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Gauss Forward Interpolation Formula

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1 1.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae):

1.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae):

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) अन्तर सारणी के मध्य के समीप के चर के लिए अन्तर्वेशन हेतु सरल एवं सर्वोत्तम अनुकूल होता है।
गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula):
सूत्र (Formula):y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1} +\frac{u\left(u^{2}-1\right) (u-2)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{5 !} \Delta^{5} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where),u=\frac{x-x_{0}}{h}
प्रमाण (Proof):माना कि f(u),चर u का फलन है, जहाँ u=\frac{x-x_{0}}{h} तथा u के इकाई अन्तराल वाले मान …….,-3,-2,-1,0,1,2,3,…….के संगत इसके मान ……..,f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3),………है।
न्यूटन-ग्रेगरी अग्र अन्तर सूत्रानुसार

f(u)=f(0)+^{u}C_{1} \cdot \Delta f(0)+^{u}C_{2} \cdot \Delta^{2} f(0)+^{u}C_{3} \cdot \Delta^{3} f(0)+\cdots+ ^{u}C_{r} \cdot \Delta^{r} f(0)+\cdots(1)
हम जानते हैं कि

\Delta^{3} f(-1)=\Delta^{2} \left[\Delta f(-1)\right] \\ =\Delta^{2}[f(0)-f(-1)] \\ \therefore \Delta^{2} f(0) =\Delta^{2} f(-1)+\Delta^{3} f(-1) \cdots(2)
इसी प्रकार \Delta^{3} f(0)=\Delta^{3} f(-1)+\Delta^{4} f(-1) इत्यादि \cdots(3)
इन मानों का (1) में प्रतिस्थापित करने पर:

f(u)=f(0)+^{u}C_{1} \cdot \Delta f(0)+^{u}C_{2} \left[\Delta^{2} f(-1)+\Delta^{3} f(-1)\right]+ ^{u}C_{3} \left[\Delta^{3} f(-1)+\Delta^{4} f(-1) \right]+^{u}C_{4} \left[\Delta^{4} f(-1)+\Delta^{5} f(-1)\right]+\cdots+^{u}C_{r} \left [ \Delta^{r} f(-1)+ \Delta^{r+1}f(-1)\right]+\cdots \\ =f(0)+^{u}C_{1} \cdot \Delta f(0)+^{u}C_{2} \cdot \Delta^{2} f(-1)+\left ( ^{u}C_{2}+^{u}C_{3} \right ) \Delta^{3} f(-1)+ \left ( ^{u}C_{3}+^{u}C_{4} \right ) \Delta^{4} f(-1)+\cdots \cdot+\left ( ^{u}C_{r}+^{u}C_{r+1} \right ) \Delta^{r+1} f(-1)+ \cdots\\ =f(0)+^{u}C_{1} \Delta f(0)+^{u}C_{2} \Delta^{2} f(-1)+^{u+1}C_{3} \Delta^{3} f(-1)+ ^{u+1}C_{4} \Delta^{4} f(-1)+\cdots+^{u+1}C_{r+1} \cdot \Delta^{r+1} f(-1)+\cdots \cdots(4)
पुनः \left.\begin{matrix}\Delta^{3} f(-1)=\Delta^{3} f(-2)+\Delta^{2} f(-2) \\ \Delta^{4} f(-1)=\Delta^{4} f(-2)+\Delta^{5} f(-2) \text{ इत्यादि }\end{matrix}\right\} \cdots(5)
इन मानों को (4) में प्रतिस्थापित करने पर:

f(u)=f(0)+^{u}C_{1} \Delta f(0)+^{u}C_{2} \Delta^{2} f(-1)+^{u+1}C_{3} \Delta^{3} f(-1)+ ^{u+1}C_{4} \left[\Delta^{4} f(-2)+\Delta^{5}f(-2)\right]+\cdots \\ f(u)=f(0)+\left[^{u}C_{1} \cdot \Delta f(0)+^{u}C_{2} \Delta^{2} \cdot f(-1)\right] +\left[^{u+1}C_{3} \Delta^{3} f(-1)+^{u+1}C_{4} \Delta^{4} f(-2)\right]+\cdots \\ \left[^{u+r+1-1}C_{2r-1} \Delta^{2r-1} f(-r+1)+^{u+r-1} C_{2r} \Delta^{2r} f(-r)\right]+\cdots \\ f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+ \frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+ \frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+ \frac{u\left(u^{2} -1\right)\left(u^{2}-2^{2}\right) }{5 !}\Delta^{5} f(-2)+\cdots(6)
यदि f(u) को y_{u} से प्रतिस्थापित करें तो उपर्युक्त सूत्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3!} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4!} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)\left(u^{2}-2^{2}\right)}{5 !} \Delta^{5} y_{-2} \cdots(7)
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2.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Gauss Forward Interpolation Formula Examples):

Example:1.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र से ज्ञात कीजिए जहाँ दिया है:
(Use Gauss’s forward interpolation formula to find the value of f(x) for x=30, given that):

x 21 25 29 33 37
f(x) 18.4708 17.8144 17.1070 16.3432 15.5154

Solution:29 पर मूलबिन्दु लेने पर,x=30 पर u का मान जबकि यहाँ h=4 है, u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{30-29}{4}=\frac{1}{4}=0.25
अतः हमें f(0.25) का मान ज्ञात करना है।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

x u f(u) \Delta f(u) \Delta^{2} f(u) \Delta^{3} f(u) \Delta^{4} f(u)
21 -2 18.4708        
      -0.6564      
25 -1 17.8144   -0.051    
      -0.7074   -0.0054  
29 0 17.1070   -0.0564   -0.0022
      -0.7638   -0.0076  
33 1 16.3432   -0.064    
      -0.064      
37 2 15.5154        

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+\frac{(u+1) u(u-1)(u-2)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+\cdots
यहाँ u=0.25 तथा अन्तर सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

f\left(0.25\right)=17.1070+0.25 \times(-0.7638)+ \frac{(0.25)(0.25-1)}{2 !} \times (-0.0564)+\frac{(1+0.25)(0.25)(0.25-1)}{3 !} \times(-0.0076)+\frac{(0.25+1)(0.25)(0.25-1)(0.25-2)}{4 !} \times (-0.0022) \\ \Rightarrow f(0.25)=17.1070-0.19095+(0.25)(-0.75)(-0.0282)+\frac{(1.25)(0.25)(-0.75)(-0.0076)}{6}+ \frac{(1.25)(0.25)(-0.75)(-1.75)(-0.0011)}{12}\\ =17.1070-0.19095+ 0.0052875+ 0.00296875-0.000037597 \\ \Rightarrow f(25)=16.92426885 \approx 16.9242
अब मूलबिन्दु पर पुनः वापिस आने पर: y_{30}=16.9242
Example:2.गाॅस अन्तर्वेशन सूत्र द्वारा निम्न आँकड़ों से f(41) का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Gauss’s interpolation formula to find f(41) with the help of following data):

x 30 35 40 45 50
f(x) 3678.2 2995.1 2400.1 1876.2 1416.3

Solution:40 पर मूलबिन्दु लेने पर x=41 पर u का मान जबकि यहाँ h=5 है, u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{41-40}{5}=\frac{1}{5}=0.20
अतः हमें f(0.20) का मान ज्ञात करना है।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

x u f(u) \Delta f(u) \Delta^{2} f(u) \Delta^{3} f(u) \Delta^{4} f(u)
30 -2 3678.2        
      -683.1      
35 -1 2995.1   88.1    
      -595   -17  
40 0 2400.1   71.1   9.9
      -523.9   -7.1  
45 1 1876.2   64    
      -459.9      
50 2 1416.3        

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)(u-2)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+\ldots \ldots \ldots 
यहाँ u=0.20 तथा अन्तर सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

f(0.20)=2400 \cdot 1+(0.20)(-523 \cdot 9)+\frac{(0.20)(0.20-1)}{2}(71.1)+\frac{(0.20+1)(0.20)(0.20-1)}{6}(-7.1)+\frac{(0.20+1)(0.20)(0.20-1)(0.20-2)}{24} \times 9.9\\ \Rightarrow f(0.20)=2400.1-104.78+\frac{(0.20)(-0.80)(7.1)}{2}+\frac{(1.20)(0.20)(-0.80)}{6} \times (-7.1)+\frac{(1.20)(0.20)(-0.80)(-1.80)}{24} \times 9.9\\ = 2400.1-104.78-0.568+0.2272+0.544+0.14256 \\ f(0.20)=2295.12176 \approx 2995.1
अब मूलबिन्दु पर पुनः वापिस आने पर: f(41)=2295.1

Example:3.निम्न सारणी से गाॅस के अग्र सूत्र द्वारा x=3.75 पर y का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Gauss’s forward formula to find the value of y when x=3.75 from the following table):

x 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
y 24.145 22.043 20.225 18.644 17.262 16.047

Solution:3.5 पर मूलबिन्दु लेने पर,x=3.75 पर u का मान जबकि यहाँ h=0.5 है,u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{3.75-3 \cdot 5}{4}=0.5
अतः हमें f(0.5) का मान ज्ञात करना है।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

x u f(u) \Delta f(u) \Delta^{2} f(u) \Delta^{3} f(u) \Delta^{4} f(u) \Delta^{5} f(u)
2.5 -2 24.145          
      -2.102        
3.0 -1 22.043   -0.284      
      -1.818   -0.047    
3.5 0 20.225   0.237   0.009  
      -1.581   -0.038   -0.003
4.0 1 18.644   0.199   0.006  
      -1.382   -0.032    
4.5 2 17.262   0.167      
      -1.215        
5.0 3 16.047          

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)(u-2)}{4!} \Delta^{4} f(-2)+ \frac{(u+2)(u+1)(u)(u-1)(u-2)}{5 !} \Delta^{5 } f(-2)+\cdots

यहाँ u=0.5 तथा अन्तर सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

f(0.5)=20.225+(0.5)(-1.581)+\frac{(0.5)(0.5-1)}{2} \times (0.237)+ \frac{(0.5+1)(0.5)(0.5-1)}{6}(-0.0038)+ \frac{(0.5+1)(0.5)(0.5-1)(0.5-2)}{24} \times (0.009) +\frac{(0.5+2)(0.5+1)(0.5)(0.5-1)(0.5-2)}{120}(-0.003) \\ =20.225-0.7905+\frac{(0.5)(-0.5)(0.237)}{2}+ \frac{(1.5)(0.5)(-0.5)(-0.038)}{6}+\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5)(0.009)}{24}+\frac{(2.5)(1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5)(-0.003)}{120}\\ =20.225-0.7905-0 .29625+0.002375-0.000210937-0.000035156\\ \Rightarrow f(0.5)=19.40700391 \approx 19.407
अब मूलबिन्दु पर पुनः वापिस आने पर: f(3.75)=19.407
Example:4.यदि f(20)=14,f(24)=32,f(28)=35 तथा f(32)=40 हो तो गाॅस के सूत्र द्वारा प्रदर्शित कीजिए कि f(25)=33 होगा।
(Given that f(20)=14,f(24)=32,f(28)=35,f(32)=40 show by Gauss’s formula that f(25)=33 (Approx.))
Solution:24 पर मूलबिन्दु लेने पर,x=25 पर u का मान जबकि यहाँ h=4 है,u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{25-24}{4}=\frac{1}{4}=0.25
अतः हमें f(0.25) का मान ज्ञात करना है।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

x u f(u) \Delta f(u) \Delta^{2} f(u) \Delta^{3} f(u)
20 -1 14      
      18    
24 0 32   -15  
      3   17
28 1 35   2  
      5    
32 2 40      

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\left(\frac{(u+1)(u)(u-1)}{3!}\right) \Delta^{3} f(-1)+\cdots
यहाँ u=0.25 तथा अन्तर सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

f(0.25)=32+(0.25)(3)+\frac{(0.25)(0.25-1)}{2}(-15)+\frac{(0.25)(0.25-1)(0.25-1)}{6} \times 17 \\ =32+0.75+ \frac{(0.25)(-0.75)(-15)}{2}+\frac{(1.25)(0.25)(-0.75)(17)}{6} \\ f(0.25)=32+0.75+1.40625-0.6640625 \\ \Rightarrow f(0.25)=33.4921875 \approx 33
अब मूलबिन्दु पर पुनः वापिस आने पर: f(25)=33 (लगभग)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae) को समझ सकते हैं।

3.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र की समस्याएं (Gauss Forward Interpolation Formula Problems):

(1.)गाॅस के अग्र अन्तर्वेशन सूत्र के उपयोग द्वारा f(32) का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Gauss’s forward interpolation formula to find f(32), given that):
f(25)=0.2707,f(30)=0.3027,f(35)=0.3386,f(40)=0.3794):
(2.)निम्न सारणी से e^{-x} का मान गाॅस अग्र अन्तर्वेशन से ज्ञात करो जबकि x=1.748:
(Apply Gauss’s forward formula to evaluate e^{-x} when x=1.748 from the following table):

x 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77
e^{-x} 0.1790 0.1773 0.1755 0.1738 0.1720 0.1703

उत्तर (Answers):(1.)f(32)=0.316536
(2.)when x=1.748 then e^{-x}=0.1741
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन से क्या तात्पर्य है? (What is meant by central difference interpolation?):

उत्तर:अन्तर सारणी के मध्य के समीप चर का मान जिन सूत्रों का प्रयोग कर ज्ञात किया जाता है वे केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन कहलाते हैं।

प्रश्न:2.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन के लिए कौनसे सूत्रों का प्रयोग किया जाता है? (Which formulas are used for central difference interpolation?):

उत्तर:केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन में मुख्यतः गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula),गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula),स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling’s interpolation formula),बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel’s interpolation formula),लाप्लाॅस-एवरेट अन्तर्वेशन सूत्र (Laplace-Everett interpolation formula) सूत्रों का प्रयोग किया जाता है।

प्रश्न:3.शेफर्ड के केन्द्रीय अन्तर संकारक से क्या तात्पर्य है? (What is meant by Sheppard’s Central Difference Operators?):

उत्तर:डाॅ.शेफर्ड ने दो संकारकों \delta तथा \mu का प्रयोग किया,इनको क्रमशः केन्द्रीय अन्तर संकारक तथा औसत संकारक कहते हैं।इन संकारकों का प्रयोग केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्रों में किया जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae) के बारे ओर जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Gauss Forward Interpolation Formula

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र
(Gauss Forward Interpolation Formula)

Gauss Forward Interpolation Formula

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) अन्तर सारणी के मध्य के समीप
के चर के लिए अन्तर्वेशन हेतु सरल एवं सर्वोत्तम अनुकूल होता है।

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