1.विलोपन विधि के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Examples of Elimination Method),विलोपन विधि कक्षा 10 (Elimination Method Class 10):

Imp Examples of Elimination Method

विलोपन विधि के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Elimination Method) के इस आर्टिकल में विलोपन विधि के कुछ महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विलोपन विधि के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Elimination Method):

गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि से निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:
Example:1. \frac{15}{x}+\frac{2}{y}=17 ; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{36}{5}
Solution: \frac{15}{x}+\frac{2}{y}=17 ; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{36}{5}\\  \frac{15}{x}+\frac{2}{y}=17 \ldots(1)
तथा \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{36}{5} \ldots(2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर:

\begin{array}{cc} \frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\frac{72}{5} \ldots(3) \\ \frac{15}{x}+\frac{2}{y}=17 \ldots(1) \\ - \quad \quad - \quad \quad -\quad \quad &   \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{array}
समीकरण (3) में से (1) को घटाने पर:

\frac{2}{x}-\frac{15}{x}=\frac{-17}{1}+\frac{72}{5} \\ \Rightarrow -\frac{13}{x}=\frac{-85+72}{5} \\ \Rightarrow -\frac{13}{x}=\frac{-13}{5} \\ \Rightarrow x=-13 \times \frac{5}{13} \\ \Rightarrow x=5
x के इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:

\frac{15}{5}+\frac{2}{y}=17 \\ \Rightarrow 3+\frac{2}{y}=17 \\ \Rightarrow \frac{2}{y}=17-3 \\ \Rightarrow \frac{2}{y}=14 \\ \Rightarrow y=\frac{2}{14}=\frac{1}{7} \\ \Rightarrow x=5, y=\frac{1}{7}
Example:2.6x+5y=8xy;8x+3y=7xy
Solution:6x+5y=8xy;8x+3y=7xy
6x+5y=8xy  …….(1)
8x+3y=7xy ……. (2)
समीकरण (1) व (2) में xy का भाग देने पर:

\frac{6 x}{x y}+\frac{5 y}{x y}=\frac{8 x y}{x y} \Rightarrow \frac{5}{x}+\frac{6}{y}=8 \ldots(3) \\ \frac{8 x}{x y}+\frac{3 y}{x y}=\frac{7 x y}{x y} \Rightarrow \frac{3}{x}+\frac{8}{y}=7 \ldots(4)
अब माना कि \frac{1}{x}=u, \frac{1}{y}=v
तब समीकरण (3) व (4) निम्न रूप लेंगे:
6v+5u=8   …. (5)
8v+3u=7  …… (6)
समीकरण (5) को 3 से तथा समीकरण (6) को 5 से गुणा करने पर:
\begin{array}{cc}18 v+15 u=2 u \ldots(7)\\ 40 v+15 u=35 \ldots(8)  \\ - \quad \quad - \quad \quad - \quad \quad \quad \quad  & \text{ घटाने पर } \\ \hline  \end{array} \\ -22 v=-11 \\ \Rightarrow v=\frac{-11}{-22} \\ \Rightarrow v=\frac{1}{2}
v का मान समीकरण (6) में रखने पर:
8\left(\frac{1}{2}\right)+3 u=7 \\ \Rightarrow 3 u=7-4 \\ \Rightarrow 3 u=3 \\ \Rightarrow u=\frac{3}{3}=1 \Rightarrow \frac{1}{x}=1 \Rightarrow x=1 \\ v=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{2} \Rightarrow y=2
अभीष्ट हल है:x=1,y=2
Example:3.4x+5y=31;7x-2y=22
Solution:4x+5y=31;7x-2y=22
\Rightarrow 4 x+5 y =31 \ldots(1) \\ 7 x+2 y =22 \ldots(2)
समीकरण (1) को 2 तथा समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर:
\begin{array}{cc} 8 x+10 y=62 \ldots(3)\\ 35 x-10 y=110 \ldots(4) \\ & \text{जोड़ने पर} \\ \hline \end{array} \\ 43 x=172 \\ \Rightarrow x=\frac{172}{43}=4
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
4 \times 4+5 y =31 \\ \Rightarrow 5 y =31-16 \\ \Rightarrow 5 y =15 \\ \Rightarrow y =\frac{15}{5}=3 \\ \Rightarrow x=4, y=3
Example:4.-30x+42y=-29;18x+30y+1=0
Solution:-30x+42y=-29;18x+30y+1=0
-30x+42y=-29  …… (1)
18x+30y=-1    …….. (2)
समीकरण (1) को 5 से तथा (2) को 7 से गुणा करने पर:
\begin{array}{cc}-150 x+210 y=-145 \ldots(3) \\ 126 x+210 y=-7 \ldots(4)\\ - \quad \quad - \quad \quad + \quad \quad \quad \quad & \text{ घटाने पर }\\ \hline \end{array} \\ -276 x=-138 \\ \Rightarrow x=\frac{-138}{-276} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2}
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
-30 \times \frac{1}{2}+42 y=-29 \\ \Rightarrow-15+42 y=-29 \\ \Rightarrow 42 y=-29+15 \\ \Rightarrow 42 y=-14 \\ \Rightarrow y=-\frac{14}{42} \\ \Rightarrow y=-\frac{1}{3} \\ x=\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{3}

Imp Examples of Elimination Method

Example:5. 8 x+9 y=1 ; 12 x-5 y=7 \frac{2}{3}
Solution: 8 x+9 y=1 ; 12 x-5 y=7 \frac{2}{3} \\ 8 x+9 y=1 \ldots(1)\\ 12 x-5 y=\frac{23}{3} \\ \Rightarrow 36 x-15 y=23 \ldots(2)
समीकरण (1) को 5 से तथा (2) को 3 से गुणा करने पर:
\begin{array}{rr} 40 x+45 y=5 \ldots(3)\\ 108 x-45 y=69 \ldots(4)\\ & \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ 148 x =74 \\ \Rightarrow x =\frac{74}{148}=\frac{1}{2}
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
8 \times \frac{1}{2}+2 y=1 \\ \Rightarrow 4+9 y=1 \\ \Rightarrow 9 y=1-4 \\ \Rightarrow 9 y=-3 \\ \Rightarrow y=-\frac{3}{9} \\ \Rightarrow y=-\frac{1}{3} \\ x=\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{3}
Example:6.2x-9=y-x-7=5x-6y
Solution:2x-9=y-x-7=5x-6y
प्रथम दो से :2x-9=y-x-7
\Rightarrow 3x-y=2  ….. (1)
अन्तिम दो से:
y-x-7=5x-6y
\Rightarrow 6x-7y=-7  ….. (2)
समीकरण (1) को 7 से गुणा करने पर:
\begin{array}{rr}21 x-7 y=14 \ldots(3)\\ 6 x-7 y=-7 \ldots(2) \\ - \quad \quad + \quad \quad + \quad \quad \quad & \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ 15 x=21 \\ \Rightarrow x=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

3 \times \frac{7}{5}-y=2 \\ \Rightarrow y=\frac{21}{5}-2=\frac{21-10}{5}=\frac{11}{5} \\ \Rightarrow x=\frac{7}{5}, y=\frac{11}{5}
Example:7.एक विद्यालय के दो कमरों A और B में कुछ विद्यार्थी बैठे हैं।जब A से 10 विद्यार्थी B में भेज दिए जाते हैं तो दोनों कमरों में विद्यार्थियों की संख्या समान हो जाती है और जब 20 विद्यार्थी B से A में भेज दिए जाते हैं तब A के विद्यार्थियों की संख्या B की प्रारम्भिक संख्या से दुगुनी हो जाती है।प्रत्येक कमरे के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना विद्यालय के कमरा A में विद्यार्थियों की संख्या x तथा कमरा B में y विद्यार्थी हैं।
जब कमरा A से B में 10 विद्यार्थी भेजे जाते हैं
x-10=y+10 \Rightarrow x-y=20 \ldots(1)
जब कमरा B से A में 20 विद्यार्थी A में भेजे जाते हैं।
x+20=2 y \Rightarrow x-2 y=-20 \ldots(2)
समीकरण (1) में से (2) घटाने पर
y=40
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x-40=20 \Rightarrow x=60
अतः कमरे A में विद्यार्थियों की संख्या=60
कमरे B में विद्यार्थियों की संख्या=40
Example:8.एक त्रिभुज ABC में \angle A=x^{\circ}, \angle B=3 x^{\circ} और \angle C=y^{\circ} है।यदि 3y°-5x°=30° हो तो तब सिद्ध कीजिए कि यह एक समकोण त्रिभुज है।
Solution: \triangle ABC में \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}
(त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
\Rightarrow x^{\circ}+3 x^{\circ}+y^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow 4 x^{\circ}+y^{\circ} =180^{\circ} \ldots(1) \\ -5 x^{\circ}+3 y^{\circ}=30^{\circ} \ldots(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर:
\begin{array}{rr} 12 x^{\circ}+3 y^{\circ}=540^{\circ} \ldots(3) \\ -5 x^{\circ}+3 y^{\circ}=30^{\circ} \ldots(2) \\ + \quad \quad - \quad \quad - \quad \quad \quad & \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ 17 x^{\circ}=510^{\circ} \\ \Rightarrow x^{\circ}=\frac{510^{\circ}}{17} \Rightarrow x^{\circ}=30^{\circ}

x° का मान \angle B=3 x^{\circ} में रखने पर:
\Rightarrow \angle B=3 \times 30^{\circ}=90^{\circ}
x° का मान समीकरण (1) में रखने पर:
4 \times 30^{\circ}+y^{\circ}=180^{\circ} \Rightarrow y^{\circ}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ} \\ \angle A=30^{\circ}, \angle B=90^{\circ}, \angle C=60^{\circ}
अतः \triangle ABC त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विलोपन विधि के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Elimination Method),विलोपन विधि कक्षा 10 (Elimination Method Class 10) को समझ सकते हैं।

3.विलोपन विधि के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Imp Examples of Elimination Method):

Imp Examples of Elimination Method

गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि से निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:
(1.)4x-3y=9;5x+3y=18 (2.)2y=-3(x+1);5x=7y-5
उत्तर (Answers):(1.)x=3,y=1 (2.)x=-1,y=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विलोपन विधि के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Elimination Method),विलोपन विधि कक्षा 10 (Elimination Method Class 10) को समझ सकते हैं।

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4.विलोपन विधि के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Examples of Elimination Method),विलोपन विधि कक्षा 10 (Elimination Method Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विलोपन विधि के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Elimination Method) के इस
आर्टिकल में विलोपन विधि के कुछ महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।