1.त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10),त्रिकोणमिति कक्षा 10 (Trigonometry Class 10):

Introduction to Trigonometry Class 10

त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10) में त्रिकोणमितीय अनुपात तथा उस पर आधारित सवालों के बारे में बताया गया है।
त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios) :
\sin A=\frac{\text { कोण A की सम्मुख भुजा }}{\text { कर्ण }}=\frac{B C}{A C}\\ \cos A=\frac{\text { कोण A की संलग्न भुजा }}{\text { कर्ण }}=\frac{A B}{A C}\\ \tan A=\frac{\text { कोण A की सम्मुख भुजा }}{\text { कोण A की संलग्न भुजा }}=\frac{B C}{A B}\\ \operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}=\frac{\text { कर्ण }}{\text { कोण A की सम्मुख भुजा }}=\frac{A C}{B C}\\ \sec A=\frac{1}{\cos A}= \frac{\text { कर्ण } }{\text { कोण A की संलग्न भुजा }}=\frac{A C}{A B}\\ \cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\text { कोण A की संलग्न भुजा }}{\text { कोण A की सम्मुख भुजा }}=\frac{AB}{BC}\\ \tan A=\frac{\sin A}{\cos A} ; \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}
त्रिकोणमितीय अनुपातों में पारस्परिक सम्बन्ध (Relation Among Trigonometric Ratios):

\sin \theta=\frac{1}{\operatorname{cosec} \theta}, \operatorname{cosec} \theta=\frac{1}{\sin \theta }, \sin \theta \operatorname{cosec} \theta=1 \\ \cos \theta=\frac{1}{\sec \theta} , \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta} , \sec \theta \cos \theta=1 \\ \tan \theta=\frac{1}{\cot \theta }, \cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}, \tan \theta \cot \theta=1
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Sector and Distance Formula Class 10

2.त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Introduction to Trigonometry Class 10 Solved Examples):

Example:1. \triangle ABC में जिसका कोण B समकोण है,AB=24 और BC=7cm है।निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
1(i). \sin A, \cos A
Solution:1(i).  \text { कर्ण }=\sqrt{\text { लम्ब }^{2}+\text { आधार }^{2}} \\ \text { कर्ण } =\sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}} \\ =\sqrt{576+49} \\ =\sqrt{625} \\ \Rightarrow \text { कर्ण } =25 \\ \sin A =\frac{\text { लम्ब  }}{कर्ण}=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25} \\ \cos A =\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{75}
1(ii). \sin C, \cos C
Solution:1(ii). \sin C, \cos C \\ \sin C=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25} \\ \cos C=\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25} 
Example:2.आकृति में \tan P-\cot P का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:आधार Q R=\sqrt{\text { कर्ण }^{2}-\text { लम्ब }^{2}} \\ =\sqrt{13^{2}-12^{2}} \\ =\sqrt{169-144} \\ =\sqrt{25} \\ \text { आधार }=5 \\ \tan P-\cot R \\ =\frac{5}{12}-\frac{5}{12}=0  
Example:3.यदि \sin A=\frac{3}{4} तो \cos A और  \tan A का मान परिकलित कीजिए।
Solution: \sin A=\frac{3}{4}=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }} \\ \text { आधार }=\sqrt{\text { कर्ण }^{2}-\text { लम्ब }^{2}}\\ =\sqrt{(4)^{2}-(3)^{2}}\\ =\sqrt{16-9}\\ \text { आधार }=\sqrt{7}\\ \cos A=\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{\sqrt{7}}{4}\\ \tan A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{3}{\sqrt{7}}
Example:4.यदि 15 \cot A=8 हो तो \sin A और \sec A का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:15 \cot A=8 \\ \Rightarrow \cot A =\frac{8}{15}=\frac{\text { आधार }}{\text { लम्ब }} \\ \text { कर्ण } =\sqrt{\text { आधार }^{2}+\text { लम्ब }^{2}} \\ =\sqrt{8^{2}+15^{2}} \\ =\sqrt{64+225} \\ =\sqrt{289} \\ \Rightarrow \text { कर्ण } =17 \\ \sin A =\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{15}{17} \\ \sec A =\frac{\text { कर्ण }}{\text { आधार }}=\frac{17}{8}
Example:5.यदि \sec A=\frac{13}{12} हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
Solution: \sec A=\frac{13}{12}=\frac{\text { कर्ण }}{\text { आधार }} \\ \text { लम्ब } =\sqrt{\text { कर्ण }^{2}-(\text { आधार } )^{2}} \\ =\sqrt{(13)^{2}-(12)^{2}}\\ =\sqrt{165-144}\\ =\sqrt{25}\\ \text { लम्ब }=5  \\ \sin A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{5}{13}\\ \cos A=\frac{ \text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{12}{13}\\ \tan A= \frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{5}{12}\\ \cot A=\frac{\text { आधार }}{\text { लम्ब }}=\frac{12}{5}\\ \operatorname{cosec} A=\frac{\text { कर्ण }}{\text { लम्ब }}=\frac{13}{5}
Example:6.यदि \angle A और \angle B न्यूनकोण हो जहाँ \cos A=\cos B तो दिखाइए कि \angle A = \angle B
Solution: \cos A=\frac{A C}{A R} \\ \cos B=\frac{B Q}{B P} \\ \Rightarrow \frac{A C}{A R}=\frac{B Q}{B P}=K \cdots(1) \\ \Rightarrow AC=k \cdot AR , BQ=k \cdot BP

Introduction to Trigonometry Class 10

\triangle ARC में पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) से:

(1) से:- \frac{A C}{B Q}=\frac{A R}{B P} \cdots(3)

(2) (3) से \frac{A C}{B Q}=\frac{A R}{B P}=\frac{C R}{P Q} \\ \therefore \triangle ACR \sim \triangle BQP \\ \angle A=\angle B
Example:7.यदि \cot \theta=\frac{7}{8} तो
(i) \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} (ii)\cot ^{2} \theta का मान निकालिए:
Solution:7(i). \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} \\ \Rightarrow \frac{1-\sin ^{2} \theta}{1-\cos ^{2} \theta} \\ \Rightarrow \frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta} \\ \Rightarrow \cot^{2} \theta \\ \Rightarrow \left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}
7(ii). \cot ^{2} \theta \\ =\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}
Example:8.यदि 3 \cot A=4 तो जाँच कीजिए कि \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A
Solution: \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A \\ 3 \cot A=4 \\ \cot A=\frac{4}{3}=\frac{\text { आधार }}{\text { लम्ब }} \\ \text { कर्ण } =\sqrt{\text { आधार }^{2}+\text { लम्ब }^{2}} \\ =\sqrt{4^{2}+3^{2}} \\ =\sqrt{16+9}=\sqrt{25} \\ \text { कर्ण } =5  Hrs.

L.H.S. \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} \\ =\frac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}} \\=\frac{16-9}{\frac{16+9}{16}}=\frac{7}{25}

R.H.S. \cos^{2} A-\sin ^{2} A \\ =\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-\left(\frac{3}{5}\right)^{2} \\ = \frac{16}{25}-\frac{9}{25} \\ = \frac{16-9}{25} \\ = \frac{7}{25}

L.H.S.=R.H.S.
Example:9.त्रिभुज ABC में जिसका कोण B समकोण है यदि \tan A=\frac{1}{\sqrt{3}} तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

(i) \sin A \cos C+\cos A \sin C (ii) \cos A \cos C-\sin A \sin C
Solution:9(i). \sin A \cos C+\cos A \sin C\\ \tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}\\ \text { कर्ण }=\sqrt{\text { (लम्ब) }^{2}+(\text { आधार })^{2}}\\ =\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}}\\ =\sqrt{3+1}\\ \text { कर्ण }=2\\ \sin A \cos C+\cos A \sin C\\ =\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\ =\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1
Solution:9(ii). \cos A \cos C-\sin A \sin C \\ =\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}=0
Example:10. \triangle PQR में जिसका कोण Q समकोण है, PR+QR=25 cm और PQ=5cm है।\sin P, \cos P और \tan P के मान ज्ञात कीजिए।
Solution:PR+QR=25
PQ=5
माना PR=x, QR=25-x
समकोण \triangle PQR में पाइथागोरस प्रमेय से:
\text{ कर्ण }^{2}=\text{ लम्ब }^{2}+\text{ आधार }^{2} \\ P R^{2}=P Q^{2}+Q R^{2} \\ x^{2}=5^{2}+(25-x)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}=25+625-50 x+x^{2} \\ \Rightarrow 50 x=650 \\ \Rightarrow x=\frac{650}{50} \\ \Rightarrow x=13
PR=13,QR=25-13=12,PQ=5
\sin P=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{Q R}{P R}=\frac{12}{13} \\ \cos P=\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{P Q}{P R}=\frac{5}{13} \\ \tan P=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{12}{5}

Introduction to Trigonometry Class 10

Example:11.बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य।कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
11(i). \tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
Solution:11(i). \tan A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \\ \tan A का मान 1 से कम तभी हो सकता है जब लम्ब आधार से छोटा हो परन्तु ऐसा सदैव सत्य नहीं होता।
अतः कथन असत्य है।
11(ii).कोण A के किसी मान के लिए

\sec A=\frac{12}{5}
Solution:11(ii). \sec A=\frac{12}{5} होना सदैव आवश्यक नहीं है।परन्तु किसी कोण के लिए ऐसा सम्भव है।
अतः कथन सत्य है।
11(iii) \cos A,कोण A के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
Solution:11(iii). \cos A कोण A की cosine का संक्षिप्त रूप है।
अतः दिया हुआ कथन असत्य है।
11(iv). \cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
Solution:11(iv). \cot A में cot का स्वतन्त्र रूप से कोई अस्तित्व नहीं है। अतः \cot A, cot और A का कभी भी गुणनफल नहीं होता है।
फलतः कथन असत्य है।
11(v).किसी भी कोण \theta के लिए \sin \theta=\frac{4}{3}
Solution:11(v).\sin \theta=\frac{4}{3}=\frac{\text{ लम्ब }}{\text{ कर्ण }}
परन्तु समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है जबकि इसमें कर्ण का मान छोटा है।
अतः कथन असत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10),त्रिकोणमिति कक्षा 10 (Trigonometry Class 10) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 की समस्याएँ (Introduction to Trigonometry Class 10 Problems):

Introduction to Trigonometry Class 10

(1.)यदि \sin \theta=\frac{12}{13} तो \tan \theta का मान क्या होगा?
(2.)यदि \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} तो \sin \theta का मान क्या होगा?
(3.)यदि \operatorname{cosec} A=\frac{13}{5} हो तो अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करो।
उत्तर (Answers):(1.) \tan \theta=\frac{12}{5} (2.) \sin \theta=\frac{1}{2} (3.) \sin A=\frac{5}{13}, \cos A=\frac{12}{13}, \tan A=\frac{5}{12}, \cot A=\frac{12}{5} , \sec A=\frac{13}{12}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10),त्रिकोणमिति कक्षा 10 (Trigonometry Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Area of a triangle with three vertices

4.त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10),त्रिकोणमिति कक्षा 10 (Trigonometry Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिकोणमिति का परिचय कक्षा 10 (Introduction to Trigonometry Class 10) में
त्रिकोणमितीय अनुपात तथा उस पर आधारित सवालों के बारे में बताया गया है।