1.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae):

Gauss Forward Interpolation Formula

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) अन्तर सारणी के मध्य के समीप के चर के लिए अन्तर्वेशन हेतु सरल एवं सर्वोत्तम अनुकूल होता है।
गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula):
सूत्र (Formula):y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1} +\frac{u\left(u^{2}-1\right) (u-2)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{5 !} \Delta^{5} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where),u=\frac{x-x_{0}}{h}
प्रमाण (Proof):माना कि f(u),चर u का फलन है, जहाँ u=\frac{x-x_{0}}{h} तथा u के इकाई अन्तराल वाले मान …….,-3,-2,-1,0,1,2,3,…….के संगत इसके मान ……..,f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3),………है।
न्यूटन-ग्रेगरी अग्र अन्तर सूत्रानुसार

f(u)=f(0)+^{u}C_{1} \cdot \Delta f(0)+^{u}C_{2} \cdot \Delta^{2} f(0)+^{u}C_{3} \cdot \Delta^{3} f(0)+\cdots+ ^{u}C_{r} \cdot \Delta^{r} f(0)+\cdots(1)
हम जानते हैं कि

\Delta^{3} f(-1)=\Delta^{2} \left[\Delta f(-1)\right] \\ =\Delta^{2}[f(0)-f(-1)] \\ \therefore \Delta^{2} f(0) =\Delta^{2} f(-1)+\Delta^{3} f(-1) \cdots(2)
इसी प्रकार \Delta^{3} f(0)=\Delta^{3} f(-1)+\Delta^{4} f(-1) इत्यादि \cdots(3)
इन मानों का (1) में प्रतिस्थापित करने पर:

f(u)=f(0)+^{u}C_{1} \cdot \Delta f(0)+^{u}C_{2} \left[\Delta^{2} f(-1)+\Delta^{3} f(-1)\right]+ ^{u}C_{3} \left[\Delta^{3} f(-1)+\Delta^{4} f(-1) \right]+^{u}C_{4} \left[\Delta^{4} f(-1)+\Delta^{5} f(-1)\right]+\cdots+^{u}C_{r} \left [ \Delta^{r} f(-1)+ \Delta^{r+1}f(-1)\right]+\cdots \\ =f(0)+^{u}C_{1} \cdot \Delta f(0)+^{u}C_{2} \cdot \Delta^{2} f(-1)+\left ( ^{u}C_{2}+^{u}C_{3} \right ) \Delta^{3} f(-1)+ \left ( ^{u}C_{3}+^{u}C_{4} \right ) \Delta^{4} f(-1)+\cdots \cdot+\left ( ^{u}C_{r}+^{u}C_{r+1} \right ) \Delta^{r+1} f(-1)+ \cdots\\ =f(0)+^{u}C_{1} \Delta f(0)+^{u}C_{2} \Delta^{2} f(-1)+^{u+1}C_{3} \Delta^{3} f(-1)+ ^{u+1}C_{4} \Delta^{4} f(-1)+\cdots+^{u+1}C_{r+1} \cdot \Delta^{r+1} f(-1)+\cdots \cdots(4)
पुनः \left.\begin{matrix}\Delta^{3} f(-1)=\Delta^{3} f(-2)+\Delta^{2} f(-2) \\ \Delta^{4} f(-1)=\Delta^{4} f(-2)+\Delta^{5} f(-2) \text{ इत्यादि }\end{matrix}\right\} \cdots(5)
इन मानों को (4) में प्रतिस्थापित करने पर:

f(u)=f(0)+^{u}C_{1} \Delta f(0)+^{u}C_{2} \Delta^{2} f(-1)+^{u+1}C_{3} \Delta^{3} f(-1)+ ^{u+1}C_{4} \left[\Delta^{4} f(-2)+\Delta^{5}f(-2)\right]+\cdots \\ f(u)=f(0)+\left[^{u}C_{1} \cdot \Delta f(0)+^{u}C_{2} \Delta^{2} \cdot f(-1)\right] +\left[^{u+1}C_{3} \Delta^{3} f(-1)+^{u+1}C_{4} \Delta^{4} f(-2)\right]+\cdots \\ \left[^{u+r+1-1}C_{2r-1} \Delta^{2r-1} f(-r+1)+^{u+r-1} C_{2r} \Delta^{2r} f(-r)\right]+\cdots \\ f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+ \frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+ \frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+ \frac{u\left(u^{2} -1\right)\left(u^{2}-2^{2}\right) }{5 !}\Delta^{5} f(-2)+\cdots(6)
यदि f(u) को y_{u} से प्रतिस्थापित करें तो उपर्युक्त सूत्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3!} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4!} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)\left(u^{2}-2^{2}\right)}{5 !} \Delta^{5} y_{-2} \cdots(7)
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2.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Gauss Forward Interpolation Formula Examples):

Example:1.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र से ज्ञात कीजिए जहाँ दिया है:
(Use Gauss’s forward interpolation formula to find the value of f(x) for x=30, given that):

Solution:29 पर मूलबिन्दु लेने पर,x=30 पर u का मान जबकि यहाँ h=4 है, u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{30-29}{4}=\frac{1}{4}=0.25
अतः हमें f(0.25) का मान ज्ञात करना है।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+\frac{(u+1) u(u-1)(u-2)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+\cdots
यहाँ u=0.25 तथा अन्तर सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

f\left(0.25\right)=17.1070+0.25 \times(-0.7638)+ \frac{(0.25)(0.25-1)}{2 !} \times (-0.0564)+\frac{(1+0.25)(0.25)(0.25-1)}{3 !} \times(-0.0076)+\frac{(0.25+1)(0.25)(0.25-1)(0.25-2)}{4 !} \times (-0.0022) \\ \Rightarrow f(0.25)=17.1070-0.19095+(0.25)(-0.75)(-0.0282)+\frac{(1.25)(0.25)(-0.75)(-0.0076)}{6}+ \frac{(1.25)(0.25)(-0.75)(-1.75)(-0.0011)}{12}\\ =17.1070-0.19095+ 0.0052875+ 0.00296875-0.000037597 \\ \Rightarrow f(25)=16.92426885 \approx 16.9242
अब मूलबिन्दु पर पुनः वापिस आने पर: y_{30}=16.9242
Example:2.गाॅस अन्तर्वेशन सूत्र द्वारा निम्न आँकड़ों से f(41) का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Gauss’s interpolation formula to find f(41) with the help of following data):

Solution:40 पर मूलबिन्दु लेने पर x=41 पर u का मान जबकि यहाँ h=5 है, u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{41-40}{5}=\frac{1}{5}=0.20
अतः हमें f(0.20) का मान ज्ञात करना है।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)(u-2)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+\ldots \ldots \ldots 
यहाँ u=0.20 तथा अन्तर सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

f(0.20)=2400 \cdot 1+(0.20)(-523 \cdot 9)+\frac{(0.20)(0.20-1)}{2}(71.1)+\frac{(0.20+1)(0.20)(0.20-1)}{6}(-7.1)+\frac{(0.20+1)(0.20)(0.20-1)(0.20-2)}{24} \times 9.9\\ \Rightarrow f(0.20)=2400.1-104.78+\frac{(0.20)(-0.80)(7.1)}{2}+\frac{(1.20)(0.20)(-0.80)}{6} \times (-7.1)+\frac{(1.20)(0.20)(-0.80)(-1.80)}{24} \times 9.9\\ = 2400.1-104.78-0.568+0.2272+0.544+0.14256 \\ f(0.20)=2295.12176 \approx 2995.1
अब मूलबिन्दु पर पुनः वापिस आने पर: f(41)=2295.1

Gauss Forward Interpolation Formula

Example:3.निम्न सारणी से गाॅस के अग्र सूत्र द्वारा x=3.75 पर y का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Gauss’s forward formula to find the value of y when x=3.75 from the following table):

Solution:3.5 पर मूलबिन्दु लेने पर,x=3.75 पर u का मान जबकि यहाँ h=0.5 है,u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{3.75-3 \cdot 5}{4}=0.5
अतः हमें f(0.5) का मान ज्ञात करना है।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} f(-1)+\frac{(u+1)(u)(u-1)(u-2)}{4!} \Delta^{4} f(-2)+ \frac{(u+2)(u+1)(u)(u-1)(u-2)}{5 !} \Delta^{5 } f(-2)+\cdots

यहाँ u=0.5 तथा अन्तर सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

f(0.5)=20.225+(0.5)(-1.581)+\frac{(0.5)(0.5-1)}{2} \times (0.237)+ \frac{(0.5+1)(0.5)(0.5-1)}{6}(-0.0038)+ \frac{(0.5+1)(0.5)(0.5-1)(0.5-2)}{24} \times (0.009) +\frac{(0.5+2)(0.5+1)(0.5)(0.5-1)(0.5-2)}{120}(-0.003) \\ =20.225-0.7905+\frac{(0.5)(-0.5)(0.237)}{2}+ \frac{(1.5)(0.5)(-0.5)(-0.038)}{6}+\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5)(0.009)}{24}+\frac{(2.5)(1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5)(-0.003)}{120}\\ =20.225-0.7905-0 .29625+0.002375-0.000210937-0.000035156\\ \Rightarrow f(0.5)=19.40700391 \approx 19.407
अब मूलबिन्दु पर पुनः वापिस आने पर: f(3.75)=19.407
Example:4.यदि f(20)=14,f(24)=32,f(28)=35 तथा f(32)=40 हो तो गाॅस के सूत्र द्वारा प्रदर्शित कीजिए कि f(25)=33 होगा।
(Given that f(20)=14,f(24)=32,f(28)=35,f(32)=40 show by Gauss’s formula that f(25)=33 (Approx.))
Solution:24 पर मूलबिन्दु लेने पर,x=25 पर u का मान जबकि यहाँ h=4 है,u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{25-24}{4}=\frac{1}{4}=0.25
अतः हमें f(0.25) का मान ज्ञात करना है।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से:

f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\left(\frac{(u+1)(u)(u-1)}{3!}\right) \Delta^{3} f(-1)+\cdots
यहाँ u=0.25 तथा अन्तर सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

f(0.25)=32+(0.25)(3)+\frac{(0.25)(0.25-1)}{2}(-15)+\frac{(0.25)(0.25-1)(0.25-1)}{6} \times 17 \\ =32+0.75+ \frac{(0.25)(-0.75)(-15)}{2}+\frac{(1.25)(0.25)(-0.75)(17)}{6} \\ f(0.25)=32+0.75+1.40625-0.6640625 \\ \Rightarrow f(0.25)=33.4921875 \approx 33
अब मूलबिन्दु पर पुनः वापिस आने पर: f(25)=33 (लगभग)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae) को समझ सकते हैं।

3.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र की समस्याएं (Gauss Forward Interpolation Formula Problems):

Gauss Forward Interpolation Formula

(1.)गाॅस के अग्र अन्तर्वेशन सूत्र के उपयोग द्वारा f(32) का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Gauss’s forward interpolation formula to find f(32), given that):
f(25)=0.2707,f(30)=0.3027,f(35)=0.3386,f(40)=0.3794):
(2.)निम्न सारणी से e^{-x} का मान गाॅस अग्र अन्तर्वेशन से ज्ञात करो जबकि x=1.748:
(Apply Gauss’s forward formula to evaluate e^{-x} when x=1.748 from the following table):

उत्तर (Answers):(1.)f(32)=0.316536
(2.)when x=1.748 then e^{-x}=0.1741
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula),गाॅस केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Central Difference Interpolation Formulae) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula) अन्तर सारणी के मध्य के समीप
के चर के लिए अन्तर्वेशन हेतु सरल एवं सर्वोत्तम अनुकूल होता है।