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Division Algorithm for Polynomials

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1 1.बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials):
1.2 3.बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म के सवाल (Division Algorithm for Polynomials Questions):

1.बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials):

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials) में यदि त्रिघात बहुपद दिया हुआ हो तथा एक शून्यक दिया हो तो अन्य दो शून्यक ज्ञात किए जा सकते हैं।एक शून्यक को गुणनखण्ड में परिवर्तित करके उसका भाग त्रिघात बहुपद में देते हैं।जो भागफल प्राप्त हो उसके गुणनखण्ड करके बहुपद के शून्यक ज्ञात किए जा सकते हैं।भागफल में द्विघात बहुपद प्राप्त होता है।
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2.बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म के साधित उदाहरण (Division Algorithm for Polynomials Solved Examples):

Example:1.विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके,निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए:
(i)p(x)=x^{3}-3 x^{2}+5 x-3, g(x)=x^{2}-2
Solution: x^{3}-3 x^{2}+5 x-3, g(x)=x^{2}-2

\begin{array}{c|c} & x-3 \\ \hline x^{2}-2 & x^{3}-3 x^{2}+5 x-3 \\ & x^{3} \quad \quad \quad-2 x \\ & - \quad \quad \quad \quad + \\ \hline & -3 x^{2}+7 x-3 \\ & -3 x^{2} \quad \quad +6 \\ & + \quad \quad \quad - \\ \hline & 7 x-9 \end{array}
भागफल=x-3
शेषफल=7x-9
(ii)p(x)=x^{4}-3 x^{2}+4 x+5, g(x)=x^{2}+1-x
Solution:p(x)=x^{4}-3 x^{2}+4 x+5, g(x)=x^{2}-x+1

\begin{array}{c|c} & x^{2}+x-3 \\ \hline x^{2}-x+1 & x^{4}-3 x^{2}+4 x+5 \\ & x^{4} \quad +x^{2} \quad \quad \quad -x^{3} \\ & - \quad \quad - \quad \quad \quad + \\ \hline & x^{3}-4 x^{2}+4 x+5 \\ & x^{3}-x^{2}+x \quad \quad \\ & - \quad + \quad - \quad \quad \\ \hline &-3 x^{2}+3 x+5 \\ &-3 x^{2}+3 x-3 \\ & + \quad - \quad + \quad \\ \hline & 8\end{array}
भागफल=x^{2}+x-3
शेषफल=8
(iii)p(x)=x^{4}-5 x+6, g(x)=2-x^{2}
Solution:p(x)=x^{4}-5 x+6, g(x)=2-x^{2}

\begin{array}{c|c} & -x^{2}-2 \\ \hline -x^{2}+2 & x^{4}-5 x+6 \\ & x^{4} \quad \quad \quad \quad-2 x^{2} \\ & - \quad \quad \quad \quad \quad + \quad \quad \\ \hline & 2x^{2}-5 x+6 \\ & 2 x^{2} \quad \quad -4 \quad \quad \\ & - \quad \quad + \quad \quad \\ \hline & -5 x+10\end{array}
भागफल=-x^{2}-2
शेषफल=-5x+10
Example:2.पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है:
(i)t^{2}-3,2 t^{4}+3 t^{3}-2 t^{2}-9 t-12
Solution: t^{2}-3,2 t^{4}+3 t^{3}-2 t^{2}-9 t-12

\begin{array}{c|c} & 2t^{2}+3t+4 \\ \hline t^{2}-3 & 2 t^{4}+3 t^{3}-2 t^{2}-9 t-12 \\ & 2t^{4} \quad \quad \quad -6 t^{2} \\ & - \quad \quad \quad \quad \quad + \quad \quad \\ \hline & 3t^{3}+4t^{2}-9t-12 \\ & 3 t^{3} \quad \quad -9t \quad \quad \\ & - \quad \quad + \quad \quad \\ \hline & 4t^{2}-12 \\ & 4t^{2}-12 \\ & - \quad \quad + \\ \hline & 0\end{array}
शेषफल शून्य है

P(x)=2 t^{4}+3 t^{3}-2 t^{2}-9 t-12 \\ g(x)=t^{2}-3 \\ q(x)=2 t^{2}+3 t+4 \\ r(x)=0 \\ p(x)=g(x) \times q(x)+r(x) \\ 2 t^{4}+3 t^{3}-2 t^{2}-9t-12 \\ = \left(t^{2}-3\right)\left(2 t^{2}+3 t+4\right)+0 \\ =2 t^{4}+3 t^{3}+4 t^{2}-6 t^{2}-9 t-12 \\ =2 t^{4}+3 t^{3}-2 t^{2}-9 t-12

अतः विभाजन एल्गोरिथ्म से प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
(ii) x^{2}+3 x+1,3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2
Solution: x^{2}+3 x+1,3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2 

\begin{array}{c|c} & 3 x^{2}-4 x+2\\ \hline x^{2}+3 x+1 & 3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2 \\ & 3 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2} \\ & - \quad - \quad - \quad \quad \\ \hline & -4 x^{3}-10 x^{2}+2 x+2 \\ & -4 x^{3}-12 x^{2}-4 x \\ &+ \quad + \quad + \quad \quad \\ \hline & 2 x^{2}+6 x+2 \\ & 2 x^{2}+6 x+2 \\ & - \quad - \quad - \\ \hline & 0\end{array}
शेषफल r(x)=0 तथा

P(x)=3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2 \\ g(x)=x^{2}+3 x+1 \\ q(x)=3 x^{2}-4 x+2 \\ P(x)=g(x) \times q(x)+r(x) \\ 3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2=\left(x^{2}+3 x+1\right)\left(3 x^{2}+4 x+2\right)+0 \\ =3 x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+9 x^{3}-12 x^{2}+6 x+3 x^{2}-4 x+2 \\ =3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2
अतः विभाजन एल्गोरिथ्म से प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
(iii) x^{3}-3 x+1, x^{5}-4 x^{3}+x^{2}+3 x+1
Solution: x^{3}-3 x+1, x^{5}-4 x^{3}+x^{2}+3 x+1

\begin{array}{c|c} & x^{2}-1\\ \hline x^{3}-3x+1 & x^{5}-4 x^{3}+x^{2}+3 x+1\\ & x^{5}-3 x^{3}+x^{2} \\ & - \quad + \quad - \quad \quad \\ \hline & -x^{3}+3 x+1 \\ & -x^{3}+3 x-1\\ &+ \quad - \quad + \quad \\ \hline & 2\end{array}
शेषफल r(x)=2 तथा

p(x)=x^{5}-4 x^{3}+x^{2}+3 x+1 \\ g(x)=x^{3}-3 x+1 \\ q(x)=x^{2}-1 \\ p(x)=g(x) \times q(x)+r(x) \\ x^{5}-4 x^{3}+x^{2}+3 x+1=(x^{3}-3 x+1) (x^{2}-1)+2 \\ =x^{5}-x^{3}-3 x^{3}+3 x+x^{2}-1+2 \\ =x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1
अतः विभाजन एल्गोरिथ्म से प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।
Example:3. 3 x^{4}+6 x^{3}-2 x^{2}-10 x-5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक \sqrt{\frac{5}{3}} और -\sqrt{\frac{5}{3}} हैं।
Solution:बहुपद के दो शून्यक \sqrt{\frac{5}{3}} और -\sqrt{\frac{5}{3}} हैं अतः x=\sqrt{\frac{5}{3}}, \quad x=-\sqrt{\frac{5}{3}} \\ \Rightarrow  (\sqrt{3} x-\sqrt{5}) तथा (\sqrt{3} x+\sqrt{5}) बहुपद के गुणनखण्ड हैं।

(\sqrt{3} x-\sqrt{5})(\sqrt{3} x+\sqrt{5})=3 x^{2}-5 \\ \begin{array}{c|c} & x^{2}+2 x+1\\ \hline 3x^{2}-5 & 3 x^{4}+6 x^{3}-2 x^{2}-10 x-5 \\ & 3 x^{4} \quad \quad \quad -5 x^{2} \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad \quad + \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \hline & 6 x^{3}+3 x^{2}-10 x-5 \\ & 6 x^{3} \quad \quad \quad -10 x \quad \quad \\ &- \quad \quad \quad \quad + \quad \quad \quad \\ \hline & 3 x^{2}-5 \\ & 3 x^{2}-5 \\ & - \quad \quad + \quad \\ \hline & 0\end{array} \\ x^{2}+2 x+1 \\ \Rightarrow x^{2}+x+x+1 \\ \Rightarrow x(x+1)+1(x+1) \\ \Rightarrow (x+1)(x+1) \\ \Rightarrow (x+1)^{2}
अतः अन्य दो शून्यक होंगे:

x+1=0,x+1=0 \\ \Rightarrow x=-1,x=-1 \\ \Rightarrow x=-1,-1
अतः चार घात के बहुपद के चार शून्यक निम्न हैं:

\sqrt{\frac{5}{3}},-\sqrt{\frac{5}{3}} ,-1,-1

Example:4.यदि x^{3}-3 x^{2}+x+2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर,भागफल और शेषफल क्रमशः x-2 और -2x+4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
Solution:p(x)=x^{3}-3 x^{2}+x+2
भागफल q(x)=x-2
शेषफल r(x)=-2x+4
भाजक g(x)=?
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से:

p(x)=g(x) × q(x)+r(x) \\ \Rightarrow g(x) =\frac{p(x)-r(x)}{q(x)} \\ =\frac{x^{3}-3 x^{2}+x+2-(-2 x+4)}{x-2} \\ =\frac{x^{3}-3 x^{2}+x+2+2 x-4}{x-2} \\ \Rightarrow g(x) =\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2} \\ \begin{array}{c|c} & x^{2}-x+1\\ \hline x-2 & x^{3}-3x^{2}+3x-2 \\ & x^{3}-2x^{2} \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad + \quad \quad \quad \quad \\ \hline & -x^{2}+3x-2 \\ & -x^{2}+2x \quad \\ &+ \quad \quad - \quad \\ \hline & x-2 \\ & x-2 \\ & - \quad + \quad \\ \hline & 0\end{array} \\ g ( x ) = x^{2}-x+1 
Example:5.बहुपदों p(x),q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i)घात p(x)=घात q(x)
(ii)घात q(x)=घात r(x)
(iii)घात r(x)=0
Solution:(i)घात p(x)=घात q(x)
माना g(x)=3,p(x)= 6 x^{2}+9 x+3 \\ \begin{array}{c|c} & 2 x^{2}+3 x+1\\ \hline 3 & 6 x^{2}+9 x+3 \\ & 6x^{2} \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad \quad \quad \\ \hline & 9x \\ & 9x \\ & - \quad \\ \hline & 3 \\ & 3 \\ & - \quad \quad \\ \hline & 0\end{array}
अतः q(x)=2 x^{2}+3 x+1
विभाजन एल्गोरिथ्म से:
p(x)=g(x) × q(x)+r(x) \\ 6x^{2}+9 x+3 =3\left(2 x^{2}+3 x+1\right)+0 \\ =6 x^{2}+9 x+3
p(x) की घात=q(x) की घात=0
Solution:(ii)घात q(x)=घात r(x)
माना P(x)=x^{3}+3 x^{2}+2 x+5 \\ g(x)=x^{2}+5 \\ \begin{array}{c|c} & x+3\\ \hline x^{2}+5 & x^{3}+3 x^{2}+2 x+5 \\ & x^{3} \quad \quad \quad + 5 x \quad \\ & - \quad \quad \quad - \quad \quad \\ \hline & 3 x^{2}-3 x+5 \\ & 3 x^{2} \quad \quad +15 \\ & - \quad \quad \quad -\\ \hline & -3 x-10\end{array}
विभाजन एल्गोरिथ्म से:
p(x)=g(x) × q(x)+r(x) \\ x^{3}+3 x^{2}+2 x+5=\left(x^{2}+5\right)(x+3)+(-3 x-10) \\ =x^{3}+3 x^{2}+5 x+15-3 x-10 \\ =x^{3}+3 x^{2}+2 x+5 
अतः q(x)=x+3,r(x)=-3x-10
q(x) की घात=r(x) की घात=1
(iii)घात r(x)=0
Solution:माना p(x)=x^{2}+2 x+5
q(x)=x+1

\begin{array}{c|c} & x+1\\ \hline x+1 & x^{2}+2 x+5 \\ & x^{2}+x \quad \\ & - \quad - \quad \quad \\ \hline & x+5 \\ & x+1 \\ & - \quad -\\ \hline & 4\end{array}
विभाजन एल्गोरिथ्म से:
p(x)=g(x) × q(x)+r(x)

x^{2}+2 x+5=(x+1)(x+1)+4 \\ =x^{2}+2x+1+4 \\=x^{2}+2x+5
घात r(x)=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials) को समझ सकते हैं।

3.बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म के सवाल (Division Algorithm for Polynomials Questions):

(1.)3 x^{3}+x^{2}+2 x+5 को 1+2x+x^{2} से भाग दीजिए।
(2.)3 x^{2}-x^{3}-3 x+5 को x-1-x^{2} से भाग दीजिए और विभाजन एल्गोरिथ्म की सत्यता की जाँच कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)भागफल q(x)=3x-5, शेषफल r(x)=9x+10
(2.)भागफल q(x)=x-2,शेषफल r(x)=3
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.विभाजन एल्गोरिथ्म से आप क्या समझते हैं?.(What do you understand by division algorithm?):

उत्तर:यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं जहाँ g(x) \neq 0 हो तो हम बहुपद q(x) और r(x) ऐसे प्राप्त कर सकते हैं कि
p(x)=g(x) × q(x)+r(x)
जहाँ r(x)=0 है अथवा r(x) की घात <g(x) की घात है।यह निष्कर्ष बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कहलाता है।जहाँ p(x)=भाज्य, g(x)=भाजक, q(x)=भागफल तथा r(x)=शेषफल है।

प्रश्न:2.एक बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने के एल्गोरिथ्म की क्रियाविधि लिखिए।(Write the procedure of the algorithm to divide one polynomial by another):

उत्तर:हम सर्वप्रथम भाजक एवं भाज्य के पदों को घटती हुई घातों (आरोही क्रम) के क्रम में व्यवस्थित करते हैं।बहुपदों के पद इस प्रकार व्यवस्थित करने को मानक रूप में लिखना कहते हैं।मान लीजिए बहुपद (भाज्य) b x+a+a x^{2} है तब इसका मानक रूप ax^{2}+bx+c है।
स्टेप:1.भागफल का पहला पद प्राप्त करने के लिए,उच्चतम घात वाले पद (अर्थात्) ax^{2} को भाजक के उच्चतम घात वाले पद (अर्थात् x) से भाग दीजिए।यह ax हैं।जब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए।जो शेष बचता है वह (b-a)x+a है।यहाँ भाजक x+a है।
स्टेप:2.अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नया भाज्य [(b-a)x+a] को भाजक के उच्चतम घात वाले पद (x) से भाग दीजिए।इससे (b-a) मिलता है।पुनः भाग देने की प्रक्रिया [(b-a)x+a] के साथ कीजिए।
स्टेप:3.अब शेषफल a^{2}-ab+a की घात भाजक x+a से कम है।इसलिए भाग देने की क्रिया को ओर नहीं कर सकते हैं।

प्रश्न:3.द्विघात बहुपद के शून्यकों में क्या सम्बन्ध होता है? (What is the relation between the zeros of the quadratic polynomial?):

उत्तर:माना बहुपद ax^{2}+bx+c के शून्यक \alpha और \beta हों तो: \alpha+\beta=-\frac{b}{a}, \alpha \beta=\frac{c}{a}

प्रश्न:4.त्रिघात बहुपद के शून्यकों में क्या सम्बन्ध होता है? (What is the relation between the zeros of the cubic polynomial?):

उत्तर:यदि त्रिघात बहुपद के शून्यक \alpha, \beta, \gamma हों तो:
\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}, \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a} और \alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a}

प्रश्न:5.निम्नलिखित पर संक्षिप्त टिप्पणियां लिखिए (Write short notes on the following):

(i)रैखिक बहुपद (linear polynomial) (ii)द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) (iii)त्रिघात बहुपद (cubic polynomial)
उत्तर:(i)रैखिक बहुपद (linear polynomial):घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं।
(ii)द्विघात बहुपद (quadratic polynomial):घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं।
(iii)त्रिघात बहुपद (cubic polynomial):घात 3 के बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म
(Division Algorithm for Polynomials)

(Division Algorithm for Polynomials)

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials) में यदि त्रिघात बहुपद
दिया हुआ हो तथा एक शून्यक दिया हो तो अन्य दो शून्यक ज्ञात किए जा सकते हैं।

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