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Sub-division of Interval Interpolation

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1 1.समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation):

1.समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation):

समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) की आवश्यकता तब होती है जब किसी फलन के मान वृहत् अन्तरालों पर दिए हुए हों तब मध्यवर्ती मानों को ज्ञात करना (When values of a function are given at large intervals then calculation of intermediate values):
यदि फलन y=f(x) के मान वृहत्त अंतरालों पर दिए हुए हों जैसे:0,5,10,15 या 20 और मध्यवर्ती मान f(0),f(1),f(2),….ज्ञात करने हों तो ये मान हम सामान्य विधियों से अंतर्वेशन द्वारा ज्ञात कर सकते हैं लेकिन सामान्य विधियों में गणना बहुत कठिन होती है।गणना को सरल बनाने के लिए हम निम्न विधि का प्रयोग करते हैं जो अंतरालों का उपविभाजन कहलाती है।
मान लो \Delta f(x) उस अंतर को प्रदर्शित करता है
जिसमें अंतर का अंतराल h हो तथा \Delta_{0} f(x) उस अंतर को प्रदर्शित करता है जिसमें अंतर का अंतराल एक हो। यह भी माना कि E तथा E_{0} इनके संगत विस्थापन संकारक हैं।
अतः E \equiv 1+\Delta तथा E_{0}=1+\Delta_{0}
अर्थात् E f(x)=f(x+h),
तथा E_{0} f(x)=f(x+1) \\ \therefore E_{0}^{h} f(x)=f(x+h)
अतः E_{0}^{h} f(x)=E f(x)=f(x+h) \\ \therefore E \equiv E_{0}^{h} \quad \cdots(1) \\ \Rightarrow (1+\Delta) \equiv\left(1+\Delta_{0}\right)^{h} \\ \Rightarrow\left(1+\Delta_{0}\right) \equiv(1+\Delta)^{\frac{1}{h}} \ldots(2) \\ \Rightarrow 1+\Delta_{0}=1+\frac{1}{h} \Delta+\frac{\frac{1}{h}\left(\frac{1}{h}-1\right)}{2 !} \Delta^{2}+\cdots
[द्विपद प्रमेय के प्रयोग से]

\Rightarrow \Delta_{0}=\frac{1}{h} \Delta+\frac{\frac{1}{h} \left(\frac{1}{h}-1\right)}{2 !} \Delta^{2}+\ldots(3)
इससे हमें \Delta_{0} तथा \Delta में सम्बन्ध प्राप्त होता है जिसमें h अन्तराल अन्तर सारणी की सहायता से वांछित मान प्रतिस्थापित कर अभीष्ट परिणाम प्राप्त कर लेते हैं।
टिप्पणी:कभी-कभी \Delta_{0} के स्थान पर \delta^{*} तथा E^{*} के स्थान पर E_{0} संकारकों को भी लिया जाता है।
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2.समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन के उदाहरण (Sub-division of Interval Interpolation Examples):

Example:1.दिया हुआ है (Given)

\sum_{1}^{10} f(x)=500426, \sum_{4}^{10} f(x)=329240, \sum_{7}^{10} f(x)=175212
तथा (and) f(10)=40365,f(1) का मान ज्ञात कीजिए (Find the value of f(1)).
Solution:दिए हुए आंकड़ों के अनुसार

u_{1}= f(10)=40365,u_{4}=\sum_{7}^{10} f(x)=175212,u_{7}=\sum_{4}^{10} f(x)=329240, u_{10}=\sum_{1}^{10} f(x)=500426
यह ज्ञात करना है \delta u_{0} जबकि f(1)=u_{10}-u_{9}=\delta u_{9}
अन्तर सारणी निम्न प्रकार बनाते हैं:

xu_{x}\Delta u_{x}\Delta^{2} u_{x}\Delta^{3} u_{x}
140365   
  134847  
4175212 19181 
  1544028 -2023
7329240 17158 
  171186  
10500426   

उपर्युक्त में चार मान दिए गए हैं अतः तृतीय अन्तर अचर है:
सूत्र में h=3 रखने पर:

\delta u_{x} =\frac{1}{3} \Delta u_{x}-\frac{1}{9} \Delta^{2} u_{x}+\frac{5}{31} \Delta^{3} u_{x} \\ =\frac{1}{3}(134847)-\frac{1}{9}(19181)+\frac{5}{31}(-2023) \\ \Rightarrow S u_{x} =42692.90 \\ \delta^{2} u_{x} =\frac{1}{9} \Delta^{2} u_{x}-\frac{2}{27} \Delta^{3} u_{x}=2281.07 \\ \delta^{3} u_{x} =\frac{1}{27} \Delta^{3} u_{x}=-74.92
अब हम इकाई अन्तर की अन्तर सारणी का निर्माण करते हैं:

x u_{x}\delta u_{x}\delta^{2} u_{x}\delta^{3} u_{x}
140365   
2 42692.90  
3 44973.972281.07-74.92
4 47180.122206.15-74.92
5 49311.352131.23-74.92
6 51367.662056.31-74.92
7 53349.051981.39-74.92
8 55255.521906.47-74.92
9 57087.071831.55-74.92
10 58843.701756.63-74.92

उपर्युक्त सारणी से:
f(1)=\delta u_{0}=58843.70
Example:2.निम्न सारणी से \tan 48^{\circ} 15^{\prime} के मान की गणना कीजिए (Calculate the value of \tan 48^{\circ} 15^{\prime} from the following table):

x^{\circ}\tan x^{\circ}
451.000
461.03553
471.07237
481.11061
491.15037
501.19175

Solution:स्पषटत: उपर्युक्त मान अन्तराल 1 पर हैं।श्रेणी को उप-विभाजन से पूरा किया जा सकता है।अत: अन्तराल 1 अन्तराल सारणी निम्न होगी।

x^{\circ}\tan x^{\circ}\Delta \tan^{2} x^{\circ}\Delta \tan^{2} x^{\circ}\Delta \tan^{3} x^{\circ}\Delta \tan^{4} x^{\circ}\Delta \tan^{5} x^{\circ}
451.000     
  0.03553    
461.03553 0.00131   
  0.03684 0.00009  
471.07237 0.0014 0.00003 
  0.03824 0.00012 -0.00014
481.11061 0.00152 -0.00011 
  0.03976 0.00001  
491.15037 0.00162   
  0.04138    
501.91175     

अब चूंकि 1+\Delta_{0} \equiv(1+\Delta)^{\frac{1}{4}} \\ \Delta_{0}=\frac{1}{4} \Delta+\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)}{1.2} \Delta^{2}+\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)\left(\frac{1}{4}-2\right)}{1.2 .3} \Delta^{3} +\frac{ \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)\left(\frac{4}{4}-2\right) \left(\frac{1}{4}-3\right)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \Delta^{4}+\cdots \\ \Rightarrow \Delta_{0} =\frac{1}{4} \Delta-\frac{3}{32} \Delta^{2}+\frac{21}{384} \Delta^{3}-\frac{231}{6144} \Delta^{4}+ \cdots \\ \Delta_{0} \tan 48^{\circ} =\frac{1}{4} \Delta \tan 48^{\circ}-\frac{3}{32} \Delta^{2} \tan 48^{\circ} \\ \Rightarrow \Delta_{0} \tan 48^{\circ}=\frac{1}{4} \times(0.03976)-\frac{3}{32} \times(0.00162) \\ \Rightarrow \Delta_{0} \tan 48^{\circ}=0.00994-0.000151875=0.009788125 \\ \tan 48^{\circ} 15^{\prime}=\tan 48^{\circ}+\Delta_{0} \tan 48^{\circ}=1.11061+0.009788125 \approx 1.12040

Example:3.सामान्य बंटन के प्रायिकता बंटन फलनों के मान निम्न दिए गए हैं:

xP(x)
0.20.39104
0.60.33322
1.00.24197
1.40.14973
1.80.07895

(Probability distribution function Values of a normal distribution are given as follows):
x=1.2 पर p(x) का मान ज्ञात कीजिए।
(Evaluate p(x) for x=1.2.)
Solution:उपर्युक्त आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

xP(x)\Delta P(x)\Delta^{2} P(x)\Delta^{3} P(x)\Delta^{4} P(x)
0.20.39104    
  -0.05782   
0.60.33322 -0.03343  
  -0.09125 0.03244 
1.00.24197 -0.00099 0.00999
  -0.09224 0.02245 
1.40.14973 0.02146  
  -0.07078   
1.80.07895    

h=\frac{0.6}{0.2}=3 \\ \Delta_{0} =\frac{1}{3} \Delta+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right) \Delta^{2}+\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}-2\right)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \Delta^{3}+\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}-2\right)\left(\frac{1}{3} 3\right)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \Delta^{4}+\cdots \\ \Delta_{0} =\frac{1}{3} \Delta-\frac{1}{2} \Delta^{2}+\frac{7}{81} \Delta^{3}-\frac{14}{243} \cdot \Delta^{4}+\cdots \\ \Delta_{0}^{2}=\left(\frac{1}{3} \Delta-\frac{1}{9} \Delta^{2}+\frac{7}{81} \Delta^{3}-\frac{14}{243} \Delta^{4}+ \cdots\right)^{2} \\ =\frac{1}{9} \Delta^{2}-\frac{1}{27} \Delta^{3}+\frac{7}{243} \Delta^{4}-\frac{1}{27}^{3}+\frac{1}{81} \Delta^{4}+\frac{7}{243} \Delta^{4}+\cdots \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} =\frac{1}{9} \Delta^{2}-\frac{2}{27} \Delta^{3} + \frac{17}{243} \Delta^{4}+\cdots \\ \Delta_{0}^{3} =\frac{1}{27} \Delta^{3}-\frac{2}{81} \Delta^{4}-\frac{1}{81} \Delta^{4}+\cdots \\ \Delta_{0}^{4} =\frac{1}{81} \Delta^{4}+\cdots
चतुर्थ अन्तर के लिए:

\Delta_{0} P(1)=\frac{1}{3} \Delta P(1)-\frac{1}{9} \Delta^{2} P(1)+\frac{7}{81} \Delta^{3} P(1)-\frac{14}{243} \Delta^{4} P(1)+\cdots\\ =\frac{1}{3}(-0.05782)-\frac{1}{9} \times(-0.03343)^{24}+\frac{7}{81}(0.03244)-\frac{14}{243}(0.00999) \\ \Rightarrow \Delta_{0} P(1)=-0.019273+0.0037 .14+0.002803-0.000576=-0.013332 \\ \Delta^{2} P(1) =\frac{1}{5} \Delta^{2} \cdot P(1)-\frac{2}{27} \Delta^{3} P(1)+\frac{17}{243} \Delta^{4} P(1) \\ =\frac{1}{9} \times(-0.03343)-\frac{2}{27}(0.03244)+\frac{17}{243} \times(0.00999) \\ \Delta_{0}^{2} P(1)=-0.003714-0.002403+0.000699 \\ \Rightarrow \Delta^{2} D(1)=-0.005418 \\ \Delta_{0}^{3} P(1)=\frac{1}{27}  \Delta^{3} P(1)-\frac{1}{27} \Delta^{4} P(1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1)=\frac{1}{27} \times(0.03244)-\frac{1}{27} \times(0.00999)= 0.001201-0.00037 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1)=0.000831 \\ \Delta_{0}^{4} P(1)=\frac{1}{81} \Delta^{4} P(1)=\frac{1}{81} \times(0.00999)=0.000123
तृतीय अन्तर के लिए:

\Delta_{0}^{4} P(1)=\Delta_{0}^{3} P(1.1)-\Delta_{0}^{3} P(1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1.1)=\Delta^{4} P(1)+\Delta_{0}^{3} P(1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1.1)=0.000123+0.000831 =0.000953 \\ \Delta_{0}^{3}  P(1 \cdot 2)=\Delta_{0}^{4} P(1.1)+\Delta_{0}^{3} P(1.1)=0.000123+ 0.000953 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1.2)=0.001076 \\ \Delta_{0}^{3} P(1.3)=\Delta_{0}^{4} P(1.2)+\Delta_{0}^{3} P(1.2)=0.000123+0.001076 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1.3)=0.00199
द्वितीय अन्तर के लिए:

\Delta_{0}^{3} P(1)=\Delta_{0}^{2} P(1 \cdot 1)-\Delta_{0}^{2} P(1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} P(1 \cdot 1)=\Delta_{0}^{3} P(1)+\Delta_{0}^{2} P(1)\\ \Rightarrow \Delta^{2} P(1.1)=\Delta_{0}^{3} P(1)+\Delta_{0}^{2} P(1)=0.000831+0.005418 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} P(1.1)=-0.004587\\ \Delta_{0}^{2} P(1.2)=\Delta_{0}^{3} P(1.1)+\Delta_{0}^{2} P(1.1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} P(1.2)=0.000953-0.004587=-0.003634 \\ \Delta_{0}^{2} P(1.3)=\Delta_{0}^{3} P(1.2)+\Delta_{0}^{2} P(1.2)=0.001076-0.003634 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} P(1.3)=0.002558
प्रथम अन्तर के लिए:

\Delta_{0} P(1.1)=\Delta_{0} P(1)+\Delta_{0}^{2} P(1)=-0.013332-0.005418=-0.01875 \\ \Delta_{0} P(1.2)=\Delta_{0} P(1.1)+\Delta_{0}^{2} P(1.1)=-0.01875-0.004587=-0.023337 \\ \Delta_{0} P(1.3)=\Delta_{0} P(1.2)+\Delta_{0}^{2} P(1.2)=-0.023337-0.003634 -0.026971

xP(x)\Delta P(x)\Delta^{2} P(x)\Delta^{3} P(x)\Delta^{4} P(x)
10.24197    
  -0.013332   
1.10.228638 -0.005418  
  -0.01875 0.000831 
1.20.209888 -0.004587 0.000123
  -0.023337 0.000953 
1.30.186551 -0.003634  
  -0.026971   
1.40.14973    

x=1.2 पर p(x)=0.209888

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) को समझ सकते हैं।

3.समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन की समस्याएं (Sub-division of Interval Interpolation Problems):

(1.)दिया हुआ है (Given)
x=11,12,13,………,19 के लिए f(x) के सारे मान ज्ञात कीजिए:
(Find all the values of f(x) for x=11,12,…..,19):

xF(x)
101009
208019
3027029
4064039
50125049

(2.)दिया हुआ है (Given)
f(0)=117.7,f(2)=110.5,f(4)=102.7,f(10)=75.4
0 से 10 तक के सभी पूर्णांक मानों के लिए f(x) के मान ज्ञात कीजिए:
(Find the values of f(x) for all integral values of x from 0 to 10):
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

(1.)मध्यवर्ती मानों को ज्ञात करने के लिए जब किसी फलन के मान वृहत् अन्तरालों पर दिए हुए हो तो अंतरालों का उप-विभाजन के लिए अंतर्वेशन विधि प्रयोग की जाती है।
(2.)हालांकि ये मान सामान्य विधियों से अंतर्वेशन द्वारा ज्ञात कर सकते हैं लेकिन सामान्य विधियों में गणना बहुत कठिन होती है।
(3.)गणना को सरल बनाने के लिए हम अंतरालों के उप-विभाजन विधि का प्रयोग करते हैं।

5.समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अन्तरालों का उपविभाजन विधि क्या हैं? (What is sub division of intervals method?):

उत्तर: जब किसी फलन के मान वृहत् अन्तरालों पर दिए हुए हों तब मध्यमानों को ज्ञात करने के लिए अंतरालों का उप-विभाजन विधि प्रयोग की जाती है।

प्रश्न:2. अंतरालों का उपविभाजन विधि क्यों प्रयोग की जाती है? (Why is sub division of intervals uses?):

उत्तर: गणना को सरल बनाने के लिए अंतरालों का उप-विभाजन की विधि का प्रयोग किया जाता है।

प्रश्न:3. सामान्य विधियाँ वृहत् अन्तरालों के लिए क्यों प्रयोग नहीं की जाती है? (Why is general method not uses for greatest intervals?):

उत्तर: सामान्य विधियों से अंतर्वेशन द्वारा मान ज्ञात कर सकते हैं लेकिन सामान्य विधियों में गणना बहुत कठिन होती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Sub-division of Interval Interpolation

समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन
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तब होती है जब किसी फलन के मान वृहत् अन्तरालों पर दिए हुए हों तब मध्यवर्ती मानों को ज्ञात करना

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