1.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula for Unequal Intervals):

Newton Formula for Unequal Intervals

असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals) तथा विभाजित अन्तर सूत्र के बारे में अध्ययन करेंगे।
प्रथम विभाजित अन्तर (First Divided Difference):
\frac{f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}} या \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}} \\ \Rightarrow f\left(x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}
(2.)द्वितीय विभाजित अन्तर (Second Divided Difference):
\frac{f\left(x_{0}, x_{1}\right)-f\left( x_{1}, x_{2}\right)}{x_{0}-x_{2}} या \frac{f\left(x_{1}, x_{2}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\frac{f\left(x_{1}, x_{2}\right)-f\left(x_{0} ,x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}}=\begin{matrix} \Delta^{2} \\ x_{1}, x_{2} \end{matrix} f\left(x_{0}\right)
(3.)n वां विभाजित अन्तर (nth Divided Difference):

f\left(x_{0,} x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\frac{f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n-1}\right)}{x_{n}-x_{0}} = \begin{matrix} \Delta^{n} \\ x_{1}, x_{2}, x_{3},\cdots, x_{n} \end{matrix} f\left(x_{0}\right)
(4.)विभाजित अन्तर के गुणधर्म (Propertiesof Divided Difference):
प्रमेय (Theorem):1.किसी विभाजित अन्तर का मान उनके चरों के सममित फलन होते हैं।
(The value of any divided difference is independent of the order of the argument i.e.  the divided difference are symmetric function of their argument.):
प्रमाण (Proof):परिभाषानुसार फलन f(x) का x_{0}, x_{1} x_{2} के लिए प्रथम विभाजित अन्तर होगा

f\left(x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}=\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}-x_{0}}-\frac{f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}} \\ =\frac{f\left(x_{0}\right)}{x_{0}-x_{1}}+\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}-x_{0}} \cdots(1)
इसी प्रकार फलन f(x) का x_{0}, x_{1} x_{2} के लिए द्वितीय विभाजित अन्तर होगा

f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) =\frac{f\left(x_{1}, x_{2}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ =\frac{f \left(x_{1}, x_{2}\right)}{x_{2}-x_{0}}-\frac{f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ =\frac{1}{\left(x_{2}-x_{0}\right)}\left[ \frac{f\left(x_{2} \right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}-\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}\right] \\ =\frac{f\left(x_{0} \right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)}-\frac{f\left(x_{1}\right)}{\left(x_{2}-x_{0}\right)} \left[\frac{1}{x_{2}-x_{1}}+\frac{1}{x_{1}-x_{0}}\right]+\frac{f\left(x_{2}\right)}{\left(x_{2}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)} \\ =\frac{f\left(x_{0} \right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)} + \frac{f\left(x_{1}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right) \left(x_{1}-x_{2} \right)} +\frac{f\left(x_{2}\right)}{\left(x_{2}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)} \cdots(2)
स्पष्टतः (1) व (2) प्रदर्शित करते हैं कि f\left(x_{0}, x_{1}\right) तथा f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) चर के मानों x_{0}, x_{1}, x_{2} के लिए सममित है अर्थात्

f\left(x_{0}, x_{1}\right)=f\left(x_{1}, x_{0}\right) \cdots(3)
तथा f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=f\left(x_{1}, x_{2}, x_{0}\right)=f\left(x_{2}, x_{1}, x_{0}\right) इत्यादि
दूसरे शब्दों में हम कह सकते हैं कि यदि चरों के क्रम को किसी भी क्रम में बदला जाय तब भी विभाजित अन्तर परिवर्तित नहीं होता।
पुनः गणितीय आगमन पद्धति से यह सिद्ध किया जा सकता है कि

f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right) \cdot \left(x_{0}-x_{2}\right) \cdots \left(x_{0}-x_{n}\right)}+\frac{f\left(x_{1}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)-\left ( x_{1}-x_{n} \right )} +\frac{f\left(x_{i}\right)}{\left(x_{i}-x_{0}\right) \cdots \left(x_{i}-x_{n-1}\right)\left(x_{i}-x_{n}\right)}+\cdots+ \frac{f\left(x_{n}\right)}{\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{1}\right)-\left(x_{n}-x_{n-1}\right)} \cdots(4)
जो यह प्रदर्शित करता है कि f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} \cdots x_{n}\right) चर के मानों x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} \cdots x_{n}  के लिए सममित है।
(5.)समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर तथा विभाजित अन्तर में सम्बन्ध (Relation Between Forward Differences and Divided Differences for Equal Intervals):
माना कि चर के मान x_{0} ,x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots समान दूरी पर हैं अर्थात्

x_{1}-x_{0}=x_{2}-x_{1}=\cdots \cdot=x_{n}-x_{n-1}=h \cdots(1)
तब \Delta f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right) \cdots(2) \\ \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)=\Delta f\left(x_{1}\right)-\Delta f\left(x_{0}\right) \cdots(3) \\ \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)=\Delta^{2} f\left(x_{1}\right)-\Delta^{2} f\left(x_{0}\right) \cdots \cdot(4)
इत्यादि तथा विभाजित अन्तर (1) व (2) से:

f\left(x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}=\frac{1}{h} \Delta f\left(x_{0}\right) \cdots(5)
पुनः f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\frac{f\left(x_{1}, x_{2}\right)-f\left(x_{0},x_{1} \right)}{x_{2}-x_{0}} \\ =\frac{\frac{1}{h} \Delta f\left(x_{1}\right)-\frac{1}{h} \Delta f\left(x_{0}\right)}{2 h} [ (1) व (2) से]

=\frac{1}{2 ! h^{2}} \Delta^{2} f\left(x_{0}\right) \cdots(6)
अब f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) =\frac{f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)}{x_{3}-x_{0}} \\ =\frac{1}{3 h}\left[\frac{\Delta^{2} f\left(x_{1}\right)}{2 h^{2}}-\frac{\Delta^{2} f\left(x_{0}\right)}{2 h^{2}}\right] \\ =\frac{1}{6 h^{3}}\left[\Delta^{2} f\left(x_{1}\right)-\Delta^{2} f\left(x_{0}\right)\right]=\frac{1}{3 ! h^{3}} \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)\cdots(7)
इसी प्रकार f\left(x_{0}, x_{1} , x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\frac{1}{n ! h^{n}} \Delta^{n} f\left(x_{0}\right) \quad \cdots(8)
जो कि n वें विभाजित अन्तर तथा n वें अग्रान्तर में अभीष्ट सम्बन्ध है।
(6.)असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula for Unequal Intervals):
प्रकथन (Statement):यदि प्रक्षेपण x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}, \cdots ,x_{n} के संगत फलन f(x) के मान f\left(x_{0}\right), f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots, f\left(x_{n}\right) हो तब न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र निम्न है:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\cdots \cdots+\left(x-x_{0}\right) \left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right)
उपपत्ति (Proof):विभाजित अन्तर की परिभाषा से:

f\left(x, x_{0}\right)=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \\ \Rightarrow f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x, x_{0}\right) \cdots \cdots(1)
पुनः f\left(x, x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x, x_{0}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x-x_{1}} \\ \Rightarrow f\left(x, x_{0}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{1}\right) f\left(x, x_{0}, x_{1}\right) \ldots(2)
इसी प्रकार f\left(x, x_{0}, x_{1}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\left(x-x_{2}\right) f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) \cdots(3) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ f\left(x, x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right)+\left(x-x_{n}\right) f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2} \cdots x_{n}\right) \cdots(4)
समीकरण (1) में (2) से लेकर (4) तक की सहायता से हमें प्राप्त होता है:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\cdots +\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots \cdot x_{n}\right)+R_{n} \cdots(5)
जहाँ R_{n}=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right) f\left(x, x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right)
यदि फलन f(x) को एक n कोटि के बहुपद के सन्निकट माना जाय तो f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=0 अतः (5) से न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र निम्न है:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\cdots+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)  \cdots(6)
इस सूत्र को निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है:

f(x)=P_{n}(x)=f\left(x_{0}\right) +\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+(x-x_{0})\left(x-x_{1}\right) \times \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+\cdots +\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) \Delta^{n} f\left(x_{0}\right) \cdots \cdots(7)

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2.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र के उदाहरण (Newton Formula for Unequal Intervals Examples),विभाजित अन्तर सूत्र के उदाहरण (Divided Difference Interpolation Examples):

Example:1.फलन का स्वतन्त्र चर के मान 2,4,9 तथा 10 के लिए तीसरा विभाजित अन्तर ज्ञात कीजिए।
(Find the third divided difference with agruments 2,4,9 and 10 of following function f(x)=x^{3}-2 x .)
Solution:f(x)=x^{3}-2 x \\ f(2)=2^{3}-2 \times 2=4, f(4)=4^{3}-2 \times 4=56, f(9)=9^{3}-2 \times 9=711, f(10)=10^{3}-2 \times 10=980
दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

Example:2.फलन f(x)=x^{3}+x+2 के स्वतन्त्र चर 1,3,6,11 के लिए तृतीय विभाजित अन्तर ज्ञात कीजिए।
(Find the third divided difference with agruments 1,3,6,11 of the function f(x)=x^{3}+x+2 .)
Solution:f(x)=x^{3}+x+2 \\ f(1)=1^{3}+1+2=4, f(3)=3^{3}+3+2=32 \\ f(6)=6^{3}+6+2=224, f(11)=11^{3}+11+2=1344
दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

Example:3.फलन f(x)=x^{4}+x^{2}+1 के लिए f(2,4,9,10) का आकलन करिये।
(Compute f(2,4,9,10) when f(x)=x^{4}+x^{2}+1 )
Solution: f(x)=x^{4}+x^{2}+1 \\ f(2)=2^{4}+2^{2}+1=21, f(4)=4^{4}+4^{2}+1=273 \\ f(9)=9^{4}+9^{2}+1=6643, f(10)=10^{4}+10^{2}+1=10101
दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

Newton Formula for Unequal Intervals

Example:4.प्रदर्शित कीजिए (Show that)

\begin{matrix} \Delta^{2} \\ yz \end{matrix} x^{3}=x+y+z
Solution:दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

  Example:5.यदि (If) f(x)=\frac{1}{x},प्रदर्शित कीजिए (Show that)

f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} \cdots, x_{n}\right)=\frac{(-1)^{n}}{x_{0} x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{n}}
Solution:f(x)=\frac{1}{x} \\ f\left(x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}= \frac{\frac{1}{x_{0}}-\frac{1}{x_{1}}}{x_{0}-x_{1}}=\frac{-\left(x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0} x_{1}\left(x_{0}-x_{1}\right)} \\ f\left(x_{0}, x_{1}\right)=-\frac{1}{x_{0} x_{1}}=\begin{matrix} \Delta \\x_{1} \end{matrix} ​f\left(x_{0}\right)
इसी प्रकार f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{1}{x_{1} x_{2}} \\ f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\frac{f\left(x_{1} x_{2}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ =\frac{-\frac{1}{x_{1} x_{2}}+\frac{1}{x_{0} x_{1}}}{x_{2}-x_{0}}=\frac{\frac{1}{x_{1}}\left(\frac{1}{x_{0}}-\frac{1}{x_{2}}\right)}{x_{2}-x_{0}} \\ \begin{matrix} \Delta^{2} \\ x_{1}, x_{2} \end{matrix} f\left(x_{0}\right)=-\frac{\left(x_{0}-x_{2}\right)}{x_{0} x_{1} x_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)}=-\frac{1}{x_{0} x_{1} x_{2}} \\ \begin{matrix} \Delta^{n} \\ x_{1}, x_{2} , x_{3},\cdots, x_{n} \end{matrix} \frac{1}{x_{0}}=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right) \\ =\frac{(-1)^{n-1} \frac{1}{x_{0} x_{1} x_{2}\cdots x_{n-1}}-\frac{1}{x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{n}}}{x_{0}-x_{n}} \\ =\frac{(-1)^{n}}{x_{0} x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \\ \Rightarrow \begin{matrix} \Delta^{n} \\ x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots , x_{n} \end{matrix} \frac{1}{x_{0}}=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{(-1)^{\eta}}{x_{0} x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}
Example:6.निम्न मानों के लिए विभाजित अन्तर सारणी तैयार कीजिए।
(Construct a divided difference table and find the value of f(2).)

Solution:दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

Example:7.दिया हुआ है (Given)
f(0)=8,f(1)=68,f(5)=123
इनसे विभाजित अन्तर सारणी तैयार कर f(2) का मान ज्ञात कीजिए।
(Construct a divided difference table and find the value of f(2).)
Solution:दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\cdots \cdot\left(x-x_{0}\right) \left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2},\cdots, x_{n}\right)
उपर्युक्त सूत्र में सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:
f(2)=8+(2-0)(60)+(2-0)(2-1)(-9.25)
=8+120+2 (-9.25)
=128-18.5
f(2)=109.5
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),विभाजित अन्तर सूत्र (Divided Difference Interpolation) को समझ सकते हैं।

3.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र की समस्याएं (Newton Formula for Unequal Intervals Problems),विभाजित अन्तर सूत्र की समस्याएं (Divided Difference Interpolation Problems):

Newton Formula for Unequal Intervals

(1.)निम्न आंकड़ों से विभाजित अन्तर सारणी तैयार कीजिए।
(Construct a divided difference table from the following data.)

(2.)निम्न सारणी से न्यूटन के विभाजित अन्तर सूत्र द्वारा f(2),f(8) तथा f(15) का मान ज्ञात कीजिए।
(By means of Newton’s divided difference formula,find the values of f(2),f(8) and f(15) from the following table.)

उत्तर (Answers):(1)

(2.)f(2)=4,f(8)=448 तथा f(15)=3150
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),विभाजित अन्तर सूत्र (Divided Difference Interpolation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals),विभाजित अन्तर सूत्र (Divided Difference Interpolation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

असमान अन्तराल के लिए न्यूटन सूत्र (Newton Formula for Unequal Intervals) तथा विभाजित
अन्तर सूत्र के बारे में अध्ययन करेंगे।