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Surface Area and Volume of a Sphere

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1 1.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of a Sphere):
1.2 3.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की समस्याएं (Surface Area and Volume of a Sphere Problems):

1.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of a Sphere):

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of a Sphere): एक वृत या अर्धवृत्त द्वारा उसके व्यास को अक्ष मानकर उसके चारों ओर क्रमशः आधा चक्कर या पूरा एक चक्कर लगाने पर जो ठोस जनित होता है उसे गोला कहते हैं।
गोला (Sphere):आकाश में स्थित उन सभी बिंदुओं के समुच्चय को गोला कहा जा सकता है जो एक नियत बिंदु से समान दूरी पर हो।नियत बिन्दु को गोले का केंद्र कहते हैं।केंद्र से इस समुच्चय के किसी बिंदु की दूरी को त्रिज्या कहते हैं।पूर्ण फूला हुआ फुटबॉल,क्रिकेट बॉल गोले के उदाहरण हैं।
उस रेखाखंड को जो गोले के केंद्र से गुजरता है और जिसके दोनों सिरे गोले पर हों गोले का व्यास कहलाता है।गोले के सभी व्यास लंबाई में समान होते हैं।गोले की त्रिज्या उसके व्यास की आधी होती है।गोले के केन्द्र से गुजरने वाला समतल गोले को दो अर्द्धगोलों में विभाजित करता है।गोले द्वारा आकाश में घेरा गया स्थान उसका आयतन कहलाता है।

गोले के सूत्र (Formulas of Sphere):
(1.)गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3}
(2.)गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2}

अर्द्धगोले के सूत्र (Formulas of Hemisphere):
(3.)अर्द्धगोले का आयतन=\frac{2}{3} \pi r^{3}
(4.)अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=2 \pi r^{2}
(5.)अर्द्धगोले का संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल=3 \pi r^{2}

गोलीय कोश के सूत्र (Formulas of Spherical Shell):
(6.)गोलीय कोश का आयतन=\frac{4}{3} \pi\left ( r_{1}^{3}-r_{2}^{3} \right )
गोलीय कोश का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi\left ( r_{1}^{2}+r_{2}^{2} \right )
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2.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के उदाहरण (Surface Area and Volume of a Sphere Examples):

Example:1.1.4 सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2} \\ =4 \times \frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.4 \\ =\frac{135.52}{7}
=19.36 वर्गसेमी
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.4 \times 1.4 \\=\frac{241.472}{21}
=11.4986 घनसेमी \approx 11.50 घनसेमी
Example:2.4.2सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:r=4.2सेमी
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2} \\ =4 \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2 \\ =\frac{1552.32}{7}
=221.76 वर्गसेमी
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2 \\=\frac{6519.744}{21}
=310.464 घनसेमी
Example:3.21सेमी त्रिज्या के अर्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:r=21सेमी
अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=3 \pi r^{2} \\ =3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \\ =\frac{29106}{7}
=4558वर्गसेमी
Example:4.3.5सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस काँच के अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:r=3.5 सेमी 
अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=3 \pi r^{2} \\ =3 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \\ =\frac{808.5}{7} =115.50वर्गसेमी
Example:5.एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्गसेमी है।उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution:गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2} \\ \Rightarrow 4 \pi r^{2}=616 \\ \Rightarrow  r^{2}=\frac{616 \times 7}{4 \times 22 }=\frac{4312}{88}=49 \\ \Rightarrow r=\sqrt{49} \\ \Rightarrow r=7 सेमी
Example:6.एक ठोस गेंद के पृष्ठ का क्षेत्रफल 1386वर्गसेमी है।गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution:गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2} \\ \Rightarrow 4 \times \frac{22}{7} \times r^{2}=1386 \\ \Rightarrow  r^{2}=\frac{1386 \times 7}{4 \times 22 }=\frac{9702}{88}=110.25 \\ \Rightarrow r=\sqrt{110.25} \\ \Rightarrow r=10.5 सेमी
Example:7.एक धातु के गोले की त्रिज्या 15सेमी है।इससे 5सेमी त्रिज्या के कितने गोले बनाए जा सकते हैं।
Solution:r=15सेमी
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \pi \times 15 \times 15 \times 15 \\=4500 \pi
5 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \pi \times 5 \times 5 \times 5 \\=\frac{500 \pi }{3}
5सेमी त्रिज्या वाले गोलों की संख्या=\frac{\text{ 15सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन }}{\text{ 5सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन }} \\=\frac{4500 \pi}{\frac{500 \pi }{3}}=27 गोले
Example:8.एक खोखला गोलीय शैल 2सेमी मोटा है।यदि इसकी बाह्य त्रिज्या 8सेमी है तो इसमें लगी धातु का आयतन ज्ञात कीजिए।
(\pi=3.14 लीजिए)
Solution:बाह्य त्रिज्या r_{1}=8सेमी, अन्त:त्रिज्या r_{2}=8-2=6सेमी
खोखले गोलीय शेल का आयतन=\frac{4}{3} \pi\left ( r_{1}^{3}-r_{2}^{3} \right ) \\ =\frac{4}{3} \times 3.14 \left ( 8^{3}-6^{3} \right ) \\ =\frac{4}{3} \times 3.14 \left ( 512-216 \right ) \\ =\frac{4}{3} \times 3.14 \times 296 \\ =\frac{3717.76}{3}=1239.2533
Example:9.एक बेलन सीसे का बना हुआ है जिसकी त्रिज्या 4सेमी और ऊँचाई 10सेमी है।इसे पिघलाकर 2सेमी त्रिज्या के कितने गोले बनाए जा सकते हैं?
Solution:r=4सेमी,h=10सेमी
बेलन का आयतन=\pi r^{2} h=\pi \times 4 \times 4 \times 10=160 \pi 
R=2सेमी, गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \pi \times 2 \times 2 \times 2 \\=\frac{32 \pi }{3}
गोलों की संख्या=\frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{ गोले का आयतन }}\\ \frac{160 \pi}{\frac{32 \pi }{3}} \\ \frac{480}{32}
=15 गोले
Example:10.सीसे से बने एक घन की एक भुजा 44सेमी है।इसे पिघलाकर 4सेमी व्यास के कितने गोले बनाए जा सकते हैं।
Solution:घन की भुजा=44सेमी, घन का आयतन=भुजा^{ 3 }\\=44^{ 3 }\\=44 \times 44 \times 44 \\=85184
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2 \times 2 \times 2 =\frac{704}{21}
गोलों की संख्या=\frac{\text{ घन का आयतन}}{\text{ गोले का आयतन }} \\=\frac{85184}{ \frac{704}{21}} \\=\frac{1788864}{704}=2541
Example:11.10सेमी त्रिज्या के धातु के गोले से समान त्रिज्या के 8गोले बनाए जा सकते हैं।इस प्रकार बने प्रत्येक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।(\pi=3.14 लीजिए)
Solution:r=10सेमी,बड़े गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \pi \times 10 \times 10 \times 10 =\frac{4000 \pi }{3}
8 छोटे गोले का आयतन=8 \times \frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{32}{3} \pi R^{3} \\ \frac{32}{3} \pi R^{3}=\frac{4000 \pi}{3} \\ \Rightarrow R^{3}=\frac{4000}{32} \\ \Rightarrow R^{3}=125 \\ \Rightarrow R=5 सेमी
छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi R^{2} \\=4 \times 3.14 \times 5 \times 5=314
Example:12.14सेमी की भुजा वाले घन से एक बड़ा से बड़ा गोला काटकर निकाला गया है।इस गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:गोले की त्रिज्या r=7सेमी
गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2} \\ =4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 =616 वर्गसेमी
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \\=\frac{4312}{3}=1437.33 घनसेमी
Example:13.एक ठोस आयतफलकी की माप क्रमशः 66सेमी,42सेमी और 21सेमी है।ज्ञात कीजिए कि इससे 4.2 सेमी व्यास की कितनी गोलियां बनाई जा सकती हैं।
Solution:ठोस आयतफलकी की माप क्रमशः 66सेमी,42सेमी और 21सेमी है।
ठोस आयतफलकी का आयतन=लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=66 × 42 × 21
=58212
r=2.1,गोली का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 \\=\frac{814.968}{21}
गोलियों की संख्या=\frac{\text{ठोस आयतफलकी का आयतन}}{\text{ गोली का आयतन }}\\=\frac{58212}{ \frac{814.968}{21}} \\=\frac{58212 \times 21}{814.968} \\=\frac{1222452}{814.968} =1500
Example:14.6 सेमी व्यास का एक गोला एक 12 सेमी व्यास के बेलनाकार बर्तन में जिसमें पानी है,डाला जाता है।पानी कितना ऊपर चढ़ जायेगा?
Solution:r=3 सेमी,गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\=\frac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 3 \times 3 \\=36 \pi
R=6सेमी
बेलनाकार बर्तन का आयतन=\pi R^{2} h=\pi \times 6 \times 6 \times h=36 \pi h \\ \Rightarrow 36 \pi h=36 h \\ \Rightarrow h=1 सेमी
Example:15.9 सेमी की अन्त:त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोलाकार कटोरे में एक द्रव भरा है।इस द्रव को 3सेमी व्यास और 4सेमी ऊँचाई के छोटे-छोटे बेलनाकार बोतलों में भरना है।ज्ञात कीजिए कि कटोरे के पूरे द्रव को भरने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी।
Solution:r=9सेमी
अर्द्धगोले का आयतन=\frac{2}{3} \pi r^{3} \\=\frac{2}{3} \times \pi \times 9 \times 9 \times 9 \\=486 \pi
R=1.5सेमी,h=4सेमी
एक बेलनाकार बोतल का आयतन=\pi R^{2} h=\pi \times 1.5 \times 1.5 \times 4=9 \pi
बोतलों की संख्या=\frac{\text{ अर्द्धगोले का आयतन }}{\text{ बेलनाकार बोतल का आयतन }} \\=\frac{486 \pi}{9 \pi}=54
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of a Sphere) के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की समस्याएं (Surface Area and Volume of a Sphere Problems):

(1.)2.1 सेमी त्रिज्या के गोले का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(\pi=\frac{22}{7}लीजिए)
(2.)9 सेमी त्रिज्या के धातु के गोले को पिघला कर कितने शंकु बनाए जा सकते हैं? प्रत्येक शंकु की त्रिज्या 3सेमी और ऊँचाई 6सेमी है।
(3.)एक बेलनाकार जार का व्यास 6सेमी है,इसमें कुछ पानी भरा हुआ है।1.5सेमी त्रिज्या के कितने गोले बेलनाकार जार में डुबोए जाए कि जार के पानी का तल 4सेमी ऊपर उठ जावे।
(4.)यदि एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 5544 वर्गसेमी है तो गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।(\pi=\frac{22}{7} लीजिए)
(5.)दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 है।उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)गोले का आयतन=38.808 घन सेमी,गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=55.44 वर्गसेमी
(2.)शंकुओं की संख्या=54
(3.)गोले का आयतन=38808 घनसेमी
(4.)दोनों गोलों के आयतनों का अनुपात=8:27
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of a Sphere) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

(1.)उस रेखाखंड को जो गोले के केंद्र से गुजरता है और जिसके दोनों सिरे गोले पर हों गोले का व्यास कहलाता है।
(2.)गोले के सभी व्यास लंबाई में समान होते हैं।गोले की त्रिज्या उसके व्यास की आधी होती है।
(3.)गोले के केन्द्र से गुजरने वाला समतल गोले को दो अर्द्धगोलों में विभाजित करता है।
(4.)गोले द्वारा आकाश में घेरा गया स्थान उसका आयतन कहलाता है।
(5.)एक वृत या अर्धवृत्त द्वारा उसके व्यास को अक्ष मानकर घुमाने पर जो ठोस जनित होता है उसे गोला कहते हैं।
(6.)एक ठोस आकृति को पिघलाकर दूसरी ठोस आकृति में परिवर्तित करने पर दोनों ठोस आकृतियों का आयतन समान होता है।
(7.)यदि एक ठोस आकृति को पिघला कर दूसरी अनेक ठोस आकृतियों में ढ़ाला जाता है तो दूसरी ठोस आकृतियों की संख्या ज्ञात करने के लिए पहली ठोस आकृति के आयतन में दूसरी ठोस आकृति के आयतन का भाग दिया जाता है।
(8.)अर्द्धगोले के आधार का क्षेत्रफल \pi r^{2} होता है।
(9.)गोला एक त्रिविम ठोस आकृति होती है।
(10.)दो ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतनों का अनुपात ज्ञात करने हेतु दोनों ठोस आकृतियों के क्षेत्रफल तथा आयतन ज्ञात करने के लिए दूसरी आकृति के क्षेत्रफल और आयतन का पहली आकृति के क्षेत्रफल और आयतन में भाग दिया जाता है।

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5.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of a Sphere) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.गोले के आयतन का सूत्र क्या है? (What is formula volume of sphere?):

उत्तर:गोले के आयतन का सूत्र निम्नलिखित है:
V=\frac{4}{3} \pi r^{3}

प्रश्न:2.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? (What is surface area of sphere?):

उत्तर:गोले के द्वारा घेरा हुआ क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय होता है।इसलिए गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होता है।गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जाता है:
S=4 \pi r^{2}

प्रश्न:3गोले,अर्द्धगोले का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? (What are the formulas volume and surface area of sphere and hemisphere?):

उत्तर:गोले के केन्द्र से गुजरने वाला समतल गोले को दो समान अर्द्धगोलों में विभाजित करता है।गोले द्वारा आकाश में घेरा गया स्थान गोले का आयतन कहलाता है।
गोले का आयतन तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र निम्न है:
V= \frac{4}{3} \pi r^{3} and S=4 \pi r^{2}
अर्द्धगोले का आयतन तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र निम्न है:
V=\frac{2}{3} \pi r^{3}
CSA=2 \pi r^{2}
TSA=3 \pi r^{2}

प्रश्न:4.खोखले गोलीय शेल का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्या है? (What are surface area and volume of hollow spherical shell?):

उत्तर:खोखला गोलीय शेल दो गोलाकार आकृतियों द्वारा घिरा हुआ रहता है।दोनों गोलाकार आकृतियों के मध्य भाग खोखला होता है।
खोखले गोलीय शेल का पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन का सूत्र निम्नलिखित है:
V=\frac{4}{3} \pi\left ( r_{1}^{3}-r_{2}^{3} \right )
TSA=4 \pi\left ( r_{1}^{2}+r_{2}^{2} \right )

प्रश्न:5.गोले के आयतन की परिभाषा क्या है? (What is the definition of sphere?):

उत्तर :गोले द्वारा आकाश में घेरा गया स्थान उसका आयतन कहलाता है।

प्रश्न:6.गोले का आयतन क्या होगा यदि उसकी त्रिज्या 14 सेमी है? (What is volume of sphere if radius of sphere 14cm?):

उत्तर:गोले का आयतन निम्न प्रकार ज्ञात किया जाएगा:
V=\frac{2}{3} \pi r^{3}\\ = \frac{2}{3} \times 14 \times 14 \times 14 \\=18229.33 घनसेमी

प्रश्न:7.अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? (What is total surface area of hemisphere?):

उत्तर:अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में आधार का क्षेत्रफल जोड़ दिया जाता है।अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र से दिया जाता है: TSA=3 \pi r^{2}

प्रश्न:8.यदि दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात दिया है तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा? (What is ratio of surface area of spheres if their ratio of radii given?):

उत्तर:दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात दिया हुआ हो तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होगा जो निम्नलिखित से दर्शाया जाता है: \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}

प्रश्न:9. 2.1 सेमी त्रिज्या के गोले का आयतन तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करो। (Find the volume and surface area of a sphere of radius 2.1 cm):

उत्तर:गोले का आयतन तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न प्रकार ज्ञात करेंगे:
r=2.1 सेमी
\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 \\=\frac{814.968}{21}
=38.808 घनसेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल =4 \pi r^{2} \\ =4 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \\ =\frac{388.08}{7}=55.44 वर्गसेमी

प्रश्न:10.गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा संख्यात्मक मान समान है (The volume and surface area of a sphere is numerically equal):

उत्तर:यदि गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन का संख्यात्मक मान समान है तो दोनों में निम्न सम्बन्ध होगा:
\frac{V}{S}=\frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{4 \pi r^{2}} \ \frac{V}{S}=\frac{r}{3}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of a Sphere) के बारें में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Surface Area and Volume of a Sphere

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
(Surface Area and Volume of a Sphere)

Surface Area and Volume of a Sphere

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of a Sphere): एक वृत या अर्धवृत्त
द्वारा उसके व्यास को अक्ष मानकर उसके चारों ओर क्रमशः आधा चक्कर या पूरा एक

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