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LCM of Integers by Prime Factorisation

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1 1.अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM (LCM of Integers by Prime Factorisation),अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का HCF (HCF of Integers by Prime Factorisation Method):
1.2 3.अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM के सवाल (LCM of Integers by Prime Factorisation Questions),अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का HCF के सवाल (HCF of Integers by Prime Factorisation Method Questions):

1.अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM (LCM of Integers by Prime Factorisation),अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का HCF (HCF of Integers by Prime Factorisation Method):

अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM (LCM of Integers by Prime Factorisation) ज्ञात करने के लिए पूर्णांकों के अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में रखा जाता है।जैसे:1771=7×11×23,5313=3×7×11×23,10626=2×3×7×11×23 इत्यादि।
इससे हमें यह अनुमान या कंजेक्चर (Conjecture) प्राप्त होता है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।वास्तव में यह कथन सत्य है तथा पूर्णांकों के अध्ययन में एक अति महत्त्वपूर्ण स्थान रखता है।इसी कारण यह कथन अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) कहलाता है।इसका प्रयोग LCM और HCF ज्ञात करने में किया जाता है।
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2.अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM के उदाहरण (LCM of Integers by Prime Factorisation Examples),अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM तथा HCF के उदाहरण (LCM and HCF by Prime Factorisation Method Examples):

Example:1.निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्ड के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i)140
Solution:140

\begin{array}{l|l} 2 & 140 \\ \hline 2 & 70 \\ \hline 5 & 35 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \end{array}  

140=2×2×5×7

\Rightarrow 140=2^{2} \times 5\times 7
(ii)156
Solution:156

\begin{array}{l|l} 2 & 156 \\ \hline 2 & 78 \\ \hline 3 & 39 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 156=2^{2} \times 3 \times 13
(iii)3825
Solution:3825

\begin{array}{l|l} 3 & 3825 \\ \hline 3 & 1275 \\ \hline 5 & 425 \\ \hline 5 & 85 \\ \hline 17 & 17 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 3825=3^{2} \times 5^{2} \times 17
(iv)5005
Solution:5005

\begin{array}{l|l} 5 & 5005 \\ \hline 7 & 1001 \\ \hline 11 & 143 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1\end{array}
5005=5×7×11×13
(v)7429
Solution:7429

\begin{array}{c|c} 17 & 7429 \\ \hline 19 & 437 \\ \hline 23 & 23 \\ \hline & 1 \end{array}
7429=17×19×23
(vi)7650
Solution:7650

\begin{array}{l|l}2 & 7650 \\ \hline 3 & 3825 \\ \hline 3 & 1275 \\ \hline 5 & 425 \\ \hline 5 & 85 \\ \hline 17 & 17 \\ \hline & 1\end{array} \\ 7650=2 \times 3^{2} \times 5^{2} \times 17
(vii)10010
Solution:10010

\begin{array}{c|c}2 & 10010 \\ \hline 5 & 5005 \\ \hline 7 & 1001 \\ \hline 11 & 143 \\ \hline 13 & 13 \\\hline & 1 \end{array}
10010=2×5×7×11×13
(viii)1176
Solution:1176

\begin{array}{l|l} 2 & 1176 \\ \hline 2 & 588 \\ \hline 2 & 294 \\ \hline 3 & 147 \\ \hline 7 & 49 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 1176=2^{3} \times 3 \times 7^{2}
Example:2.पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल= HCF×LCM
(i)26 और 91
Solution:26 और 91

\begin{array}{l|l} 2 & 26 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1 \end{array}
26=2×13×1

\begin{array}{l|l} 7 & 91 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1 \end{array}
91=7×13×1
HCF=उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों में (न्यूनतम घातांक या बराबर घातांक) का गुणनफल
HCF=13
LCM=सभी अधिकतम घातांक वाले अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल
=2×7×13
LCM=182
दोनों संख्याओं का गुणनफल=26×91
=2366
LCM×HCF=13×182=2366
अतः दोनों संख्याओं का गुणनफल=LCM×HCF
(ii)510 और 92
Solution:510 और 92

\begin{array}{l|l} 2 & 510 \\ \hline 3 & 255 \\ \hline 5 & 85 \\ \hline 17 & 17 \\ \hline & 1 \end{array}
510=2×3×6×5×17×1

\begin{array}{l|l} 2 & 92 \\ \hline 2 & 46 \\ \hline 23 & 23 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 92=2^{2} \times 23 \times 1
HCF=उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों (न्यूनतम घातांक या बराबर घातांक) का गुणनफल
\Rightarrow HCF=2
LCM=सभी अधिकतम घातांक वाले अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल
LCM=2^{2} \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 =23460
दोनों संख्याओं का गुणनफल=510×92=46920
LCM×HCF=2×23460=46920
अतः दोनों संख्याओं का गुणनफल=LCM×HCF
(iii)336 और 54
Solution:336 और 54

\begin{array}{l|l} 2 & 336 \\ \hline 2 & 168 \\ \hline 2 & 84 \\ \hline 2 & 42 \\ \hline 3 & 21 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 336=2^{4} \times 3 \times 7 \times 1 \\ \begin{array}{l|l} 2 & 54 \\ \hline 3 & 27 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 54=2 \times 3^{3} \times 1
HCF=उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों में (न्यूनतम घातांक या बराबर घातांक) का गुणनफल
\Rightarrow HCF=2×3=6
LCM=सभी अधिकतम घातांक वाले अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल

=2^{4} \times 3^{3} \times 7 \\ \Rightarrow  LCM=3024
दोनों संख्याओं का गुणनफल=336×54=18144
LCM×HCF=6×3024=18144
अतः दोनों संख्याओं का गुणनफल=LCM×HCF
Example:3.अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए:
(i)12,15 और 21
Solution:12,15 और 21

\begin{array}{l|l} 2 & 12 \\ \hline 2 & 6 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 12=2^{2} \times  3 \times 1 \\ \begin{array}{l|l} 3 & 15 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \end{array}

15=3×5×1

\begin{array}{l|l} 3 & 21 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 12=2^{2} \times 3
15=3×5×1
21=3×7×1
HCF=तीनों संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखण्डों (न्यूनतम घातांकों या बराबर घातांक) का गुणनफल
HCF=3
LCM=तीनों संख्याओं में सभी अधिकतम घातांक वाले अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल

=2^{2} \times 3 \times 5 \times 7 \\ \Rightarrow LCM=420
अतः HCF=3
LCM=420
(ii)17,23 और 29
Solution:17,23 और 29
17=17×1
23=23×1
29=29×1
HCF=तीनों संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखण्डों (न्यूनतम घातांक या बराबर घातांक) का गुणनफल
\Rightarrow HCF=1
LCM=तीनों संख्याओं में सभी अधिकतम घातांक वाले अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल
LCM=17×23×29=11339

\Rightarrow HCF=11339
अतःHCF=1,LCM=11339
(iii)8,9 और 25
Solution:8,9 और 25

\begin{array}{l|l} 2 & 8 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 2 & 2 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 8=2^{3} \times 1 \\ \begin{array}{l|l} 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 9=3^{2} \times 1 \\ \begin{array}{l|l} 5 & 25 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 8=2^{3} \times 1 \\ 9=3^{2} \times 1 \\ 25=5^{2} \times 1
HCF=तीनों संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखण्डों (न्यूनतम घातांक या बराबर घातांक) का गुणनफल
HCF=1
LCM=तीनों संख्याओं में सभी अधिकतम घातांक वाले अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल

=2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2}
\Rightarrow LCM=1800
अतः HCF=1,LCM=1800
Example:4.HCF(306,657)=9 दिया है।LCM(306,657) ज्ञात कीजिए:
Solution:LCM×HCF=प्रथम संख्या×द्वितीय संख्या

LCM=\frac{ \text{प्रथम संख्या×द्वितीय संख्या}}{\text{HCF}} \\ \Rightarrow LCM=\frac{306 \times 657}{9} \\ \Rightarrow LCM=22338

Example:5.जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए,संख्या 6^{n} अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
Solution:यदि किसी संख्या n \in N के लिए संख्या 6^{n} शून्य पर समाप्त होगी तो वह 5 से विभाज्य होगी।अर्थात् 6^{n} के अभाज्य गुणनखण्डन में अभाज्य संख्या 5 आनी चाहिए परन्तु यह संभव नहीं है क्योंकि 6^{n}=(2 \times 3)^{n} है। 6^{n} के गुणनखण्डन में केवल अभाज्य 2 व 3 ही आ सकती है।अंकगणित की आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय की अद्वितीयता हमें यह निश्चित कराती है कि 6^{n} के गुणनखण्डन में 2 व 3 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है।इसलिए ऐसी कोई संख्या n नहीं है जिसके लिए 6^{n} अंक 0 पर समाप्त होती है।
Example:6.व्याख्या कीजिए कि 7×11×13+13  और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं?
Solution:7×11×13+13
=13 (7×11+1)
=13×78
=13×2×3×13
यह अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि 2,3,13 इसके गुणनखण्ड हैं।अतः यह भाज्य संख्या है।
7×6×5×4×3×2×1+5
=5 (7×6×4×3×2+5)
=5 (1008+1)
=5×1009
यह भी अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि 5 इसका गुणनखण्ड है।अतः यह भाज्य संख्या है।
Example:7.किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है।इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं।मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं।कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?
Solution:सोनिया एक चक्कर लगाती है=18 मिनट में
रवि एक चक्कर लगाता है=12 मिनट में
वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे=LCM(18,12)

\begin{array}{l|l} 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array}

\begin{array}{l|l} 2 & 12 \\ \hline 2 & 6 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 18=2 \times 3^{2} \\ 12=2^{2} \times 3

LCM=2^{2} \times 3^{2} \\ 4 \times 9 \\ \Rightarrow LCM=36
अतः सोनिया व रवि प्रारम्भिक स्थान पर 36 मिनट बाद मिलेंगे।
Example:8.वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 2053 और 967 को विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 5 तथा 7 प्राप्त होता है।
Solution:2053 को अभीष्ट संख्या से विभाजित करने पर शेषफल 5 बचता है अतः 2053-5=2048 पूर्णतः विभाजित होगी।
इसी प्रकार 967 को अभीष्ट संख्या से विभाजित करने पर शेषफल 7 बचता है अतः 967-7=960 पूर्णतः विभाजित होगी।

\begin{array}{c|c} 2 & 2048 \\ \hline 2 & 1024 \\ \hline 2 & 512 \\ \hline 2 & 256 \\ \hline 2 & 128 \\ \hline 2 & 64 \\ \hline 2 & 32 \\ \hline 2 & 16 \\ \hline 2 & 8 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 2 & 2 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 2048=2^{11} \\ \begin{array}{l|l} 2 & 960 \\ \hline 2 & 480 \\ \hline 2 & 240 \\ \hline 2 & 120 \\ \hline 2 & 60 \\ \hline 2 & 30 \\ \hline 3 & 15 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 2048=2^{11} \\ 960=2^{6} \times 3 \times 5 \\ \text { HCF }=2^{6}=64
अतः अभीष्ट संख्या=64
Example:9.एक आयताकार बरामदा 18 मीटर 72 सेमी लम्बा तथा 13 मीटर 20 सेमी चौड़ा है।इसमें समान विमाओं वाली वर्गाकार टाइलें लगानी हैं।इस प्रकार की टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:बरामदे की लम्बाई=18 मीटर 72 सेमी =1872 सेमी
बरामदे की चौड़ाई=13 मीटर 20 सेमी=1320 सेमी
वर्गाकार टाइलों की संख्या ज्ञात करने के लिए HCF ज्ञात करना होगा।

\begin{array}{l|l} 2 & 1872 \\ \hline 2 & 936 \\ \hline 2 & 468 \\ \hline 2 & 234 \\ \hline 3 & 117 \\ \hline 3 & 39 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1 \end{array} \quad \quad \quad  \begin{array}{l|l}2 & 1320 \\ \hline 2 & 660 \\ \hline 2 & 330 \\ \hline 3 & 165 \\ \hline 5 & 55 \\ \hline 11 & 11 \\ \hline & 1\end{array}

1872=2^{4} \times 3^{2} \times 13 \\ 1320=2^{3} \times 3 \times 5 \times 11 \\ \text{HCF}=2^{3} \times 3=24
अतः वर्गाकार टाइल की भुजा=24 सेमी
टाइलों की संख्या=\frac{\text{आयताकार बरामदे का क्षेत्रफल }}{\text{वर्गाकार टाइल का क्षेत्रफल}}
=\frac{\text{(लम्बाई×चौड़ाई)}}{\text{(भुजा×भुजा)}}
टाइलों की संख्या=\frac{1872 \times 7320}{24 \times 24} \\ =4290
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM (LCM of Integers by Prime Factorisation),अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का HCF (HCF of Integers by Prime Factorisation Method) को समझ सकते हैं।

3.अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM के सवाल (LCM of Integers by Prime Factorisation Questions),अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का HCF के सवाल (HCF of Integers by Prime Factorisation Method Questions):

अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का HCF और LCM ज्ञात कीजिए:
(1.)6 और 20
(2.)96 और 404
(3.)6,72 और 120
उत्तर (Answers):(1.)HCF=2,LCM=60
(2.)HCF=4,LCM=9696
(3.)HCF=6,LCM=360
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM (LCM of Integers by Prime Factorisation),अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का HCF (HCF of Integers by Prime Factorisation Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM (LCM of Integers by Prime Factorisation),अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का HCF (HCF of Integers by Prime Factorisation Method) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अंकगणित की आधारभूत प्रमेय किसे कहते हैं? (What is the Fundamental Theorem of Arithmetic called?):

उत्तर:प्रत्येक भाज्य संख्या अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में गुणनखण्डित की जा सकती है जबकि अभाज्य संख्याओं के आनेवाले क्रम पर कोई विचार नहीं करते हैं।

प्रश्न:2.संयुक्त संख्या (भाज्य संख्या) किसे कहते हैं? (What is a composite number called?):

उत्तर:वह संख्या जिसका कम से कम एक गुणनखण्ड स्वयं तथा 1 के अतिरिक्त हो ऐसी संख्या भाज्य संख्या कहलाती है।

प्रश्न:3.महत्तम समापवर्तक (HCF) को परिभाषित करो। (Define the Highest Common Factor):

उत्तर:दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह बड़ी से बड़ी संख्या होती है जो दी गई संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है।

प्रश्न:4.लघुत्तम समापवर्तक (LCM) को स्पष्ट करो।(Explain the Lowest Common Multiple):

उत्तर:दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो दी गई संख्याओं से पूर्णतः विभाजित होती है।

प्रश्न:5.दो संख्याओं का LCM व HCF ज्ञात करने की विधि किस गणितज्ञ द्वारा ज्ञात की गई? (The method of determining the LCM and HCF of two numbers is known by which mathematician?):

उत्तर:यूक्लिड

प्रश्न:6.वास्तविक संख्याएँ किसे कहते हैं? (What is the real number called?):

उत्तर:परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।

प्रश्न:7.तीन संख्याओं के LCM और HCF ज्ञात करने का सूत्र लिखो।(Write the formula for finding the LCM and HCF of three numbers):

उत्तर:तीन संख्याओं के LCM और HCF ज्ञात करने का निम्न सूत्र हैं:
\operatorname{HCF}(p, q, r) \times \operatorname{LCM}(p, q, r) \neq p \times q \times r जहाँ p,q,r धनात्मक पूर्णांक है।
\operatorname{LCM}(p, q, r)=\frac{p \cdot q \cdot r H C F(p, q, r)}{\operatorname{HCF}(p, q) \cdot \operatorname{HCF}(q, r) \cdot \operatorname{HCF}(p, r)} \\ HCF(p, q, r)=\frac{p \cdot q \cdot r \operatorname{LCM}(p, q, r)}{\operatorname{LCM}(p, q) \cdot L C M(q, r) \cdot \operatorname{LCM}(p, r)}
Ex.40,36 और 126 का LCM और HCF ज्ञात करो।
p=40,q=36,r=126
40=2^{3} \times 5,36=2^{2} \times 3^{2}
126=2 \times 3^{2} \times 7
LCM(p,q,r)=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7=2520
HCF(p,q,r)=2
HCF(p,q)=4
HCF(q,r)=18
HCF(p,r)=2
सूत्र से:
LCM(p,q,r)=\frac{40 \times 36 \times 126 \times 2}{4 \times 18 \times 2}=2520
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM (LCM of Integers by Prime Factorisation),अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का HCF (HCF of Integer by Prime Factorisation Method) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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LCM of Integers by Prime Factorisation

अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM
(LCM of Integers by Prime Factorisation)

LCM of Integers by Prime Factorisation

अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा पूर्णांकों का LCM (LCM of Integers by Prime Factorisation) ज्ञात करने
के लिए पूर्णांकों के अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में रखा जाता है।

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