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Derivatives by Method of Operators

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1 1.संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis):

1.संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis):

संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators) अन्तर्वेशन पर आधारित अवकलज ज्ञात करने की विधि से अलावा विधि है।
संकारकों पर आधारित विधि (Method Based on Operators):
संकारकों की सहायता से अवकलजों के सन्निकटन व्यंजक (Approximate Expressions for Derivatives of a Function with the Help of Operators):
(i)केन्द्रीय अन्तर अवकलज (Central Difference Derivative):
हम जानते हैं कि:

\delta y_{n} = y_{n+\left(\frac{1}{2}\right)}-y_{n-\left(\frac{1}{2}\right)} \ldots(1)
और \mu y_{n}=\frac{1}{2}\left[y_{n+\left(\frac{1}{2}\right)}+y_{n-\left(\frac{1}{2}\right)}\right] \cdots(2)
अतः \mu \delta y_{n}=\mu\left[y_{n+\left(\frac{1}{2}\right)}-y_{n-\left(\frac{1}{2}\right)}\right] [(1) से]
=\frac{1}{2}\left(y_{n+1}-y_{n-1}\right) [(2) से]
=\frac{1}{2}\left(e^{h D}-e^{-h D}\right) y_{n}\left[\because y_{n+1}=e^{h D} y_{n}\right] \\ =[\sinh (h D)] y_{n} या \mu \delta =\sinh (h D) \cdots(3) \\ =h D+\frac{h^{3} D^{3}}{3 !}
अतः \mu \delta=h D \ldots(4) [यदि D^{3} तथा उच्च अवकलज त्याज्य हो]
अब h Dy_{n}=\frac{1}{2}\left(y_{n+1}-y_{n-1}\right) लगभग
या D y_{n}=\frac{d}{d x}\left(y_{n}\right)=y_{n}^{\prime}=\frac{1}{2 h}\left(y_{n+1}-y_{n-1}\right) \ldots(4)
यह प्रथम अवकलज का सूत्र केन्द्रीय अन्तर अवकलज (Central Difference Derivative) कहलाता है।
(ii)द्वितीय अन्तर अवकलज (Second Difference Derivative):
अब \delta^{2} y_{n} =\delta\left(\delta y_{n}\right)=\delta\left[y_{n+\left(\frac{1}{2}\right)}-y_{n-\left(\frac{1}{2}\right)}\right] \\ =y_{n+1}+y_{n-1}-2 y_{n} \\ =\left(e^{h D}+e^{-h D}-2\right) y_{n} \\ =2\left[\left(1+\frac{1}{2} h^{2} D^{2}+\ldots\right)-1\right] y_{n}
[अगर D^{h} तथा उच्च अवकलज त्याज्य हो]
=h^{2} D^{2} y_{n}(लगभग)
अतः \delta^{2} y_{n}=h^{2} D^{2} y_{n}=y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}
या D^{2} y_{n}=\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{n}\right)=\frac{1}{h^{2}}\left(y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}\right) \ldots(5)
यह द्वितीय अवकलज का सूत्र द्वितीय अन्तर अवकलज कहलाता है।
(iii)तृतीय अन्तर अवकलज (Third Difference Derivative):
पुनः h^{3} D^{3} y_{n}=(h D)\left(h^{2} D^{2} y_{n}\right)\\ =h D \delta^{2} y_{n}\\ =\mu \delta \left(y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}\right) \\ =\frac{1}{2}\left[\left(y_{n+2}-y_{n}\right)-2\left(y_{n+1}-y_{n-1}\right)+\left(y_{n}-y_{n-2}\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\left(y_{n+2}-2 y_{n+1}+2 y_{n-1}-y_{n-2}\right)\\ D^{3} y_{n}=\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left(y_{n}\right) =\frac{1}{2 h^{3}}\left(y_{n+2}-2 y_{n+1}+2 y_{n-1} y_{n-2}\right) \ldots(6)
यह तृतीय अन्तर अवकलज जाना जाता है।
इसी प्रकार h^{4} D^{4} y_{n}=\left(h^{2} D^{2}\right)\left(h^{2} D^{2} y_{n}\right) \\ =\left(h^{2} D^{2}\right)\left(y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}\right) \\ = \delta^{2}\left[y_{n+1}-2 y_{n}+ y_{n-1}\right] \\ = \delta \left[\delta \left(y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}\right)\right] \\ = y_{n+2}-4 y_{n-1}+6 y_{n}-4 y_{n-1}+y_{n-2}
अतः \frac{d^{4}}{d x^{4}}\left(y_{n}\right)=\frac{1}{h^{4}}\left(y_{n+2}-4 y_{n+1}+6 y_{n}-4 y_{n-1}+y_{n-1}\right) \ldots(7)
इत्यादि
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2.संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज के साधित उदाहरण (Derivatives by Method of Operators Solved Examples):

Example:1.घात छ: तक स्टर्लिंग सूत्र का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए।
(By using stirling’s formula of degree six, prove that):
(i)y_{0}^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta \mu y_{0}-\frac{1}{6} \delta^{3} \mu y_{0}+\frac{1}{30} \delta^{5} \mu y_{0}+ \cdots\right]

(ii)y_{0}^{\prime \prime}=\frac{1}{h^{2}}\left[\delta^{2} y_{0}-\frac{1}{12} \delta^{4} y_{0}+\frac{1}{90} \delta^{6} y_{0}-\cdots\right]
Solution:स्टर्लिंग सूत्र (Stirling Formula):

y_{x} =y_{0}+x\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta y-1}{2}\right)+\frac{x^{2}}{2 !} \cdot \Delta^{2} y_{-1}+\frac{x^{3}-x}{6}\left(\frac{\Delta^{3} y_{-1} + \Delta^{3} y_{-2}}{2}\right)+\left(\frac{x^{4}-x^{2}}{24}\right) \Delta^{4} y_{(-2)}+\left(\frac{x^{5}-5 x^{3}+4 x}{120}\right)\left(\frac{\Delta^{5} y_{-2}+ \Delta^{5} y_{-3}}{2}\right)+\left(\frac{x^{6}-5 x^{4}+4 x^{2}}{720}\right)\Delta^{6} y_{-3}+\cdots \cdots(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

y_{x}^{\prime} =\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}\right)+x \Delta^{2} y_{-1}+\frac{3 x^{2}-1}{6}\left(\frac{\Delta y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2}\right)+\left(\frac{2 x^{3}-2}{12}\right) \Delta^{4} y_{-2} +\left(\frac{5 x^{4}-15 x^{2}+4}{120}\right)\left(\frac{\Delta^{5} y_{-2}+\Delta^{5} y_{-3}}{2}\right)+\left(\frac{6 x^{5}-20 x^{3}+8 x}{720}\right) \Delta^{6} y_{-3}+\cdots \cdots(2)

put x=0
y_{0}^{\prime} =\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}\right)-\frac{1}{6}\left(\frac{\Delta^{3} y_{-1}+ \Delta^{3} y_{-2}}{2}\right)+\frac{1}{30}\left(\frac{\Delta^{5} y_{-2}+\Delta^{5} y_{-3}}{2}\right) +\cdots \cdots\\=\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta E^{-1} y_{0}}{2}\right)-\frac{1}{6} \left(\frac{\Delta^{3} E^{-1} y_{0}+ \Delta^{3} E^{-2} y_{0}}{2}\right)+\frac{1}{30}\left(\frac{\Delta^{5} E^{-2} y_{0}+\Delta^{5} E^{-3} y_{0}}{2}\right)+\cdots \cdots\\ =\left(\frac{\Delta+\Delta E^{-1}}{2}\right) y_{0}-\frac{1}{6}\left(\frac{\Delta^{3} E^{-1}+\Delta^{3} E^{-2}}{2}\right) y_{0}+\frac{1}{30} \left(\frac{\Delta^{5} E^{-2}+\Delta^{5} E^{-3}}{2} \right) y_{0}+\cdots \cdots \\ \frac{\Delta+\Delta E^{-1}}{2}=\frac{\delta \mu}{h}, \frac{\Delta^{3} E^{-1} +\Delta^{3} E^{-2}}{2}=\frac{\delta^{3} \mu}{h}, \frac{\Delta^{5} E^{-2}+\Delta^{5} E^{-3}}{2}= \frac{\delta^{5} \mu}{h} रखने पर
[ \because \delta=E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}} तथा \mu=\frac{1}{2}\left[E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}\right], \Delta=1+E_{y} ,E=e^{hD} से]

y_{0}^{\prime}=\frac{s \mu }{h} y_{0}-\frac{1}{6} \frac{\delta^{3} \mu y_{0}}{h}+\frac{1}{30} \frac{\delta^{5} \mu}{h} y_{0}+\ldots\\ \Rightarrow y_{0}^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta \mu y_{0}-\frac{1}{6} \delta^{3} \mu y_{0}+\frac{1}{30} \delta^{5} \mu y_{0}+\cdots\right]
(ii)पुनः (1) का x के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर:

y^{\prime \prime} x=\Delta^{2} y_{-1}+x\left(\frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2}\right)+\left(\frac{6 x^{2}-1}{12}\right) \Delta^{4} y_{-2}+\left(\frac{2 x^{3}-3 x}{12}\right) \left(\frac{\Delta y_{-2}+\Delta y_{-3}}{2}\right)+\left(\frac{15 x^{4}-30 x+4}{720}\right) \Delta^{6} y_{-3}+\cdots

put x=0
y_{0}^{\prime \prime}=\Delta^{2} y_{-1}-\frac{1}{12} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{1}{180} \Delta^{6} y_{-3}+\cdots\\ y_{0}^{\prime \prime}=\Delta^{2} E^{-1} y_{0}-\frac{1}{12} \Delta^{4} E^{-2} y_{0}+\frac{1}{180} \Delta^{6} E^{-3} y_{0}+\cdots\\ \delta=E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}\\ =E^{-\frac{1}{2}}(E-1) \\ \delta=\Delta E^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow \delta^{2}=\Delta^{2} E^{-1}

इसी प्रकार  \delta^{4}=\Delta^{4} E^{-2}, \delta^{6}=\Delta^{6} E^{-3} \\ \Rightarrow y_{0}^{\prime \prime}=\frac{1}{h^{2}}\left[\delta^{2} y_{0}-\frac{1}{12} \delta^{4} y_{0}+\frac{1}{90} \delta^{6} y_{0}-\cdots\right]
Example:2.बेसल सूत्र से निम्न सन्निकटन का निगमन कीजिए:
(Deduce the following approximations from the Bessel’s formula):

(i)\frac{d}{d x}\left(y_{x}\right)=\Delta y_{x-\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{1}{24} \Delta^{3} y_{x-\left(\frac{3}{2}\right)}

(ii) \frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{x}\right)=\frac{1}{2}\left[\Delta^{2} y_{x}-\left(\frac{3}{2}\right)+\Delta^{3} y_{x-(\frac{1}{2})}\right]

(iii)\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left(y_{x}\right)=\Delta^{3} y_{x-\frac{3}{2}}
Solution:बेसल सूत्र से (Bessel Formula):

y_{x}=\frac{y_{0}+y_{1}}{2}+\left(x-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{x(x-1)}{2 !}\left(\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right)+\frac{(x-\frac{1}{2})(x)(x-1)}{3 !} \Delta^{3}y_{-1}+ \cdots \cdots(1)
सम्बन्ध (1) में x के स्थान पर (x-\frac{1}{2}) प्रतिस्थापित करने पर:

y_{x+\frac{1}{2}}=\left(\frac{y_{0}+y_{1}}{2}\right)+x \Delta y_{0}+\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)}{2 !}\left(\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right)+\frac{x\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)}{3 !} \Delta^{3}y_{-1}+ \cdots \cdots(2)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d}{d x}y_{\left( x+\frac{1}{2}\right)}=\Delta y_{0}+x\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{24}\right) \Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots(3)
यहाँ x=0 प्रतिस्थापित करने पर:

\frac{d}{d x}\left(y_{\frac{1}{2}}\right)=\Delta y_{0}-\frac{1}{24} \Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots(4)
(i)अब (4) में मूलबिन्दु 0 से (x-\frac{1}{2}) पर स्थानान्तरित करने पर:

\frac{d}{d x}\left(y_{x}\right)=\Delta y_{(x-\frac{1}{2})}-\frac{1}{24} x^{3} y_{(x-\frac{3}{2})}+\cdots \cdots
(ii)पुनः (2) का x के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर:

\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{x+\frac{1}{2}}\right)=\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}+x \Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots
इसमें x=0 प्रतिस्थापित करने पर:

\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}\right)+\cdots
अब मूलबिन्दु को 0 से (x-\frac{1}{2}) पर स्थानान्तरित करने पर:

\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{x}\right)=\frac{1}{2}\left(\Delta^{2} y_{x-\frac{3}{2}}+\Delta^{2} y_{x-\frac{1}{2}}\right)+\cdots \cdots
(iii)इसी प्रकार (2) को तीन बार अवकलन करने पर:

\frac{d^{3}}{d x^{3}} \left(y_{x+\frac{1}{2}}\right)=\Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots
इसमें x=0 प्रतिस्थापित करने पर:

\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left(y_{\frac{1}{2}}\right)=\Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots
मूलबिन्दु को 0 से (x-\frac{1}{2}) पर प्रतिस्थापित करने पर:

\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left(y_{x}\right)=\Delta^{3} y_{x-\frac{3}{2}}+\cdots

Example:3.सिद्ध कीजिए कि (Prove that):

y^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta y-\frac{\delta^{3} y}{24}+\frac{3}{640} \delta^{5} y \ldots\right]
Solution:हम जानते हैं कि:

\delta=E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}=e^{\frac{hD}{2}}-e^{-\frac{hD}{2}}\left(\because E \equiv e^{-h D}\right) \\=2 \sinh \left(\frac{h D}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{h D}{2}=\sinh^{-1} \left(\frac{\delta}{2}\right) \cdots(1)
टेलर प्रसार से:

\sin h^{-1} x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{3}{40} x^{5} \ldots\\ \frac{h D}{2}=\frac{\delta}{2}-\frac{\delta^{3}}{6 \times 8}+\frac{3}{40 \times 32} \delta^{5} \cdots\\ D=\frac{1}{h}\left[\delta-\frac{1}{24} \delta^{3}+ \frac{3}{640} \delta^{5} \cdots\right]\\ D y=y^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta y-\frac{1}{24} \delta^{3} y+\frac{3}{640} \delta^{5} y \cdots\right]\\ \Rightarrow y^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta y-\frac{1}{2 y} \delta^{3} y+\frac{3}{640} \delta^{5} y \cdots\right]
Example:4.निम्न सारणी से f”'(5) ज्ञात कीजिए:

xf(x)
257
41345
966340
1340205
161118209
214287844
2921242820

Solution:विभाजित अन्तर सारणी (Divided Difference Table)

xf(x)Δf(x)Δ^{2}f(x)Δ^{3} f(x)Δ^{4} f(x)Δ^{5} f(x)
257     
  644    
41345 1765   
  12999 556  
966340 7881 45 
  83928 1186 1
13402052 22113 64 
  238719 2274 1
161118209 49401 89 
  633927 4054  
214287844 114265   
  2119372    
2921242820     

Table Calculation:-\frac{1345-57}{4-2}=644, \frac{66340-1345}{9-4}=12999,\frac{402052-66340}{13-9}=83928,\frac{1118209-402052}{16-13}=238719,\frac{4287844-1118209}{21-16}=633927,\frac{21242820-4287844}{29-21}=2119372 \\ \frac{12999-644}{9-2}=1765,\frac{83928-12999}{13-4}=7881,\frac{238719-83928}{16-9}=22113,\frac{633927-238719}{21-13}=49401,\frac{2119372-633927}{29-16}=114265 \\ \frac{7881-1765}{13-2}=556,\frac{22113-7881}{16-4}=1186,\frac{49401-22113}{21-9}=2274,\frac{114265-49401}{29-13}=4054 \\ \frac{1186-556}{16-2}=45,\frac{2274-1186}{21-4}=64,\frac{4054-2274}{29-9}=89\\ \frac{64-45}{21-2}=1,\frac{89-64}{29-4}=1
न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र से (Newton Divided Difference Formula):

f(x)=f(a)+f(x-a)+\Delta f(a)+(x-a)(x-b) \cdot \Delta^{2}f(a)+(x-a)(x-b)(x-c) \Delta^{3} f(a)+(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \Delta^{4} f(a)+(x-a)(x-b) (x-c)(x-d)(x-e) \Delta^{5}f(a)+\cdots
x के सापेक्ष तीन बार अवकलन करने पर:

f^{\prime \prime}(x)=6 \Delta^{3} f(a)+[24 x-6(a+b+c+d)] \Delta^{4} f(a)+\left[60 x^{2}-24 x(a+b+c+d)\right] +6(a b+c d)+(a+b)(c+d)-e(24 x-6(a+b+c+d)] \Delta^{5} f(a)
a=2,b=4,c=9,d=13,e=16,x=5 रखने पर:

\Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(5)=6 \times 556+[120-168] 45+[1500-3360+750+792-16(120-168)] \times 1 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(5)=3336-2160+450=1626
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis) को समझ सकते हैं।

3.संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज के सवाल (Derivatives by Method of Operators Questions):

(1.)बेसल अन्तर्वेशन सूत्र को मानकर सिद्ध कीजिए कि:
(Assuming Bessel’s interpolation formula prove that):

(i) \frac{d}{d x}(y x)=\delta y_{x}-\frac{1}{24} \delta^{3} y_{x}+\cdots

(ii)\frac{d^{2}}{d x^{2}}(y_{x})=\mu \delta^{2} y_{x}+\cdots

(iii)\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left(y_{x}\right)=\delta^{3} y_{x}+\cdots
(2.)आधार 10 पर 300 से 310 तक इकाई वृद्धि देते हुए दशमलव तक लघुगणक लेकर \log_{10} x का अवकलज x=310 पर ज्ञात कीजिए।
(Take 10 figure logarithm to base 10 from x=300 से x=310 by unit increments in x.Calculate the first derivative of \log_{10} x where x=310.)
उत्तर (Answer):(2.)\frac{dy}{dx}=0.0018
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अन्तर्वेशन सूत्रों के अलावा किस विधि से अवकलज ज्ञात किया जाता है? (By which method the derivatives is determined other than the interpolation?):

उत्तर:अन्तर्वेशन सूत्रों के अलावा संकारक विधि (Method of Operators) द्वारा अवकलज ज्ञात किया जाता है।

प्रश्न:2.किसी फलन के अवकलजों का प्रतीकात्मक निगमन ज्ञात करो।(Find the symbolic derivation of the derivatives of a function):

उत्तर:माना कि y=f(x) एक दिया हुआ फलन हैं। तथा x=x_{0}+hu, जहाँ h अन्तराल का अन्तर है।
अतः y=f(x_{0}+hu)=E^{4}y_{0} \cdots(1)
जहाँ y_{0}=y(x_{0})
अब (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर तथा उसका पर मान निकालने पर:
\left(\frac{\partial y}{d x}\right)_{x=x_{0}}=\left[\frac{d}{d x}\left(E^{4} y_{0}\right)\right]_{x=x_{0}}=\left[\frac{d}{d u}\left(E^{4} y_{0}\right) \frac{d y}{d x}\right]_{x=x_{0}} \\ =\frac{1}{h}\left[\frac{d}{d u}\left(E^{4} y_{0}\right)\right]{u=0} =\frac{1}{h}\left[(\log E) E^{0} y_{0}\right]_{u=0} \\ =\frac{1}{h}(\log E) y_{0}=\frac{1}{h}[\log (1+\Delta)]y_{0}
लघुगणक फलन का प्रसार करने पर:
\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=x_{0}}=\frac{1}{h}\left[\Delta-\frac{\Delta^{2}}{2}+ \frac{\Delta^{3}}{3}-\frac{\Delta^{4}}{4}+\cdots\right] y_{0} \\ =\frac{1}{h}\left[\Delta y_{0}-\frac{1}{2} \Delta^{2} y_{0}+\frac{1}{3} \Delta^{3} y_{0}-\frac{1}{4} \Delta^{4} y_{0}+\cdots\right]\cdots(2)
इसी प्रकार \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{x=x_{0}}=\frac{1}{h^{2}}[\log (1+\Delta)]^{2} y_{0} \cdots(3)
अब लघुगणक का प्रसार करने तथा उसका वर्ग लेने पर:
\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{x=x_{0}}=\frac{1}{h^{2}}\left[\Delta^{2} y_{0}-\Delta^{3} y_{0}+\frac{11}{12} \cdot \Delta^{4} y_{0}-\frac{5}{6} \cdot \Delta^{5} y_{0}+\cdots\right] \cdots(4)
व्यापक रूप में:
\left(\frac{d^{r} x}{dx^{r}}\right)_{x=x_{0}}=\frac{1}{h^{r}}\left[\log (1+ \Delta) \right]^{r} y_{0} \cdots(5)
अतः संक्षेप में हमारे पास निम्न समतुल्य सम्बन्ध हैं:
(i)D \equiv h \log (1+\Delta) \equiv \frac{1}{h}\left[\Delta-\frac{\Delta^{2}}{2}+\frac{\Delta^{3}}{3}-\frac{\Delta^{4}}{4}+\cdots\right]
(ii)D^{2}=\frac{1}{h^{2}}[\log (1+\Delta)]^{2} \cdots(6) \\ \equiv \frac{1}{h^{2}} \left[\Delta^{2}-\Delta^{3}+\frac{11}{12} \Delta^{4}-\frac{5}{6} \Delta^{5}+ \cdots\right] \cdots(7)
तथा व्यापक रूप में:
(iii)D^{r} \equiv \frac{1}{h^{r}}[\log (1+\delta)]^{r} \cdots(8)

प्रश्न:3.संकारक से क्या आशय है? (What do you mean by operator?):

उत्तर:किसी संक्रिया को सूचित करने वाला संकेत।जैसे:D=\frac{d}{dx} अवकल संकारक है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Derivatives by Method of Operators

संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज
(Derivatives by Method of Operators)

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संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators) अन्तर्वेशन
पर आधारित अवकलज ज्ञात करने की विधि से अलावा विधि है।

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