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Derivatives from Interpolation Formula

1.अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula):

अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) के लिए दिए हुए फलन को बहुपद में व्यक्त करके अन्तर्वेशन सूत्रों का प्रयोग किया जा सकता है और फिर इन बहुपदों से अवकलजों का मान अन्तर के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।जैसे यदि हम न्यूटन ग्रेगरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र लें तो

y=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !} \cdot \Delta^{2} y_{0}+\frac{u(u-1)(u-2)}{3!} \Delta^{3} y_{0}+\cdots(1)
जहाँ u=\frac{x-x_{0}}{h} \cdots(2)
चूँकि \frac{ d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}=\frac{1}{h} \frac{d y}{d u} \cdots(3)
इसलिए (1) का x के सापेक्ष अवकलन कर (3) का प्रयोग करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{1}{h} \cdot \frac{d y}{d u}=\frac{1}{h}\left[\Delta y_{0}+\frac{2 u-1}{2 !} \Delta^{2} y_{0}+\frac{3 u^{2}-6 u+2}{3!} \Delta^{3} y_{0}+\cdots\right]
इसी प्रकार पुनः अवकलन करने पर:

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} =\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d u}\left(\frac{d y}{d x}\right) \frac{d u}{d x}=\frac{1}{h} \frac{d}{d u}\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ =\frac{1}{h^{2}}\left[\Delta^{2} y_{0}+(u-1) \cdot \Delta^{3} y_{0}+\cdots\right] \cdots(5)
इसी प्रकार हम उच्च अवकलज ज्ञात कर सकते हैं।किसी निश्चित स्वतन्त्र चर x=x_{0} पर फलन का संख्यात्मक अवकलन ज्ञात करना
अब (4) तथा (5) में,x=x_{0} तब u=0 रखने पर:

\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=x_{0}}=\frac{1}{h}\left[\Delta y_{0}-\frac{1}{2 !} \Delta^{2} y_{0}+\frac{2}{3 !} \Delta^{3} y_{0}- \ldots\right]\cdots(6)
तथा \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{x=x_{0}}=\frac{1}{h^{2}}\left[\Delta^{2} y_{0}-\Delta^{3} y_{0}+\cdots\right] \cdots(7)
टिप्पणी (Note):उपर्युक्त प्रकार अन्तर्वेशन के अन्य सूत्रों जैसे न्यूटन,लग्रांज,स्टरलिंग,बेसल आदि का प्रयोग संख्यात्मक अवकलज ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
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2.अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज के साधित उदाहरण (Derivatives from Interpolation Formula Solved Examples):

Example:1.निम्न सारणी के फलन का x=3 पर प्रथम तथा द्वितीय अवकलज ज्ञात कीजिए।
(Find the first and second derivatives of the function tabulated below at the point x=3.0)

x3.03.23.43.63.84.0
f(x)-14.000-10.032-5.2960.2566.67214.000

Solution:फलन के आँकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ (अर्थात् h=0.2,a=3.0) है तथा x=3.0 पर फलन के अवकलज का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=3.0 सारणी के चर मानों के प्रारम्भ में हैं अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए न्यूटन ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) का प्रयोग वांछित होगा।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

xf(x)ΔyΔ^{2}yΔ^{3}yΔ^{4}y
3.0-14.000    
  3.968   
3.2-10.032 0.768  
  4.736 0.048 
3.4-5.296 0.816 0
  5.552 0.048 
3.60.256 0.864 0
  6.416 0.048 
3.86.672 0.912  
  7.328   
4.014.000    

न्यूटन ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) है:

f(a+x h)=f(a)+{}^{x}C_{1} \cdot \Delta f(a)+{}^{x}C_{2} \cdot \Delta^{2} f(a)+{}^{x}C_{3} \cdot \Delta^{3} f(a)+\cdots \cdot \\ \Rightarrow f(a+x h)=f(a)+x \Delta f(a)+\left(\frac{x^{2}-x}{2}\right) \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{x^{3}-3 x^{2}+2 x}{6}\right) \Delta^{3} f(a) \ldots \ldots(1)
सम्बन्ध (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष दो बार क्रमशः अवकलन करने पर:

h f^{\prime}(a+x h)=\Delta f(a)+\frac{2 x-1}{2} \Delta^{2} f(a)+\frac{3 x^{2}-6 x+2}{6} \Delta^{3} f(a)+\cdots(2)
तथा h^{2} f^{\prime \prime}(a+x h)=\Delta^{2} f(a)+(x-1) \Delta^{3} f(a)+\cdots(3)
चूँकि y=f(x) लिया गया है इसलिए हमको \left(\frac{d y}{d x}\right)_{3.0}=f^{\prime}(3.0) तथा \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{3.0}=f^{\prime \prime}(3.0) ज्ञात करना है।अतः
सम्बन्ध (2) तथा (3) में a=3.0,h=0.2 तथा a+xh=3.0 \Rightarrow 3.0+x(0.2)=3.0 \Rightarrow x=0 और सारणी से वांछित अन्तर प्रतिस्थापित करने पर:

(0.2) f^{\prime}(3.0)=3.968-\frac{1}{2}(0.768)+\frac{1}{3}(0.048)

अतः f^{\prime}(3.0)=\frac{3.968-0.384+0.016}{0.2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(3.0)=18
तथा (0.2)^{2} f^{\prime \prime}(3.0)=0.768-0.048 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(3.0)=\frac{0.720}{0.04} \Rightarrow f^{\prime \prime}(3.0)=18
Example:2.निम्न सारणी से केन्द्रीय अन्तर सारणी बनाकर x=1 पर ज्ञात कीजिये:
(Find at x=1 from the following table by constructing a central difference table):

xy
1198669
2295520
3389418
4479425
5564642
6644217

Solution:फलन के आँकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ (अर्थात् h=1,a=1) है तथा x=2 पर फलन के अवकलज का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=1 सारणी के चर मानों के प्रारम्भ में हैं अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए न्यूटन ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) का प्रयोग वांछित होगा।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

xy=f(x)ΔyΔ^{2}yΔ^{3}yΔ^{4}yΔ^{5}y
1198669     
  96851    
2295520 -2953   
  93898 -938  
3389418 -3891 39 
  90007 -899 8
4479425 -4790 47 
  85217 -852  
5564642 -5642   
  79575    
6644217     

न्यूटन ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) है:

f(a+x h)=f(a)+{}^{x}C_{1} \Delta f(a)+{}^{x}C_{2} \Delta^{2} f(a)+{}^{x}C_{3} \Delta^{3} f(a)+{}^{x}C_{4} \Delta^{4} f(a)+{}^{x}C_{5} \Delta f(a)+\cdots \\ \Rightarrow f(a+xh)=f(a)+x \Delta f(a)+\left(\frac{x^{2}-x}{2}\right) \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{x^{3}-3 x^{2}+2 x}{6}\right) \Delta^{3} f(a)+\cdots+\left(\frac{x^{4}-6 x^{3}+11 x^{2}-6 x}{24}\right) \Delta^{4} f(a)+\left(\frac{x^{5}-10 x^{4}+17 x^{3}-50 x^{2}+24 x}{120}\right) \Delta^{5} f(a)+\cdots \cdots(1)
सम्बन्ध (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

h f^{\prime}(a+hx)=\Delta f(a)+\left(\frac{2 x-1}{2}\right) \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{3 x^{2}-6 x+2}{6}\right) \Delta^{3} f(a) +\left(\frac{4 x^{3}-18 x^{2}+22 x-6}{24}\right) \Delta^{4} f(a)+\left(\frac{5 x^{4}-40 x^{3}+51 x^{2}-100x+24}{120}\right) \Delta^{5} f(a) \cdots(2)
चूँकि y=f(x) लिया गया है इसलिए हमको ज्ञात करना है।अतः
सम्बन्ध (2)  में a=1,h=1 तथा a+xh=1 \Rightarrow 1+x(1)=1 \Rightarrow x=0 और सारणी से वांछित अन्तर प्रतिस्थापित करने पर:
f^{\prime}(1)=96851+\left(-\frac{1}{2}\right)(-2953)+\left(\frac{1}{3}\right)(-938)+\left(-\frac{1}{4}\right) 39+\frac{1}{5}(8) \\ \Rightarrow f^{\prime}(1)=96851+1476.5-312.666-9.75+1.6 \\ \Rightarrow f^{\prime}(1)=98006.684 \\ \Rightarrow f^{\prime}(1) \approx 98007

Example:3.निम्न सारणी से \frac{dy}{dx} तथा \frac{d^{2}y}{{dx}^{2}} का मान x=500 पर ज्ञात कीजिए:
(Find \frac{dy}{dx}  and \frac{d^{2}y}{{dx}^{2}} at x=500 from the following table):

xy
5006.214608
5106.234411
5206.253829
5306.272877
5406.291569
5506.309918

Solution:फलन के आँकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ (अर्थात् h=10,a=500) है तथा x=500 पर फलन के अवकलज का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=500 सारणी के चर मानों के प्रारम्भ में हैं अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए न्यूटन ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) का प्रयोग वांछित होगा।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

xy=f(x)ΔyΔ^{2}yΔ^{3}yΔ^{4}yΔ^{5}y
5006.214608     
  0.019803    
5106.234411 -0.000385   
  0.019418 0.000015  
5206.253829 -0.00037 -0.000001 
  0.019048 0.000014 0
5306.272877 -0.000356 -0.000001 
  0.018692 0.000013  
5406.291569 -0.000343   
  0.018349    
5506.309918     

न्यूटन ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) है:

f(a+x h)=f(a)+{}^{x}C_{1} \Delta f(a)+{}^{x}C_{2} \Delta^{2} f(a)+{}^{x}C_{3} \Delta^{3} f(a)+{}^{x}C_{4} \Delta^{4} f(a)+\cdots\\ \Rightarrow f(a+x h)=x \Delta f(a)+\left(\frac{x^{2}-x}{2}\right) \Delta^{2}f(a)+\left(\frac{x^{3}-3 x^{2}+2 x}{6}\right) \Delta^{3}f(a)+\left(\frac{x^{4}-6 x^{3}+11 x^{2}-6 x}{24}\right) \Delta^{4}f(a)+\cdots(1)
सम्बन्ध (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष दो बार क्रमशः अवकलन करने पर:

h f^{\prime}(a+x h)=\Delta f(a)+\left(\frac{2 x-1}{2}\right) \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{3 x^{2}-6 x+2}{6}\right) \Delta^{3}f(a)+\left(\frac{4 x^{3}-18 x^{2}+22 x-6}{24}\right) \Delta^{4} f(a)+\cdots(2)
तथा h^{2} f^{\prime \prime}(a+x h)=\Delta^{2} f(a)+(x-1) \Delta^{3} f(a)+\left(\frac{12 x^{2}-36 x+22}{2 4}\right) \Delta^{4} f(a)+\cdots
चूँकि y=f(x) लिया गया है इसलिए हमको \left(\frac{d y}{d x}\right)_{500}=f^{\prime}(500) \cdots(3) तथा \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{500}=f^{\prime \prime}(500) ज्ञात करना है।अतः
सम्बन्ध (2) तथा (3) में a=500,h=10 तथा a+x h=500 \Rightarrow 500+x \times 10=500 \Rightarrow x=0 और सारणी से वांछित अन्तर प्रतिस्थापित करने पर:

10 f^{\prime}(500) =0.019803-\frac{1}{2}(-0.000385)+\frac{1}{3}(0.000015)-\frac{1}{4}(-0.000001) \\ \Rightarrow f^{\prime}(500)=\frac{0.019803+0.0001925+0.000005+0.00000025}{10}\\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(500) \approx 0.00200 
तथा (10)^{2} f^{\prime \prime}(500)=(-0.000385)-(-0.000015)+\left(\frac{22}{24}\right)(-0.000001)\\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(500)=\frac{-0.000385+0.000015-0.000000458}{100} \\  \Rightarrow f^{\prime \prime}(500)=-0.000003704 \Rightarrow f^{\prime \prime}(500) \approx -0.000004
Example:4.निम्न आँकड़ों का प्रयोग करते हुए फलन f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} के लिए f'(1) का मान ज्ञात कीजिए:
(Find f'(1) for using the following data):

x1.01.11.21.31.4
y0.250.22680.20660.18900.1736

Solution:फलन के आँकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ (अर्थात् h=0.1,a=1.0) है तथा x=1.0 पर फलन के अवकलज का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=1.0 सारणी के चर मानों के प्रारम्भ में हैं अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए न्यूटन ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) का प्रयोग वांछित होगा।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

xyΔyΔ^{2}yΔ^{3}yΔ^{4}y
1.00.25    
  -0.0232   
1.10.2268 0.003  
  -0.0202 -0.0004 
1.20.2066 0.0026 0
  -0.0176 -0.0004 
1.30.1890 0.0022  
  -0.0154   
1.40.1736    

न्यूटन ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) है:

f\left(a+xh\right)=f(a)+{}^{x}C_{1} \Delta f(a)+{}^{x}C_{2} \Delta^{2} f(a)+{}^{x}C_{3} \Delta^{3} f(a)+\cdots \\ \Rightarrow f(a+xh)= f(a)+x \Delta f(a)+\left(\frac{x^{2}-x}{2}\right) \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{x^{3}-3 x^{2}+2 x}{6}\right) \Delta^{3} f(a)+\cdots
सम्बन्ध (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
hf^{\prime}(a+x h)=\Delta f(a)+\left(\frac{2 x-1}{2}\right) \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{3 x^{2}-6 x+2}{6}\right) \Delta^{3} f(a)+\cdots \cdots(2)
चूँकि y=f(x) लिया गया है इसलिए हमको तथा ज्ञात करना है।अतः
सम्बन्ध (2) में a=1,h=0.1 तथा a+xh=1.0 \Rightarrow 1.0+x \times (0.1)=1.0 \Rightarrow x=0 और सारणी से वांछित अन्तर प्रतिस्थापित करने पर:

(0.1) f^{\prime}(1.0)=(-0.0232)-\left(\frac{1}{2}\right)(0.003)+\left(\frac{1}{3}\right)(-0.0004) \\ \Rightarrow f^{\prime}(1.0)=\frac{-0.0232-0.0015-0.000133 }{0.1} \\ \Rightarrow f^{\prime}(1.0)=-0.24833 \\ \Rightarrow f^{\prime}(1.0)\approx -0.248
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज की समस्याएँ (Derivatives from Interpolation Formula Problems):

(1.)निम्न सारणी से x=1.1 पर \frac{dy}{dx} तथा \frac{d^{2}y}{{dx}^{2}} के मान ज्ञात कीजिये:
(From the following table given below find \frac{dy}{dx} and \frac{d^{2}y}{{dx}^{2}} at x=1.1):

x1.01.21.41.61.82.0
y0.000.12800.54401.29602.43204.00

(2.)निम्न सारणी से f'(0.04) का मान ज्ञात कीजिये:
(Find the value of f'(0.04) from the following table):

x0.010.020.030.040.050.06
y=f(x)0.10230.10470.10710.10960.11220.1148

उत्तर (Answers):(1.)f'(1.1)=0.630,f”(1.1)=6.60
(2.)f'(0.04)=0.254
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.संख्यात्मक अवकलन को परिभाषित करो।(Define Numerical Differentiation):

उत्तर:संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation) एक ऐसा प्रक्रम है जिसमें स्वतन्त्र चर के किसी विशेष मान पर किसी फलन के अवकलज का संख्यात्मक मान ज्ञात करते हैं जबकि स्वतन्त्र चर के विभिन्न मानों के संगत फलन का समुच्चय ज्ञात हो।

प्रश्न:2.संख्यात्मक अवकलन कैसे करते हैं? (How to do Numerical Differentiation?):

उत्तर:संख्यात्मक अवकलन के प्रश्नों को हल करने के लिए सर्वप्रथम फलन को अन्तर्वेशन सूत्र की सहायता से बहुपद में व्यक्त करते हैं और फिर इस बहुपद को जितनी बार चाहें उतनी बार अवकलन करते हैं।इस प्रकार हम फलन के संख्यात्मक अवकलन के प्रश्नों को हल करने के लिए फलन का अवकलन करने के स्थान पर एक उचित अन्तर्वेशन बहुपद का अवकलन करते हैं।

प्रश्न:3.अन्तर्वेशन पर आधारित विधि को परिभाषित करो।(Define Method based on interpolation formulae):

उत्तर:संख्यात्मक अवकलन की समस्याओं को हल करने के लिए उचित अन्तर्वेशन सूत्र के चयन का प्रक्रम वही है जो कि अन्तर्वेशन के प्रश्नों के लिए प्रयोग किया जाता है।इस विधि को अन्तर्वेशन पर आधारित विधि (Method based on interpolation formulae) कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Derivatives from Interpolation Formula

अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज
(Derivatives from Interpolation Formula)

Derivatives from Interpolation Formula

अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) के लिए दिए हुए फलन को
बहुपद में व्यक्त करके अन्तर्वेशन सूत्रों का प्रयोग किया जा सकता है और फिर इन बहुपदों से अवकलजों
का मान अन्तर के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।

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