Menu

Newton-Gregory formula for backward interpolation

1.पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र का परिचय (Introduction to Newton-Gregory formula for backward interpolation )-

पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) के आधार पर स्वतन्त्र चर के परिसर ( range) के बाहर x के किसी मान के संगत f(x) का मान ज्ञात किया जाता है।
यहां परिसर के बाहर x के किसी मान के संगत f(x) का मान ज्ञात करने का तात्पर्य यह नहीं है कि बिल्कुल बाहर x के संगत f(x) का मान ज्ञात किया जाता है।बल्कि पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) के आधार पर x के अन्तिम मान के आस-पास अर्थात् वह मान अन्तिम मान के अन्दर भी हो सकता है और बाहर भी हो सकता है,उसके संगत f(x) का मान ज्ञात करना होता है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें ।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं। इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Simultaneous differential equations

2.पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation )-

f\left( x \right) =f\left( a+nh \right) +\left( x-\overline { a+nh } \right) \frac { { \triangledown }f\left( a+nh \right) }{ h } +\left( x-\overline { a+nh } \right) \left\{ x-\left( \overline { a+nh-h } \right) \right\} \frac { { \triangledown }^{ 2 }f\left( a+nh \right) }{ 2!{ h }^{ 2 } } +............+\left[ \left( x-\overline { a+nh } \right) ...........\left( x-\overline { a+h } \right) \right] \frac { { \triangledown }^{ n }f\left( a+nh \right) }{ n!{ h }^{ n } }

प्रमाण ( proof): मान लो y=f(x) एक ऐसे फलन को प्रदर्शित करता है जिसके स्वतन्त्र चर x के समान अन्तराल वाले n+1 मानों a,a+h,a+2h,………,a+nh के लिए y के संगत मान f(a),f(a+h),f(a+2h),…………,f(a+nh) हैं।यह भी माना कि f(x), n कोटि का x में बहुपद है जिसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है-

f\left( x \right) ={ A }_{ 0 }+{ A }_{ 1 }\left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} +{ A }_{ 2 }\left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} \left\{ x-\left( a+\overline { n-1 } h \right) \right\} +............+{ A }_{ n }\left[ \left\{ x-\left( a+\overline { n-1 } h \right) \right\} ...........\left\{ x-\overline { a+h } \right\} \right] ..........(1)
जहां अचर राशियां{ A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 },...................,{ A }_{ n } को ज्ञात करना है।
अब समीकरण (1) में क्रमवार x=a+nh,a+(n-1)h,…..,a प्रतिस्थापित करने पर

f(a+nh)={ A }_{ 0 }\quad \quad \Rightarrow { A }_{ 0 }=f(a+nh).....(2)\\ f\left\{ a+\left( n-1 \right) h \right\} ={ A }_{ 0 }+{ A }_{ 1 }\left( -h \right) \\ { A }_{ 1 }=\frac { f(a+nh)-f(a+\overline { n-1 } h) }{ h } \\ { A }_{ 1 }=\frac { \triangledown f(a+nh) }{ h } .......(3)\\ इसी प्रकार{ A }_{ 2 }=\frac { { \triangledown }^{ 2 }f\left( a+nh \right) }{ 2!{ h }^{ 2 } } ,.............,{ A }_{ n }=\frac { { \triangledown }^{ n }f(a+nh) }{ n!{ h }^{ n } } ..........(4)
[जहां \triangledown पश्चान्तर संकारक है]

अब { A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 },...................,{ A }_{ n }के मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर-

f\left( n \right) =f\left( a+nh \right) +\left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} \frac { { \triangledown }f\left( a+nh \right) }{ h } +\left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} \left\{ x-\left( a+\overline { n-1 } h \right) \right\} \frac { { \triangledown }^{ 2 }f\left( a+nh \right) }{ 2!{ h }^{ 2 } } +............+\left[ \left\{ x-\left( a+nh \right) \right\} ...........\left\{ x-\left( a+h \right) \right\} \right] \frac { { \triangledown }^{ n }f\left( a+nh \right) }{ n!{ h }^{ n } } ..........(5)
यह पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) है।

3.पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) का अन्य रूप-

मूल बिन्दु को (a+nh) पर स्थानांतरित करने पर अर्थात् x=a+nh+hu\quad या u=\frac { x-\left( a+nh \right) }{ h }
या को (5) में प्रतिस्थापित करने पर-

f(a+nh+hu)=f(a+nh)+{ u }\triangledown f(a+nh)+\frac { u(u+1) }{ { 2 }! } { \triangledown }^{ 2 }f(a+nh)+………..+\frac { u(u+1)..........(u+n-1) }{ n! } { \triangledown }^{ n }f(a)
पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation) इसी रूप में प्रयुक्त होता है।

Question-1. पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र को निम्न सारणी का उपयोग कर,12 फरवरी को सूर्य की दिक्पात ज्ञात कीजिए: (Apply Newton-Gregory formula for backward interpolation to the following table to find sun’s declination on Feb 12 🙂

दिनांक (Date) 1 3 5 7
दिक्पात् (Declination) -{ 17 }^{ \circ }{ 0 }^{ \prime }{ 19.0 }^{ \prime \prime } -{ 16 }^{ \circ }{ 25 }^{ \prime }{ 22.9 }^{ \prime \prime } -{ 15 }^{ \circ }{ 49 }^{ \prime }{ 18.8 }^{ \prime \prime } -{ 15 }^{ \circ }{ 12 }^{ \prime }{ 09.8 }^{ \prime \prime }
9 11 13
-{ 14 }^{ \circ }{ 33 }^{ \prime }{ 59.1 }^{ \prime \prime } -{ 13 }^{ \circ }{ 54 }^{ \prime }{ 49.8 }^{ \prime \prime } -{ 13 }^{ \circ }14^{ \prime }{ 45.0 }^{ \prime \prime }

Solution-

x \triangledown f\left( x \right) { \triangledown }^{ 2 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 3 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 4 }f\left( x \right)
1 -{ 17 }^{ \circ }{ 0 }^{ \prime }{ 19.0 }^{ \prime \prime }      
    34^{ \prime }{ 56.1 }^{ \prime \prime }    
3 -{ 16 }^{ \circ }{ 25 }^{ \prime }{ 22.9 }^{ \prime \prime }   1^{ \prime }{ 8 }^{ \prime \prime }  
    36^{ \prime }{ 4.1 }^{ \prime \prime }   { -3.1 }^{ \prime \prime }
5 -{ 15 }^{ \circ }{ 49 }^{ \prime }{ 18.8 }^{ \prime \prime }   1^{ \prime }{ 4.9 }^{ \prime \prime }  
    37^{ \prime }{ 9 }^{ \prime \prime }   { -3.2 }^{ \prime \prime }
7 -{ 15 }^{ \circ }{ 12 }^{ \prime }{ 09.8 }^{ \prime \prime }   1^{ \prime }{ 1.7 }^{ \prime \prime }  
    38^{ \prime }{ 10.7 }^{ \prime \prime }   { -3.1 }^{ \prime \prime }
9 -{ 14 }^{ \circ }{ 33 }^{ \prime }{ 59.1 }^{ \prime \prime }   { 58.6 }^{ \prime \prime }  
    39^{ \prime }{ 9.3 }^{ \prime \prime }   { -3.1 }^{ \prime \prime }
11 -{ 13 }^{ \circ }{ 54 }^{ \prime }{ 49.8 }^{ \prime \prime }   { 55.5 }^{ \prime \prime }  
    40^{ \prime }{ 4.8 }^{ \prime \prime }    
13 -{ 13 }^{ \circ }14^{ \prime }{ 45.0 }^{ \prime \prime }      

a+nh=13, a=1,h=2,x=12Feb.
(a+nh)+uh=12\\ \Rightarrow 13+2u=12\\ \Rightarrow u=\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow u=-0.5\\{ \triangledown }^{ 3 }f\left( n \right)
लगभग अचर है अतः हम उच्च कोटि के अन्तरों को छोड़ सकते हैं।

अब पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation) से

f(a+nh+hu)=f(a+nh)+{ u }\triangledown f(a+nh)+\frac { u(u+1) }{ { 2 }! } { \triangledown }^{ 2 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) }{ 3! } { \triangledown }^{ 3 }f(a+nh)

उपर्युक्त अन्तर सारणी में वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर –

f(12)=f(13)+\left( -0.5 \right) \triangledown f(13)+\frac { \left( -0.5 \right) \left( -0.5+1 \right) }{ { 2 } } { \triangledown }^{ 2 }f(13)+\frac { \left( -0.5 \right) \left( -0.5+1 \right) \left( -0.5+2 \right) }{ 6 } { \triangledown }^{ 3 }f(13)\\ f(12)=-{ 13 }^{ \circ }14^{ \prime }\left( { 45.0 }^{ \prime \prime } \right) +\left( -0.5 \right) \left( 40^{ \prime }{ 4.8 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -0.5 \right) \left( -0.5+1 \right) }{ { 2 } } \left( { 55.5 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -0.5 \right) \left( -0.5+1 \right) \left( -0.5+2 \right) }{ 6 } \left( { -3.1 }^{ \prime \prime } \right) \\ f(12)=-{ 13 }^{ \circ }14^{ \prime }{ 45.0 }^{ \prime \prime }-20^{ \prime }{ 2.8 }^{ \prime \prime }-{ 6.9 }^{ \prime \prime }+{ 1.9 }^{ \prime \prime }\\ f(12)=-{ 13 }^{ \circ }34^{ \prime }{ 52.8 }^{ \prime \prime }
Question-2. पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र ने का उपयोग कर { 2}^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s}\quadतथा \quad{ 5 }^{ h}पर क्रमशः दिकपात् ज्ञात कीजिए (Using (Newton-Gregory formula for backward interpolation ,find the declination at { 2}^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s}\quad and \quad{ 5 }^{ h} respectively:)

समय (Hour) 0 1 2 3 4
दिक्पात् (Declination) { 8 }^{ \circ }{ 20 }^{ \prime }{ 53.7 }^{ \prime \prime } { 8 }^{ \circ }{ 18 }^{ \prime }{ 19.4 }^{ \prime \prime } { 8 }^{ \circ }{ 6 }^{ \prime }{ 43.5 }^{ \prime \prime } { 7 }^{ \circ }{ 55 }^{ \prime }{ 6.1 }^{ \prime \prime } { 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }

Solution-

x \triangledown f\left( x \right) { \triangledown }^{ 2 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 3 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 4 }f\left( x \right) { \triangledown }^{ 5 }f\left( x \right)
0 { 8 }^{ \circ }{ 20 }^{ \prime }{ 53.7 }^{ \prime \prime }        
    -{ 2 }^{ \prime }{ 34.3 }^{ \prime \prime }      
1 { 8 }^{ \circ }{ 18 }^{ \prime }{ 19.4 }^{ \prime \prime }   -{ 9 }^{ \prime }{ 1.6 }^{ \prime \prime }    
    -{ 11 }^{ \prime }{ 35.9 }^{ \prime \prime }   -{ 9 }^{ \prime }{ 0.1 }^{ \prime \prime }  
2 { 8 }^{ \circ }{ 6 }^{ \prime }{ 43.5 }^{ \prime \prime }   -{ 1.5 }^{ \prime \prime }   -{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime }
    -{ 11 }^{ \prime }{ 37.4 }^{ \prime \prime }   -{ 1 }^{ \prime \prime }  
3 { 7 }^{ \circ }{ 55 }^{ \prime }{ 6.1 }^{ \prime \prime }   -{ 2.5 }^{ \prime \prime }    
    -{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime }      
4 { 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }        

a+nh=4, a=0,h=1,x={ 2}^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s}\\(a+nh)+uh={ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s }\\ \Rightarrow 4+u={ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s }\\ \Rightarrow u=-{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }\\ \Rightarrow u=-0.5\\ { \triangledown }^{ 4 }f\left( n \right) अचर है अतः हम उच्च कोटि के अन्तरों को छोड़ सकते हैं।
अब पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation) से –

f(a+nh+hu)=f(a+nh)+{ u }\triangledown f(a+nh)+\frac { u(u+1) }{ { 2 }! } { \triangledown }^{ 2 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) }{ 3! } { \triangledown }^{ 3 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) \left( u+3 \right) }{ 4! } { \triangledown }^{ 4 }f(a+nh)\\ f({ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }+\left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s } \right) \left( -{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s } \right) (-{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+1) }{ { 2 } } \left( -{ 2.5 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s } \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+1 \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+2 \right) }{ 6 } \left( -{ 1 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s } \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+1 \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+2 \right) \left( -{ 1 }^{ h }{ 24 }^{ m }{ 45 }^{ s }+3 \right) }{ 24 } \left( -{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime } \right) \\ f({ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }+\left( \frac { 113 }{ 80 } \right) \left( -{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime } \right) +\left( \frac { 113 }{ 80 } \right) \left( \frac { 33 }{ 80 } \right) \frac { \left( -{ 2.5 }^{ \prime \prime } \right) }{ 2 } +\left( \frac { 113 }{ 80 } \right) \left( \frac { 33 }{ 80 } \right) \left( \frac { 109 }{ 240 } \right) \left( \frac { 1 }{ 6 } \right) -\left( \frac { 113 }{ 80 } \right) \left( \frac { 33 }{ 80 } \right) \left( \frac { 109 }{ 240 } \right) \left( \frac { 349 }{ 240 } \right) \left( \frac { -{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime } }{ 24 } \right) \\ f({ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }+{ 16 }^{ \prime }{ 28.60 }^{ \prime \prime }+{ 0.73 }^{ \prime \prime }+{ 0.04 }^{ \prime \prime }-{ 7.71 }^{ \prime \prime }\\ f({ 2 }^{ h }{ 35 }^{ m }{ 15 }^{ s })={ 7 }^{ \circ }{ 59 }^{ \prime }{ 50.8 }^{ \prime \prime }

a+nh=4, a=0,h=1,x=5

(a+nh)+uh=5\\ \Rightarrow 4+2u=5\\ \Rightarrow u=1 \\{ \triangledown }^{ 4 }f\left( n \right)

अब पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation) से –

f(a+nh+hu)=f(a+nh)+{ u }\triangledown f(a+nh)+\frac { u(u+1) }{ { 2 }! } { \triangledown }^{ 2 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) }{ 3! } { \triangledown }^{ 3 }f(a+nh)+\frac { u(u+1)\left( u+2 \right) \left( u+3 \right) }{ 4! } { \triangledown }^{ 4 }f(a+nh)\\ f(5^{ h })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }+\left( { 1 } \right) \left( -{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( 1 \right) (1+1) }{ { 2 } } \left( { 2.5 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( 1 \right) (1+1)\left( 1+2 \right) }{ 6 } \left( { 1 }^{ \prime \prime } \right) +\frac { \left( 1 \right) (1+1)\left( 1+2 \right) \left( 1+3 \right) }{ 24 } \left( -{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime } \right) \\ f(5^{ h })={ 7 }^{ \circ }{ 43 }^{ \prime }{ 27.2 }^{ \prime \prime }-{ 11 }^{ \prime }{ 39.9 }^{ \prime \prime }+{ 2.5 }^{ \prime \prime }+{ 1 }^{ \prime \prime }-{ 8 }^{ \prime }{ 1.1 }^{ \prime \prime }\\ f(5^{ h })={ 7 }^{ \circ }{ 23 }^{ \prime }{ 49.7 }^{ \prime \prime }
इस उपर्युक्त उदाहरणों से पश्च अन्तर्वेशन के लिए न्यूटन-ग्रैगोरी सूत्र (Newton-Gregory formula for backward interpolation ) को समझा जा सकता है।

Also Read This Article:-Newton-Gregory forward difference interpolation formula

No. Social Media Url
1. Facebook click here
2. you tube click here
3. Twitter click here
4. Instagram click here
5. Linkedin click here
6. Facebook Page click here

9 Comments
  1. php video June 2, 2020 / Reply
  2. php video June 3, 2020 / Reply
    • Satyam Mathematics June 3, 2020 / Reply
  3. scr888 Customer Service June 11, 2020 / Reply
  4. g June 15, 2020 / Reply
    • admin January 7, 2021 / Reply
  5. 918kiss pro July 2, 2021 / Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *