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Newton Formula for Unequal Intervals

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1 1.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula for Unequal Intervals):

1.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula for Unequal Intervals):

असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals) तथा विभाजित अन्तर सूत्र के बारे में अध्ययन करेंगे।
प्रथम विभाजित अन्तर (First Divided Difference):
\frac{f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}} या \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}} \\ \Rightarrow f\left(x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}
(2.)द्वितीय विभाजित अन्तर (Second Divided Difference):
\frac{f\left(x_{0}, x_{1}\right)-f\left( x_{1}, x_{2}\right)}{x_{0}-x_{2}} या \frac{f\left(x_{1}, x_{2}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\frac{f\left(x_{1}, x_{2}\right)-f\left(x_{0} ,x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}}=\begin{matrix} \Delta^{2} \\ x_{1}, x_{2} \end{matrix} f\left(x_{0}\right)
(3.)n वां विभाजित अन्तर (nth Divided Difference):

f\left(x_{0,} x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\frac{f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n-1}\right)}{x_{n}-x_{0}} = \begin{matrix} \Delta^{n} \\ x_{1}, x_{2}, x_{3},\cdots, x_{n} \end{matrix} f\left(x_{0}\right)
(4.)विभाजित अन्तर के गुणधर्म (Propertiesof Divided Difference):
प्रमेय (Theorem):1.किसी विभाजित अन्तर का मान उनके चरों के सममित फलन होते हैं।
(The value of any divided difference is independent of the order of the argument i.e.  the divided difference are symmetric function of their argument.):
प्रमाण (Proof):परिभाषानुसार फलन f(x) का x_{0}, x_{1} x_{2} के लिए प्रथम विभाजित अन्तर होगा

f\left(x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}=\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}-x_{0}}-\frac{f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}} \\ =\frac{f\left(x_{0}\right)}{x_{0}-x_{1}}+\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}-x_{0}} \cdots(1)
इसी प्रकार फलन f(x) का x_{0}, x_{1} x_{2} के लिए द्वितीय विभाजित अन्तर होगा

f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) =\frac{f\left(x_{1}, x_{2}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ =\frac{f \left(x_{1}, x_{2}\right)}{x_{2}-x_{0}}-\frac{f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ =\frac{1}{\left(x_{2}-x_{0}\right)}\left[ \frac{f\left(x_{2} \right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}-\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}\right] \\ =\frac{f\left(x_{0} \right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)}-\frac{f\left(x_{1}\right)}{\left(x_{2}-x_{0}\right)} \left[\frac{1}{x_{2}-x_{1}}+\frac{1}{x_{1}-x_{0}}\right]+\frac{f\left(x_{2}\right)}{\left(x_{2}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)} \\ =\frac{f\left(x_{0} \right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)} + \frac{f\left(x_{1}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right) \left(x_{1}-x_{2} \right)} +\frac{f\left(x_{2}\right)}{\left(x_{2}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)} \cdots(2)
स्पष्टतः (1) व (2) प्रदर्शित करते हैं कि f\left(x_{0}, x_{1}\right) तथा f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) चर के मानों x_{0}, x_{1}, x_{2} के लिए सममित है अर्थात्

f\left(x_{0}, x_{1}\right)=f\left(x_{1}, x_{0}\right) \cdots(3)
तथा f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=f\left(x_{1}, x_{2}, x_{0}\right)=f\left(x_{2}, x_{1}, x_{0}\right) इत्यादि
दूसरे शब्दों में हम कह सकते हैं कि यदि चरों के क्रम को किसी भी क्रम में बदला जाय तब भी विभाजित अन्तर परिवर्तित नहीं होता।
पुनः गणितीय आगमन पद्धति से यह सिद्ध किया जा सकता है कि

f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right) \cdot \left(x_{0}-x_{2}\right) \cdots \left(x_{0}-x_{n}\right)}+\frac{f\left(x_{1}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)-\left ( x_{1}-x_{n} \right )} +\frac{f\left(x_{i}\right)}{\left(x_{i}-x_{0}\right) \cdots \left(x_{i}-x_{n-1}\right)\left(x_{i}-x_{n}\right)}+\cdots+ \frac{f\left(x_{n}\right)}{\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{1}\right)-\left(x_{n}-x_{n-1}\right)} \cdots(4)
जो यह प्रदर्शित करता है कि f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} \cdots x_{n}\right) चर के मानों x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} \cdots x_{n}  के लिए सममित है।
(5.)समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर तथा विभाजित अन्तर में सम्बन्ध (Relation Between Forward Differences and Divided Differences for Equal Intervals):
माना कि चर के मान x_{0} ,x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots समान दूरी पर हैं अर्थात्

x_{1}-x_{0}=x_{2}-x_{1}=\cdots \cdot=x_{n}-x_{n-1}=h \cdots(1)
तब \Delta f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right) \cdots(2) \\ \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)=\Delta f\left(x_{1}\right)-\Delta f\left(x_{0}\right) \cdots(3) \\ \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)=\Delta^{2} f\left(x_{1}\right)-\Delta^{2} f\left(x_{0}\right) \cdots \cdot(4)
इत्यादि तथा विभाजित अन्तर (1) व (2) से:

f\left(x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}=\frac{1}{h} \Delta f\left(x_{0}\right) \cdots(5)
पुनः f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\frac{f\left(x_{1}, x_{2}\right)-f\left(x_{0},x_{1} \right)}{x_{2}-x_{0}} \\ =\frac{\frac{1}{h} \Delta f\left(x_{1}\right)-\frac{1}{h} \Delta f\left(x_{0}\right)}{2 h} [ (1) व (2) से]

=\frac{1}{2 ! h^{2}} \Delta^{2} f\left(x_{0}\right) \cdots(6)
अब f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) =\frac{f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)}{x_{3}-x_{0}} \\ =\frac{1}{3 h}\left[\frac{\Delta^{2} f\left(x_{1}\right)}{2 h^{2}}-\frac{\Delta^{2} f\left(x_{0}\right)}{2 h^{2}}\right] \\ =\frac{1}{6 h^{3}}\left[\Delta^{2} f\left(x_{1}\right)-\Delta^{2} f\left(x_{0}\right)\right]=\frac{1}{3 ! h^{3}} \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)\cdots(7)
इसी प्रकार f\left(x_{0}, x_{1} , x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\frac{1}{n ! h^{n}} \Delta^{n} f\left(x_{0}\right) \quad \cdots(8)
जो कि n वें विभाजित अन्तर तथा n वें अग्रान्तर में अभीष्ट सम्बन्ध है।
(6.)असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula for Unequal Intervals):
प्रकथन (Statement):यदि प्रक्षेपण x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}, \cdots ,x_{n} के संगत फलन f(x) के मान f\left(x_{0}\right), f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots, f\left(x_{n}\right) हो तब न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र निम्न है:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\cdots \cdots+\left(x-x_{0}\right) \left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right)
उपपत्ति (Proof):विभाजित अन्तर की परिभाषा से:

f\left(x, x_{0}\right)=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \\ \Rightarrow f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x, x_{0}\right) \cdots \cdots(1)
पुनः f\left(x, x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x, x_{0}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x-x_{1}} \\ \Rightarrow f\left(x, x_{0}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{1}\right) f\left(x, x_{0}, x_{1}\right) \ldots(2)
इसी प्रकार f\left(x, x_{0}, x_{1}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\left(x-x_{2}\right) f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \cdots(3) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ f\left(x, x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right)+\left(x-x_{n}\right) f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2} \cdots x_{n}\right) \cdots(4)
समीकरण (1) में (2) से लेकर (4) तक की सहायता से हमें प्राप्त होता है:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\cdots +\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots \cdot x_{n}\right)+R_{n} \cdots(5)
जहाँ R_{n}=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right) f\left(x, x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right)
यदि फलन f(x) को एक n कोटि के बहुपद के सन्निकट माना जाय तो f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=0 अतः (5) से न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र निम्न है:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\cdots+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)  \cdots(6)
इस सूत्र को निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है:

f(x)=P_{n}(x)=f\left(x_{0}\right) +\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+(x-x_{0})\left(x-x_{1}\right) \times \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+\cdots +\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) \Delta^{n} f\left(x_{0}\right) \cdots \cdots(7)

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2.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र के उदाहरण (Newton Formula for Unequal Intervals Examples),विभाजित अन्तर सूत्र के उदाहरण (Divided Difference Interpolation Examples):

Example:1.फलन का स्वतन्त्र चर के मान 2,4,9 तथा 10 के लिए तीसरा विभाजित अन्तर ज्ञात कीजिए।
(Find the third divided difference with agruments 2,4,9 and 10 of following function f(x)=x^{3}-2 x .)
Solution:f(x)=x^{3}-2 x \\ f(2)=2^{3}-2 \times 2=4, f(4)=4^{3}-2 \times 4=56, f(9)=9^{3}-2 \times 9=711, f(10)=10^{3}-2 \times 10=980
दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

xf(x)\Delta f(x)\Delta^{2} f(x)\Delta^{3} f(x)
24   
  \frac{56-4}{4-2}=26  
456 \frac{131-26}{9-2}=15 
  \frac{711-56}{9-4}=131 \frac{23-15}{10-2}=1
9711 \frac{269-131}{10-4}=23 
  \frac{980-711}{10-9}=269  
10980   

Example:2.फलन f(x)=x^{3}+x+2 के स्वतन्त्र चर 1,3,6,11 के लिए तृतीय विभाजित अन्तर ज्ञात कीजिए।
(Find the third divided difference with agruments 1,3,6,11 of the function f(x)=x^{3}+x+2 .)
Solution:f(x)=x^{3}+x+2 \\ f(1)=1^{3}+1+2=4, f(3)=3^{3}+3+2=32 \\ f(6)=6^{3}+6+2=224, f(11)=11^{3}+11+2=1344
दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

xf(x)\Delta f(x)\Delta^{2} f(x)\Delta^{3} f(x)
14   
  \frac{32-4}{3-1}=14  
332 \frac{64-14}{6-1}=10 
  \frac{224-32}{6-3}=64 \frac{20-10}{11-1}=1
6224 \frac{224-64}{11-3}=20 
  \frac{1344-224}{11-6}=224  
111344   

Example:3.फलन f(x)=x^{4}+x^{2}+1 के लिए f(2,4,9,10) का आकलन करिये।
(Compute f(2,4,9,10) when f(x)=x^{4}+x^{2}+1 )
Solution: f(x)=x^{4}+x^{2}+1 \\ f(2)=2^{4}+2^{2}+1=21, f(4)=4^{4}+4^{2}+1=273 \\ f(9)=9^{4}+9^{2}+1=6643, f(10)=10^{4}+10^{2}+1=10101
दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

xf(x)\Delta f(x)\Delta^{2} f(x)\Delta^{3} f(x)
221   
  \frac{273-21}{4-2}=126  
4273 \frac{1274-126}{9-2}=164 
  \frac{6643-273}{9-4}=1274 \frac{364-164}{10-2}=25
96643 \frac{3458-1274}{10-4}=364 
  \frac{10101-6643}{10-9}=3458  
1010101   

Example:4.प्रदर्शित कीजिए (Show that)

\begin{matrix} \Delta^{2} \\ yz \end{matrix} x^{3}=x+y+z
Solution:दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

  प्रथम विभाजित अन्तर द्वितीय विभाजित अन्तर
स्वतन्त्र चरफलन\Delta f(x)\Delta^{2} f(x)
xx^{3} \frac{z^{2}+y^{2}+2 y-y^{2}-x^{2}-x y}{z-x} \\ =\frac{y(z-x)^{2}+(z-x)(z+x)}{z-x} \\ =\frac{(z-x)(x+y+z)}{z-x}=x+y+z
  \frac{y^{3}-x^{3}}{y-x}=y^{2}+x^{2}+x y
yy^{3} 
  \frac{z^{3}-y^{3}}{z-y}=z^{2}+y^{2}+z y
zz^{3} 

  Example:5.यदि (If) f(x)=\frac{1}{x},प्रदर्शित कीजिए (Show that)

f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} \cdots, x_{n}\right)=\frac{(-1)^{n}}{x_{0} x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{n}}
Solution:f(x)=\frac{1}{x} \\ f\left(x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}= \frac{\frac{1}{x_{0}}-\frac{1}{x_{1}}}{x_{0}-x_{1}}=\frac{-\left(x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0} x_{1}\left(x_{0}-x_{1}\right)} \\ f\left(x_{0}, x_{1}\right)=-\frac{1}{x_{0} x_{1}}=\begin{matrix} \Delta \\x_{1} \end{matrix} ​f\left(x_{0}\right)
इसी प्रकार f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{1}{x_{1} x_{2}} \\ f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\frac{f\left(x_{1} x_{2}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ =\frac{-\frac{1}{x_{1} x_{2}}+\frac{1}{x_{0} x_{1}}}{x_{2}-x_{0}}=\frac{\frac{1}{x_{1}}\left(\frac{1}{x_{0}}-\frac{1}{x_{2}}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ \begin{matrix} \Delta^{2} \\ x_{1}, x_{2} \end{matrix} f\left(x_{0}\right)=-\frac{\left(x_{0}-x_{2}\right)}{x_{0} x_{1} x_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)}=-\frac{1}{x_{0} x_{1} x_{2}} \\ \begin{matrix} \Delta^{n} \\ x_{1}, x_{2} , x_{3},\cdots, x_{n} \end{matrix} \frac{1}{x_{0}}=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right) \\ =\frac{(-1)^{n-1} \frac{1}{x_{0} x_{1} x_{2}\cdots x_{n-1}}-\frac{1}{x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{n}}}{x_{0}-x_{n}} \\ =\frac{(-1)^{n}}{x_{0} x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \\ \Rightarrow \begin{matrix} \Delta^{n} \\ x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots , x_{n} \end{matrix} \frac{1}{x_{0}}=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{(-1)^{\eta}}{x_{0} x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}
Example:6.निम्न मानों के लिए विभाजित अन्तर सारणी तैयार कीजिए।
(Construct a divided difference table and find the value of f(2).)

x-4-20358
y-4320-2400-120-10800

Solution:दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

xy\Delta y\Delta^{2} y  \Delta^{3} y\Delta^{4} y\Delta^{5} y
-4-4320     
  \frac{-240+4320}{-2+4}=2040    
-2-240 \frac{120-2040}{0+4}=-480   
  \frac{0+240}{0+2}=120 \frac{-32+480}{3+4}=64  
00 \frac{-40-120}{3+2}=-32 \frac{-8+64}{5+4}=-8 
  \frac{-120-0}{3-0}=-40 \frac{-88+32}{5+2}=-8 \frac{4+8}{8+4}=1
3-120 \frac{-480+40}{5-0}=-88 \frac{32+8}{8+2}=4 
  \frac{-1080+120}{5-3}=-480 \frac{168+88}{8-0}=32  
5-1080 \frac{360+480}{8-3}=168   
  \frac{0+1080}{8-5}=360    
80     

Example:7.दिया हुआ है (Given)
f(0)=8,f(1)=68,f(5)=123
इनसे विभाजित अन्तर सारणी तैयार कर f(2) का मान ज्ञात कीजिए।
(Construct a divided difference table and find the value of f(2).)
Solution:दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

xf(x) \Delta f(x) \Delta^{2} f(x)
08  
  \frac{68-8}{1-0}=60 
168 \frac{13.75-60}{5-0}=-9.25
  \frac{123-68}{5-1}=13.75 
5123  

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\cdots \cdot\left(x-x_{0}\right) \left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2},\cdots, x_{n}\right)
उपर्युक्त सूत्र में सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:
f(2)=8+(2-0)(60)+(2-0)(2-1)(-9.25)
=8+120+2 (-9.25)
=128-18.5
f(2)=109.5
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),विभाजित अन्तर सूत्र (Divided Difference Interpolation) को समझ सकते हैं।

3.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र की समस्याएं (Newton Formula for Unequal Intervals Problems),विभाजित अन्तर सूत्र की समस्याएं (Divided Difference Interpolation Problems):

(1.)निम्न आंकड़ों से विभाजित अन्तर सारणी तैयार कीजिए।
(Construct a divided difference table from the following data.)

x124712
f(x)223082106216

(2.)निम्न सारणी से न्यूटन के विभाजित अन्तर सूत्र द्वारा f(2),f(8) तथा f(15) का मान ज्ञात कीजिए।
(By means of Newton’s divided difference formula,find the values of f(2),f(8) and f(15) from the following table.)

x457101113
f(x)4810029490012102028

उत्तर (Answers):(1)

xf(x)\Delta f(x)\Delta^{2} f(x)\Delta^{3} f(x)\Delta^{4} f(x)
122    
  8   
230 6  
  26 -1.6 
482 -3.6 0.194
  8 0.535 
7106 1.75  
  22   
12216    

(2.)f(2)=4,f(8)=448 तथा f(15)=3150
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),विभाजित अन्तर सूत्र (Divided Difference Interpolation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),विभाजित अन्तर सूत्र (Divided Difference Interpolation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.विभाजित अन्तर को परिभाषित कीजिए। (Define Divided Difference):

उत्तर:विभाजित अन्तर,प्रविष्ठ के दो उत्तरोतर मानों के अन्तर को उनके संगत स्वतन्त्र चर के मानों के अन्तर से विभाजन द्वारा प्राप्त मान से परिभाषित किया जाता है।

प्रश्न:2.प्रथम विभाजित अन्तर किसे कहते हैं? (What is the first divided difference called?):

उत्तर:माना कि स्वतन्त्र चर x के विभिन्न मानों x_{0}, x_{1}, x_{2},\cdots, x_{n} (समान दूरी पर होना आवश्यक नहीं) के लिए f(x) के संगत मान क्रमशः f\left(x_{0}\right), f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right)\cdots f\left(x_{n}\right) है तो f(x) का चर x_{0} तथा x_{1} के लिए प्रथम विभाजित अन्तर \begin{matrix} \Delta \\ x_{1} \end{matrix} f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}

प्रश्न:3.द्वितीय विभाजित अन्तर का सूत्र लिखिए। (Write the formula of the second divided difference.):

उत्तर:द्वितीय विभाजित अन्तर का सूत्र निम्नलिखित है: \begin{matrix} \Delta^{2} \\ x_{1},x_{2} \end{matrix} f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}, x_{1} x_{2}\right)=\frac{f\left(x_{0} , x_{1}\right)-f\left(x_{1} , x_{2}\right)}{x_{0}-x_{2}}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),विभाजित अन्तर सूत्र (Divided Difference Interpolation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Newton Formula for Unequal Intervals

असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र
(Newton Formula for Unequal Intervals)

Newton Formula for Unequal Intervals

असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals) तथा विभाजित
अन्तर सूत्र के बारे में अध्ययन करेंगे।

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