1.शून्य के अन्तर (Differences of Zero),संख्यात्मक विश्लेषण में शून्य के अन्तर (Differences of Zero in Numerical Analysis)-

Differences of Zero

शून्य के अन्तर (Differences of Zero),संख्यात्मक विश्लेषण में शून्य के अन्तर (Differences of Zero in Numerical Analysis)-यदि n तथा m धनात्मक पूर्णांक हो तो

\Delta^{n} x^{m}=(E-1)^{n} x^{m} \quad[\because E=1+\Delta] \\ =\left[E^{n}-{^{n}C_{1}} E^{n-1}+\cdots+{^{n}C_{n-1}} E+(-1)^{n}\right] x^{m} \\ =(x+n)^{m} -{^{n}C_{1}}(x+n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(x+n-2)^{m}-\cdots+(-1)^{n-1}.{^{n}C_{n-1}}(x+1)^{m}+(-1)^{n} x^{m}
[अन्तर का अन्तराल 1 है]
x=0 रखने पर-

\left[\Delta^{n} x^{m}\right]_{x=0}=n^{m}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{m}+\cdots+{^{n}C_{n-1}}(-1)^{n-1} .....(1)
परिभाषा (Definition):व्यंजक (1) \left[\Delta^{n} x^{m}\right]_{x=0} को \Delta^{n} 0^{m} लिखा जाता है। \Delta^{n} 0^{m} राशियों को शून्य का अन्तर कहते हैं क्योंकि अग्रग पद (leading term) हमेशा शून्य होता है।
n तथा m के विभिन्न पूर्णांक मानों के \Delta^{n} 0^{m} मान निम्न प्रकार से प्राप्त किए जा सकते हैं: जैसे
जब n=2,m=2,तब \Delta 0^{2}=1^{2}=1
जब n=2,m=4,तब \Delta^{2} 0^{4}=2^{4}-{^{2}C_{1}} (1)^{4}=14
जब n=3,m=4,तब \Delta^{3} 0^{4} =3^{4}-{^{3}C_{1}} \cdot(2)^{4}+{^{3}C_{2}}\cdot (1)^{4}=36
जब n=4,m=5,तब \Delta^{4} 0^{5} =4^{5}-{^{4}C_{1}} \cdot(3)^{5}+{^{4}C_{2}}\cdot(2)^{5}-{^{4}C_{3}} \cdot(1)^{5} \\ =1024-4(243)+10(32)-4(1) \\ =368
पुनः (i) \Delta^{n} 0^{n}=\left[\Delta^{n} x^{n}\right]_{x=0}=(n !)_{x=0}=n! \\ \Delta^{6} 0^{6}=6!=720
(ii) चूंकि \Delta^{n} x^{m}=0 यदि n>m

\Delta^{n} 0^{m}=\left[\Delta^{n} x^{m}\right]_{x=0}=[0]_{x=0}
अर्थात् 0^{m} के m से उच्च कोटि के सारे अन्तर शून्य होते हैं।
(iii)\Delta 0^{m}=1
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2. \Delta^{n} 0^{m};\Delta^{n-1} 0^{m-1}तथा \Delta^{n} 0^{m-1}के मध्य पुनरावृत्ति सम्बन्ध (Recurrence Relation between \Delta^{n} 0^{m};\Delta^{n-1} 0^{m-1} and \Delta^{n} 0^{m-1}):

Differences of Zero

सिद्ध कीजिए (Prove that):\Delta^{n} O^{m}=n\left[\Delta^{n-1} \cdot 0^{m-1}+\Delta^{n} 0^{m-1}\right]
या \frac{\Delta^{n} 0^{m}}{n !}=\frac{\Delta^{n-1} 0^{m-1}}{(n-1) !}+\frac{n \Delta^{n} 0^{m-1}}{n !}
प्रमाण (Proof):हम जानते हैं कि

\Delta^{n} 0^{m} =n^{m}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{m} \cdots \cdots+{^{n}C_{n-1}}(-1)^{n-1} \\ =n^{m}-n(n-1)^{m}+\frac{n(n-1)}{2 !}(n-2)^{m}- \cdots+n(-1)^{n-1} \\ =n[n^{m-1}-(n-1)^{m}+\frac{(n-1)}{2 !}(n-2)^{m}-\cdots + (-1)^{n-1}] \\ =n[n^{m-1}-(n-1)(n-1)^{m-1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2 !}(n-2)^{m-1} \ldots+(-1)^{n-1}] \\ =n[(1+n-1)^{m-1}-{^{n-1}C_{1}} (n-1)^{m-1}+{^{n-1}C_{2}}(n-2)^{m-1}.....+(-1)^{n-1}] \\ =n[(1+n-1)^{m-1}-{^{n-1}C_{1}} \cdot(1+n-2)^{m-1}+{^{n-1}C_{2}} \cdot(1+n-3)^{m-1}+(-1)^{n-1}\cdot {^{n-1}C_{n-1}} 1^{m-1} ] \\ =n[(x+n-1)^{m-1}-{^{n-1}C_{1}} (x+n-2)^{m-1} +{^{n-1}C_{2}}(x+n-3)^{m-1}-\cdots+(-1)^{n-1} \cdot {^{n-1}C_{n-1}} x^{m-1}];x=1 पर
=n[E^{n-1} x^{m-1}-{^{n-1}C_{1}} E^{n-2} x^{m-1}+{^{n-1}C_{2}} E^{n-3} x^{m-1}-\cdots+(1)^{n-1} \cdot {^{n-1}C_{n-1}} x^{m-1}];x=1 पर
=n\left[(E-1)^{n-1} x^{m-1}\right];x=1 पर
=n(E-1)^{n-1} x^{m-1};x=1 पर

=n \Delta^{n-1}(1)^{m-1} (\because E=1+\Delta) \\ =n \Delta^{n-1} E 0^{m-1} [\because E 0=1]
या \Delta^{n} 0^{m}=n \Delta^{n-1}+(1+\Delta) 0^{m-1}
अतः \Delta^{n} 0^{m}=n\left(\Delta^{n-1} 0^{m-1}+\Delta^{n} 0^{m-1}\right)
जो कि अभीष्ट पुनरावृत्ति सम्बन्ध है।अब दोनों पक्षों को n! से विभाजित करने पर

\frac{\Delta^{n} 0^{m}}{n!}=\frac{n \Delta^{n-1} 0^{m-1}}{n !}+\frac{n \Delta^{n} 0^{m-1}}{n!}

या \frac{\Delta^{n} 0^{m}}{n !}=\frac{\Delta^{n-1} 0^{m-1}}{(n-1) !}+\frac{n \Delta^{n} 0^{m-1}}{n !}

3.शून्य के अन्तर के उदाहरण (Differences of Zero Examples),संख्यात्मक विश्लेषण में शून्य के अन्तर के उदाहरण (Differences of Zero in Numerical Analysis Examples)-

निम्न के मान ज्ञात कीजिए (Evaluate the following):
Example-1.\Delta^{n}\left(\frac{1}{x}\right), h=1
Solution–\Delta^{n}\left(\frac{1}{x}\right) \\ \Delta\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{x(x+1)}
पुनः \Delta^{2}\left(\frac{1}{x}\right) =\triangle\left(\Delta \frac{1}{x}\right) \\=\Delta\left(-\frac{1}{x(x+1)}\right)\\ =\left(-\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x(x+1)}\right) \\ =\frac{-x^{2}-x+x^{2}+3 x+2}{x(x+1)^{2}(x+2)} \\ =\frac{2 x+2}{x(x+1)^{2}(x+2)} \\ =\frac{2}{x(x+1)(x+2)} \\ \Delta^{2}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{(-1)^{2} 2 !}{x(x+1)(x+2)} \\ \cdot \cdot \cdot \cdot \\ \Delta^{n}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{(1)^{n} n!}{x(x+1) \cdot(x+2) \cdots(x+n)}
Example-2.\Delta^{3}(1-x)(1-2 x)(1-3 x)
Solution-\Delta^{3}(1-x)(1-2 x)(1-3 x) \\ =\Delta^{3}(1-x)\left(1-5 x+6 x^{2}\right) \\ =\Delta^{3}\left(1-6 x+11 x^{2}-6 x^{3}\right) \\ =\Delta^{3}(1)-6 \Delta^{3} x+11 \Delta x^{2}-6 \Delta x^{3} \\ =-6(3 !) \left[\because \Delta^{n+1} f(x)=0\right] \\ =-6(3 \times 2) \\ =-36
Example-3.\Delta^{2} 0^{5}
Solution–\Delta^{2} 0^{5}
सूत्र-\left[\Delta^{n} x^{m}\right]_{x=0}=n^{m}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{m}+\cdots+{^{n}C_{n-1}}(-1)^{n-1}
n=2,m=5 रखने पर

\Delta^{2} 0^{5} =2^{5}-{^{n}C_{1}}(2-1)^{5}+{^{n}C_{2}}(2-2)^{5} \\ =32-2 \\ \Rightarrow \Delta^{2} \Delta^{5} =30
Example-4.\Delta^{3} 0^{6}
Solution–\Delta^{3} 0^{6}
सूत्र-\left[\Delta^{n} x^{m}\right]_{x=0}=n^{m}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{m}+\cdots+{^{n}C_{n-1}}(-1)^{n-1}
n=3,m=6 रखने पर

\Delta^{3} 0^{6}= 3^{6}-{^{n}C_{1}}(3-1)^{6}+{^{n}C_{2}}(3-2)^{6} \\=729-3(2)^{6}+3 \\= 729-192+3 \\= 732-192 \\ \Rightarrow \Delta^{3} \Delta^{6} =540
Example-5. \Delta^{4} 0^{5}
Solution–\Delta^{4} 0^{5}
सूत्र-\left[\Delta^{n} x^{m}\right]_{x=0}=n^{m}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{m}+\cdots+{^{n}C_{n-1}}(-1)^{n-1}
n=4,m=5 रखने पर

\Delta^{4} 0^{5} =4^{5}-{^{4}C_{1}}(4-1)^{5}+{^{4}C_{2}}(4-2)^{5}-{^{4}C_{3}}(4-3)^{5} \\ =1024-4(3)^{5}+6(2)^{5}-4 \\ =1024-4(243)+6(32)-4 \\ =1024-972+192-4 \\ =1216-976 \\ \Rightarrow \Delta^{4} 0^{5} =240

Differences of Zero

Example-6.\Delta^{5} 0^{5}
Solution–\Delta^{5} 0^{5}
सूत्र-\left[\Delta^{n} x^{m}\right]_{x=0}=n^{m}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{m}+\cdots+{^{n}C_{n-1}}(-1)^{n-1}
n=5,m=5 रखने पर

\Delta^{5} 0^{5}=5^{5}-{^{5}C_{1}}(5-1)^{5}+{^{5}C_{2}}(5-2)^{5}-{^{5}C_{3}}(5-3)^{5}+{^{5}C_{4}}(5-4)^{5}\\= 3125-5(4)^{5}+10(3)^{5} -10(2)^{5}+5(1)^{5} \\=3125-5120+10(243)-10(32)+5 \\=3125-5120+2430-320+5 \\= 5560-5440 \\ \Rightarrow \Delta^{5} 0^{5}=120
Example-7.\Delta 0^{n}
Solution–\Delta 0^{n}
सूत्र-\left[\Delta^{n} x^{m}\right]_{x=0}=n^{m}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{m}+\cdots+{^{n}C_{n-1}}(-1)^{n-1}
n=1,m=n रखने पर

\Delta 0^{n}=1^{n}-{^{1}C_{1}}(1-1)^{m} \\ \Delta 0^{n}=1
Example-8. सिद्ध कीजिए:\Delta^{m} 0^{m}=n^{m}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{m} \ldots \ldots
और निगमन कीजिए कि (and deduce that)

n!=n^{n}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{n}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{n} \cdots
Solution– यदि n तथा m धनात्मक पूर्णांक हो तो

\Delta^{n} x^{m} =(E-1)^{n} x^{m} \quad[\because E=1+\Delta] \\ =\left[E^{n}-{^{n}C_{1}} E^{n-1}+\cdots+(-1)^{n-1} {^{n}C_{n-1}} E+(-1)^{n}\right]{x}^{m} \\ =(x+n)^{m}-{^{n}C_{1}}(x+n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(x+n-2)^{m}-\cdots+(-1)^{n-1} \cdot {^{n}C_{1}}(x+1)^{m}+(-1)^{n} x^{m}
[अन्तर का अन्तराल 1 है]
x=0 रखने पर-

\Delta^{n} 0^{m}=n^{m}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{m}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{m}+\cdots+{^{n}C_{n-1}}(-1)^{n-1}

m=n  रखने पर-

\Delta^{n} 0^{n}=n^{n}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{n}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{n}+\cdots+{^{n}C_{n-1}}(-1)^{n-1} \\ \Delta^{n} 0^{n} =\left[\Delta^{n} x^{n} \right]_{x=0} =n ! \\ n!=n^{n}-{^{n}C_{1}}(n-1)^{n}+{^{n}C_{2}}(n-2)^{n} \cdots
Example-9. प्रदर्शित कीजिए कि (Show that):

(x+1) \Delta^{n} 0^{n}= 2\left[\Delta^{n-1} 0^{n}+\Delta^{n} 0^{n}\right]
Solution– (x+1) \Delta^{n} 0^{n}= 2\left[\Delta^{n-1} 0^{n}+\Delta^{n} 0^{n}\right]

let x^{n+1}=x^{(n+1)}+a_{1} x^{(n)}+a_{2} x^{(n-1)}+\cdots(1)\\ x^{n+1}=[x(x-1)(x-2)....(x-n)]+[a_{1} x(x-1)(x-2)...(x-n+1)]+a_{2}[x(x-1)(x-2) \cdots(x-n+2)]+\cdots \\ =x^{n+1}+\left[(-1-2-3-\cdots-n)+a_{1}\right] x^{n}+[\cdots] x^{n-1}+\cdots
दोनों पक्षों में x^{n} के गुणांकों की तुलना करने पर-

0=(-1-2-3-\ldots-n)+a_{1} \\ \Rightarrow a_{1}=1+2+3+\cdots+n \\ \Rightarrow a_{1}=\frac{1}{2} n(n+1)
समीकरण (1) में का मान रखने पर-

x^{n+1}=x^{(n+1)}+\frac{1}{2} n(n+1) \cdot x^{(n)}+a_{2} x^{(n-1)}+\cdots \\ \Delta^{n} x^{n+1}=\Delta^{n} x^{(n+1)}+\frac{1}{2} n(n-1) \Delta^{n} x^{(n)}
यहां \Delta^{n} x^{(n-1)} =0, \quad \Delta^{n} x^{(n-2)}=0
क्योंकि \Delta^{m} x^{(n)} =0 यदि m>n

\Delta^{n} x^{n+1}=(n+1) n(n-1) \cdots 2 x+\frac{1}{2} n(n+1) n !
x=0 रखने पर-
\Delta^{n} x^{n+1} =\frac{1}{2} n(n+1) n ! \\ =\frac{1}{2} n(n+1) ! \\ \therefore \Delta^{n-1} 0^{n} =\frac{1}{2}(n-1) n ! तथा \Delta^{n} 0^{n}=n ! \cdots(2) \\R.H.S=2\left[\Delta^{n-1} 0^{n}+\Delta^{n} 0^{n}\right] \\ =2\left[\frac{1}{2}(n-1) n !+n !\right] \quad [(2) से ] \\ =2\left[\frac{1}{2}(n-1)+1\right] n ! \\ =\frac{2[n-1+2]}{2} n! \\=(n+1) n ! \\ =(n+1) \Delta^{3} 0^{n}=L.H.S
Example-10. प्रदर्शित कीजिए कि (Show that):

\Delta^{m} 0^{n}+{^{n}C_{1}} \Delta^{m} 0^{n-1}+{^{n}C_{2}} \Delta^{m} 0^{n-2}+\frac{n !}{(n-m)!}=\frac{1}{1+m} \Delta^{m+1} 0^{n+1}
Solution– \Delta^{m} 0^{n}+{^{n}C_{1}} \Delta^{m} 0^{n-1}+{^{n}C_{2}} \Delta^{m} 0^{n-2}+\frac{n !}{(n-m)!}=\frac{1}{1+m} \Delta^{m+1} 0^{n+1} \\ \frac{n !}{(n-m)!}=\frac{n !}{m !(n-m) !} m! \\ \frac{n !}{n-m !}={^{n}C_{n-m}} \cdot \Delta^{m} o^{m}\left[\because \Delta^{n} 0^{m}=m!\right]...(1) \\ L.H.S=\Delta^{m} 0^{n}+{^{n}C_{1}} \Delta^{m} 0^{n-1}+{^{n}C_{2}} \Delta^{m} 0^{n-2}+\cdots+\frac{n !}{(n-m)!} \\ \Delta^{m} 0^{n}+{^{n}C_{1}} \Delta^{m} 0^{n-1}+{^{n}C_{2}} \Delta^{m} 0^{n-2}+\cdots+n {^{n}C_{n-m}} \Delta^{m} 0^{m} [(1) से ] \\ \Delta^{m} 0^{n}+{^{n}C_{1}} \Delta^{m} 0^{n-1}+{^{n}C_{2}} \Delta^{m} 0^{n-2}+\cdots+n {^{n}C_{n-m}} \Delta^{m} 0^{m}{^{n}C_{n-m+1}} \Delta^{m} 0^{m-1}+\cdots+{^{n}C_{n-1}} \Delta^{m} 0
[ \because \Delta^{m} 0^{r}=0 यदि m>r]

=\Delta^{m}\left[x^{n}+{^{n}C_{1}} x^{n-1}+{^{n}C_{2}} x^{n-2}+\cdots+{^{n}C_{n-m}} x^{m}+\cdots+{^{n}C_{n-1}} x+{^{n}C_{n}} x\right]_{x=0} \\= \Delta^{m}\left[(x+1)^{n} \right]_{x=0} \\ =\Delta^{m}\left[E x^{n}\right]_{x=0} \\ =\Delta^{m}\left [(1+\Delta) x^{n}\right]_{x=0} \\ =\Delta^{m}(1+\Delta) \cdot 0^{n} \\ =\Delta^{m} 0^{n}+\Delta^{m+1} 0^{n} \\ =\frac{-\Delta^{m+1} 0^{n}}{m+1} \quad \left[\because \Delta^{m} 0^{n}=n\left[\Delta^{n-1} 0^{m-1}+\Delta^{n} 0^{m-1}\right]\right] =R.H.S
Example-11.प्रदर्शित कीजिए कि (Show that):
\Delta x^{m}-\frac{1}{3} \Delta^{2} x^{m}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \Delta^{3} x^{m}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \Delta^{4} x^{m} +......m \text{ पदों तक  }=(x+\frac{1}{2})^{m}-(x-\frac{1}{2})^{m}
Solution– \Delta x^{m}-\frac{1}{3} \Delta^{2} x^{m}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \Delta^{3} x^{m}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \Delta^{4} x^{m} +......m \text{ पदों तक  }=(x+\frac{1}{2})^{m}-(x-\frac{1}{2})^{m}
हम जानते हैं कि x^{m+1} x^{m} =0 इसी प्रकार के (m+1) से उच्चत्तर अन्तर शून्य होंगे
L.H.S=\Delta x^{m}-\frac{1}{2} \Delta^{2} x^{2}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \Delta^{3} x^{m}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \Delta^{4} x^{m}+\cdots \text { m पदों तक }\\ =\Delta\left(1-\frac{1}{2} \Delta+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \Delta^{2}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \Delta^{3}+\cdots \text { m terms } \right) x^{m} \\= \Delta(1+\Delta)^{-\frac{1}{2}} x^{m} \\ =\Delta E^{\frac{1}{2}} x^{m} \quad[\because E=1+\Delta] \\= \Delta(x-\frac{1}{2})^{m}[\because E^{n} u_{x}=u_{x+n} ] \\ \Delta =(x+1-\frac{1}{2})^{m}-(x-\frac{1}{2})^{m} \\=(x+\frac{1}{2})^{m}-(x-\frac{1}{2})^{m}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा शून्य के अन्तर (Differences of Zero),संख्यात्मक विश्लेषण में शून्य के अन्तर (Differences of Zero in Numerical Analysis) को समझ सकते हैं।

4.शून्य के अन्तर की समस्याएं (Differences of Zero Problems),संख्यात्मक विश्लेषण में शून्य के अन्तर (Differences of Zero in Numerical Analysis Problems)-

(1.) निम्न श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए:
(Sum to n term of the following series):

1 \cdot 2 \Delta x^{n}-2 \cdot 3 \Delta^{2} x^{n}+3 \cdot 4 \cdot \Delta^{3} x^{n}-4 \cdot 5 \Delta^{4} x^{n}+....
(2.) निम्न श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए (Find the sum of the following series):

(x-1)^{2 n} \cdot {^{n}C_{1}}+(n-3)^{2} \cdot {^{n}C_{3}}+(n-5)^{2} \cdot {^{n}C_{5}}+\cdots
(3.) सिद्ध कीजिए कि,यदि 0<x<1,तब (Prove that,if 0<x<1;then):

\left(1^{n}+2^{n} \cdot x+3^{n} \cdot x^{2}+\cdots\right)=\frac{1}{(1-x)^{2}} \cdot\left[\Delta 0^{n}+\left(\frac{x}{1-x}\right) \Delta ^{2} 0^{n}+ \left(\frac {x}{1-x} \right)^{2} \Delta^{3} 0^{n}+....\right]
(4.) सिद्ध कीजिए (Prove that):

\Delta^{n} 0^{n+1}=\frac{n}{2}(n+1) \cdot \Delta^{n} 0^{n}=\frac{n}{2}(n+1) !

Differences of Zero

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर शून्य के अन्तर (Differences of Zero),संख्यात्मक विश्लेषण में शून्य के अन्तर (Differences of Zero in Numerical Analysis) को ठीक से समझ सकते हैं।

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