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Lagrange interpolation formula

1.लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र का परिचय (Introduction to Lagrange interpolation formula)-

लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange interpolation formula) का प्रयोग तब किया जाता है जबकि स्वतन्त्र चर के मान समदूरस्थ नहीं हो,तो विभिन्न अन्तर स्वतन्त्र चर के मानों से प्रभावित होंगे। अतः स्वतन्त्र चर के मानों में परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए परिभाषित अन्तर (Divided differerence) कहलाते हैं।
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2.लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange interpolation formula)-

समान एवं असमान अन्तराल के लिए लग्रांज का अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange interpolation formula for both equal and unequal intervals)-
सूत्र (Formula)-f\left( x \right) =\frac { \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n } \right) }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n } \right) } f\left( { x }_{ 0 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n } \right) }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 } \right) .....\left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ n } \right) } f\left( { x }_{ 1 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n-1 } \right) }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) ...\left( { x }_{ n }-{ x }_{ n-1 } \right) } f\left( { x }_{ n } \right)
प्रमाण (Proof)-माना चर x के विभिन्न (n+1) मानों { x }_{ 0 },{ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...........,{ x }_{ n } (समदूरस्थ आवश्यक नहीं) के फलन के संगत मान f\left( { x }_{ 0 } \right) ,f\left( { x }_{ 1 } \right) ,.........,f\left( { x }_{ n } \right) हैं।मान लो कि फलन f(x) एक n घात का बहुपद है, तो फलन f(x) को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है

f\left( x \right) ={ A }_{ 0 }\left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n } \right) +{ A }_{ 1 }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n } \right) +{ A }_{ n }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n-1 } \right) ...\left( 1 \right)
जहां { A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 },.........,{ A }_{ n } अचर राशियां हैं जिनके मान ज्ञात करना है। चूंकि सम्बन्ध (1) x के प्रत्येक मान के लिए सत्य है,यदि हम (1) में x={ x }_{ 0 } प्रतिस्थापित करें

f\left( { x }_{ 0 } \right) ={ A }_{ 0 }\left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 } \right) ...\left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ n } \right) +0+...+0\\ { A }_{ 0 }=\frac { f\left( { x }_{ 0 } \right) }{ \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 } \right) ...\left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ n } \right) } ....\left( 2 \right)
इसी प्रकार यदि हम (1) में x={ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...........,{ x }_{ n } क्रमवार प्रतिस्थापित करें तो

{ A }_{ 1 }=\frac { f\left( { x }_{ 1 } \right) }{ \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 } \right) ...\left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ n } \right) } ....\left( 3 \right) \\ { A }_{ 2 }=\frac { f\left( { x }_{ 2 } \right) }{ \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) ...\left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ n } \right) } ....\left( 4 \right) \\+....................\\ { A }_{ n }=\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ \left( { x }_{ n }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ n }-{ x }_{ 1 } \right) ...\left( { x }_{ n }-{ x }_{ n-1 } \right) } ......\left( 5 \right)

अब (2) से (5) तक के अचर { A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 },.........,{ A }_{ n } के मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर

f\left( x \right) =\frac { \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n } \right) }{ \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 } \right) ...\left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ n } \right) } f\left( { x }_{ 0 } \right) \\ +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n } \right) }{ \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 } \right) ...\left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ n } \right) } f\left( { x }_{ 1 } \right) +....\\ +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) ....\left( x-{ x }_{ n-1 } \right) }{ \left( { x }_{ n }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ n }-{ x }_{ 1 } \right) ...\left( { x }_{ n }-{ x }_{ n-1 } \right) } +f\left( { x }_{ n } \right) ...\left( 6 \right)
यह लग्रांज का अन्तर्वेशन सूत्र कहलाता है।

3.लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange interpolation formula) पर आधारित सवाल-

Question-1.निम्न आंकड़ों से y का मान ज्ञात कीजिए जबकि x=372.1 हो
(Find the value of y when x=372.1 from the following data):

x361367378387399
y154.9167191212.5244.2

Solution{ x }_{ 0 }=361,\quad { x }_{ 1 }=367,\quad { x }_{ 2 }=378,\quad { x }_{ 3 }=387,\quad { x }_{ 4 }=399\\ f\left( { x }_{ 0 } \right) =154.9,f\left( { x }_{ 1 } \right) =167,f\left( { x }_{ 2 } \right) =191,f\left( { x }_{ 3 } \right) =212.5,f\left( { x }_{ 4 } \right) =244.2
अब लग्रांज सूत्र में x=372.1 तथा उपर्युक्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर-

{ A }_{ 0 }=\frac { f\left( { x }_{ 0 } \right) }{ \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 } \right) ...\left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ n } \right) } ....\left( 2 \right) \\ f\left( x \right) =\frac { \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) \left( x-{ x }_{ 4 } \right) }{ \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 4 } \right) } f\left( { x }_{ 0 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) \left( x-{ x }_{ 4 } \right) }{ \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 4 } \right) } f\left( { x }_{ 1 } \right) \\ +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) \left( x-{ x }_{ 4 } \right) }{ \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 } \right) \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 4 } \right) } f\left( { x }_{ 2 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) \left( x-{ x }_{ 4 } \right) }{ \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 4 } \right) } f\left( { x }_{ 3 } \right) \\ +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) }{ \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 4 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } \right) \left( { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } \right) } f\left( { x }_{ 4 } \right) \\ f\left( 372.1 \right) =\frac { \left( 372.1-367 \right) \left( 372.1-378 \right) \left( 372.1-387 \right) \left( 372.1-399 \right) }{ \left( 361-367 \right) \left( 361-378 \right) \left( 361-387 \right) \left( 361-399 \right) } \times 154.9+\frac { \left( 372.1-361 \right) \left( 372.1-378 \right) \left( 372.1-387 \right) \left( 372.1-399 \right) }{ \left( 367-361 \right) \left( 367-378 \right) \left( 367-387 \right) \left( 367-399 \right) } \times 167\\ +\frac { \left( 372.1-361 \right) \left( 372.1-367 \right) \left( 372.1-387 \right) \left( 372.1-399 \right) }{ \left( 378-361 \right) \left( 378-367 \right) \left( 378-387 \right) \left( 378-399 \right) } \times 191+\frac { \left( 372.1-361 \right) \left( 372.1-367 \right) \left( 372.1-378 \right) \left( 372.1-399 \right) }{ \left( 387-361 \right) \left( 387-367 \right) \left( 387-378 \right) \left( 387-399 \right) } \times 212.5\\ +\frac { \left( 372.1-361 \right) \left( 372.1-367 \right) \left( 372.1-378 \right) \left( 372.1-387 \right) }{ \left( 399-361 \right) \left( 399-367 \right) \left( 399-378 \right) \left( 399-387 \right) } \times 244.2\\ f\left( 372.1 \right) =\frac { \left( 5.1 \right) \left( -5.9 \right) \left( -14.9 \right) \left( -26.9 \right) }{ \left( -6 \right) \left( -17 \right) \left( -26 \right) \left( -38 \right) } \times 154.9+\frac { \left( 11.1 \right) \left( -5.9 \right) \left( -14.9 \right) \left( -26.9 \right) }{ 6\left( -11 \right) \left( -20 \right) \left( -32 \right) } \times 167+\frac { \left( 11.1 \right) \left( 5.1 \right) \left( -14.9 \right) \left( -26.9 \right) }{ \left( 17 \right) \left( 11 \right) \left( -9 \right) \left( -21 \right) } \times 191\\ +\frac { \left( 11.1 \right) \left( 5.1 \right) \left( -5.9 \right) \left( -26.9 \right) }{ \left( 26 \right) \left( 20 \right) \left( 9 \right) \left( -12 \right) } \times 212.5+\frac { \left( 11.1 \right) \left( 5.1 \right) \left( -5.9 \right) \left( -14.9 \right) }{ \left( 38 \right) \left( 32 \right) \left( 21 \right) \left( 12 \right) } \times 244.2\\ f\left( 372.1 \right) =\frac { -1868151.762 }{ 100776 } +\frac { -4383590.832 }{ -42240 } +\frac { 4333762.133 }{ 35343 } +\frac { 1909221.784 }{ -56160 } +\frac { 1215282.081 }{ 306432 } \\ f\left( 372.1 \right) =-18.53766534+103.7783693+122.6200983-33.99611439+3.965911135\\ f\left( 372.1 \right) =177.830599\\ f\left( 372.1 \right) =177.8(लगभग )

उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange interpolation formula) को समझा जा सकता है।

Question-2.लग्रांज सूत्र से 35 वर्ष से कम वाले अपराधियों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए जबकि
Determine by Lagrange’s formula the percentage of criminals under 35 year,when

आयु (वर्षों से कम )[Age(Under Years)]25304050
(अपराधियों की संख्या का %)% of Number of Criminals5267.384.194.4

Solution{ x }_{ 0 }=25,\quad { x }_{ 1 }=30,\quad { x }_{ 2 }=40,\quad { x }_{ 3 }=50\\ f\left( { x }_{ 0 } \right) =52,\quad f\left( { x }_{ 1 } \right) =67.3,\quad f\left( { x }_{ 2 } \right) =84.1,\quad f\left( { x }_{ 3 } \right) =94.4
अब लग्रांज सूत्र में x=35 तथा उपर्युक्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर-

{ x }_{ 0 }=25,\quad { x }_{ 1 }=30,\quad { x }_{ 2 }=40,\quad { x }_{ 3 }=50\\ f\left( { x }_{ 0 } \right) =52,\quad f\left( { x }_{ 1 } \right) =67.3,\quad f\left( { x }_{ 2 } \right) =84.1,\quad f\left( { x }_{ 3 } \right) =94.4
f\left( x \right) =\frac { \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) }{ \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 } \right) } f\left( { x }_{ 0 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) }{ \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 } \right) } f\left( { x }_{ 1 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) }{ \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 } \right) } f\left( { x }_{ 2 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) }{ \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } \right) } f\left( { x }_{ 3 } \right) \\ f\left( 35 \right) =\frac { \left( 35-30 \right) \left( 35-40 \right) \left( 35-50 \right) }{ \left( 25-30 \right) \left( 25-40 \right) \left( 25-50 \right) } \times 52+\frac { \left( 35-25 \right) \left( 35-40 \right) \left( 35-50 \right) }{ \left( 30-25 \right) \left( 30-40 \right) \left( 30-50 \right) } \times 67.3+\frac { \left( 35-25 \right) \left( 35-30 \right) \left( 35-50 \right) }{ \left( 40-25 \right) \left( 40-30 \right) \left( 40-50 \right) } \times 84.1+\frac { \left( 35-25 \right) \left( 35-30 \right) \left( 35-40 \right) }{ \left( 50-25 \right) \left( 50-30 \right) \left( 50-40 \right) } \times 94.4\\ f\left( 35 \right) =\frac { \left( 5 \right) \left( -5 \right) \left( -15 \right) }{ \left( -5 \right) \left( -15 \right) \left( -25 \right) } \times 52+\frac { \left( 10 \right) \left( -5 \right) \left( -15 \right) }{ \left( 5 \right) \left( -10 \right) \left( -20 \right) } \times 67.3+\frac { \left( 10 \right) \left( 5 \right) \left( -15 \right) }{ \left( 15 \right) \left( 10 \right) \left( -10 \right) } \times 84.1+\frac { \left( 10 \right) \left( 5 \right) \left( -5 \right) }{ \left( 25 \right) \left( 20 \right) \left( 10 \right) } \times 94.4\\ f\left( 35 \right) =\frac { 19500 }{ -1875 } +\frac { 50475 }{ 1000 } +\frac { 63075 }{ 1500 } -\frac { 23600 }{ 5000 } \\ f\left( 35 \right) =-10.4+50.475+42.05-4.72\\ f\left( 35 \right) =77.405\\ f\left( 35 \right) =77.4\\ f\left( 35 \right) =77%(लगभग )

उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange interpolation formula) को समझा जा सकता है।

Question-3.न्यूनतम घातवाला बहुपद ज्ञात कीजिए जो मान 3,12,15,-21 ग्रहण करता है जबकि x के मान क्रमशः 3,2,1,-1है
(Find polynomial of the lowest possible degree which assumes the values 3,12,15,-21 when x has the values 3,2,1,-1 respectively)
Solution-{ x }_{ 0 }=3,\quad { x }_{ 1 }=2,\quad { x }_{ 2 }=1,\quad { x }_{ 3 }=-1\\ f\left( { x }_{ 0 } \right) =3,\quad f\left( { x }_{ 1 } \right) =12,\quad f\left( { x }_{ 2 } \right) =15,\quad f\left( { x }_{ 3 } \right) =-21
अब लग्रांज सूत्र में मान रखने पर-

f\left( x \right) =\frac { \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) }{ \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 } \right) \left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 } \right) } f\left( { x }_{ 0 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) }{ \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 } \right) \left( { x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 } \right) } f\left( { x }_{ 1 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 3 } \right) }{ \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 } \right) } f\left( { x }_{ 2 } \right) +\frac { \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) }{ \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } \right) } f\left( { x }_{ 3 } \right) \\ f\left( x \right) =\frac { \left( x-2 \right) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) }{ \left( 3-2 \right) \left( 3-1 \right) \left( 3+1 \right) } \times 3+\frac { \left( x-3 \right) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) }{ \left( 2-3 \right) \left( 2-1 \right) \left( 2+1 \right) } \times 12+\frac { \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) \left( x+1 \right) }{ \left( 1-3 \right) \left( 1-2 \right) \left( 1+1 \right) } \times 15+\frac { \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) \left( x-1 \right) }{ \left( -1-3 \right) \left( -1-2 \right) \left( -1-1 \right) } \times \left( -21 \right) \\ f\left( x \right) =\frac { \left( x-2 \right) \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }{ \left( -2 \right) \left( -1 \right) \left( 2 \right) } \times 3+\frac { \left( x-3 \right) \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }{ \left( -1 \right) \left( 1 \right) \left( 3 \right) } \times 12+\frac { \left( { x }^{ 2 }-5x+6 \right) \left( x+1 \right) }{ \left( -2 \right) \left( -1 \right) \left( 2 \right) } \times 15+\frac { \left( { x }^{ 2 }-5x+6 \right) \left( x-1 \right) }{ \left( -4 \right) \left( -3 \right) \left( -2 \right) } \times \left( -21 \right) \\ f\left( x \right) =\frac { 3\left( { x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }-x+2 \right) }{ 8 } +4\left( { x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }-x+3 \right) +\frac { 15\left( { x }^{ 3 }-4{ x }^{ 2 }+x+6 \right) }{ 4 } +\frac { 7\left( { x }^{ 3 }-6{ x }^{ 2 }+11x-6 \right) }{ 8 } \\ f\left( x \right) =\left( \frac { { 3x }^{ 3 } }{ 8 } -\frac { 4{ x }^{ 3 } }{ 1 } +\frac { { 15x }^{ 3 } }{ 4 } +\frac { { 7x }^{ 3 } }{ 8 } \right) +\left( -\frac { 6{ x }^{ 2 } }{ 8 } +{ 12x }^{ 2 }{ -15x }^{ 2 }-\frac { 42{ x }^{ 2 } }{ 8 } \right) +\left( \frac { -3x }{ 8 } +\frac { 4x }{ 1 } +\frac { 15x }{ 4 } +\frac { 77x }{ 8 } \right) +\left( \frac { 6 }{ 8 } -\frac { 12 }{ 1 } +\frac { 45 }{ 2 } -\frac { 21 }{ 4 } \right) \\ f\left( x \right) =\left( \frac { { 3x }^{ 3 }-{ 32x }^{ 3 }+{ 30x }^{ 3 }+{ 7x }^{ 3 } }{ 8 } \right) +\left( \frac { -6{ x }^{ 2 }+96{ x }^{ 2 }-120{ x }^{ 2 }-42{ x }^{ 2 } }{ 8 } \right) +\left( \frac { -3x+32x+30x+77x }{ 8 } \right) +\left( \frac { 6-96+180-42 }{ 8 } \right) \\ f\left( x \right) =\frac { { 8x }^{ 3 } }{ 8 } -\frac { 72{ x }^{ 2 } }{ 8 } +\frac { 136x }{ 8 } +\frac { 48 }{ 8 } \\ f\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-9{ x }^{ 2 }+17x+6

उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange interpolation formula) को समझा जा सकता है।

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