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Central Difference Interpolation

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1 1.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula):
1.2 3.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र के सवाल (Central Difference Interpolation Formula Questions):

1.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula):

केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) में मुख्यतः गाॅस पश्च एवं अग्र अन्तर्वेशन सूत्र,स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र तथा बेसल अन्तर अन्तर्वेशन सूत्रों के आधार पर अन्तर सारणी के मध्य के समीप चर का मान ज्ञात किया जाता है।इस आर्टिकल में इन सूत्रों पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
(1.)गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{-1}+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{(u+1) u(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-2}+\frac{(u+2)(u+1) u(u-1)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where) u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)
(2.)गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+ \frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)\left(u^{2}-2^{2}\right)}{5 !} \Delta^{5} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where) u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)
(3.)स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1^{2} \right)}{3 !} \frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2}+\frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where) u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)
(4.)बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula):

y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !}\left[\frac{\Delta^{4} y_{-2}+\Delta^{4} y_{-1}}{2}\right]+\cdots
जहाँ (Where) u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)
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2.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Central Difference Interpolation Formula Examples):

Example:1.निम्नलिखित सारणी में दोनों (बेसल व स्टरलिंग) सूत्रों द्वारा अलग-अलग का मान ज्ञात कीजिए:
(Evaluate from the following table by both Bessel and Stirling’s formulae separately):

xy
1.720.179066
1.730.177284
1.740.175520
1.750.173774
1.760.172044
1.770.170333
1.780.168638

Solution: x_{0}=15 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=0.01,x=1.7475 के लिए

u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)=\frac{1.7475-1.74}{0.01}=\frac{0.0075}{0.01}=0.75
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

xuy_{u}Δy_{u}Δ^{2} y_{u}Δ^{3} y_{u}Δ^{4} y_{u}Δ^{5} y_{u}
1.72-20.179066     
   – 0.001782    
1.73-10.177284 0.000018   
   -0.001764 0  
1.7400.175520 0.000018   
   -0.001746 -0.000002  
1.7510.173774 0.000016 0.000005 
   -0.00173 0.000003 -0.000011
1.7620.172044 0.000019 -0.000006 
   -0.001711 -0.000003  
1.7730.170333 0.000016   
   -0.001695    
1.7840.168638     

स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \left ( \frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2} \right )+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+ \frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)}{3 !} \left [ \frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2} \right ]+\frac{u^{2} \left(u^{2}-1^{2}\right)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)\left(u^{2}-2^{2}\right)}{5 !} \left[\frac{\Delta^{5} y_{-2}+\Delta^{5} y_{-3}}{2}\right]+\cdots\\ y_{0.75}=0.175520+(0.75)\left[\frac{-0.001746-0.001764}{2}\right]+\frac{(0.75)^{2}}{2} \times 0.000018+\frac{0.75\left(0.75^{2}-1^{2}\right)}{6}\left[\frac{-0.000002+0}{2}\right] \\ =0.175520+0.75 \times(-0.001755)+0.5625 \times 0.000009 +\frac{0.75(0.5625-1)}{6} \times(-0.000001) \\ =0.175520-0.00131625+0.000005062-0.25 \times (-0.21875)(-0.000001) \\ =0.175520-0.00131625+0.000005062-0.000000054 \\ =0.174208758 \\ y_{1.7475}\approx 0.1742088
बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula):

y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !}\left[\frac{\Delta^{4} y_{-2}+\Delta^{4} y_{-1}}{2}\right]+\frac{\left(u-\frac{1}{2}\right)(u+1)u(u-1)(u-2)}{5!} \Delta^{5} y_{-2}+\cdots \\ y_{0.75}=\left ( \frac{0.175520+0.173774}{2} \right )+\left ( 0.75-\frac{1}{2} \right )(-0.001746)\frac{(0.75)(0.75-1)}{2} \left ( \frac{0.000018+0.000016}{2} \right )+\frac{(0.75-\frac{1}{2})(0.75)(0.75-1)}{6} \times (-0.000002) \\ =(0.174647)+(0.25)(-0.001746)+(0.75)(-0.25) \times 0.0000085+(0.25)(0.75)(-0.25) \times(-0.000001) \\ =0.174647-0.0004365-0.000001593+0.000000046 \\ \Rightarrow y_{0.75}=0.174208953 \\ \Rightarrow y_{1.7475} \approx 0.1742089
Example:2.सिद्ध करो कि (Prove that)

\delta\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\mu g(x) \cdot \delta f(x)-\mu f(x) \cdot \delta g(x)}{g(x-\frac{h}{2}) \cdot g(x+\frac{h}{2})}
Solution:\delta\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\mu g(x) \cdot \delta f(x)-\mu f(x) \cdot \delta g(x)}{g(x-\frac{h}{2}) \cdot g(x+\frac{h}{2})} \\ \text { L.H.S. }= \delta\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}\right)\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \left [ \frac{f(x+\frac{h}{2})}{g(x+\frac{1}{2})}-\frac{f(x-\frac{h}{2})}{g(x-\frac{1}{2})} \right ] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left[\frac{f(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2})}{g(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})}\right] \\ =\frac{1}{4} \frac{ \begin{matrix}f(x+\frac{h}{2}) \cdot g(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2}) +f(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})\\-f(x-\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})+f(x+\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2})+f(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2}) \\-f(x-\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2})+f(x-\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})g(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2}) \end{matrix}}{g(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})}  \\ = \frac{1}{4} \frac{ \begin{matrix}g(x+\frac{h}{2})\left \{ f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) \right \}\\+g(x-\frac{h}{2})\left \{ f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) \right \} \\ -f(x+\frac{h}{2})\left \{ g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2}) \right \} \\ -f(x-\frac{h}{2})\left \{ g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2}) \right \}\end{matrix} }{g(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})}  \\ \Rightarrow \frac{1}{4}\frac{\left[f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2})+g(x-\frac{h}{2})-(f(x+\frac{h}{2})+f(x-\frac{h}{2}))g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2})\right]}{g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2})}\\ \Rightarrow \frac{1}{4}\frac{\left[\left(E^{\frac{h}{2}}-E^{-\frac{h}{2}}\right) f(x) \cdot\left(E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}\right) g(x)-\left(E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}\right) f(x) \cdot \left(E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}\right)g(x)\right]}{g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2})} \\ \Rightarrow \frac{\left(\frac{E^{\frac{h}{2}}-E^{-\frac{h}{2}}}{2}\right) f(x) \cdot\left(\frac{E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}}{2}\right) g(x)-\left(\frac{E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}}{2}\right) f(x) \cdot \left(\frac{E^{\frac{h}{2}}-E^{-\frac{h}{2}}}{2}\right) g(x)}{g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2})}\\ \Rightarrow \frac{\mu g(x) \cdot \delta f(x)-\mu f(x) \cdot \delta g(x)}{g(x-\frac{h}{2}) \cdot g(x+\frac{h}{2})}

Example:3.सिद्ध कीजिए कि (Prove that):

\mu^{-1}=1-\frac{1}{8} \delta^{2}+\frac{3}{128} \delta^{4} \cdots
Solution:\mu^{-1}=1-\frac{1}{8} \delta^{2}+\frac{3}{128} \delta^{4} \cdots \\ \mu =\frac{1}{2}\left[E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[E^{\frac{h D}{2}}+E^{-\frac{h D}{2}}\right]\left[\because E=e^{h D}\right] \\ =\cos \left(\frac{h D}{2}\right) \\ =\sqrt{1+\sinh ^{2}\left(\frac{h D}{2}\right)} \\ =\sqrt{1+\left(\frac{\delta}{2}\right)^{2}} \left[\because \sinh \left(\frac{h D}{2}\right)=\frac{\delta}{2}\right] \\ \frac{1}{\mu}=\left(1+\frac{\delta^{2}}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow \mu^{-1}=1-\frac{1}{2}\left(\frac{\delta^{2}}{4}\right)+\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)}{2 !} \frac{\delta^{4}}{16}+\cdots \\ =1-\frac{1}{8} \delta^{2}+\frac{3}{128} \delta^{4}-\cdots \\ \Rightarrow \mu^{-1}=1-\frac{1}{8} \delta^{2}+\frac{3}{128} \delta^{4}- \cdots
Example:4.सामान्य संकेतन से सिद्ध कीजिए कि:
(With usual notations prove that):

y_{-n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) \nabla^{k} y_{0}
Solution: y_{-n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) \nabla^{k} y_{0} \\ \text { L.H.S } y_{-n} =E^{-n} y_{0} \\ =(1-\nabla)^{n} y_{0} \\ =\left(1-n \nabla+\frac{n(n-1)}{2 !} \nabla^{2}-\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\nabla^{3}+\cdots+y_{0} \right) \\=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \nabla^{k} y_{0} \\ \Rightarrow y_{-n} =\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \nabla^{k} y_{0}
Example:5.गाॅस,स्टरलिंग तथा बेसल सूत्रों द्वारा आंकड़ों से y_{11} ज्ञात कीजिए:
(Use Gauss, Striling and Bessel formulae to find y_{11} from the following data):

y_{0}=3010, y_{5}=2710, y_{10}=2285, y_{15}=1860, y_{20}=1560, y_{25}=1510 ,y_{30}=1835
Solution:x_{0}=15 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=5,x=11 के लिए

u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{11-15}{5}=-\frac{4}{5}=-0.8
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

xuy_{u}Δy_{u}ΔΔ^{2}y_{u}Δ^{2}y_{u}
0-33010   
   -300  
5-22710 -125 
   -425 125
10-12285 0 
   -425 125
1501860 125 
   -300 125
2011560 250 
   -50 125
2521510 375 
   325  
3031835   

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{-1}+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{ u(u^{2}-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\cdots \\ y_{(-0.8)}=1860+(-0.8)(-300)+\frac{(-0.8)(-0.8-1) }{2}(125)+\frac{(-0.8)\left[(-0.8)^{2}-1\right]}{6}\times 125 \\ =1860+240+0.4 \times 1.8 \times 125+\frac{0.8 \times 1.64 \times 125}{6}\\ =1860+240+90+27.3333\\ y_{(-0.8)}=2217.3333 \\ y_{11}=2217
स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}\right)+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+ \frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)}{3 !} \frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2}+\cdots \\ y(-0.8)=1860+(-0.8)\left(\frac{-360-425}{2}\right)+\frac{(-0.8)^{2}}{2} \times 125+\frac{(-0.8)\left[(-0.8)^{2}-1\right]}{6} \times \left(\frac{125+125}{2}\right) \\ =1860+0.4 \times 725+0.32 \times 125+\frac{0.8 \times 1.64 \times 125}{6}\\ = 1860+290+40+27.3333 \\ \Rightarrow y(-0.8)=2217.3333 \\ \Rightarrow y_{11} \approx 2217
बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula):

y_{u} =\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+ \frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u-1) }{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\cdots\\ y(-0.8)=\frac{1}{2}(1860+1560)+(-0.8-\frac{1}{2})(-300)+\frac{(-0.8)(-0.8-1)}{2}\left[\frac{125+250}{2}\right] +\frac{(-0.8)(-0.8-\frac{1}{2})(-0.8-1)}{6} \times 125 \\ =1710+1.3 \times 300+0.4 \times 1.8 \times 18.75-\frac{0.8 \times 1.3 \times 1.8 \times 125}{6} \\ =1710+390+135-39 \\ \Rightarrow y(-0.8)=2196 \\ \Rightarrow y_{11} \approx 2196
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र के सवाल (Central Difference Interpolation Formula Questions):

(1.)सिद्ध कीजिए (Prove that):

\delta[f(x) g(x)]=\mu f(x) \delta g(x)+\mu g(x) \delta f(x)
(2.)यदि तीसरें अन्तर अचर हैं तो सिद्ध कीजिए:
(If third differences are constant, prove that):

y_{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(y_{x}+y_{x+1}\right)-\frac{1}{16}\left(\Delta^{2} y_{x-1}+\Delta^{2} y_{x}\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.क्या है सेंट्रल डिफरेंस इंटरपोलेशन फॉर्मूला? (What is central difference interpolation formula?):

उत्तर:यह मूल रूप से संबंधित ज्ञात डेटा की सहायता से अज्ञात डेटा का आकलन करने की अवधारणा प्रदान करता है।इस शोध का मुख्य लक्ष्य एक केंद्रीय अंतर इंटरपोलेशन विधि का गठन करना है जो गॉस के तीसरे फॉर्मूले (Gauss Third Formula),गॉस के पश्च फॉर्मूले (Gauss Backward Formula) और गॉस के फॉरवर्ड फॉर्मूले (Gauss Forward Formula) के संयोजन से ली गई है ।

प्रश्न:2.केंद्रीय अंतर फार्मूला क्या है? (What is the central difference formula?):

उत्तर:f(a)≈छोटी टूटी हुई रेखा का ढलान= y-वैल्यूज अन्तर-x-वैल्यूज में अंतर =\frac{f(x+ h)−f(x-h)}{2h} इसे f(a) के लिए केंद्रीय अंतर सन्निकटन कहा जाता है।व्यवहार में केंद्रीय अंतर फार्मूला सबसे सटीक है।

प्रश्न:3.क्या है बेसेल्स इंटरपोलेशन फॉर्मूला? (What is Bessels interpolation formula?):

उत्तर:यहां f(0) मूल बिंदु आमतौर पर मध्य बिंदु होने के लिए लिया जाता है,क्योंकि Bessel formula का उपयोग केंद्र के पास इंटरपोलेट करने के लिए किया जाता है।h अंतर का अंतराल कहा जाता है और आप u=(x-f (0))/h,यहां f(0) मूलबिन्दु पर चुना गया पद है।

प्रश्न:4.इंटरपोलेशन फॉर्मूला कौन सा है? (Which one is the interpolation formula?):

उत्तर:लीनियर इंटरपोलेशन प्रक्रिया का फॉर्मूला जानें।सूत्र y = y_{1} + \left ( \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \right ) \times \left ( y_{2}-y_{1} \right ) जहां x ज्ञात मूल्य है,y अज्ञात मूल्य है, x_{1} और y_{1} निर्देशांक हैं जो ज्ञात x मूल्य से नीचे हैं, और x_{2} और y_{2} वे निर्देशांक हैं जो x मूल्य से ऊपर हैं।

प्रश्न:5.स्टर्लिंग इंटरपोलेशन फॉर्मूला क्या है? (What is Stirling interpolation formula?):

उत्तर:स्टर्लिंग फॉर्मूला (Stirling Formula) गॉस फॉरवर्ड (Gauss Forward) और गॉस बैकवर्ड फॉर्मूला (Gauss Backward Formula) के औसत या माध्य को लेकर प्राप्त किया जाता है। गॉस फॉरवर्ड और बैकवर्ड दोनों सूत्र सारणीबद्ध सेट के मध्य के पास फलन का मूल्य प्राप्त करने के सूत्र हैं ।

प्रश्न:6.निम्नलिखित में से कौन सा प्रतीक केंद्रीय अंतर ऑपरेटर कहा जाता है? (Which of the following symbol is called central difference operator?):

उत्तर:एक अंतर ऑपरेटर,∂ को चिह्नित किया गया, जो समीकरण ∂ƒ(x)=ƒ(x+\frac{h}{2})-ƒ (x- \frac{h}{2} ) द्वारा परिभाषित किया गया है,जहां h इंटरपोलेशन या गणना के लगातार बिंदुओं के बीच अंतर को लगातार दर्शाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Central Difference Interpolation Formula

केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र
(Central Difference Interpolation Formula)

Central Difference Interpolation Formula

केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) में मुख्यतः गाॅस पश्च एवं
अग्र अन्तर्वेशन सूत्र, स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र तथा बेसल अन्तर अन्तर्वेशन सूत्रों के आधार पर
अन्तर सारणी के मध्य के

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