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Newton-Gregory formula for backward interpolation

1.पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र का परिचय (Introduction to Newton-Gregory formula for backward interpolation )-

पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) के आधार पर स्वतन्त्र चर के परिसर ( range) के बाहर x के किसी मान के संगत f(x) का मान ज्ञात किया जाता है।
यहां परिसर के बाहर x के किसी मान के संगत f(x) का मान ज्ञात करने का तात्पर्य यह नहीं है कि बिल्कुल बाहर x के संगत f(x) का मान ज्ञात किया जाता है।बल्कि पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) के आधार पर x के अन्तिम मान के आस-पास अर्थात् वह मान अन्तिम मान के अन्दर भी हो सकता है और बाहर भी हो सकता है,उसके संगत f(x) का मान ज्ञात करना होता है।
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2.पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation )-

f\left( x \right) =f\left( a+nh \right) +\left( x-\overline { a+nh } \right) \frac { { \triangledown }f\left( a+nh \right) }{ h } +\left( x-\overline { a+nh } \right) \left\{ x-\left( \overline { a+nh-h } \right) \right\} \frac { { \triangledown }^{ 2 }f\left( a+nh \right) }{ 2!{ h }^{ 2 } } +............+\left[ \left( x-\overline { a+nh } \right) ...........\left( x-\overline { a+h } \right) \right] \frac { { \triangledown }^{ n }f\left( a+nh \right) }{ n!{ h }^{ n } }

प्रमाण ( proof): मान लो y=f(x) एक ऐसे फलन को प्रदर्शित करता है जिसके स्वतन्त्र चर x के समान अन्तराल वाले n+1 मानों a,a+h,a+2h,………,a+nh के लिए y के संगत मान f(a),f(a+h),f(a+2h),…………,f(a+nh) हैं।यह भी माना कि f(x), n कोटि का x में बहुपद है जिसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है-

f\left( x \right) ={ A }_{ 0 }+{ A }_{ 1 }\left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} +{ A }_{ 2 }\left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} \left\{ x-\left( a+\overline { n-1 } h \right) \right\} +............+{ A }_{ n }\left[ \left\{ x-\left( a+\overline { n-1 } h \right) \right\} ...........\left\{ x-\overline { a+h } \right\} \right] ..........(1)
जहां अचर राशियां{ A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 },...................,{ A }_{ n } को ज्ञात करना है।
अब समीकरण (1) में क्रमवार x=a+nh,a+(n-1)h,…..,a प्रतिस्थापित करने पर

f(a+nh)={ A }_{ 0 }\quad \quad \Rightarrow { A }_{ 0 }=f(a+nh).....(2)\\ f\left\{ a+\left( n-1 \right) h \right\} ={ A }_{ 0 }+{ A }_{ 1 }\left( -h \right) \\ { A }_{ 1 }=\frac { f(a+nh)-f(a+\overline { n-1 } h) }{ h } \\ { A }_{ 1 }=\frac { \triangledown f(a+nh) }{ h } .......(3)\\ इसी प्रकार{ A }_{ 2 }=\frac { { \triangledown }^{ 2 }f\left( a+nh \right) }{ 2!{ h }^{ 2 } } ,.............,{ A }_{ n }=\frac { { \triangledown }^{ n }f(a+nh) }{ n!{ h }^{ n } } ..........(4)
[जहां \triangledown पश्चान्तर संकारक है]

अब { A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 },...................,{ A }_{ n }के मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर-

f\left( n \right) =f\left( a+nh \right) +\left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} \frac { { \triangledown }f\left( a+nh \right) }{ h } +\left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} \left\{ x-\left( a+\overline { n-1 } h \right) \right\} \frac { { \triangledown }^{ 2 }f\left( a+nh \right) }{ 2!{ h }^{ 2 } } +............+\left[ \left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} ...........\left\{ x-\left( a+h \right) \right\} \right] \frac { { \triangledown }^{ n }f\left( a+nh \right) }{ n!{ h }^{ n } } ..........(5)
यह पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) है।

3.पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) का अन्य रूप-

मूल बिन्दु को (a+nh) पर स्थानांतरित करने पर अर्थात् x=a+nh+hu\quad या u=\frac { x-\left( a+nh \right) }{ h }
या को (5) में प्रतिस्थापित करने पर-

f(a+nh+hu)=f(a+nh)+{ u }\triangledown f(a+nh)+\frac { u(u+1) }{ { 2 }! } { \triangledown }^{ 2 }f(a+nh)+………..+\frac { u(u+1)..........(u+n-1) }{ n! } { \triangledown }^{ n }f(a)
पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation) इसी रूप में प्रयुक्त होता है।

Question-1. पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र को निम्न सारणी का उपयोग कर,12 फरवरी को सूर्य की दिक्पात ज्ञात कीजिए: (Apply Newton-Gregory formula for backward interpolation to the following table to find sun’s declination on Feb 12 🙂

दिनांक (Date) 1 3 5 7
दिक्पात् (Declination) -{ 17 }^{ \circ }{ 0 }^{ \prime }{ 19.0 }^{ \prime \prime } -{ 16 }^{ \circ }{ 25 }^{ \prime }{ 22.9 }^{ \prime \prime } -{ 15 }^{ \circ }{ 49 }^{ \prime }{ 18.8 }^{ \prime \prime } -{ 15 }^{ \circ }{ 12 }^{ \prime }{ 09.8 }^{ \prime \prime }
9 11 13
-{ 14 }^{ \circ }{ 33 }^{ \prime }{ 59.1 }^{ \prime \prime } -{ 13 }^{ \circ }{ 54 }^{ \prime }{ 49.8 }^{ \prime \prime } -{ 13 }^{ \circ }14^{ \prime }{ 45.0 }^{ \prime \prime }

Solution-

x \triangledown f\left( x \right) { \triangledown }^{ 2 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 3 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 4 }f\left( x \right)
1 -{ 17 }^{ \circ }{ 0 }^{ \prime }{ 19.0 }^{ \prime \prime }      
    34^{ \prime }{ 56.1 }^{ \prime \prime }    
3 -{ 16 }^{ \circ }{ 25 }^{ \prime }{ 22.9 }^{ \prime \prime }   1^{ \prime }{ 8 }^{ \prime \prime }  
    36^{ \prime }{ 4.1 }^{ \prime \prime }   { -3.1 }^{ \prime \prime }
5 -{ 15 }^{ \circ }{ 49 }^{ \prime }{ 18.8 }^{ \prime \prime }   1^{ \prime }{ 4.9 }^{ \prime \prime }  
    37^{ \prime }{ 9 }^{ \prime \prime }   { -3.2 }^{ \prime \prime }
7 -{ 15 }^{ \circ }{ 12 }^{ \prime }{ 09.8 }^{ \prime \prime }   1^{ \prime }{ 1.7 }^{ \prime \prime }  
    38^{ \prime }{ 10.7 }^{ \prime \prime }   { -3.1 }^{ \prime \prime }
9 -{ 14 }^{ \circ }{ 33 }^{ \prime }{ 59.1 }^{ \prime \prime }   { 58.6 }^{ \prime \prime }  
    39^{ \prime }{ 9.3 }^{ \prime \prime }   { -3.1 }^{ \prime \prime }
11 -{ 13 }^{ \circ }{ 54 }^{ \prime }{ 49.8 }^{ \prime \prime }   { 55.5 }^{ \prime \prime }  
    40^{ \prime }{ 4.8 }^{ \prime \prime }    
13 -{ 13 }^{ \circ }14^{ \prime }{ 45.0 }^{ \prime \prime }      

a+nh=13, a=1,h=2,x=12Feb.
(a+nh)+uh=12\\ \Rightarrow 13+2u=12\\ \Rightarrow u=\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow u=-0.5\\{ \triangledown }^{ 3 }f\left( n \right)
लगभग अचर है अतः हम उच्च कोटि के अन्तरों को छोड़ सकते हैं।

अब पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation) से

f(a+nh+hu)=f(a+nh)+{ u }\triangledown f(a+nh)+\frac { u(u+1) }{ { 2 }! } { \triangledown }^{ 2 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) }{ 3! } { \triangledown }^{ 3 }f(a+nh)

उपर्युक्त अन्तर सारणी में वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर –

f(12)=f(13)+\left( -0.5 \right) \triangledown f(13)+\frac { \left( -0.5 \right) \left( -0.5+1 \right) }{ { 2 } } { \triangledown }^{ 2 }f(13)+\frac { \left( -0.5 \right) \left( -0.5+1 \right) \left( -0.5+2 \right) }{ 6 } { \triangledown }^{ 3 }f(13)\\ f(12)=-{ 13 }^{ \circ }14^{ \prime }\left( { 45.0 }^{ \prime \prime } \right) +\left( -0.5 \right) \left( 40^{ \prime }{ 4.8 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -0.5 \right) \left( -0.5+1 \right) }{ { 2 } } \left( { 55.5 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -0.5 \right) \left( -0.5+1 \right) \left( -0.5+2 \right) }{ 6 } \left( { -3.1 }^{ \prime \prime } \right) \\ f(12)=-{ 13 }^{ \circ }14^{ \prime }{ 45.0 }^{ \prime \prime }-20^{ \prime }{ 2.8 }^{ \prime \prime }-{ 6.9 }^{ \prime \prime }+{ 1.9 }^{ \prime \prime }\\ f(12)=-{ 13 }^{ \circ }34^{ \prime }{ 52.8 }^{ \prime \prime }
Question-2. पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र ने का उपयोग कर { 2}^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s}\quadतथा \quad{ 5 }^{ h}पर क्रमशः दिकपात् ज्ञात कीजिए (Using (Newton-Gregory formula for backward interpolation ,find the declination at { 2}^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s}\quad and \quad{ 5 }^{ h} respectively:)

समय (Hour) 0 1 2 3 4
दिक्पात् (Declination) { 8 }^{ \circ }{ 20 }^{ \prime }{ 53.7 }^{ \prime \prime } { 8 }^{ \circ }{ 18 }^{ \prime }{ 19.4 }^{ \prime \prime } { 8 }^{ \circ }{ 6 }^{ \prime }{ 43.5 }^{ \prime \prime } { 7 }^{ \circ }{ 55 }^{ \prime }{ 6.1 }^{ \prime \prime } { 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }

Solution-

x \triangledown f\left( x \right) { \triangledown }^{ 2 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 3 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 4 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 5 }f\left( x \right)
0 { 8 }^{ \circ }{ 20 }^{ \prime }{ 53.7 }^{ \prime \prime }        
    -{ 2 }^{ \prime }{ 34.3 }^{ \prime \prime }      
1 { 8 }^{ \circ }{ 18 }^{ \prime }{ 19.4 }^{ \prime \prime }   -{ 9 }^{ \prime }{ 1.6 }^{ \prime \prime }    
    -{ 11 }^{ \prime }{ 35.9 }^{ \prime \prime }   -{ 9 }^{ \prime }{ 0.1 }^{ \prime \prime }  
2 { 8 }^{ \circ }{ 6 }^{ \prime }{ 43.5 }^{ \prime \prime }   -{ 1.5 }^{ \prime \prime }   -{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime }
    -{ 11 }^{ \prime }{ 37.4 }^{ \prime \prime }   -{ 1 }^{ \prime \prime }  
3 { 7 }^{ \circ }{ 55 }^{ \prime }{ 6.1 }^{ \prime \prime }   -{ 2.5 }^{ \prime \prime }    
    -{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime }      
4 { 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }        

a+nh=4, a=0,h=1,x={ 2}^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s}\\(a+nh)+uh={ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s }\\ \Rightarrow 4+u={ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s }\\ \Rightarrow u=-{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }\\ \Rightarrow u=-0.5\\ { \triangledown }^{ 4 }f\left( n \right) अचर है अतः हम उच्च कोटि के अन्तरों को छोड़ सकते हैं।
अब पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation) से –

f(a+nh+hu)=f(a+nh)+{ u }\triangledown f(a+nh)+\frac { u(u+1) }{ { 2 }! } { \triangledown }^{ 2 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) }{ 3! } { \triangledown }^{ 3 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) \left( u+3 \right) }{ 4! } { \triangledown }^{ 4 }f(a+nh)\\ f({ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }+\left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s } \right) \left( -{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s } \right) (-{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+1) }{ { 2 } } \left( -{ 2.5 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s } \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+1 \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+2 \right) }{ 6 } \left( -{ 1 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s } \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+1 \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+2 \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+3 \right) }{ 24 } \left( -{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime } \right) \\ f({ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }+\left( \frac { 113 }{ 80 } \right) \left( -{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime } \right) +\left( \frac { 113 }{ 80 } \right) \left( \frac { 33 }{ 80 } \right) \frac { \left( -{ 2.5 }^{ \prime \prime } \right) }{ 2 } +\left( \frac { 113 }{ 80 } \right) \left( \frac { 33 }{ 80 } \right) \left( \frac { 109 }{ 240 } \right) \left( \frac { 1 }{ 6 } \right) -\left( \frac { 113 }{ 80 } \right) \left( \frac { 33 }{ 80 } \right) \left( \frac { 109 }{ 240 } \right) \left( \frac { 349 }{ 240 } \right) \left( \frac { -{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime } }{ 24 } \right) \\ f({ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }+{ 16 }^{ \prime }{ 28.60 }^{ \prime \prime }+{ 0.73 }^{ \prime \prime }+{ 0.04 }^{ \prime \prime }-{ 7.71 }^{ \prime \prime }\\ f({ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s })={ 7 }^{ \circ }{ 59 }^{ \prime }{ 50.8 }^{ \prime \prime }

a+nh=4, a=0,h=1,x=5

(a+nh)+uh=5\\ \Rightarrow 4+2u=5\\ \Rightarrow u=1 \\{ \triangledown }^{ 4 }f\left( n \right)

अब पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation) से –

f(a+nh+hu)=f(a+nh)+{ u }\triangledown f(a+nh)+\frac { u(u+1) }{ { 2 }! } { \triangledown }^{ 2 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) }{ 3! } { \triangledown }^{ 3 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) \left( u+3 \right) }{ 4! } { \triangledown }^{ 4 }f(a+nh)\\ f(5^{ h })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }+\left( { 1 } \right) \left( -{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( 1 \right) (1+1) }{ { 2 } } \left( { 2.5 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( 1 \right) (1+1)\left( 1+2 \right) }{ 6 } \left( { 1 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( 1 \right) (1+1)\left( 1+2 \right) \left( 1+3 \right) }{ 24 } \left( -{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime } \right) \\ f(5^{ h })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }-{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime }+{ 2.5 }^{ \prime \prime }+{ 1 }^{ \prime \prime }-{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime }\\ f(5^{ h })={ 7 }^{ \circ }{ 23 }^{ \prime }{ 49.7 }^{ \prime \prime }
इस उपर्युक्त उदाहरणों से पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) को समझा जा सकता है।

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8 Comments
  1. php video June 2, 2020 / Reply
  2. php video June 3, 2020 / Reply
    • Satyam Mathematics June 3, 2020 / Reply
  3. scr888 Customer Service June 11, 2020 / Reply
  4. g June 15, 2020 / Reply
    • admin January 7, 2021 / Reply

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