Gauss Backward Interpolation Formula
1.गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae):
गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula) द्वारा अन्तर सारणी के समीप के चर के लिए अन्तर्वेशन हेतु मान ज्ञात करना सरल एवं सर्वोत्तम अनुकूल होता है।
गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula):
y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u+1)}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u+2)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where) u=\frac{x-x_{0}}{h}
प्रमाण (Proof):न्यूटन-ग्रेगरी अग्र अन्तर सूत्रानुसार
f(u)=f(0)+^{u}C_{1} \Delta f(0)+^{u}C_{2} \Delta^{2} f(0)+\cdots+^{u}C_{r} \Delta^{r} f(0)+\cdots(1)
जहाँ u=\frac{x-x_{0}}{h}
\Delta^{2} f(-1)=\Delta[\Delta f(-1)]=\Delta[f(0)-f(-1)]
अतः \Delta f(0)=\Delta f(-1)+\Delta^{2} f(-1) \cdots(3)
इसी प्रकार \Delta^{2} f(0)=\Delta^{2} f(-1)+\Delta^{3} f(-1)\cdots(4)
तथा \Delta^{3} f(0)=\Delta^{3} f(-1)+\Delta^{4} f(-1) इत्यादि….(5)
इन मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर:
f(u)=f(0)+^{u}C_{1} [\Delta f(-1)+\Delta^{2} f(-1)]+^{u}C_{2}\left[ \Delta^{2} f(-1)+\Delta^{3} f(-1)\right]+ \cdots +^{u}C_{r}\left[\Delta^{r} f(-1)+\Delta^{r+1} f(-1)\right]+\cdots \\ =f(0)+^{u}C_{1} \cdot \Delta f(-1)+^{u+1}C_{2} \Delta^{2} f(-1)+^{u+1}C_{3} \Delta^{3} f(-1)+\cdots +^{u+1}C_{r} \Delta^{r} f(-1)+\cdots \cdot \cdots(6)
पुनः \Delta^{3} f(-1)=\Delta^{3} f(-2)+\Delta^{4} f(-2) \\ \Delta^{4} f(-1)=\Delta^{4} f(-2)+\Delta^{5} f(-2) इत्यादि….(7)
इन मानों को (6) में प्रतिस्थापित करने पर:
f(u)=f(0)+^{u}C_{1} \Delta f(-1)+^{u+1}C_{2} \Delta^{2} f(-1)+^{u+1}C_{3} \left [ \Delta^{3} f(-2)+\Delta^{4} f(-2) \right ]+^{u+1}C_{4} \left[\Delta^{4} f(-2)+\Delta^{5} f(-2)\right]+\cdots \\ =f(0)+\left[^{u}C_{1} \Delta f(-1)+^{u+1}C_{1} \Delta^{2} f(-1)\right]+^{u+1}C_{3} \left[ \Delta^{3} f(-2)+\Delta^{4} f(-2) \right]+\cdots \cdots+^{u+1}C_{4} \left[\Delta^{4} f(-2)+ \Delta^{5} f(-2)\right]+\cdots \\ =f(0)+\left[^{u}C_{1} \Delta f(-1)+^{u+1}C_{2} \Delta^{2} f(-1)\right]+ \left[^{u+1}C_{3} \Delta^{3} f(-2)+^{u+2}C_{4} \Delta^{4} f(-2) \right]+\cdots \cdots+ \left[^{u+r-1}C_{2r-1} \Delta^{2 r-1} f(-r)+^{u+r}C_{2r} \Delta^{2r} f(-r)\right]+\cdots
अतः f(u)=f(0)+u \Delta f(-1)+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{(u+1) u(u-1)}{3 !} \Delta^{3} f(-2) +\frac{(u+2)(u+1) u(u-1)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+\cdots (8)
यदि f(u) को y से प्रतिस्थापित करें तो उपर्युक्त सूत्र को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
y_{u}= y_{0}+u \Delta y_{-1}+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{(u+1) u(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-2}+\frac{(u+2)(u+1)(u)(u-1)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\ldots
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2.गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Gauss Backward Interpolation Formula Examples):
Example:1.गाॅस पश्च सूत्र द्वारा 1936 की जनसंख्या ज्ञात कीजिए जहाँ दिया है:
(Use Gauss’s Backward formula to find the population in the year 1936.Given that):
| वर्ष (year) | जनसंख्या हजारों में (Population in thousands) |
| 1901 | 12 |
| 1911 | 15 |
| 1921 | 20 |
| 1931 | 27 |
| 1941 | 39 |
| 1951 | 52 |
Solution:1931 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=10 वर्ष 1936 के लिए
u=\frac{1936-1931}{10}=\frac{5}{10}=0.5
अतः y_{0.5} का मान ज्ञात करना है:
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)
| x | u | y_{u} | Δ y_{u} | Δ^{2} y_{u} | Δ^{3} y_{u} | Δ^{4} y_{u} | Δ^{5} y_{u} |
| 1901 | -3 | 12 | |||||
| 3 | |||||||
| 1911 | -2 | 15 | 2 | ||||
| 5 | 0 | ||||||
| 1921 | -1 | 20 | 2 | 3 | |||
| 7 | 3 | -10 | |||||
| 1931 | 0 | 27 | 5 | -7 | |||
| 12 | -4 | ||||||
| 1941 | 1 | 39 | 1 | ||||
| 13 | |||||||
| 1951 | 2 | 52 |
अब गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula) से:
y_{4}= y_{0}+u \Delta y_{-1}+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{(u+1) u(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-2}+\frac{(u+2)(u+1) u(u-1)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2} +\frac{(u+2)(u+1) u(u-1)(u-2)}{5 !} \Delta^{5} y_{-3}+\cdots
यहाँ u=0.5 तथा अन्तर सारणी से वांछित मान रखने पर:
y_{0.5}=27+(0.5) \times 7+\frac{(0.5+1)(0.5)}{2 !} \times 5+\frac{(0.5+1)(0.5)(0.5-1)}{3 !}\times 3 +\frac{(0.5+2)(0.5+1)(0.5)(0.5-1)}{24} \times(-7)+\frac{(0.5+2)(0.5+1)(0.5)(0.5-1)(0.5-2)}{120} \times(-10) \\ y_{0.5}=27+3.5+1.875+ \frac{1.5(0.5)(-0.5)}{6} \times 3+\frac{2.5 \times 1.5 \times 0.5 \times-0.5}{24} \times(-7)+\frac{2.5 \times 1.5 \times 0.5 \times-0.5 \times-1.5 }{120} \times-10 \\ =32.375-0.1875+0.2734375-0.1171875 \\ y_{0.5}= 32.34375 हजार
y_{0.5} \approx 32.3437 हजार
अब मूलबिन्दु पर लौटने से y_{1936}= 32.3437 हजार
Example:2.दिया हुआ है (Given that)
\sqrt{(12500)}=111.803399 ; \sqrt{(12510)}=111.848111 ; \sqrt{(12520)}=111.892806 ; \sqrt(12530)=111.937483
गाॅस पश्च सूत्र से प्रदर्शित कीजिए कि (Show by Gauss’s backward formula that): \sqrt(12516)=111.874930
Solution:12520 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=10
u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{12516-12520}{10}=\frac{-4}{10}=-0.4
अतः y_{(-0.4)} का मान ज्ञात करना है:
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)
| x | u | y_{u} | Δ y_{u} | Δ^{2} y_{u} | Δ^{3} y_{u} |
| 12500 | -2 | 111.803399 | |||
| 0.044712 | |||||
| 12510 | -1 | 111.848111 | -0.000017 | ||
| 0.044695 | -0.000001 | ||||
| 12530 | 0 | 111.8922806 | -0.000018 | ||
| 0.044677 | |||||
| 12530 | 1 | 111.937483 |
अब गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula) से:
y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{-1}+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{(u+1) u(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-2}+\cdots \\ y_{(0.4)}=111.892806+(-0.4)(0.044695)+\frac{(-0.4+1)(-0.4)}{2} \times (-0.000018) +\frac{(-0.4+1)(-0.4)(-0.4-1)}{6} \times(-0.000001) \\ =111.892806-0.017878+\frac{0.6 \times-0.4 \times 0.000018}{2}+\frac{(0.6)(-0.4)(-1.4)}{6} \times 0.000001\\ =111.892806-0.017878+0.00000216-0.000000336\\ =111.8749298 \\ y_{(-0.4)}= 111.8749298 \\ y_{(-0.4)} \approx 111.874930
अब मूलबिन्दु पर लौटने से: \sqrt(12516) \approx 111.874930
Example:3.निम्न सारणी से f(0.5437) का मान गाॅस सूत्र से ज्ञात कीजिए:
(From the following table find the value of f(0.5437) by Gauss formula):
| x | f(x) |
| 0.51 | 0.5292437 |
| 0.52 | 0.5237899 |
| 0.53 | 0.5464641 |
| 0.54 | 0.5549392 |
| 0.55 | 0.5633233 |
| 0.56 | 0.5716157 |
| 0.57 | 0.5798158 |
Solution:0.54 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=0.01
u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{0.5437-0.54}{0.01}=\frac{0.0037}{0.01}=0.37
अतः f(0.37) का मान ज्ञात करना है:
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)
| x | u | f(u) | Δf (u) | Δ^{2} f(u) | Δ^{3} f(u) | Δ^{4} f(u) | Δ^{5} f(u) | Δ^{6} f(u) |
| 0.51 | -3 | 0.5292437 | ||||||
| -0.0054538 | ||||||||
| 0.52 | -2 | 0.5237899 | 0.028128 | |||||
| -0.0226742 | -0.0523271 | |||||||
| 0.53 | -1 | 0.5464641 | -0.0141991 | 0.0664352 | ||||
| 0.0084751 | 0.0141081 | -0.080544 | ||||||
| 0.54 | 0 | 0.5549392 | -0.000091 | -0.0141088 | 0.0946529 | |||
| 0.0083841 | -0.0000007 | 0.0141089 | ||||||
| 0.55 | 1 | 0.5633233 | -0.0000917 | 0.0000001 | ||||
| 0.0082924 | -0.0000006 | |||||||
| 0.56 | 2 | 0.5716157 | -0.0000923 | |||||
| 0.0082001 | ||||||||
| 0.57 | 3 | 0.5798158 |
अब गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula) से:
f(y)=f(0)+u \Delta f(-1)+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{(u+1) u(u-1) }{3 !} \Delta^{3}f(-2)+ \frac{(u+2)(u+1) u(u-1)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+\frac{(u+2)(u+1) u(u-1)(u-2)}{5 !} \Delta^{5} f(-3) +\frac{(u+3)(u+2)(u+1) u(u-1)(u-2)}{6 !} \Delta^{6} f(-3)+\cdot\\ =0.5549392+(0.37)(0.0084751)+\frac{(0.37+1)(0.37)}{2} \times (-0.000091)+\frac{(0.37+1)(0.37)(0.37-1)}{6} \times(0.0141081) +\frac{(0.37+2)(0.37+1)(0.37)(0.37-1)}{24} \times(-0.0141088) + \frac{(0.37+2)(0.37+1)(0.37)(0.37-1)(0.37-2)}{120} \times(-0.080544)+\frac{(0.37+3)(0.37+2)(0.37+1)(0.37)(0.37-1)(0.37-2)}{720}(0.0946529)\\ =0.5549392+ 0.003135787 -\frac{(1.37)(0.37)(0.000091)}{2}+ \frac{(1.37)(0.37)(-0.63)(0.0141081)}{6}+\frac{(2.37)(1.37)(0.37)(-0.63) \times}{24}(-0.0141088)+\frac{(2.37)(1.37)(0.37)(-0.63)(-1.63)}{120}(-0.080544) +\frac{(3.37)(2.37)(1.37)(0.37)(-0.63)(-2.37)}{720}(0.0946529)\\ =0.5549392+0.003135787-0.000023067-0.000750896+0.000444928-0.000828088+0.000794677 \\ =0.557712595\\ f(0.37) \approx 0.557713
अब मूलबिन्दु पर लौटने से: f\left(0.5437\right) \approx 0.557713
Example:4.गाॅस सूत्र को लगाकर त्रिघाण बहुपद ज्ञात कीजिए जो y को नीचे दिए गए मानों को ग्रहण करता है:
(Apply Gauss’s formula to find a polynomial of degree three which takes the value of y as given below):
| x | u | y_{u} | Δ y_{u} | Δ^{2} y_{u} | Δ^{3} y_{u} | Δ^{4} y_{u} |
| 2 | -2 | -2 | ||||
| 3 | ||||||
| 4 | -1 | 1 | -1 | |||
| 2 | 4 | |||||
| 6 | 0 | 3 | 3 | 0 | ||
| 5 | 4 | |||||
| 8 | 1 | 8 | 7 | |||
| 12 | ||||||
| 10 | 2 | 20 |
Solution:गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula)
u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{x-6}{2} \\ f(x)=f(0)+u \Delta f(-1)+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{(u+1) u(u-1) }{3 !} \Delta^{3}f(-2)+ \frac{(u+2)(u+1) u(u-1)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+\cdots \\ f(x)=3+u(2)+\frac{u (u+1)}{2}(3) + \frac{(u+1)(u)(u-1)}{6} (4)+\frac{(u+2)(u+1)(u)(u-1)}{24} (0) \\ =3+2u+ \frac{3}{2} u^{2}+\frac{3}{2} u+\frac{2 u^{3}}{3}-\frac{2}{3} u\\ \Rightarrow f(x)= \frac{18+12 u+9 u^{2}+9 u+4 u^{3}-4u}{6}\\ =\frac{1}{6}\left(4 u^{3}+9 u^{2}+17 u+18\right)
जहाँ u=\frac{x-6}{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae) को समझ सकते हैं।
3.गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र के सवाल (Gauss Backward Interpolation Formula Questions):
(1.)निम्न सारणी से गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र द्वारा 1976 की जनसंख्या ज्ञात कीजिए:
(Interpolate by means Gauss’s backward interpolation formula the population for the year 1976 from the following table.):
| वर्ष (year) | जनसंख्या (लाखों में) (Population in Lakhs): |
| 1931 | 12 |
| 1941 | 15 |
| 1951 | 20 |
| 1961 | 27 |
| 1971 | 39 |
| 1981 | 52 |
(2.)यदि (1.06)^{10}=1.79085,(1.06)^{15}=2.35656,(1.06)^{20}=3.20714 ,(1.06)^{25}=4.29187,(1.06)^{30}=5.7439 तो (1.06)^{10} का मान ज्ञात करो:
(Find the value of (1.06)^{10} If (1.06)^{10}=1.79085,(1.06)^{15}=2.35656,(1.06)^{20}=3.20714 ,(1.06)^{25}=4.29187,(1.06)^{30}=5.7439 .)
उत्तर (Answers):(1.)y_{1976}=46 लाख (लगभग) (2)(1.06)^{10}=3.02565
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:-Newton Formula for Unequal Intervals
4.गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अन्तर्वेशन के लिए मूलभूत सूत्र कौनसे हैं? (What are the basic formulas for interpolation?):
उत्तर:न्यूटन तथा लाग्रांज अन्तर्वेशन मूलभूत सूत्र हैं:
(1.)लाग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange’s Interpolation Formula)
(2.)असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton’s Divided Difference Formula for Unequal Intervals)
प्रश्न:2.न्यूटन तथा लाग्रांज सूत्र कब प्रयोग किए जाते हैं? (When are Newton and Lagrange formulas used?):
उत्तर:न्यूटन तथा लाग्रांज सूत्र सर्वोत्तम अनूकुल होते हैं जबकि चर के मान के अन्तर्वेशन करना है वह अन्तर सारणी के प्रारम्भिक तथा अन्तिम चर के समीप होते हैं।
प्रश्न:3.औसत संकारक को परिभाषित करो। (Define the average operator)।
उत्तर:औसत संकारक को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है:
\mu f(u)=\frac{1}{2}\left [ f\left ( x+\frac{h}{2} \right ) +f\left ( x-\frac{h}{2} \right )\right ] \ \\ \Rightarrow \mu f(x)=\frac{1}{2}\left[E^{\frac{1}{2}} f(x)+E^{-\frac{1}{2}} f(x)\right] \ \Rightarrow \mu f(x)=\frac{1}{2}\left(E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}\right) f(x) \\ \Rightarrow \mu=\frac{1}{2}\left(E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}\right)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula) द्वारा अन्तर सारणी के
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Satyam
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