),(2) व (3) से स्पष्ट है कि { x }^{ \left( n \right) } के उत्तरोत्तर अन्तर जब (h=1 हों) वही होते हैं जो { x }^{  n } के साधारण अवकल गुणांक होते हैं और यदि अन्तर का अन्तराल h हो तो { x }^{  n } के साधारण उत्तरोत्तर अवकल गुणांक को उनके संगत h की घात से गुणाकर,{ x }^{ \left( n \right) } के उत्तरोत्तर अन्तर प्राप्त किए जा सकते हैं।
  • मूर्धांक n को छद्म घातांक (Pseudo Exponent ) के जैसे देखते हैं।
(3.) व्युत्क्रम क्रमगुणित (Reciprocal Factorial):-
  • हम जानते हैं कि
    { x }^{ \left( n \right) }=x\left( x-h \right) \left( x-2h \right) ...............\left( x-\overline { n-1 } h \right) [परिभाषा से]
    या { x }^{ \left( n \right) }=\left( x-\overline { n-1 } h \right) { x }^{ \left( n-1 \right) }....(4)
    सम्बन्ध (4) में n=0 रखने पर-

{ x }^{ \left( 0 \right) }=\left( x+h \right) { x }^{ \left( -1 \right) }
या { x }^{ \left( -1 \right) }=\frac { { x }^{ \left( 0 \right) } }{ (x+h) }
या { x }^{ \left( -1 \right) }=\frac { 1 }{ (x+h) } [\because { x }^{ \left( 0 \right) }=1]....(5)
पुनः (4) में n=-1 रखने पर-

{ x }^{ \left( -1 \right) }=\left( x+2h \right) { x }^{ \left( -2 \right) }
या  \frac { 1 }{ (x+h) } =\left( x+2h \right) { x }^{ \left( -2 \right) }
या { x }^{ \left( -2 \right) }=\frac { 1 }{ (x+h)\left( x+2h \right) }

  • व्यापक रूप में { x }^{ \left( -n \right) }=\frac { 1 }{ (x+h)\left( x+2h \right) .....(x+nh) }
    या { x }^{ \left( -n \right) }=\frac { 1 }{ { (x+nh) }^{ (n) } } .....(6)
  • यहां व्युत्क्रम क्रमगुणित (Reciprocal Factorial) कहलाता है,जहां n एक धनात्मक पूर्णांक है।
    विशेषतः जब h=1 हो तो (6) से हमें प्राप्त होगा।

{ x }^{ \left( -n \right) }=\frac { 1 }{ { (x+n) }^{ (n) } } .....(7)

(4.)व्युत्क्रम क्रमगुणित के अन्तर (Difference of Reciprocal Function):-
  • परिभाषानुसार \triangle { x }^{ \left( -n \right) }={ (x+h) }^{ \left( -n \right) }-{ x }^{ \left( -n \right) }\\ =\frac { 1 }{ (x+2h)\left( x+3h \right) .....(x+\overline { n+1 } h) } -\frac { 1 }{ (x+h)\left( x+2h \right) .....(x+nh) } \\ =\frac { (x+h)-(x+\overline { n+1 } h) }{ (x+h)(x+2h)\left( x+3h \right) .....(x+\overline { n+1 } h) } \\ =\frac { -nh }{ (x+h)(x+2h)\left( x+3h \right) .....(x+\overline { n+1 } h) } \\ \therefore \triangle { x }^{ \left( -n \right) }=[-nh{ x }^{ (-\overline { n+1 } ) }]....(8)
  • पुनः { \triangle }^{ 2 }{ x }^{ \left( -n \right) }=\triangle [\triangle { x }^{ \left( -n \right) }]\\ =\triangle [-nh{ x }^{ (-\overline { n+1 } ) }]\\ =(-nh)(-\bar { n+1 } ){ x }^{ (-\overline { n+2 } ) }\\ { \triangle }^{ 2 }{ x }^{ \left( -n \right) }={ (-1) }^{ 2 }n(n+1){ h }^{ 2 }{ x }^{ (-\overline { n+2 } ) }.....(9)
  • उपर्युक्त विधि को बार-बार काम में लेने पर-

{ \triangle }^{ m }{ x }^{ \left( -n \right) }={ (-1) }^{ m }n(n+1)........(n+m-1){ h }^{ m }{ x }^{ (-\overline { n+m } ) }.....(10)
जहां m\le n

  • उपप्रमेय (Corollary):

{ x }^{ \left( r \right) }{ \left( x-rh \right) }^{ \left( n \right) }={ x }^{ \left( n+r \right) }
प्रमाण (Proof): यहां { x }^{ \left( r \right) }{ \left( x-rh \right) }^{ \left( n \right) }=x\left( x-h \right) \left( x-2h \right) ...............\left( x-\bar { r-1 } h \right) .{ \left( x-rh \right) }^{ \left( n \right) }\\ =x\left( x-h \right) \left( x-2h \right) ...............\left( x-\overline { r-1 } h \right) .\left( x-rh \right) \left( x-rh-h \right) \left( x-rh-2h \right) ...............\left( x-rh-\overline { r-1 } h \right) \\ =x\left( x-h \right) \left( x-2h \right) ...............\left( x-r+\overline { n-1 } h \right)
अतः { x }^{ \left( r \right) }{ \left( x-rh \right) }^{ \left( n \right) }={ x }^{ \left( n+r \right) }................(11)
जब h=1 हो तो { x }^{ \left( r \right) }{ \left( x-r \right) }^{ \left( n \right) }={ x }^{ \left( n+r \right) }................(12)

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2. किसी दिए हुए बहुपद को क्रमगुणित संकेतन में व्यक्त करना (To express any given polynomial in factorial notation):-

  •  मान लो f(x) एक n कोटि का दिया हुआ बहुपद है जो क्रमगुणित संकेतन में निम्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है:

f\left( x \right) ={ A }_{ 0 }+{ A }_{ 1 }{ x }^{ \left( 1 \right) }+{ A }_{ 2 }{ x }^{ \left( 2 \right) }+...................+{ A }_{ n }{ x }^{ \left( n \right) }.............(i)
जहां { A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 },....................,{ A }_{ n } अचर राशियां हैं जिनका मान ज्ञात करना तथा अन्तर का अन्तराल एक है।
अब Δf\left( x \right) =Δ\left[ { A }_{ 0 }+{ A }_{ 1 }{ x }^{ \left( 1 \right) }+{ A }_{ 2 }{ x }^{ \left( 2 \right) }+...................+{ A }_{ n }{ x }^{ \left( n \right) } \right] \\ =0+{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 2 }2{ x }^{ \left( 1 \right) }+...................+{ A }_{ n }n{ x }^{ \left( n-1 \right) }.............(ii)
तथा { Δ }^{ 2 }f\left( x \right) =Δ\left[ { A }_{ 1 }+{ A }_{ 2 }2{ x }^{ \left( 1 \right) }+...................+{ A }_{ n }n{ x }^{ \left( n-1 \right) } \right] \\ ={ A }_{ 2 }2.1+{ A }_{ 3 }3.2{ x }^{ \left( 1 \right) }...............+{ A }_{ n }n\left( n-1 \right) { x }^{ \left( n-2 \right) }.............(iii)
इसी प्रकार { Δ }^{ n }f\left( x \right) ={ A }_{ n }n\left( n-1 \right) ..........2.1{ x }^{ \left( 0 \right) }={ A }_{ n }\left( n! \right) ..............(iv)
उपर्युक्त समीकरणों में x=0 रखने पर

f\left( 0 \right) ={ A }_{ 0 }\Rightarrow { A }_{ 0 }=f\left( 0 \right) \\ { Δ }f\left( 0 \right) ={ A }_{ 1 }\Rightarrow { A }_{ 1 }=\frac { { Δ }f\left( 0 \right) }{ 1! } \\ { Δ }^{ 2 }f\left( 0 \right) ={ A }_{ 2 }\left( 2! \right) \Rightarrow { A }_{ 2 }=\frac { { Δ }^{ 2 }f\left( 0 \right) }{ 2! } \\ ..............\\ { Δ }^{ n }f\left( 0 \right) ={ A }_{ n }\left( n! \right) \Rightarrow { A }_{ n }=\frac { { Δ }^{ n }f\left( 0 \right) }{ n! }
अब { A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 },.........................,{ A }_{ n } का मान (i) में रखने पर हमें प्राप्त होगा

f\left( x \right) =f\left( 0 \right) +\frac { { Δ }f\left( 0 \right) }{ 1! } { x }^{ \left( 1 \right) }+\frac { { Δ }^{ 2 }f\left( 0 \right) }{ 2! } { x }^{ \left( 2 \right) }+.............+\frac { { Δ }^{ n }f\left( 0 \right) }{ n! } { x }^{ \left( n \right) }......................(13)

3.क्रमगुणित फलन के अन्तर के उदाहरण (Difference of factorial function Examples)-

निम्न फलनों तथा इनके उत्तरोत्तर अन्तरों को क्रमगुणित संंकेतन में व्यक्त कीजिए:(Exapress the following functions and their successive difference in factorial notation):
Example-1.{ x }^{ 3 }-3x+1
Solution– मान लो f\left( x \right) \equiv  { x }^{ 3 }-3x+1=A{ x }^{ \left( 3 \right) }+B{ x }^{ \left( 2 \right) }+C{ x }^{ \left( 1 \right) }+D\\ \Rightarrow f(x)\equiv Ax\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) +Bx\left( x-1 \right) +Cx+D
यहां A,B,C,D अचर हैं जिनका मान ज्ञात करना है।

{ x }^{ 3 }-3x+1=Ax\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) +Bx\left( x-1 \right) +Cx+D.............(1)
(1) में x=0 रखने पर,D=1
(1) में x=1 रखने पर,-1=C+D,C=-2
(1) में x=2 रखने पर,3=2B+2C+D\\ 2B+2\left( -2 \right) +1=3\\ \Rightarrow 2B-4+1=3\\ \Rightarrow 2B=3+4-1\\ \Rightarrow 2B=6\\ \Rightarrow B=3
पुनः (1) में { x }^{ 3 } के गुणांकों की तुलना करने पर-
A=1
अतः क्रमगुणित संकेतन में अभीष्ट बहुपद होगा-

f\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-3x+1={ x }^{ \left( 3 \right) }+3{ x }^{ \left( 2 \right) }-2{ x }^{ \left( 1 \right) }+1
पुनः उत्तरोत्तर अन्तर ज्ञात करने के लिए सूत्र Δ{ x }^{ \left( n \right) }=n{ x }^{ \left( n-1 \right) } काम में लेने पर-

Δf\left( x \right) =Δ{ x }^{ \left( 3 \right) }+3Δ{ x }^{ \left( 2 \right) }-2Δ{ x }^{ \left( 1 \right) }+Δ1\\ =3{ x }^{ \left( 2 \right) }+3.2{ x }^{ \left( 1 \right) }-2.1{ x }^{ \left( 0 \right) }+0\\ =3{ x }^{ \left( 2 \right) }+6{ x }^{ \left( 1 \right) }-2
इसी प्रकार { Δ }^{ 2 }f\left( 0 \right) =6{ x }^{ \left( 1 \right) }+6
तथा { Δ }^{ 3 }f\left( x \right) =6
{ Δ }^{ 4 }f\left( x \right) =0
चतुर्थ तथा उच्च कोटि के अन्तर शून्य होंगे।
क्रियाविधि (Working Rule)-
(1.) दिया हुआ बहुपद f(x) जो माना हुआ है n कोटि का,को क्रमगुणित फलनों के साथ अज्ञात गुणांक A,B,C,D आदि रखकर व्यक्त कीजिए अर्थात्

f\left( x \right) =A{ x }^{ \left( n \right) }+B{ x }^{ \left( n-1 \right) }+c{ x }^{ \left( n-2 \right) }+..............+L\left( A\neq 0 \right) ..........(a)
(2.) समीकरण (i) में x=0,1,2 आदि प्रतिस्थापित कर प्राप्त समीकरणों को हल कर अज्ञात राशियां A,B,C आदि प्राप्त कीजिए।
(3.)अज्ञात राशियों के प्राप्त सम्बन्ध (i) के दाहिने पक्ष (R.H.S.) में रखकर अभीष्ट बहुपद ज्ञात कीजिए।

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function) को समझ सकते हैं।
Example-2.{ x }^{ 4 }-12{ x }^{ 3 }+24{ x }^{ 2 }-30x+9,\left( h=1 \right) 
Solution– मान लो f\left( x \right) \equiv { x }^{ 4 }-12{ x }^{ 3 }+24{ x }^{ 2 }-30x+9=A{ x }^{ \left( 4 \right) }+B{ x }^{ \left( 3 \right) }+C{ x }^{ \left( 2 \right) }+D{ x }^{ \left( 1 \right) }+E \\ \Rightarrow f\left( x \right) =Ax\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) +Bx\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) +Cx\left( x-1 \right) +Dx+E
यहां A,B,C,D,E अचर हैं जिनका मान ज्ञात करना है।

{ x }^{ 4 }-12{ x }^{ 3 }+24{ x }^{ 2 }-30x+9=Ax\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) +Bx\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) +Cx\left( x-1 \right) +Dx+E..............(1)
(1) में x= 0 रखने पर,E=9
(1) में x=1 रखने पर,D+E=-8,D=-17
(1) में x=2 रखने पर,{ 2 }^{ 4 }-12{ (2) }^{ 3 }+24{ (2) }^{ 2 }-30(2)+9=2C+2D+E\\ \Rightarrow 2C+2D+E=-35\\ \Rightarrow 2C+2(-17)+9=-35\\ \Rightarrow 2C=-10\\ \Rightarrow C=-5
(1) में x=3 रखने पर
{ 3 }^{ 4 }-12{ (3) }^{ 3 }+24{ (3) }^{ 2 }-30(3)+9=6B+6C+3D+E\\ 81-324+216-90+9=6b+6(-5)+3(-17)+9\\ -108=6B-72\\ \Rightarrow 6B=-108+72\\ \Rightarrow B=-\frac { 36 }{ 6 } =-6
पुनः (1) में { x }^{ 4 } के गुणांकों की तुलना करने पर-
A=1
अतः क्रमगुणित संकेतन में अभीष्ट बहुपद होगा-

f\left( x \right) \equiv { x }^{ 4 }-12{ x }^{ 3 }+24{ x }^{ 2 }-30x+9\\ ={ x }^{ \left( 4 \right) }-6{ x }^{ \left( 3 \right) }-5{ x }^{ \left( 2 \right) }-17{ x }^{ \left( 1 \right) }+9
पुनः उत्तरोत्तर अन्तर ज्ञात करने के लिए सूत्र Δ{ x }^{ \left( n \right) }=n{ x }^{ \left( n-1 \right) } काम में लेने पर-
Δf\left( x \right) =Δ{ x }^{ \left( 4 \right) }-6Δ{ x }^{ \left( 3 \right) }-5Δ{ x }^{ \left( 2 \right) }-17Δ{ x }^{ \left( 1 \right) }+Δ(9)\\ =4{ x }^{ \left( 3 \right) }-6.3{ x }^{ \left( 2 \right) }-5.2{ x }^{ \left( 1 \right) }+17.1{ x }^{ \left( 0 \right) }+0\\ =4{ x }^{ \left( 3 \right) }-18{ x }^{ \left( 2 \right) }-10{ x }^{ \left( 1 \right) }+17
 इसी प्रकार { Δ }^{ 2 }f\left( x \right) =12{ x }^{ \left( 2 \right) }-36{ x }^{ \left( 1 \right) }-10

तथा { Δ }^{ 3 }f\left( x \right) 24{ x }^{ \left( 1 \right) }-36\\ { Δ }^{ 4 }f\left( x \right) =24\\ { Δ }^{ 5 }f\left( x \right) =0
पंचम तथा उच्च कोटि के अन्तर शून्य होंगे।

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function) को समझ सकते हैं।
फलन ज्ञात करो जिसका प्रथम अन्तर है:
(Find the function whose first difference is:)
Example-3.{ Δ }{ e }^{ x }
Solution{ Δ }{ e }^{ x }\\ \Rightarrow { Δ }{ e }^{ x }={ e }^{ x+h }-{ e }^{ x }\\ \Rightarrow { Δ }{ e }^{ x }={ e }^{ x }\left( { e }^{ h }-1 \right) \\ \Rightarrow { Δ }\frac { { e }^{ x } }{ \left( { e }^{ h }-1 \right) } ={ e }^{ x }={ Δ }f\left( x \right)
अतः अभीष्ट फलन f\left( x \right) =\frac { { e }^{ x } }{ \left( { e }^{ h }-1 \right) }

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function) को समझ सकते हैं।

Example-4. 9{ x }^{ 2 }+11x+5
Solution– मान लो f(x) अभीष्ट फलन है तब दिया हुआ है कि

{ Δ }f\left( x \right) =9{ x }^{ 2 }+11x+5 \\ 9{ x }^{ 2 }+11x+5=Ax\left( x-1 \right) +Bx+C............(1)
(1) में x=0 रखने पर,C=5
(1) में x=1 रखने पर,B+C=9{ (1) }^{ 2 }+11(1)+5=9+11+5\\ \Rightarrow B+C=5\\ \Rightarrow B+5=25\\ \Rightarrow B=20
(1) के दोनों पक्षों के { x }^{ 2 } के गुणांकों की तुलना करने पर-
A=9

{ Δ }f\left( x \right) =9{ x }^{ \left( 2 \right) }+20{ x }^{ \left( 1 \right) }+5\\ \Rightarrow { Δ }f\left( x \right) =\frac { 9 }{ 3 } { x }^{ \left( 3 \right) }+\frac { 20 }{ 2 } { x }^{ \left( 2 \right) }+\frac { 5 }{ 1 } { x }^{ \left( 1 \right) }+C\\ \Rightarrow { Δ }f\left( x \right) =3{ x }^{ \left( 3 \right) }+10{ x }^{ \left( 2 \right) }+5{ x }^{ \left( 1 \right) }+C

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function) को समझ सकते हैं।
Example-5.{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+3x
Solution– मान लो f(x) अभीष्ट फलन है,तब दिया हुआ है कि

f(x)={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+3x\\ \Rightarrow { x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+3x=Ax\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) +Bx\left( x-1 \right) +Cx+D.............(1)
(1) में x=0 रखने पर,D=0
(1) में x=1 रखने पर,C+D={ (1) }^{ 3 }+3{ (1) }^{ 2 }+3(1)\\ \Rightarrow C+0=1+3+3\\ C=7
(1) में x=2 रखने पर 2B+2C+D={ (2) }^{ 3 }+3{ (2) }^{ 2 }+3(2)\\ \Rightarrow 2B+2C+D=26\\ \Rightarrow 2B+2(7)+0=26\\ \Rightarrow 2B=12\\ \Rightarrow B=\frac { 12 }{ 2 } =6
पुनः (1) के दोनों पक्षों के { x }^{ 3 } के गुणांकों की तुलना करने पर-
A=1

{ Δ }f\left( x \right) ={ x }^{ \left( 3 \right) }+6{ x }^{ \left( 2 \right) }+7{ x }^{ \left( 1 \right) }\\ f\left( x \right) =\frac { { x }^{ \left( 4 \right) } }{ 4 } +\frac { 6{ x }^{ \left( 3 \right) } }{ 3 } +\frac { 7{ x }^{ \left( 2 \right) } }{ 2 } +c\\ \Rightarrow f\left( x \right) =\frac { x\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) }{ 4 } +\frac { 2x\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) }{ 1 } +\frac { 7x\left( x-1 \right) }{ 2 } +c\\ \Rightarrow f\left( x \right) =\frac { \left( { x }^{ 2 }-x \right) \left( { x }^{ 2 }-5x+6 \right) }{ 4 } +\frac { \left( 2{ x }^{ 2 }-2x \right) \left( x-2 \right) }{ 1 } +\frac { 7{ x }^{ 2 }-7x }{ 2 } +c\\ \Rightarrow f\left( x \right) =\frac { { x }^{ 4 }-6{ x }^{ 3 }+11{ x }^{ 2 }-6x+8{ x }^{ 3 }-24{ x }^{ 2 }+16x+14{ x }^{ 2 }-14x }{ 4 } +c\\ =\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { 2{ x }^{ 3 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } -\frac { 4x }{ 4 } +c\\ \Rightarrow f\left( x \right) =\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } - x  +c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function) को समझ सकते हैं।
Example-6.\sin { x } ,\left( h=\pi \right)
Solution{ Δ }\sin { x } =\sin { \left( x+h \right) } -\sin { x } \\ =2\cos { \left( \frac { x+h+x }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { x+h-x }{ 2 } \right) } \\ =2\cos { \left( x+\frac { h }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { h }{ 2 } \right) } \\ put\quad h=\pi \\ { Δ }\sin { x } =2\cos { \left( x+\frac { \pi }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { \pi }{ 2 } \right) } =-2\sin { x } \\ { Δ }\left( -\frac { \sin { x } }{ 2 } \right) =\sin { x } ={ Δ }f\left( x \right) \\ \Rightarrow f\left( x \right) =-\frac { 1 }{ 2 } \sin { x }

Example-7. सिद्ध कीजिए (Prove that):

{ Δ }^{ 2 }{ x }^{ \left( m \right) }=m(m-1){ x }^{ \left( m-2 \right) }
Solution{ Δ }^{ 2 }{ x }^{ \left( m \right) }=m(m-1){ x }^{ \left( m-2 \right) }\\ { Δ }{ x }^{ \left( m \right) }=\left[ x\left( x+1 \right) ...............\left( x+1-\overline { m-1 } \right) \right] -\left[ x\left( x-1 \right) ...............\left( x-\overline { m-1 } \right) \right] \\ =x\left( x-1 \right) ...............\left( x-\overline { m-1 } \right) \left( m \right) \\ =m\left[ x\left( x-1 \right) ...............\left( x-\overline { m-1 } \right) \right] \\ =m{ x }^{ \left( m-1 \right) }\\ { Δ }^{ 2 }{ x }^{ \left( m \right) }={ Δ }.{ Δ }{ x }^{ \left( m \right) }\\ ={ Δ }\left[ m{ x }^{ \left( m-1 \right) } \right] \\ =m{ Δ }{ x }^{ \left( m-1 \right) }\\ =\left[ \left( x+1 \right) x...............\left( x+1-\overline { m-2 } \right) \right] -\left[ x\left( x-1 \right) ...............\left( x-\overline { m-2 } \right) \right] \\ =m\left[ x\left( x-1 \right) ...............\left( x+1-\overline { m-2 } \right) \right] \left[ \left( x+1 \right) -\left( x-\overline { m-2 } \right) \right] \\ =m\left( m-1 \right) \left[ x\left( x-1 \right) ...............\left( x-\overline { m-1 } \right) \right] \\ =m(m-1){ x }^{ \left( m-2 \right) }

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function) को समझ सकते हैं।
Example-8. सिद्ध कीजिए (Prove that):

{ Δ }^{ 2 }{ x }^{ \left( -m \right) }=m(m+1){ x }^{ \left( -m-2 \right) }
Solution{ Δ }^{ 2 }{ x }^{ \left( -m \right) }=m(m+1){ x }^{ \left( -m-2 \right) }\\ { x }^{ \left( -m \right) }=\frac { 1 }{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) .........\left( x+m \right) } \\ =\frac { 1 }{ \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) .........\left( x+m+1 \right) } -\frac { 1 }{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) .........\left( x+m \right) } \\ =\frac { 1 }{ \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) .........\left( x+m \right) } \left[ \frac { 1 }{ x+m+1 } -\frac { 1 }{ x+1 } \right] \\ =\frac { 1 }{ \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) .........\left( x+m \right) } \left[ \frac { x+1-x-m-1 }{ \left( x+m+1 \right) \left( x+1 \right) } \right] \\ =-m.\frac { 1 }{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) .........\left( x+m+2 \right) } \\ =-m{ x }^{ \left( -m-1 \right) }\\ { Δ }^{ 2 }{ x }^{ \left( -m \right) }=-\triangle m{ x }^{ \left( -m-1 \right) }\\ =-m\left[ \frac { 1 }{ \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) .........\left( x+m+2 \right) } -\frac { 1 }{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) .........\left( x+m+1 \right) } \right] \\ =-m\frac { 1 }{ \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) .........\left( x+m+1 \right) } \left[ \frac { 1 }{ x+m+2 } -\frac { 1 }{ x+1 } \right] \\ =\frac { 1 }{ \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) .........\left( x+m+1 \right) } \left[ \frac { x+1-x-m-2 }{ \left( x+m+2 \right) \left( x+1 \right) } \right] \\ =-m.\frac { 1 }{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) .........\left( x+m+2 \right) } \left( -m-1 \right) \\ =-m\left( -m-1 \right) \frac { 1 }{ \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) .........\left( x+m+1 \right) } \\ \Rightarrow { Δ }^{ 2 }{ x }^{ \left( -m \right) }=m(m+1){ x }^{ \left( -m-2 \right) }
Example-9. सिद्ध कीजिए (Prove that):

\triangle (5{ x }^{ 4 }+6{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-x+7)=20{ x }^{ (3) }+108({ x }^{ (2) }-{ x }^{ (1) }+11
Solution\triangle (5{ x }^{ 4 }+6{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-x+7)=20{ x }^{ (3) }+108({ x }^{ (2) }-{ x }^{ (1) }+11\\ \triangle (5{ x }^{ 4 }+6{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-x+7)\\ =\triangle 5{ x }^{ 4 }+\triangle 6{ x }^{ 3 }+\triangle { x }^{ 2 }-\triangle x+\triangle (7)\\ =5[{ (x+1) }^{ 4 }-{ x }^{ 4 }]+6[{ (x+1) }^{ 3 }-{ x }^{ 3 }]+[{ (x+1) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }]-[(x+1)-x]+0\\ =5[{ x }^{ 4 }+4{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }+4x+1-{ x }^{ 4 }]+6[{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+3x+1-{ x }^{ 3 }]+[{ x }^{ 2 }+2x+1-{ x }^{ 2 }]-[1]\\ =5[4{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }+4x+1]+6[3{ x }^{ 2 }+3x+1]+[2x+1]-[1]\\ =20{ x }^{ 3 }+30{ x }^{ 2 }+20x+5+18{ x }^{ 2 }+18x+6+2x+1-1\\ =20{ x }^{ 3 }+48{ x }^{ 2 }+40x+11\\ \triangle (5{ x }^{ 4 }+6{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-x+7)=20{ x }^{ 3 }+48{ x }^{ 2 }+40x+11
माना f(x)\equiv 20{ x }^{ 3 }+48{ x }^{ 2 }+40x+11=A{ x }^{ (3) }+B{ x }^{ (2) }+C{ x }^{ (1) }+D...(1)\\ \Rightarrow f(x)\equiv Ax(x-1)(x-2)+Bx(x-1)+Cx+D
यहां A,B,C,D अचर हैं जिनका मान ज्ञात करना है।

20{ x }^{ 3 }+48{ x }^{ 2 }+40x+11=Ax(x-1)(x-2)+Bx(x-1)+Cx+D....(2)
(2) में x=0 रखने पर,D=11
(2) में x=1 रखने पर,C+D=20{ (1) }^{ 3 }+48{ (1) }^{ 2 }+40(1)+11\\ \Rightarrow C+11=119\\ \Rightarrow C=108
(2) में x=1 रखने पर,2B+2C+D=20{ (2) }^{ 3 }+48{ (2) }^{ 2 }+40(2)+11\\ 2B+2(108)+11=160+192+80+11 \\ \Rightarrow 2B+216+11=443\\ \Rightarrow 2B=443-227\\ \Rightarrow 2B=216 \\ \Rightarrow B=\frac { 216 }{ 2 } \\ \Rightarrow B=108
पुनः (2) में { x }^{ 3 } के गुणांकों की तुलना करने पर-
A=20
A,B,C,D के मान (1) में रखने पर-

\triangle (5{ x }^{ 4 }+6{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-x+7)=20{ x }^{ (3) }+108{ x }^{ (2) }-{ x }^{ (1) }+11
Example-10. यदि f(x)={ e }^{ ax } ;प्रदर्शित कीजिए कि f(0) एक उत्तरोत्तर अन्तर एक गुणोत्तर श्रेढ़ी का निर्माण करते हैं।
(If f(x)={ e }^{ ax },show that f(0) and its leading Differences form a geometrical progression.)
Solutionf(x)={ e }^{ ax }\\ f(0)={ e }^{ 0 }=1\\ \triangle f(x)=\triangle { e }^{ ax }\\ \Rightarrow \triangle f(x)={ e }^{ a(x+h) }-{ e }^{ ax }\\ \Rightarrow \triangle f(x)={ e }^{ ax }.{ e }^{ ah }-{ e }^{ ax }\\ \Rightarrow \triangle f(x)={ e }^{ ax }({ e }^{ ah }-1)\\ \Rightarrow \triangle f(0)={ e }^{ 0 }({ e }^{ ah }-1)\\ \Rightarrow \triangle f(0)={ e }^{ ah }-1\\ \Rightarrow { \triangle }^{ 2 }f(x)=\triangle (\triangle f(x))\\ =\triangle { e }^{ ax }({ e }^{ ah }-1)\\ =({ e }^{ ah }-1)\triangle { e }^{ ax }\\ =({ e }^{ ah }-1)({ e }^{ a(x+h) }-{ e }^{ ax })\\ =({ e }^{ ah }-1)({ e }^{ ax }.{ e }^{ ah }-{ e }^{ ax })\\ =({ e }^{ ah }-1)({ e }^{ ax })({ e }^{ ah }-1)\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 2 }{ e }^{ ax }\\ \Rightarrow { \triangle }^{ 2 }f(0)={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 2 }{ e }^{ 0 }\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 2 }\\ \Rightarrow { \triangle }^{ 3 }f(x)=\triangle ({ \triangle }^{ 2 }f(x))\\ =\triangle ({ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 2 }{ e }^{ ax })\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 2 }\triangle { e }^{ ax }\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 2 }({ e }^{ a(x+h) }-{ e }^{ ax })\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 2 }({ e }^{ ax }.{ e }^{ ah }-{ e }^{ ax })\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 2 }({ e }^{ ax })({ e }^{ ah }-1)\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }({ e }^{ ax })\\ \Rightarrow { \triangle }^{ 3 }f(x)={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }({ e }^{ ax })\\ \Rightarrow { \triangle }^{ 3 }f(0)={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }({ e }^{ 0 })\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }\\ \Rightarrow { \triangle }^{ 4 }f(x)=\triangle ({ \triangle }^{ 3 }f(x))\\ =\triangle ({ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }{ e }^{ ax })\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }\triangle { e }^{ ax }\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }({ e }^{ a(x+h) }-{ e }^{ ax })\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }({ e }^{ ax }.{ e }^{ ah }-{ e }^{ ax })\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }({ e }^{ ax })({ e }^{ ah }-1)\\ ={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 4 }({ e }^{ ax })\\ \Rightarrow { \triangle }^{ 4 }f(x)={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 4 }({ e }^{ ax })\\ \Rightarrow { \triangle }^{ 4 }f(0)={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 4 }({ e }^{ 0 })\\ \Rightarrow { \triangle }^{ 4 }f(0)={ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 4 }

अतः \Rightarrow f(0)+{ \triangle }^{ 2 }f(0)+{ \triangle }^{ 3 }f(0)+{ \triangle }^{ 4 }f(0)+........=1+{ ({ e }^{ ah }-1) }+{ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 2 }+{ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 3 }+{ ({ e }^{ ah }-1) }^{ 4 }+........

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी  हैं।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function) को समझ सकते हैं।

4.क्रमगुणित फलन के अन्तर की समस्याएं (Difference of factorial function Problems)-

  • निम्न फलनों तथा इनके उत्तरोत्तर अन्तरों को क्रमगुणित संकेतन में व्यक्त कीजिए:
    (Express the following function and their successive difference in factorial notation:)

(1)3{ x }^{ 3 }-5{ x }^{ 2 }+7x-10\\ (2){ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }+7{ x }^{ 2 }+3x-6\\ (3)2{ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+3x
फलन ज्ञात करो जिसका प्रथम अन्तर है:
(Find the function whose first difference is:)

(4){ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+5x+12
{ u }_{ x } ज्ञात कीजिए (Find if)

(5)\triangle { u }_{ x }=x(x-1)\\ (6)\triangle { u }_{ x }=^{ x }{ { C }_{ n } }[/katex]
(7.) \alpha, \beta  तथा \gamma में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए जबकि \alpha +\beta x+\gamma { x }^{ 2 } एक पद में क्रमगुणित संकेत में व्यक्त किया जा सके।
(Find the relation \alpha, \beta  and \gamma in order that \alpha +\beta x+\gamma { x }^{ 2 } may be expressible in one term in the factorial notation:)
उत्तर (Answer):(2)f(x)={ x }^{ (4) }+\frac { 11 }{ 6 } { x }^{ (3) }+2{ x }^{ (2) }+7{ x }^{ (1) }-6{ x }^{ (0) }\\ (3)f(x)=2{ x }^{ (3) }+3{ x }^{ (2) }+2{ x }^{ (1) }-10,\triangle f\left( x \right) =6{ x }^{ (2) }+6x+2\\ { \triangle }^{ 2 }f\left( x \right) =12x+6,{ \triangle }^{ 3 }f\left( x \right) =12\\ (4){ u }_{ x }=\frac { 1 }{ 4 } x(x-1)(x-2)(x-3)+2x(x-1)(x-2)+\frac { 9 }{ 2 } x(x-1)+12x+E\\ (5)\frac { 1 }{ 4 } x(x-1)(x-2)+c\\ (6)^{ x }{ { C }_{ n+1 } }\\ (7)\alpha ={ a }^{ 2 }-ab,\beta =2ab-{ b }^{ 2 },\gamma ={ b }^{ 2 }

  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर क्रमगुणित फलन के अन्तर (Difference of factorial function) को समझ सकते हैं।

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