1.असमान अन्तराल के लिए लाग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals),असमान अन्तराल के लिए लाग्रांज का अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange’s Interpolation Formula for Unequal Intervals):

Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals

असमान अन्तराल के लिए लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals):जब स्वतन्त्र चर के वे मान समदूरस्थ नहीं हो तो विभिन्न अन्तर स्वतन्त्र चर के मानों में परिवर्तन से प्रभावित होंगे।अतः स्वतन्त्र चर के मानों में परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए परिभाषित अन्तर, विभाजित अन्तर (Divided Difference) कहलाते हैं।

f(x)=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdots \left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right) \cdots\left(x_{0}-x_{n}\right)} f\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{2}\right) \cdots \left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)\cdots \left(x_{1}-x_{n}\right)} f\left(x_{1}\right)+\cdots +\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots \cdot\left(x_{0}-x_{n-1}\right)}{\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{1}\right) \cdots\left(x_{n}-x_{n-1}\right)} f\left(x_{n}\right)
प्रमेय (Theorem):1.चर समदूरस्थ मान u_{-1}, u_{0}, u_{1} तथा u_{2} के लिए लाग्रांज सूत्र से एक मान u_{x} का अन्तर्वेशन किया जाता है।प्रदर्शित कीजिए कि यह निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
(Four equidistant values u_{-1}, u_{0}, u_{1} and u_{2} being given,a value u_{x} is interpolated by Lagrange’s formula show that it may be written in the form):
u_{x}=y u_{0}+x u_{1}+\frac{y\left(y^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{2} u_{-1} + \frac{x\left(x^{2}-1\right)}{3!} \Delta^{2} u_{0} जहाँ (where) x+y=1
उपपत्ति (Proof):यहाँ दिया हुआ है कि

x+y=1, \Rightarrow y=1-x \quad \cdots(1)
अतः \Delta^{2} u_{-1}=(E-1)^{2} u_{-1}=\left(E^{2}-2 E+1\right) u_{-1}=u_{1}-2 u_{0}+u_{-1} \cdots(2)
तथा \Delta^{2} u_{0}=(E-1)^{2} u_{0}=\left(E^{2}-2 E+1\right) u_{0}=u_{2}-2 u_{1}+u_{0} \cdots(3)
दिए हुए परिणाम के दांये पक्ष (R.H.S) में (1),(2) तथा (3) का प्रयोग करने पर दायाँ पक्ष:
(R.H.S.)=(1-x)+u_{0}+x u_{1}+\frac{(1-x) x(x-2)}{6}\left(u_{1}-2 u_{0}+u_{-1}\right)+\frac{x(x+1)(x-1)}{6}\left(u_{2}-2 u_{1}+u_{0}\right)

या (R.H.S.)= \frac{-x(x-1)(x-2)}{6} u_{-1}+\frac{(x-2)(x-1)(x+1)}{2} u_{0}-\frac{(x-2) x(x+1)}{2} u_{1}+\frac{(x-1)x(x+1)}{6} u_{2} \cdots(4)
अब u_{-1}, u_{0}, u_{1} तथा u_{2} के ज्ञात होने पर लाग्रांज सूत्र से:
x_{0}=-1, x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=2 रखने पर:

u_{x}=\frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)}u_{-1}+\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(0+1)(0-1)(0-2)} u_{0}+\frac{(x+1)(x-0)(x-2)}{(1+1)(1-0)(1-2)}u_{1}+ \frac{(x+1)(x-0)(x-1)}{(2+1)(2-0)(2-1)} u_{2}
या u_{x}=-\frac{x(x-1)(x-2)}{6} u_{-1}+\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{2} u_{0}-\frac{(x+1) x(x-2)}{2} u_{1}+\frac{(x+1) x(x-1) }{6}u_{1} \cdots(5)
प्रमेय (Theorem):2.a,b तथा c पर f(x) के मान दिए हैं।प्रदर्शित कीजिए कि इसका अधिकतम तथा न्यनतम मान x के लिए निम्न प्राप्त होता है:
(The values of f(x) given at a,b and c show that its maximum or minimum is obtained by the x given by)

x=\frac{1}{2}\left[\frac{\left(b^{2}-c^{2}\right) f(a)+\left(c^{2}-a^{2}\right) f(b)+\left(a^{2}-b^{2}\right) f(c)}{\{(b-c) f(a)+(c-a)f(b)+(a-b) f(c)\}}\right]
उपपत्ति (Proof):लग्रांज सूत्र चर x=a,b और c के लिए फलन

f(x)=\frac{(x-b)(x-c)}{(x-b)(a-c)} f(a)+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}f(b)+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}f(c)

या f(x)=\frac{x^{2}-(b+c) x+b c}{(a-b)(a-c)} f(a)+\frac{x^{2}-(a+c) x+a c}{(b-a)(b-c)}f(b)+\frac{x^{2}-(a+b) x+ab}{(c-a)(c-b)} f(c)
अब f(x) के अधिकतम अथवा न्यूनतम होने के लिए: \frac{d}{d x} f(x)=0
अतः \frac{2 x-(b+c)}{(a-b)(a-c)} f(a)+\frac{2 x-(a+c)}{(b-a)(b-c)} f(b)+\frac{2 x-(a+b)}{(c-a)(c-b)} f(c)=0
या 2 x\left\{\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)} \right\}\\=\frac{(b+c) f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(a+c) f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(a+b) f(c)}{(c-a)(c-b)}
अतः x=\frac{1}{2}\left[\frac{\left(b^{2}-c^{2}\right) f(a)+\left(c^{2}-a^{2}\right) f(b)+\left(a^{2}-b^{2}\right)f(c)}{\{(b-c)f(a)+(c-a) f(b)+(a-b)f(c)\}}\right]
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2.असमान अन्तराल के लिए लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals Examples):

Example:1.लाग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र का प्रयोग कर निम्न सारणी से f(0.4) का मान ज्ञात कीजिए।
(By Lagrange’s interpolation formula interpolate the value of f(0.4) from the following table):

Solution: x_{0}=1, x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=2
तथा f\left(x_{0}\right)=1, f\left(x_{1}\right)=3, f\left(x_{2}\right)=2, f\left(x_{3}\right)=5
अब लाग्रांज सूत्र में x=0.4 तथा उपर्युक्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

f(0.4)=\frac{(0.4-0)(0.4-1)(0.4-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)} \times 1+\frac{(0.4+1)(0.4-1)(0.4-2)}{(0+1)(0-1)(0-2)} \times 3 +\frac{(0.4+1)(0.4-0)(0.4-2)}{(1+1)(1-0)(1-2)} \times 2+\frac{(0.4+1)(0.4-0)(0.4-1)}{(2+1)(2-0)(2-1)} \times 5 \\ =\frac{(0.4)(-1 \cdot 6)(-1.6)}{(-1)(-2)(-3)}+\frac{(1.4)(-0.6)(-1.6) \times 3}{(1)(-1)(-2)}+ \frac{(1.4)(0.4)(-1.6) \times 2}{(2)(1)(-1)}+ \frac{(1.4 .)(0.4)(-0.6)}{(3)(2)(1)} \times 5 \\ =-\frac{0.384}{6}+\frac{4.032}{2}+\frac{1.792}{2}-\frac{1.68}{6} \\ =-0.064+ 2.016+0.896-0.28 \\ f(0.4)=2.568
Example:2.लाग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र का प्रयोग कर निम्न सारणी से y(3) का मान ज्ञात कीजिए।
(Using Lagrange’s interpolation formula,find y(3) from the following table):

Solution:x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=4, x_{4}=5
तथा f\left(x_{0}\right)=0, f\left(x_{1}\right)=16, f\left(x_{2}\right)=48, f\left(x_{3}\right)=88, f\left(x_{4} \right)=0
अब लाग्रांज सूत्र में x=3 तथा उपर्युक्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

y(3)=\frac{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)}{(0-1)(0-2)(0-4)(0-5)} \times 1+\frac{(3-0)(3-2)(3-4)(3-5)}{(1-0)(1-2)(1-4)(1-5)} \times 16+ \frac{(3-0)(3-1)(3-4)(3-5) }{(2-0)(2-1)(2-4)(2-5)}\times 48+ \frac{(3-0)(3-1)(3-2)(3-5)}{(4-0)(4-1)(4-2)(4-5)} \times 88 +\frac{(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)}{(5-0)(5-1)(5-2)(5-4)} \times 0 \\ y(3)=\frac{(2)(1)(-1)(-2)}{(-1)(-2)(-4)(-5)}+\frac{(3)(1) (-1)(-2)(16)}{(1)(-1)(-3)(-4)} +\frac{(3)(2)(-1)(-2)(48)}{2 \times 1 \times-2 \times 3}+\frac{3 \times 2 \times 1 \times-2 \times 88}{4 \times 3 \times 2 \times-1}+0 \\ = \frac{4}{40}-\frac{96}{12}+\frac{48}{1}+\frac{44}{1} \\ =0.1-8+48+44 \\ y(3) =84.1

Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals

Example:3.x तथा y के मान दिए गए है।
(The values of x and y are given below):
असमान अन्तराल का लाग्रांज सूत्र प्रयोग कर x=10 के लिए y का मान ज्ञात कीजिए।
(Find the value of y when x=10 .Using Lagrange’s formula for unequal intervals.)

Solution:x_{0} =5, x_{1}=6, x_{2}=9, x_{3}=11
तथा f\left(x_{0}\right) =12, f\left(x_{1}\right)=13, f\left(x_{2}\right)=14, f\left(x_{3}\right)=16
अब लाग्रांज सूत्र में x=10 तथा उपर्युक्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

f(10)=\frac{(10-6)(10-9)(10-11)}{(5-6)(5-9)(5-11)} \times 12+\frac{(10-5)(10-9)(10-11) }{(6-5)(6-9)(6-11)}\times 13+\frac{(10-5)(10-6)(10-11)}{(9-5)(9-6)(9-11)} \times 14 +\frac{(10-5)(10-6)(10-9)}{(11-5)(11-6)(11-9)} \times 16 \\=\frac{(4)(1)(-1) \times 12}{(-1)(-4)(-6)}+\frac{(5)(1)(-1) \times 13}{(1)(-3)(-5)}+\frac{(5)(4)(-1) \times 14}{(4)(3)(-2)} +\frac{(5)(4)(1) \times 16}{6 \times 5 \times 2} \\ =\frac{2}{1}-\frac{13}{3}+\frac{35}{3}+\frac{16}{3} \\ =2-4.333+ 11.667+5.333 \\ \Rightarrow f(10) =14.667
Example:4.x के मानों के लिए f(x) के निम्न मान दिए हुए हैं:
(The following value of the function f(x) for values of x are given as f(1)=4,f(2)=5,f(7)=5,f(8)=4,
f(6) का मान ज्ञात कीजिए और x का वह मान भी ज्ञात कीजिए जिसके लिए f(x) अधिकतम या न्यूनतम हो।
(Find the value of f(6) and also the value of x for which f(x) is maximum and minimum.)
Solution:x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=7, x_{3}=8
तथा f\left(x_{0}\right)=4, f\left(x_{1}\right)=5, f\left(x_{2}\right)=5, f\left(x_{3}\right)=4
अब लाग्रांज सूत्र में x=6 तथा उपर्युक्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

f(6)=\frac{(6-2)(6-7)(6-8)}{(1-2)(1-7)(1-8)} \times 4+\frac{(6-1)(6-7)(6-8)}{(2-1)(2-7)(2-8)} \times 5+\frac{(6-1)(6-2)(6-8) }{(7-1)(7-2)(7-8)}\times 5 +\frac{(6-1)(6-2)(6-7)}{(8-1)(8-2)(8-7)} \times 4 \\ =\frac{4 \times -1 \times-2 \times 4}{-1 \times-6 \times-7}+\frac{5 \times-1 \times-2 \times 5}{1 \times-5 \times-6}+\frac{5 \times 4 \times-2 \times 5}{6 \times 5 \times-1}+\frac{5 \times 4 \times-1 \times 4}{7 \times 6 \times 1} \\ =-\frac{16}{21}+\frac{5}{3}+\frac{20}{3}-\frac{40}{21} \\=-0.7619+1.6666 +6.6666-1.9047 \\ \Rightarrow f(6)=5.6666 \text { या } \frac{-16+35+140-40}{21}=\frac{119}{21}=\frac{17}{3} \\ f(x)=\frac{(x-2)(x-7)(x-8)}{(1-2)(1-7)(1-8)} \times 4+\frac{(x-1)(x-7)(x-8)}{(2-1)(2-7)(2-8)} \times 5+\frac{(x-1)(x-2)(x-8)}{(7-1)(7-2)(7-8)}\times 5+ \frac{(x-1)(x-2)(x-7)}{(8-1)(8-2)(8-7)} \times 4 \\ =\frac{-2 x^{3}+34 x^{2}-172 x+224}{21}+ \frac{x^{3}-16 x^{2}+71 x-56}{6}+\frac{-x^{3}+11 x^{2}-26 x+16}{6} +\frac{2 x^{3}-20 x^{2}+46 x-28}{21}\\ = \frac{\begin{bmatrix} -4 x^{3}+68 x^{2}-344 x+448-7 x^{3}+77 x^{2}-182 x+112+ \\ 7 x^{3}-112 x^{2}+497 x-392+4 x^{3}-40 x^{2}+92 x-56 \end{bmatrix}}{42} \\ f(x)=\frac{-7 x^{2}+63 x+112}{42} \\ \Rightarrow f(x)=\frac{-x^{2}+9 x+16}{6} \\ f^{\prime}(x)=-\frac{2 x+9}{6} \\ f^{\prime}(x)=0 x=\frac{9}{2}=4.5

अतः x=4.5 निम्नतम बिन्दु है।
Example:5.दिया है (Given) \log_{10}654=2.8156 ; \log _{10} 658=2.8182 ; \log _{10} 659=2.8189 ; \log _{10} 661=2.8202 ; \log _{10} 656 ज्ञात कीजिए
(find \log _{10} 656)
Solution:x_{0}=654, x_{1}=658, x_{2}=659, x_{4}=661 
तथा f\left(x_{0}\right)=2.8156, f\left(x_{1}\right)=2.8182, f\left(x_{2}\right)=2.8189,f\left(x_{3}\right)=2.8202
अब लाग्रांज सूत्र में x=656 तथा उपर्युक्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\log _{10} 656=\frac{(656-658)(656-659)(656-661) }{(654-658)(654-659)(654-661)}\times(2.8156)+ \frac{(656-654)(656-659)(656-661)}{(658-654)(658-659)(658-661)} \times(2.8182)+\frac{(656-654)(656-658)(656-661)}{(659-654)(659-658)(659-661)} \times (2.8189)+\frac{(656-654)(656-658)(656-659) }{(661-654)(661-658)(661-659)}\times(2.8202)\\ =\frac{(-2)(-3)(-5)}{(-4)(-5)(-7)} \times(2.8156)+\frac{(2)(-3)(-5)}{(4)(-1)(-3)} \times(2.8182)+\frac{(2)(-2)(-5)}{(5)(1)(-2)} \times 2.8189 +\frac{(2)(-2)(-3)}{(7)(3)(2)} \times 2.8202 \\ \log_{10} 656 =\frac{3}{14}(2.8156)+\frac{5}{2}(2.8182)- 2(2.8189)+\frac{2}{7}(2.8202) \\=0.6033+7.045-5.6378+0.8057 \\ \Rightarrow \log_{10} 656 =2.8170
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा असमान अन्तराल के लिए लाग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals) को समझ सकते हैं।

3.असमान अन्तराल के लिए लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र की समस्याएँ (Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals Problems):

Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals

(1.)दिया हुआ है। (Given that)
f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,f(4)=16,f(7)=128
लाग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र की सहायता से f(5) का मान ज्ञात कीजिए।
(Find the value of f(5) with the help of Lagrange’s interpolation formula.)
(2.)निम्न सारणी से लाग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र द्वारा y(1.2) का मान ज्ञात कीजिए:
(Find y(1.2) by Lagrange’s interpolation from the following table):

(3.)निम्न सारणी से फलन का रूप ज्ञात कीजिए:
(Find the form of the function given by the following table):

उत्तर (Answers):(1.)32.9333
(2.)0.18276

(3)f(x)=x^{3}-9 x^{2}+17 x+6
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर असमान अन्तराल के लिए लाग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र की समस्याएँ (Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals Problems) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.असमान अन्तराल के लिए लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र की समस्याएँ (Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals Problems) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

असमान अन्तराल के लिए लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange Interpolation Formula for Unequal Intervals):
जब स्वतन्त्र चर के वे मान समदूरस्थ नहीं हो तो विभिन्न अन्तर स्वतन्त्र चर के मानों में परिवर्तन से प्रभावित होंगे।