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Newton Gregory Forward Interpolation

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1 1.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula):
1.2 3.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन की समस्याएं (Newton Gregory Forward Interpolation Problems):

1.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula):

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation):गणितीय विश्लेषण तथा निर्वचन करते समय कभी-कभी ऐसी अनेक परिस्थितियां उत्पन्न हो जाती है जब प्रस्तुत समंक श्रेणी पूर्ण नहीं होती है।उसके कुछ मूल्य अनेक कारणों से अज्ञात रह जाते हैं।समंकों से सही निष्कर्ष निकालने के लिए यह आवश्यक है कि समंकमाला में अज्ञात मूल्यों के कारण बीच-बीच में रिक्त स्थान न हो।यही नहीं कभी-कभी उपलब्ध समंकों के आधार पर भावी समंकों के पूर्वानुमान लगाने भी आवश्यक हो जाते हैं ।इस प्रकार समंकों के आधार पर श्रेणी के बीच के अज्ञात मूल्यों या भावी मूल्यों के गणितीय अनुमान लगाने के लिए अंतर्वेशन तथा बहिर्वेशन (Interpolation and Extrapolation) का प्रयोग किया जाता है।
(1.)न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula):

f(a+h u)=P_{0}(a+h u)=f(a)+u^{(1)} \Delta f(a)+\frac{1}{2!} u^{(2)} \cdot \Delta^{2} f(a)+\frac{1}{3 !} u^{(3)} \Delta^{3} f(a) +\cdots+\frac{1}{n !} u^{(n)} \Delta^{n} f(a) 

u^{(n)}=u(u-1)(u-2) \cdots (u-n+1)

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2.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन के उदाहरण (Newton Gregory Forward Interpolation Examples):

Example:1.न्यूटन-ग्रैगोरी का अग्रान्तर अन्तर्वेशन का प्रयोग कर निम्न सारणी से y(23) का मान ज्ञात कीजिए:
(Obtain y(23) using Newton-Gregory forward difference interpolation formula from the following table):

xy
100.9848
200.9397
300.8660
400.7660
500.6428
600.5000
700.3420
800.1734

Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

xy \Delta y \Delta ^{2} y \Delta ^{3} y \Delta ^{4} y \Delta ^{5} y \Delta^ {6} y \Delta^{7} y
100.9848       
  -0.0451      
200.9397 -0.0286     
  -0.0737 -0.0023    
300.8660 -0.0263 0.0008   
  -0.1 0.0031 -0.0003  
400.7660 -0.0232 0.0005 0.0006 
  -0.1232  0.0036  0.0003   -0.0015
 50 0.6428 -0.0196  0.0008  -0.0009 
  -0.1428  0.0044  0.0006  
 60 0.5000 -0.0152  0.0002   
  -0.158  0.0046    
 70 0.3420 -0.0106     
  -0.1686      
 80 0.1734       

a=10,h=10 तथा a+hu=x \\ \Rightarrow 10+10u=23 \\ \Rightarrow u=1.3

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(a+h u)=y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}} {3 !}\Delta^{3} y+\frac{u^{(4)}}{4 !} \Delta^{4} y+\frac{u^{(5)}}{5 !} \Delta^{5} y+\frac{u^{(6)}}{6 !} \Delta^{6} y+\frac{u^{(7)}}{7 !} \Delta^{7} y \cdots \\ \Rightarrow y(23)=0.9848+(1.3)(-0.0451)+\frac{(1.3)(0.3)}{2}(-0.0286)+\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)}{6}(0.0023) +\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)(-1.7)}{24}(0.008)+\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)(-1.7)(-2.7)}{120}(-0.0003)+\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)(-1.7)(-2.7)(-3.7)}{720}(0.0006)+\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)(-1.7)(-2.7)(-3.7)(-4.7)}{5040}(-0.0015) \\ =.9848-0.05863-0.005577-0.00010465 +0.0001547+0.000003132+ 0.000003863+0.000006485 \\ \Rightarrow y(23)= .92065653 \approx 0.9207
Example:2.एक व्यापारिक प्रतिष्ठान के लिए पिछले पाँच वर्ष की बिक्री निम्न सारणी द्वारा दी गई है,वर्ष 1981 की बिक्री का आंकलन (अनुमानित) कीजिए।
(The following table gives the sales of a business concern for the last five years.Estimate the sale for the year 1981.):

वर्ष (Year)बिक्री हजारों में
(Sale in thousands)
197640
197843
198048
198252
198457

Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

वर्ष (Year)बिक्री हजारों में
(Sale in thousands)
\Delta y\Delta^{2} y\Delta^{3} y\Delta^{4} y
197640    
  3   
197843 2  
  5 -3 
198048 -1 5
  4 2 
198252 1  
  5   
198457    

a=1976,h=2 तथा a+hu=x \\ \Rightarrow 1976+2u=1981 \\ \Rightarrow 2u=5 \\ \Rightarrow u=2.5

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:
f(a+h u)=y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3!}+ \Delta^{3} y+\frac{u^{(4)}}{4!} \Delta^{4} y+ \cdots \\ y(1981)=40+2.5(3)+\frac{(2.5)(1.5)(2)}{2}+\frac{(2.5)(1.5)(0.5)(-3)}{6}+ \frac{(2.5)(1.5)(0.5)(-0.5)(5)}{24}\\ = 40+7.5+3.75-0.9375-0.1953125 \\= 50.1171875 \\ \Rightarrow y(1981)\approx 50.12 हजार
Example:3.चार क्रमागत दस वर्ष आयु समूहों में मृतकों की संख्या निम्नलिखित है:
45-50 तथा 50-55 के मध्य मृतकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(The following are the numbers of deaths in four successive ten year age group.Find the number of deaths in 45-50 and 50-55.):

आयु समूहमृतक
25-3513229
35-4518139
45-5524225
55-6531496

Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

आयु समूह(x)मृतक(y)\Delta y\Delta^{2} y\Delta^{3} y
35 से कम13229   
  18139  
45 से कम31368 6086 
  24225 1185
55 से कम555593 7271 
  31496  
65 से कम87089   

a=35,h=10 तथा a+hu=x \\ \Rightarrow  35+10u=50 \\ \Rightarrow u=1.5
न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(a+h u)=y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} y+ \cdots \\ f(50) =13229+(1.5) 18139+\frac{(1.5)(0.5)}{2} (6086)+\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)}{6} (1185) \\ = 13229+27208.5+2282.25-74.0625 \\ \Rightarrow f(50)= 42645.6875 \approx42646
अतः 45-50 के मध्य मृतकों की संख्या=50 से कम मृतकों की संख्या-45 से कम मृतकों की संख्या
=42646-31368
=11278
अतः 50-55 के मध्य मृतकों की संख्या=55 से कम मृतकों की संख्या-50 से कम मृतकों की संख्या
=55593-42646
=12947

Example:4.निम्न आंकड़ों से उन व्यक्तियों की संख्या का आकलन कीजिए जिनकी मजदूरी 60 रु. से 70 रु. के मध्य है।
(From the following data,estimate the numbers of persons earning wages between Rs.60 and Rs.70.)

मजदूरी रु. में से कम
(Wages in Rs.)
व्यक्तियों की संख्या हजारों में
(No. of persons in thousands)
40 से कम250
40-60120
60-80100
80-10070
100-12050

Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

मजदूरी रु. में से कम
(Wages in Rs.)
व्यक्तियों की संख्या हजारों में
(No. of persons in thousands)(y)
\Delta y\Delta ^{2} y \Delta^{3} y \Delta^{4} y
40 से कम250    
  120   
60 से कम370 -20  
  100 -10 
80 से कम470 -30 20
  70 10 
100 से कम540 -20  
  50   
120 से कम590    
      

a=40,h=20 तथा a+hu=x \\ \Rightarrow  40+20u=70 \\ \Rightarrow  20u=30 \\ \Rightarrow  u=1.5
न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(a+h u) =y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3!} \Delta^{3} y+\frac{u^{(4)}}{4 !} \Delta^{4} y+\cdots \\ f(70)= 250+1.5(120)+\frac{(1.5)(0.5)}{2} (-20)+\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)}{6}(-10) +\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5)(20)}{24} \\ =250+180-7.5+0.625+0.46875 \\ \Rightarrow f(70) =423.59375 \approx 424
अतः 60 रु. से 70 रु. के मध्य मजदूरी पाने वालों की संख्या=70 रु. से कम मजदूरी पाने वालों की संख्या-60 रु. से कम मजदूरी पाने वालों की संख्या
=424-370
=54 हजार (लगभग)
Example:5.निम्न सारणी दी हुई है (The following table is given):

xf(x)
03
16
211
318
427

फलन f(x) का रूप क्या होगा? (What is the form of the function f(x)?)
Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

xf(x)\Delta f(x)\Delta^{2} f(x)\Delta^{3} f(x)
03   
  3  
16 2 
  5 0
211 2 
  7 0
318 2 
  9  
427   

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(x)=f(0)+^{x}C_{1} \Delta f(0)+^{x}C_{2} \Delta^{2} f(0)+\cdots
उपर्युक्त सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

=3+x \times 3+\frac{x(x-1) \times 2}{2 !} \times 2 \\ =3+3 x+x^{2}-x \\ =x^{2}+2 x+3
Example:6.यदि u_{0}=0,u_{10}=15,u_{20}=50 तो u_{15} का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।यदि इनके अतिरिक्त u_{5}=35 भी दिया हो तो अनुमानित मान किस प्रकार संशोधित हो जाएगा?
(If u_{0}=0,u_{10}=15,u_{20}=50 estimate u_{15}.If you are given in addition u_{5}=35, how would your estimate be revised?)
Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

xu_{x}\Delta u\Delta^{2} u
00  
  15 
1015 20
  35 
2050  

a=0,h=10 तथा a+hv=x \\ \Rightarrow  0+10u=15 \\ \Rightarrow  v=1.5
न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(a+h v)=u_{0}+v^{(1)} \Delta u+\frac{v^{(2)}}{2!} \Delta^{2} u+\cdots \\ =0+1.5(15)+\frac{(1.5)(0.5)}{2} \times 20 \\ u_{15}=25.5+7.5=33
यदि u_{5}=35 दिया हुआ हो तो:

\Delta^{4} u_{x}=0=(E-1)^{4} u_{x} \\ \Rightarrow \Delta^{4} u_{x}=\left(E^{4}-4 E^{3}+6 E^{2}-4 E+1\right) u_{x}\\ \Rightarrow \Delta^{4} u_{0}=E^{4} u_{0}-u E^{3} u_{0}+6 E^{2} u_{0}-4 E u_{0}+u_{0}\\ \Rightarrow 0 =u_{4}-4 u_{3}+6 u_{2}-4 u_{1}+u_{0} \\ =50-4 u_{3}+6(15)-4(35)+0 \\ \Rightarrow 4 u_{3}=50+90-140 \\ \Rightarrow 4 u_{3}=140-140 \\ \Rightarrow u_{3}=0 \Rightarrow u_{15}=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन की समस्याएं (Newton Gregory Forward Interpolation Problems):

(1.)निम्न सारणी में अन्तिम छह गणनाओं में एक शहर की जनसंख्या दी हुई है।अन्तर्वेशन के किसी उपयुक्त सूत्र का प्रयोग करके 1946 से 1948 के अन्तराल में जनसंख्या में वृद्धि का आकलन कीजिए:
(The following table gives the population of a town during the last six census.Estimate, using any suitable interpolation formula, the increase in the population during the period from 1946 to 1948):

वर्ष (Year)जनसंख्या (Population)
191112
192115
193120
194127
195139
196152

(2.)निम्न सारणी में उन व्यक्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनको 10 रु. से 15 रु. के मध्य मजदूरी मिलती हैः
(Find the number of men getting wages between Rs.10 and Rs.15 from the following table):

मजदूरी रु. में (Wages in Rs.)व्यक्तियों की संख्या (No. of Persons)
0-109
10-2030
20-3035
30-4042

उत्तर (Answers):(1.)2.53 हजार (लगभग)
(2.)15 व्यक्ति (लगभग)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बातें (HIGHLIGHTS):

(1.)अंतर्वेशन की प्रथम मूलभूत मान्यता यह है कि दिए हुए आंकड़ों को एक निश्चित कोटि के सन्निकट बहुपद द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता हो।
(2.)अंतर्वेशन की द्वितीय मूलभूत मान्यता यह है कि दिए हुए परिसर (range) में फलन या तो वर्धमान (Increasing) हो या हृासमान (Decreasing) क्रम में हो।दिए हुए अंतराल में फलन के मानों में अचानक उछाल या गिरावट न हो।
(3.)परिमित अंतर कलन के प्रयोग की विधि (Method of use of the Calculus of Finite Difference):वह विधि जिसमें परिमित अंतर का प्रयोग करते हैं।दूसरी विधियों की तुलना में अधिक लाभदायक है।इस विधि के निम्न गुण तथा दोष हैं:
(a)गुण (Merits):
(i)इस विधि में फलन के प्रकार का ज्ञात होना आवश्यक नहीं है।
(ii)आलेखी विधि (Graphical Method) की तुलना में प्राप्त अभीष्ट मान अधिक सन्निकट है अर्थात् अधिक विश्वसनीय होते हैं।
(iii)यह विधि साधारण परिकलना पर आधारित है।
(b)दोष (Demerits):
(i)दिए हुए आंकड़ों से यह निश्चित नहीं हो पाता है कि परिमित अंतर कलन विधि के लिए पर्याप्त हैं या नहीं।
(ii)परिमित अंतर कलन का प्रयोग करके अंतर्वेशन की कई विधियां प्राप्त की गई है।इनमें कौन सी विधि अतिउपयुक्त है इसका चयन करना सरल नहीं है।
(4.)अंतर्वेशी बहुपद (Interpoling Polynomial):एक बहुपद P(x) अन्तर्वेशी बहुपद कहलाता है यदि P(x) का मान या इसके किसी कोटि के अवकलज स्वतन्त्र चर के एक या ज्यादा मानों पर फलन f(x) या उसके उसी कोटि के अवकलजों के संपाती हो।

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5.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.न्यूटन का अन्तर्वेशन सूत्र क्या है? (What is Newton’s interpolation formula?):

उत्तर:ध्यान दें कि यदि दिए गए डेटा में त्रुटियां हैं तो यह प्राप्त बहुपद में भी दिखाई देगा।चूंकि यह आगे के अंतरों का (forward differences) उपयोग करता है,इसे इंटरपोलेशन के लिए न्यूटन का फॉरवर्ड डिफरेंस फॉर्मूला कहा जाता है या बस फॉरवर्ड इंटरपोलेशन फॉर्मूला।

प्रश्न:2.न्यूटन के आगे और पीछे के प्रक्षेप में क्या अंतर है? (What is the difference between Newton’s forward and backward interpolation?):

उत्तर:न्यूटन का अन्तर्वेशन सूत्र: अग्र और पश्च के सूत्र के बीच अंतर।मुझे सिखाया गया था कि x0 के निकट एक बिंदु के मान की गणना करते समय अग्र के सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए और xn के निकट की गणना करते समय पश्च सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए।हालांकि, प्रक्षेप बहुपद अद्वितीय है,इसलिए मान समान होना चाहिए।
अंतर्वेशन और बहिर्वेशन का अर्थ और अंतर ( Meaning and difference of interpolation and exclusion)-
कुछ सुनिश्चित परिकल्पनाओं के अंतर्गत ज्ञात समंकों के आधार पर समंक श्रेणी के बीच किसी अज्ञात मूल्य का सर्वोत्तम संभाव्य अनुमान लगाने की क्रिया को अंतर्वेशन (Interpolation) कहते हैं।
इसके विपरीत उपलब्ध गणितीय तथ्यों के आधार पर विशेष परिकल्पनाओं के अधीन किसी भावी समंक के पूर्वानुमान प्राप्त करने की प्रक्रिया बहिर्वेशन ( Extrapolation) कहलाती है।
अग्र अंतर्वेशन श्रेणी के बीच की रिक्तियों को पूरा करने में उपयोगी है जबकि बहिर्वेशन भावी पूर्वानुमान में सहायक होता है।

प्रश्न:3.असमान अंतराल के लिए किस सूत्र का प्रयोग किया जाता है? (Which formula is used for unequal intervals?):

उत्तर:जब स्वतन्त्र चर के मान समदूरस्थ नहीं हो तो विभिन्न अन्तर स्वतन्त्र चर के मानों में परिवर्तन से प्रभावित होंगे तो असमान अन्तराल के विभाजित अन्तर सूत्र का प्रयोग करते हैं।
(1.)विभाजित अंतर के साथ न्यूटन का अन्तर्वेशन सूत्र (Newton’s interpolation formula with divided difference)।
(2.)विभाजित अंतर के साथ लैग्रेंज का अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange’s interpolation formula with divided difference):लैग्रेंज का सूत्र उन समस्याओं पर लागू होता है जहां स्वतंत्र चर समान और असमान अंतरालों पर होता है,लेकिन अधिमानतः यह सूत्र उस स्थिति में लागू होता है जहां दी गई स्वतंत्र श्रृंखला के लिए असमान अंतराल होते हैं।
(3.)विभाजित अन्तर सूत्र (Divided Difference Formula)

प्रश्न:4.इंटरपोलेशन का उपयोग क्यों किया जाता है? (Why is interpolation used?):

उत्तर:संक्षेप में,प्रक्षेप ज्ञात डेटा बिंदुओं के बीच स्थित अज्ञात मानों को निर्धारित करने की एक प्रक्रिया है।इसका उपयोग ज्यादातर भौगोलिक संबंधित डेटा बिंदुओं जैसे शोर स्तर (noise level),वर्षा (rainfall),ऊंचाई (elevation) आदि के लिए अज्ञात मूल्यों की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।

प्रश्न:5.न्यूटन बैकवर्ड फॉर्मूला में पहला टर्म क्या है? (What is the first term in Newton backward formula?):

उत्तर:h को अंतर का अंतराल कहा जाता है और u=(x-a)/h,यहाँ a पहला पद है।पश्च अंतर :अंतर y_{1} - y_{0} , y_{2} - y_{1} , ……, y_{n} - y _{n-1} जब क्रमशः dy_{1} , dy_{2} , ……, dy_{n} द्वारा निरूपित किए जाते हैं तो प्रथम पश्च अंतर (first backward difference) कहलाते हैं।

प्रश्न:6.समान अंतराल के लिए किस अन्तर्वेशन सूत्र का प्रयोग किया जाता है? (Which interpolation formula is used for equal intervals?):

उत्तर:इन सूत्रों में से एक का उपयोग तब किया जाता है जब स्वतंत्र चर समान अंतराल के साथ मान ग्रहण करता है जबकि दूसरा तब लागू होता है जब अंतराल समान नहीं होते हैं।पहले सूत्र को “समान अंतराल के लिए न्यूटन का सूत्र (Newton’s formula for equal intervals)” कहा जाता है और दूसरे सूत्र को “असमान अंतराल के लिए न्यूटन का सूत्र (Newton’s formula for unequal intervals)” कहा जाता है।

प्रश्न:7.इंटरपोलेशन का उपयोग कहाँ किया जाता है? (Where is interpolation used?):

उत्तर:अन्तर्वेशन का प्राथमिक उपयोग उपयोगकर्ताओं की मदद करना है चाहे वे वैज्ञानिक (scientists),फोटोग्राफर (photographers),इंजीनियर (engineers) या गणितज्ञ (mathematicians) हों,यह निर्धारित करें कि उनके एकत्रित डेटा के बाहर कौन सा डेटा मौजूद हो सकता है।गणित के क्षेत्र के बाहर,छवियों को स्केल (scale images) करने और डिजिटल सिग्नल की नमूना दर (sampling rate) को परिवर्तित करने के लिए अक्सर इंटरपोलेशन का उपयोग किया जाता है।

प्रश्न:8.इंटरपोलेशन की सबसे अच्छी विधि कौन सी है? (Which is the best interpolation method?):

उत्तर:प्रतिलोम (IDW) अन्तर्वेशन [Inverse Distance Weighted (IDW) interpolation] आम तौर पर त्रिकोणीय नियमित नेटवर्क (TIN) [Triangular Regular Network (TIN)] और निकटतम पड़ोसी (जिसे थिएसेन या वोरोनोई (Thiessen or Voronoi) भी कहा जाता है) अन्तर्वेशन से बेहतर परिणाम प्राप्त करता है।

प्रश्न:9.अन्तर्वेशन कितने प्रकार के होते हैं? (How many types of interpolation are there?):

उत्तर:चार इंटरपोलेशन एल्गोरिदम-निकटतम पड़ोसी (Nearest Neighbor),रैखिक (Linear),क्यूबिक स्पलाइन (Cubic Spline) और विंडो सिंक (Windowed Sinc)-यह निर्धारित करते हैं कि एल्गोरिदम के आधार पर इनपुट छवि या आउटपुट छवि में वोक्सल्स (voxel) को अन्य छवि स्थान में वोक्सेल भरने के लिए एक मान पर पहुंचने के लिए कैसे इंटरपोलेट किया जाता है।  .

प्रश्न:10.सरल शब्दों में इंटरपोलेशन क्या है? (What is interpolation in simple words?):

उत्तर:इंटरपोलेशन एक सांख्यिकीय पद्धति है जिसके द्वारा संबंधित ज्ञात मूल्यों का उपयोग किसी अज्ञात मूल्य या सुरक्षा की संभावित उपज का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।अज्ञात मान के साथ अनुक्रम में स्थित अन्य स्थापित मूल्यों का उपयोग करके इंटरपोलेशन प्राप्त किया जाता है।इंटरपोलेशन मूल रूप से एक साधारण गणितीय अवधारणा है।

प्रश्न:11.इंटरपोलेशन के क्या फायदे हैं? (What are the advantages of interpolation?):

उत्तर:प्रक्षेप के तरीके।इंटरपोलेशन अन्य अज्ञात बिंदुओं पर मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए ज्ञात मूल्यों या नमूना बिंदुओं वाले बिंदुओं का उपयोग करने की प्रक्रिया है।  इसका उपयोग किसी भी भौगोलिक बिंदु डेटा के लिए अज्ञात मानों की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है,जैसे कि ऊंचाई (elevation),वर्षा (rainfall),रासायनिक सांद्रता (chemical concentrations),शोर का स्तर (noise levels) और इसी तरह।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन
(Newton Gregory Forward Interpolation)

Newton Gregory Forward Interpolation

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation):गणितीय विश्लेषण
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समंक श्रेणी पूर्ण नहीं होती है

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