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Bessel Interpolation Formula

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1 1.बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula),बेसल का अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel’s Interpolation Formula):

1.बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula),बेसल का अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel’s Interpolation Formula):

बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula) गाॅस अग्र व पश्च अन्तर्वेशन सूत्रों की सहायता से ही प्रतिस्थापित किया गया है।
बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula):
y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !} \times\left[\frac{\Delta^{4} y_{-2}+\Delta^{4} y_{-1}}{2}\right]+\cdots जहाँ (Where) u=\frac{x-x_{0}}{h}
प्रमाण (Proof):गाॅस अन्तर्वेशन सूत्रों में मूलबिन्दु को 0 से 1 पर स्थान्तरित करने पर:

y_{u}=y_{1}+^{(u-1)}C_{1} \Delta y_{0}+^{u}C_{2} \Delta^{2} y_{0}+^{u}C_{3} \Delta^{3} y_{-1} +^{u+1}C_{4} \Delta^{4} y_{-1}+^{u+1}C_{5} \Delta^{5} y_{-2} +\cdots(1)
अर्थात् u-1=\frac{x-x_{1}}{x} लिखने पर x_{1}-h=x_{0} तथा u को u-1 से प्रतिस्थापित करने से उपर्युक्त सूत्र प्राप्त होता है:
इसे गाॅस परिवर्तित पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Guass Modified Backward Interpolation Formula) कहते हैं।
अब गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र को पुनः लिखने पर:

y_{u}=y_{0}+^{u}C_{1} \Delta y_{0}+^{u}C_{2} \Delta^{2} y_{-1}+^{u+1}C_{3} \Delta^{3} y_{-1}+^{u+1}C_{4} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots+ ^{u+r-1}C_{2r-1} \Delta^{2 r-1} y_{-r}+^{u+r-1}C_{2r} \Delta^{2r} y_{-r}+\cdots \cdot(2)
अब (1) तथा (2) सूत्रों का औसत लेने पर:

y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{\left(u-\frac{1}{2}\right) u(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{(u+1) u(u-1)(u-2)}{4 !}\left[\frac{\Delta^{4} y_{-1}+\Delta^{4} y_{-2}}{2}\right]+\frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{5 !} \Delta^{5} y_{-2}+\cdots +\frac{(u+r-1)(u+r-2) \cdots(u-r)}{2r !}\left[\frac{\Delta^{2r} y_{-r}+\Delta^{2r} y_{-r+1}}{2}\right]+\frac{(u+r-1)(u+r-2) \ldots-(u-r) }{(2r+1) !} \Delta^{2r+1} y_{-r}+\cdots \cdots(3)
इस सूत्र को बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula) कहते हैं।
उपर्युक्त सूत्र में u=\frac{1}{2},u=0,u=1 पर विषम अन्तर (Even Differences) के गुणांक शून्य है।यह इस सूत्र का दूसरे सूत्रों की अपेक्षा लाभ है।
टिप्पणी (Note):एक नया चर v=u-\frac{1}{2} बेसल सूत्र में प्रविष्ट करने पर बेसल सूत्रों को सरल तथा सममित रूप में निम्न प्रकार व्यक्त करते हैं:

y_{v+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+v \Delta y_{0}+\frac{v^{2}-\frac{1}{4}}{2!}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{v\left(v^{2}-\frac{1}{4}\right)}{3!} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{\left(v^{2}-\frac{1}{4}\right)\left(v^{2}-\frac{9}{4}\right)}{4 !}\left[\frac{\Delta^{4} y_{-2}+\Delta^{4} y_{-1}}{2}\right]+ \cdots+ \frac{\left(v^{2}-\frac{1}{4}\right)\left(v^{2}-\frac{9}{4}\right)-\left[v^{2}-\frac{(2 x-1)^{2}}{4}\right]}{(2 r)!} \left[\frac{\Delta^{2r} y_{-r}+\Delta^{2r} y_{r-1}}{2}\right]+v\left(v^{2}-\frac{1}{4}\right)\left(v^{2}-\frac{9}{4}\right) \left[\frac{v^{2}-\frac{(2 r-1)^{2}}{4}}{(2r+1)!}\right] \Delta^{2 r+1} y_{-r}+\cdots(4)
विशेष स्थिति:यदि v=0 अर्थात् u=\frac{1}{2} लें तो:

y_{\frac{1}{2}}=\frac{\left(y_{0}+y_{1}\right)}{2}-\frac{1}{8}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{3}{128}\left[\frac{\Delta^{4} y_{-2}+\Delta^{4} y_{-1}}{2}\right]-\cdots + \frac{(-1)^{n} [1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 r-1)]^{2}}{2^{2 n}(2 n) !}\left[\frac{\Delta^{2 n} y_{-n}+\Delta^{2 n} y_{-n+1}}{2}\right]+\cdots \cdot(5)
सूत्र (5) का मध्यमान अन्तर्वेशन सूत्र (Formula for Interpolation to halves) कहलाता है।
सूत्र (5) को संकारक \delta तथा \mu के रूप में निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

y_{\frac{1}{2}}=\mu y_{\frac{1}{2}}-\frac{1}{8} \mu \delta^{2} y_{\frac{1}{2}}+\frac{3}{128} \mu \delta^{4} y_{\frac{1}{2}}-\cdots(6)
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2.बेसल अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Bessel Interpolation Formula Examples):

Example:1.बेसल सूत्र द्वारा निम्न आँकड़ों से  y_{25} ज्ञात कीजिए:
(Use Bessel’s formula to find y_{25} from the following data):

y_{20}=2854 ; y_{24}=3162 ; y_{28}=3544 ; y_{32}=3992 ;
Solution: x_{0}=24 मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=4,x=25 के लिए:

u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{25-24}{4}=0.25
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

x     
20-12854   
   308  
2403162 74 
   382 -8
2813544 66 
   448  
3223992   

बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula) से:

y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{\left(u-\frac{1}{2}\right) u(u-1)}{6} \Delta^{3} y_{-1}+\cdots
उपर्युक्त में y_{0}, y_{1,} \Delta y_{0}, \Delta^{2} y_{-1} \ldots का मान सारणी से तथा u=0.25 प्रतिस्थापित करने पर:

y_{0.25}=\frac{1}{2}(3162+3544)+\left(0.25-\frac{1}{2}\right) \times 382+\frac{(0.25)(0.25-1)}{2}\left[\frac{74+66}{2}\right]+\frac{\left(0.25-\frac{1}{2}\right)(0.25)(0.25-1)}{6} \times(-8) \\ y_{0.25}=3353-(0.25)(382)-\frac{(0.25)(0.75)}{2} \times 70+\frac{(-0.25)(0.25)(0.75)}{6} \times 8\\ =3353-95.5-0.09375 \times 70-0.0625 \\ =3353-95.5-6.5625-0.0625\\ \Rightarrow y_{0.25}=3250.875
अतः y_{0.25}=3250.875
Example:2.बेसल सूत्र द्वारा x=3.75 के लिए निम्न सारणी से y का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Bessel’s formula to find y for x=3.75 from the following table):

x2.53.03.54.04.55.0
y24.14522.04320.22518.64417.26216.047

Solution:x_{0}=3.5 मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=0.5,x=3.75 के लिए u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{3.75-3.5}{0.5}=\frac{0.25}{0.5}=0.5
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

xuy_{u}Δ y_{u}Δ^{2} y_{u}Δ^{3} y_{u}Δ^{4} y_{u}Δ^{5} y_{u}
2.5-224.145     
   -2.102    
3.0-122.043 0.284   
   -1.818 -0.047  
3.5020.225 0.237 0.009 
   -1.581 -0.038 -0.003
4.0118.644 0.199 0.006 
   -1.382 -0.032  
4.5217.262 0.167   
   -1.215    
5.0316.047     

बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula) से:

y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{\left(u-\frac{1}{2}\right) u(u-1)}{6} \Delta^{3} y_{-1} +\frac{(u+1)(u)(u-1)(u-2)}{24}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{4} y_{-2}}{2}\right]+\frac{\left(u-\frac{1}{2}\right)(u+1) u(u-1)(u-2)}{120} \Delta^{5} y_{-2}+\cdots \\ y_{0.5}=\frac{1}{2}(20.225+18.644)+\left(0.5-\frac{1}{2}\right)(-1.581)+\frac{(0.5)(0.5-1)}{2}\left [ \frac{0.237+0.199}{2} \right ] +\frac{\left(0.5-\frac{1}{2}\right)(0.5)(0.5-1)}{6}(-0.038)+\frac{(0.5+1)(0.5)(0.5-1)(0.5-2)}{24} \times \frac{(0.009+0.006)}{2}+\frac{\left(0.5-\frac{1}{2}\right) (0.5+1)(0.5)(0.5-1)(0.5-2)}{120} \times(-0.003) \\ =19.4345 - 0.125 \times 0.218+\frac{1.5 \times 0.5 \times-0.5 \times-1.5 }{24}\times \frac{0.015}{2} \\ =19.4345-0.02725+0.000175781 \\ \Rightarrow y_{0.5}=19.40742578 \\ \Rightarrow y_{3.75} \approx 19.407

Example:3.अन्तराल 0.5 पर t=0 से t=3 तक f(t) के मान निम्न सारणी में दिए हैं जहाँ f(t) निम्न समाकल से व्यक्त है:
(From the following table which gives the values of f(t) at interval of t=0.5 from t=0 to t=3 where f(t) represent the integral): f(t)=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)}} \int_{0}^{t} e^{-t^{2}} d t

t0.00.51.01.52.02.53.0
f(t)0.0000.1910.3410.4330.4770.4940.499

(i)गाॅस सूत्र (ii)स्टरलिंग सूत्र तथा (iii)बेसल सूत्र द्वारा f(1.22) का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए:
(Estimate the value of f(1.22) by (i) Gauss formula (ii) Stirling formula and (iii)Bessel formula).
Solution:x_{0}=1.5 मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=0.5,x=1.22 के लिए u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{1.22-1.5}{0.5}=\frac{-0.28}{0.5}=-0.56
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

tuf(t)Δ f(u)Δ^{2} f(u)Δ^{3} f(u)Δ^{4} f(u)Δ^{5} f(u)
0.0-30.000     
   0.191    
0.5-20.191 -0.041   
   0.15 -0.017  
1.0-10.341 -0.058 0.027 
   0.092 0.01 -0.016
1.500.433 -0.048 0.011 
   0.044 0.021 -0.017
2.010.477 -0.027 -0.006 
   0.017 0.015  
2.520.494 -0.012   
   0.005    
3.030.499     
XΔ^{6} f(u)
0.0 
  
0.5 
  
1.0 
  
1.5-0.001
  
2.0 
  
2.5 
  
3.0 

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+ \frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+\frac{u\left(u^{2}-1\right) \left(u^{2}-2^{2}\right) }{5 !}\Delta^{5} f(-2) +\frac{u\left(u^{2}-1\right)\left(u^{2}-2^{2}\right)(u-3)}{6 !} \cdot \Delta^{6} f(-3)+\cdots \\ f(-0.56)=0.433+(-0.56)(0.044)+\frac{(-0.56)(-0.56-1)}{2}(-0.048) +\frac{(-0.56)\left(-0.56^{2}-1\right)(0.021)}{6}+\frac{(-0.56)\left(-0.56^{2}- 1\right) (-0.56-2)}{24} \times 0.0111+\frac{(-0.56)\left(-0.56^{2}-1\right)\left(-0.56^{2}-4\right)}{120} \times (-0.017)+ \frac{(-0.56)\left(-0.56^{2}-1\right)\left(-0.56^{2}-4\right)(-0.56-3)}{720} \times(-0.001)\\ =0.433-0.02464-(0.28)(1.56)(0.048)+\frac{(0.56 \times 1.3136 \times 0.021)}{6} -\frac{(0.56 \times 1.3136 \times 2.56 \times 0.011)}{24}+\frac{(0.56 \times 1.3136 \times 4.3136 \times 0.017)}{120}-\frac{(0.56 \times 1.3136 \times 4.3136 \times 3.56 \times 0.001)}{720} \\ = 0.433-0.02464-0.0209664+0.002574656-0.000863122+0.00044953-0.000015689 \\ f(-0.56)=0.389538975 \Rightarrow f(1.22) \approx 0.389
स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \frac{\Delta f(0)+\Delta f(-1)}{2}+\frac{u^{2}}{2 !} \cdot \Delta^{2} f(-1)+ \frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \frac{\Delta^{3} f(-1)+\Delta^{3} f(-2)}{2} +\frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right) }{4 !} \Delta^{4} f(-2)+ \frac{u\left(u^{2}-1\right) \left(u^{2}-2^{2}\right)}{5 !} \frac{\Delta^{5} f(-2)+\Delta^{5} f(-3)}{2}+ \frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right) \left(u^{2}-2^{2}\right) }{6 !}\Delta^{6} f(-3)+\cdots \cdot \cdot  \\ f(-0.56)=0.433+(-0.56)\left(\frac{0.044+0.092}{2}\right)+\frac{(-0.56)^{2}}{2}(-0.048)+(-0.56) \frac{\left[(-0.56)^{2}-1\right]}{6}\left(\frac{0.01+0.021}{2}\right)+\frac{(-0.56)^{2}\left[(-0.56)^{2}-1\right]}{24} \times (0.011)+\frac{(-0.56) \left(-0.56^{2}-1\right) \left(-0.56^{2}-4\right)}{120}\left(\frac{-0.017-0.016}{2}\right)+ \frac{(-0.56)^{2} \left(-0.56^{2}-1\right)\left(-0.56^{2}-4\right)}{720} \times(-0.001) \\ =0.433-0.56 \times 0.068-0.1568 \times 0.048-\frac{(0.56) \times(0.3136-1)}{6} \times 0.0155+\frac{(0.3136)(0.3136-1)(0.011)}{24}+\frac{-0.56(0.3136-1)(0.3136-4)(-0.0165)}{120}+\frac{(0.3136)(0.3136-1)(0.3136-4)(-0.001)}{720} \\ =0.433-0.03808-0.0075264-\frac{0.56 \times-0.6864 \times 0.0155}{6}+ \frac{(0.3136 \times-0.6864 \times 0.011)}{24}-\frac{(0.56 \times-0.6864 \times-3.6864 \times-0.0165)}{120}+\frac{(0.3136 \times-0.6864 \times-3.6864 \times-0.001)}{720} \\=0.433-0.03808-0.0075264+ 0.000992992 -0.000098658+0.000194836-0.000001102 \\ f(0.56)=0.388481668 \Rightarrow f(1.22) \approx 3885
बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula) से:

f(u)=\frac{1}{2}\left ( f(0)+f(1) \right )+\left(u-\frac{1}{2}\right) \cdot \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} f(-1)+\Delta^{2} f(0)}{2}\right] +\frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !}\left[\frac{\Delta^{4} f(-2)+\Delta^{4} f(-1)}{2}\right]+\frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{5 !} \Delta^{5} f(-2)+\frac{u \left(u^{2}-1\right) \left(u^{2}-2^{2}\right)(u-3)}{6 !}\left[\frac{\Delta^{6} f(-3)+\Delta^{6} f(-2)}{2}\right]+\cdots \\ f(-0.56)=\frac{1}{2}(0.433+0.477)+\left(-0.56-\frac{1}{2}\right)(0.044)+\frac{(-0.56)(-0.56-1)}{2} \left[\frac{-0.048-0.027}{2}\right]+\frac{(-0.56)\left(-0.56-\frac{1}{2}\right)(-0.56-1)}{6} \times 0.021+ \frac{(-0.56)\left[(-0.56)^{2}-1\right)(-0.56-2)}{24}\left[\frac{0.011-0.006}{2}\right]+ \frac{(-0.56)(-0.56-\frac{1}{2}) \left[(-0.56)^{2}-1\right](-0.56-2)}{120} \times-0.017 \\ =0.455-(1.06)(0.044)-(0.14)(-1.56)(-0.075)+ \frac{(-0.56 \times-1.06 \times-1.56 \times 0.021)}{6}+\frac{(-0.56 \times-0.6864 \times-2.56 \times 0.005}{72} +\frac{(-0.56 \times-1.06 \times-0.6834 \times-2.56 \times-0.017)}{120} \\ = 0.455-0.04664-0.01638 -0.003241056-0.000068334-0.000147121 \\ \Rightarrow f(-0.56)=0.3885223489 \\ \Rightarrow f(1.22) \approx 0.3885
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula),बेसल का अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel’s Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.बेसल अन्तर्वेशन सूत्र के सवाल (Bessel Interpolation Formula Questions):

(1.)बेसल सूत्र द्वारा y_{25} ज्ञात कीजिए,दिया हुआ है कि (Use Bessel formula to find y_{25}, given that)

y_{20}=24, y_{24}=32, y_{28}=35, y_{32}=40
(2.)निम्न सारणी में गाॅस,स्टर्लिंग तथा बेसल सूत्रों द्वारा \log_{10} 337.5 का मान ज्ञात कीजिए:
(From the following table, find the value of \log_{10} 337.5 ,Guass,Stirling and Bessel formulae):

x\log_{10} x
3102.4913617
3202.5051500
3302.5185139
3402.5316789
3502.5440680
3642.5663025

उत्तर (Answers):(1)y_{25}=32.945312 \\ (2) \log_{10} 337.5=2.52827374
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula),बेसल का अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel’s Interpolation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं। \frac{1}{2} 7^{\text{र}}

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4.बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula),बेसल का अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel’s Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.बेसल इंटरपोलेशन फॉर्मूला किसके के लिए इस्तेमाल किया है? (What is Bessel Interpolation Formula used for?):

उत्तर:यहां एफ (0) मूल बिंदु आमतौर पर मध्य बिंदु होने के लिए लिया जाता है क्योंकि Bessel का उपयोग केंद्र के पास इंटरपोलेट करने के लिए किया जाता है।h अंतर का अंतराल (interval of difference) कहा जाता है u=\frac{x-x_{0}}{h} , यहां f(0) मूलबिन्दु पर चुना गया पद (term) है।
बेसेल का फॉर्मूला (संख्यात्मक इंटरपोलेशन) फॉर्मूला और उदाहरण
y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !} \times\left[\frac{\Delta^{4} y_{-2}+\Delta^{4} y_{-1}}{2}\right]+\cdots जहाँ (Where) u=\frac{x-x_{0}}{h}

प्रश्न:2.गॉस इंटरपोलेशन फॉर्मूला क्या है? (What is Gauss interpolation formula?):

उत्तर:गॉस फॉरवर्ड फॉर्मूला (Gauss forward formula) न्यूटन के फॉरवर्ड फॉर्मूले (Newton’s forward formula) से लिया गया है जो है: न्यूटन का फॉरवर्ड इंटरप्रिटेशन फॉर्मूला (Newton’s forward interpretation formula): P_{0}(x)=f(x)=f(a)+\frac{\Delta f(a)}{h}(x-a)+\frac{\Delta^{2} f(a)}{2 ! h^{2}}(x-a)(x-a-h)+\frac{\Delta^{3} f(a)}{3 ! h^{3}}(x-a)(x-a-h)(x-a-2 h)+\ldots \cdots + \frac{\Delta^{n} f(a)}{n ! h^{n}}(x-a)(x-a-h) \cdots(x-a-\overline{n-1}h)
गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula):
y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+ \frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1} +\frac{u\left(u^{2}-1\right) (u-2)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{5 !} \Delta^{5} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where),u=\frac{x-x_{0}}{h}
गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula):
y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u+1)}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u+2)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where) u=\frac{x-x_{0}}{h}

प्रश्न:3.केंद्रीय इंटरपोलेशन के लिए किस फॉर्मूले का इस्तेमाल किया जाता है? (Which formula is used for central interpolation?):

उत्तर:यह मूल रूप से संबंधित परिचित डेटा (acquainted data) की सहायता से अज्ञात डेटा का आकलन करने की अवधारणा प्रदान करता है।इस शोध का मुख्य लक्ष्य एक केंद्रीय अंतर इंटरपोलेशन विधि का गठन करना है जो गॉस के तीसरे फॉर्मूले,गॉस के पश्च फॉर्मूले और गॉस के फॉरवर्ड फॉर्मूले के संयोजन से ली गई है ।

प्रश्न:4.गॉस फॉर्मूला किसके लिए इस्तेमाल किया जाता है? (What is Gauss formula used for?):

उत्तर:गॉस का नियम किसी भी बंद सतह पर लागू होने वाला एक व्यापक नियम है।यह एक महत्वपूर्ण उपकरण है क्योंकि यह चार्ज वितरण के बाहर एक सतह पर क्षेत्र का मानचित्रण करके संलग्न चार्ज की राशि के आकलन की अनुमति देता है (important tool since it permits the assessment of the amount of enclosed charge by mapping the field on a surface outside the charge distribution)।पर्याप्त सममिति की ज्यामिति के लिए (geometries of sufficient symmetry),यह विद्युत क्षेत्र की गणना को सरल बनाता है।

प्रश्न:5.आप केंद्रीय अंतर की गणना कैसे करते हैं? (How do you calculate central difference?):

उत्तर:f(a)≈छोटी टूटी हुई रेखा का ढ़ाल (slope of short broken line) =y-वैल्यूज में अंतर- x-वैल्यूज में अंतर=\frac{f(x+ h)-f(x-h)}{2h} इसे f(a) के लिए केंद्रीय अंतर सन्निकटन (central difference approximation) कहा जाता है।व्यवहार में,केंद्रीय अंतर फार्मूला (central difference formula) सबसे सटीक है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula),बेसल का अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel’s Interpolation Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Bessel Interpolation Formula

बेसल अन्तर्वेशन सूत्र
(Bessel Interpolation Formula)

Bessel Interpolation Formula

बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula) गाॅस अग्र व पश्च अन्तर्वेशन सूत्रों की सहायता
से ही प्रतिस्थापित किया गया है। बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula)

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