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Use method of separation of symbols

1.संकेतों को पृथक करने की विधि का प्रयोग करें (Use method of separation of symbols)-

संकेतों को पृथक करने की विधि का प्रयोग कर (Use method of separation of symbols) ,हम कुछ सर्वसमिकाओं को सिद्ध कर सकते हैं।इस विधि का प्रयोग संख्यात्मक विश्लेषण में किया जाता है।ऐसी विधियां जिनमें दो संकारकों \Epsilon\quad तथा\quad \triangle के मध्य सम्बन्ध अर्थात् \Epsilon =1+\triangle
का प्रयोग करके कुछ सर्वसमिकाओं (identities) को सिद्ध करने में होता है।इस आर्टिकल में संकेतों को पृथक करने की विधि का प्रयोग कर सर्वसमिकाओं को सिद्ध किया गया है।इसके लिए हम कुछ उदाहरणों की सहायता लेंगे।इन विधियों को उदाहरणों की सहायता से समझाया गया है।
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2.संकेतों को पृथक करने की विधि का प्रयोग कर निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए (Use method of separation of symbols,to prove the following):-

Question-1.{ u }_{ 0 }+^{ n }{ { c }_{ 1 } }{ u }_{ 1 }x+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ u }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+.......+{ u }_{ n }{ x }^{ n }={ \left( 1+x \right) }^{ n }{ u }_{ 0 }\\+^{ n }{ { c }_{ 1 } }{ \left( 1+x \right) }^{ n-1 }x\triangle { u }_{ 0 }+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ \left( 1+x \right) }^{ n-2 }{ x }^{ 2 }{ \triangle }^{ 2 }{ u }_{ 0 }+........+{ x }^{ n }{ \triangle }^{ n }{ u }_{ 0 }
Solution-{ u }_{ 0 }+^{ n }{ { c }_{ 1 } }{ u }_{ 1 }x+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ u }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+.......+{ u }_{ n }{ x }^{ n }={ \left( 1+x \right) }^{ n }{ u }_{ 0 }\\+^{ n }{ { c }_{ 1 } }{ \left( 1+x \right) }^{ n-1 }x\triangle { u }_{ 0 }+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ \left( 1+x \right) }^{ n-2 }{ x }^{ 2 }{ \triangle }^{ 2 }{ u }_{ 0 }+........+{ x }^{ n }{ \triangle }^{ n }{ u }_{ 0 }

L.H.S. { u }_{ 0 }+^{ n }{ { c }_{ 1 } }{ u }_{ 1 }x+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ u }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+...+{ u }_{ n }{ x }^{ n }\\ { u }_{ 0 }+^{ n }{ { c }_{ 1 } }\Epsilon { u }_{ 0 }x+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ \Epsilon }^{ 2 }{ u }_{ 0 }{ x }^{ 2 }+...+{ \Epsilon }^{ n }{ u }_{ 0 }{ x }^{ n }\\ \left[ 1+\quad ^{ n }{ { c }_{ 1 } }\Epsilon x+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ \Epsilon }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+...+{ \Epsilon }^{ n }{ x }^{ n } \right] { u }_{ 0 }\\ { \left( 1+\Epsilon x \right) }^{ n }{ u }_{ 0 }\\ { \left[ 1+\left( 1+\triangle \right) x \right] }^{ n }{ u }_{ 0 }\quad \quad \quad \quad \quad \left[ \because \Epsilon =1+\triangle \right] \\ { \left[ 1+x+\triangle x \right] }^{ n }{ u }_{ 0 }\\ { \left[ \left( 1+x \right) +\triangle x \right] }^{ n }{ u }_{ 0 }\\ { \left( 1+x \right) }^{ n }{ u }_{ 0 }+^{ n }{ { c }_{ 1 } }{ \left( 1+x \right) }^{ n-1 }x\triangle { u }_{ 0 }+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ \left( 1+x \right) }^{ n-2 }{ x }^{ 2 }{ \triangle }^{ 2 }{ u }_{ 0 }\\ +...+{ x }^{ n }{ \triangle }^{ n }{ u }_{ 0 }=R.H.S.

Question-2.{ u }_{ 0 }+_{ \quad }\frac { { u }_{ 1 }x }{ 1! } +\frac { { u }_{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { u }_{ 3 }{ x }^{ 3 } }{ 3! } +...=\\{ e }^{ x }\left[ { u }_{ 0 }+x\triangle { u }_{ 0 }+\frac { { x }^{ 2 }{ \triangle }^{ 2 }{ u }_{ 0 } }{ 2! } +...\right]
Solution-{ u }_{ 0 }+\frac { { u }_{ 1 }x }{ 1! } +\frac { { u }_{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { u }_{ 3 }{ x }^{ 3 } }{ 3! } +...=\\ { e }^{ x }\left[ { u }_{ 0 }+\triangle { u }_{ 0 }+\frac { { x }^{ 2 }{ \triangle }^{ 2 }{ u }_{ 0 } }{ 2! } +... \right] \\ L.H.S.\quad \quad { u }_{ 0 }+\frac { { u }_{ 1 }x }{ 1! } +\frac { { u }_{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { u }_{ 3 }{ x }^{ 3 } }{ 3! } +...\\ { u }_{ 0 }+\frac { \Epsilon { u }_{ 0 }x }{ 1! } +\frac { { \Epsilon }^{ 2 }{ u }_{ 0 }{ x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { \Epsilon }^{ 3 }{ u }_{ 0 }{ x }^{ 3 } }{ 3! } +...\\ \left[ 1+\frac { \Epsilon x }{ 1! } +\frac { { \Epsilon }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { \Epsilon }^{ 3 }{ x }^{ 3 } }{ 3! } +... \right] { u }_{ 0 }\\ { e }^{ x\Epsilon }{ u }_{ 0 }\\ { e }^{ \left( 1+\triangle \right) x }{ u }_{ 0 }\\ { e }^{ x+x\triangle }{ u }_{ 0 }\\ { e }^{ x }{ e }^{ x\triangle }{ u }_{ 0 }\\ { e }^{ x }\left[ { u }_{ 0 }+x\triangle { u }_{ 0 }+\frac { { x }^{ 2 }{ \triangle }^{ 2 }{ u }_{ 0 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 3 }{ \triangle }^{ 3 }{ u }_{ 0 } }{ 3! } ... \right] =R.H.S.

Question-3.{ u }_{ x }-\frac { 1 }{ 8 } { \triangle }^{ 2 }{ u }_{ x-1 }+\frac { 1.3 }{ 8.16 } { \triangle }^{ 4 }{ u }_{ x-2 }-\frac { 1.3.5 }{ 8.16.24 } { \triangle }^{ 6 }{ u }_{ x-3 }+...=\\{ u }_{ x+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }-\frac { 1 }{ 2 } \triangle { u }_{ x+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }+\frac { 1 }{ 4 } { \triangle }^{ 2 }{ u }_{ x+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }-...
Solution-L.H.S.{ u }_{ x }-\frac { 1 }{ 8 } { \triangle }^{ 2 }{ u }_{ x-1 }+\frac { 1.3 }{ 8.16 } { \triangle }^{ 4 }{ u }_{ x-2 }-\frac { 1.3.5 }{ 8.16.24 } { \triangle }^{ 6 }{ u }_{ x-3 }+...\\ { u }_{ x }-\frac { 1 }{ 8 } { \triangle }^{ 2 }{ \Epsilon }^{ -1 }{ u }_{ x }+\frac { 1.3 }{ 8.16 } { \triangle }^{ 4 }{ \Epsilon }^{ -2 }{ u }_{ x }-\frac { 1.3.5 }{ 8.16.24 } { \triangle }^{ 6 }{ \Epsilon }^{ -3 }{ u }_{ x }+...\\ \left[ 1-\frac { 1 }{ 8 } { \triangle }^{ 2 }{ \Epsilon }^{ -1 }+\frac { 1.3 }{ 8.16 } { \triangle }^{ 4 }{ \Epsilon }^{ -2 }-\frac { 1.3.5 }{ 8.16.24 } { \triangle }^{ 6 }{ \Epsilon }^{ -3 }+...\right] { u }_{ x }\\ \left[ 1+\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \left( \frac { { \triangle }^{ 2 }{ \Epsilon }^{ -1 } }{ 4 } \right) +\frac { \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) }{ 2! } { \left( \frac { { \triangle }^{ 2 }{ \Epsilon }^{ -1 } }{ 4 } \right) }^{ 2 }-\frac { \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) \left( -\frac { 5 }{ 2 } \right) }{ 3! } { \left( \frac { { \triangle }^{ 2 }{ \Epsilon }^{ -1 } }{ 4 } \right) }^{ 3 }+... \right] { u }_{ x }\\ { \left[ 1+\frac { { \triangle }^{ 2 }{ \Epsilon }^{ -1 } }{ 4 } \right] }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ u }_{ x }\\ { \left[ 1+\frac { { \triangle }^{ 2 } }{ 4\Epsilon } \right] }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ u }_{ x }\\ { \Epsilon }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ \left[ \Epsilon +\frac { { \triangle }^{ 2 } }{ 4 } \right] }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ u }_{ x }\\ { \Epsilon }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ \left[ 1+\triangle +\frac { { \triangle }^{ 2 } }{ 4 } \right] }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ u }_{ x }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \left[ \because \Epsilon =1+\triangle \right] \\ { \Epsilon }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ \left[ { \left( 1+\frac { \triangle }{ 2 } \right) }^{ 2 } \right] }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }{ u }_{ x }\quad \\ { \Epsilon }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ \left[ { \left( 1+\frac { \triangle }{ 2 } \right) }^{ -1 } \right] }{ u }_{ x }\\ { \Epsilon }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ \left[ 1-\frac { \triangle }{ 2 } +\frac { { \triangle }^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 } } +... \right] }{ u }_{ x }\\ { u }_{ x+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }-\frac { 1 }{ 2 } \triangle { u }_{ x+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }+\frac { 1 }{ 4 } { \triangle }^{ 2 }{ u }_{ x+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }-...=R.H.S.
Question-4.{ u }_{ 2n }-^{ n }{ { c }_{ 1 } }2{ u }_{ 2n-1 }+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ 2 }^{ 2 }{ u }_{ 2n-2 }+...+{ \left( -2 \right) }^{ n }{ u }_{ n }={ \left( -1 \right) }^{ n }\left( -2an \right) \\ जहाँ{ u }_{ n }=a{ n }^{ 2 }+bn+c
Solution-{ u }_{ 2n }-^{ n }{ { c }_{ 1 } }2{ u }_{ 2n-1 }+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ 2 }^{ 2 }{ u }_{ 2n-2 }+...+{ \left( -2 \right) }^{ n }{ u }_{ n }={ \left( -1 \right) }^{ n }\left( -2an \right) \\ [{ u }_{ n }=a{ n }^{ 2 }+bn+c]\\ { u }_{ 2n }-^{ n }{ { c }_{ 1 } }2{ u }_{ 2n-1 }+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ 2 }^{ 2 }{ u }_{ 2n-2 }+...+{ \left( -2 \right) }^{ n }{ u }_{ n }={ \left( -1 \right) }^{ n }\left( -2an \right) \\ L.H.S.\quad \quad { u }_{ 2n }-^{ n }{ { c }_{ 1 } }2{ u }_{ 2n-1 }+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ 2 }^{ 2 }{ u }_{ 2n-2 }+...+{ \left( -2 \right) }^{ n }{ u }_{ n }\\ { \Epsilon }^{ n }{ u }_{ n }-^{ n }{ { c }_{ 1 } }2{ \Epsilon }^{ n-1 }{ u }_{ n }+^{ n }{ { c }_{ 2 } }{ 2 }^{ 2 }{ \Epsilon }^{ n-2 }{ u }_{ n }+...+{ \left( -2 \right) }^{ n }{ u }_{ n }\\ { \left( \Epsilon -2 \right) }^{ n }{ u }_{ n }\\ { \left( \triangle -1 \right) }^{ n }{ u }_{ n }\\ { \left( -1 \right) }^{ n }{ \left( 1-\triangle \right) }^{ n }{ u }_{ n }\\ { \left( -1 \right) }^{ n }{ \left( 1-n\triangle +\frac { n\left( n-1 \right) }{ 2 } { \triangle }^{ 2 } \right) }{ u }_{ n }
[उच्चतम घातों को नगण्य मानने पर]

\Rightarrow { \left( -1 \right) }^{ n }\left[ 1-n\triangle +\frac { { n }^{ 2 }-n }{ 2 } { \triangle }^{ 2 } \right] \left( a{ n }^{ 2 }+bn+c \right) \\ \Rightarrow { \left( -1 \right) }^{ n }\left[ \left( a{ n }^{ 2 }+bn+c \right) -n\left( a{ \triangle x }^{ 2 }+b\triangle x \right) +\frac { { n }^{ 2 }-n }{ 2 } .n{ \triangle }^{ 2 }{ x }^{ 2 } \right] \\ \Rightarrow { \left( -1 \right) }^{ n }\left[ \begin{matrix} \left( a{ n }^{ 2 }+bn+c \right) -n\left\{ a{ \left( n+1 \right) }^{ 2 }-a{ n }^{ 2 } \right\} \\ -nb\left( n+1-n \right) +\frac { { n }^{ 2 }-n }{ 2 } n{ \triangle }\left\{ { \left( n+1 \right) }^{ 2 }-{ n }^{ 2 } \right\} \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow { \left( -1 \right) }^{ n }\left[ \left( a{ n }^{ 2 }+bn+c \right) -n\left\{ 2an+a+b \right\} +\frac { { n }^{ 2 }-n }{ 2 } a{ \triangle }\left\{ 2n+1 \right\} \right] \\ \Rightarrow { \left( -1 \right) }^{ n }\left[ \left( a{ n }^{ 2 }+bn+c \right) -n\left\{ 2an+a+b \right\} +\frac { { n }^{ 2 }-n }{ 2 } a{ \triangle }2n \right] \\ \Rightarrow { \left( -1 \right) }^{ n }\left[ \left( a{ n }^{ 2 }+bn+c \right) -n\left\{ 2an+a+b \right\} +\frac { { n }^{ 2 }-n }{ 2 } a\left\{ 2\left( n+1 \right) -2n \right\} \right] \\ \Rightarrow { \left( -1 \right) }^{ n }\left[ \left( a{ n }^{ 2 }+bn+c \right) -2a{ n }^{ 2 }-an-bn+\frac { { n }^{ 2 }-n }{ 2 } .2a \right] \\ \Rightarrow { \left( -1 \right) }^{ n }\left( -2an \right) ==R.H.S.

उपर्युक्त उदाहरणों की सहायता से संकेतों को पृथक करने की विधि का प्रयोग करने (Use method of separation of symbols) को समझा जा सकता है।

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