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Limits Class 11

1.सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11),कक्षा 11 में सीमा (Limits in Class 11):

सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11) का अध्ययन कलन गणित में किया जाता है।इस आर्टिकल में सीमा की परिभाषा,सीमा के बीजगणित और सीमा पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
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2.सीमा कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Limits Class 11 Solved Examples):

प्रश्न 1 से 22 तक निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिएः
Example:1. \underset{x \rightarrow 3}{\lim} (x+3)
Solution: \underset{x \rightarrow 3}{\lim} (x+3) \\ =3+3=6
Example:2. \underset{x \rightarrow \pi}{\lim} \left(x-\frac{22}{7}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow \pi}{\lim} \left(x-\frac{22}{7}\right) \\=\pi-\frac{22}{7}
Example:3. \underset{r \rightarrow 1}{\lim} \pi r^2
Solution: \underset{r \rightarrow 1}{\lim} \left(\pi r^2\right) \\ =\pi(1)^2 \\ =\pi
Example:4. \underset{x \rightarrow 4}{\lim} \frac{4 x+3}{x-2}
Solution: \underset{x \rightarrow 4}{\lim} \frac{4 x+3}{x-2} \\ =\frac{ \underset{x \rightarrow 4}{\lim}(4 x+3)}{ \underset{x \rightarrow 4}{\lim}(x-2)} \\ =\frac{4(4)+3}{4-2} \\ =\frac{16+3}{2} \\ =\frac{19}{2}
Example:5. \underset{x \rightarrow-1}{\lim} \frac{x^{10}+x^5+1}{x-1}
Solution: \underset{x \rightarrow-1}{\lim} \frac{x^{10}+x^5+1}{x-1} \\ =\frac{\underset{x \rightarrow-1}{\lim}\left(x^{10}+x^5+1\right) }{\underset{x \rightarrow-1}{\lim}(x-1)} \\ = \frac{(-1)^{10}+(-1)^5+1}{-1-1} \\ =\frac{1-1+1}{-2} \\ =-\frac{1}{2}
Example:6. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{(x+1)^5-1}{x}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{(x+1)^5-1}{x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^5+5 x^4+10 x^3+10 x^2+5 x+1-1}{x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x\left(x^4+5 x^3+10 x^2+10 x+5\right)}{x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(x^4+5 x^3+10 x^2+10 x+5\right) \\ =5
Example:7. \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x^2-x-10}{x^2-4}
Solution: \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x^2-x-10}{x^2-4} \\ =\underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x^2-6 x+5 x-10}{(x-2)(x+2)} \\ = \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x(x-2)+5(x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ = \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{(x-2)(3 x+5)}{(x-2)(x+2)} \\ = \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x+5}{x+2} \\ =\frac{3 \times 2+5}{2+2} \\=\frac{6+5}{4} \\ =\frac{11}{4}
Example:8. \underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3}
Solution: \underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3} \\ =\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{(x-3)(x+3)\left(x^2+9\right)}{2 x^2-6 x+x-3} \\ =\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{(x-3)(x+3) \left(x^2+9\right)}{2 x(x-3)+1(x-3)} \\ =\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{(x-3)(x+3) \left(x^2+9\right)}{(x-3)(2 x+1)} \\ =\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{(x+3)\left(x^2+9\right)}{2 x+1} \\ =\frac{(3+3) \left(3^2+9\right)}{2 \times 3+1} \\ =\frac{6(9+9)}{6+1} \\ =\frac{108}{7}
Example:9. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a x+b}{c x+1}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a x+b}{c x+1} \\=\frac{a(0)+b}{c(0)+1} \\ =\frac{b}{1} \\ =b
Example:10. \underset{z \rightarrow 1}{\lim} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1}
Solution: \underset{z \rightarrow 1}{\lim} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1} \\=\underset{z \rightarrow 1}{\lim} \frac{\left(z^{\frac{1}{6}}-1\right)\left(z^{\frac{1}{6}}+1\right)}{\left(z^{\frac{1}{6}}-1\right)} \\ = \underset{z \rightarrow 1}{\lim} \left(z^{\frac{1}{6}}+1\right) \\ =(1)^{\frac{1}{6}}+1 \\ =1+1 \\ =2
Example:11. \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \frac{a x^2+b x+c}{c x^2+b x+a}, a+b+c \neq 0
Solution: \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \frac{a x^2+b x+c}{c x^2+b x+a}\\ =\frac{a(1)^2+b(1)+c}{c(1)^2+b(1)+a} \\ =\frac{a+b+c}{a+b+c} \\ =1
Example:12. \underset{x \rightarrow -2}{\lim} \left(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow -2}{\lim} \left(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2}\right) \\ =\underset{x \rightarrow -2}{\lim} \left(\frac{\frac{x+2}{2x}}{2 x}\right) \\ =\underset{x \rightarrow -2}{\lim} \left(\frac{1}{2 x}\right) \\ =\frac{1}{2(-2)} \\ =-\frac{1}{4}
Example:13\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{ b x}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{ b x}\right) \\ = \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{a \sin a x}{ a b x}\right) \\ =\frac{a}{b} \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{ a x}\right) \\ =\frac{a}{b} \times (1) \\ =\frac{a}{b}
Example:14. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{\sin b x}\right), a, b \neq 0
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{\sin b x}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a\left(\frac{\sin a x}{a x}\right)}{b\left(\frac{\sin b x}{b x}\right)} \\ =\frac{a}{b} \frac{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{a x}\right)}{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin b x}{b x}\right)} \\ =\frac{a}{b} \times \frac{1}{1} \\ =\frac{a}{b}
Example:15. \underset{x \rightarrow \pi}{\lim} \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)}
Solution: \underset{x \rightarrow \pi}{\lim} \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)} \\ \text{put} x=\pi+h \\ \text{ जब } x \rightarrow \pi \text{ तो } h \rightarrow 0 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin [\pi-(\pi+h)]}{\pi[\pi-(\pi+h)]} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin (\pi-\pi-h)}{\pi(\pi-\pi-h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin (-h)}{\pi(-h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{-\sin h }{-\pi h}\right) \\ =\frac{1}{\pi} \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sinh }{h}\right) \\ =\frac{1}{\pi} \times 1 \\ =\frac{1}{\pi}
Example:16. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos x}{\pi-x}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos x}{\pi-x} \\ =\frac{\cos 0}{\pi-0} \\ =\frac{1}{\pi}

Example:17. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\cos 2 x-1}{\cos x-1}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\cos 2 x-1}{\cos x-1}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1-2 \sin ^2 x-1}{1-2 \sin ^2 \frac{x}{2}-1}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{-2 \sin ^2 x}{-2 \sin ^2 \frac{x}{2}} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\frac{2 \sin x}{x}}{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}\right)^2 \\ =4\left(\frac{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin x}{x}}{ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}\right)^2 \\ =4\left(\frac{1}{1}\right)^2 \\ =4 \times 1 \\ =4
Example:18. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a x+x \cos x}{b \sin x}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a x+x \cos x}{b \sin x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\left[\frac{x(a+\cos x)}{b \sin x}\right] \\ =\frac{\underset{x \rightarrow 0}{\lim}(a+\cos x)}{b \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin x}{x}\right)} \\ =\frac{a+\cos 0}{b \times 1} \\ =\frac{a+1}{b}
Example:19. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x \sec x
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x \sec x \\ =0 \times \sec 0 \\ =0 \times 1 \\ =0 
Example:20. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin a x+b x}{a x+\sin b x}, a, b, a+b \neq 0
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin a x+b x}{a x+\sin b x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{a\left(\frac{\sin a x}{a x}+\frac{b}{a}\right)}{b\left(\frac{a}{b}+\frac{\sin b x}{b x}\right)} \\ =\frac{a}{b} \frac{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin a x}{a x}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}+\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin b x}{b x}} \\ =\frac{a}{b} \frac{\left(1+\frac{b}{a}\right)}{\frac{a}{b}+1} \\ =\frac{\frac{a}{b}\left(\frac{a+b}{a}\right)}{\frac{a+b}{b}} \\ =\frac{a}{b} \times \frac{a+b}{a} \times \frac{b}{a+b} \\ =1
Example:21. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} (\operatorname{cosec} x-\cot x)
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} (\operatorname{cosec} x-\cot x) (\operatorname{cosec} x-\cot x) \\=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{1-\left(-2 \sin ^2 \frac{x}{2}\right)}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{1-1+2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\\=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \\ =\frac{\sin 0}{\cos 0} \\ =\frac{0}{1} \\ =0
Example:22. \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \left(\frac{\tan 2 x}{x-\frac{\pi}{2}}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \left(\frac{\tan 2 x}{x-\frac{\pi}{2}}\right) \\ \text{put} x=\frac{\pi}{2}+h \\ \text{ जब } x \rightarrow \frac{\pi}{2} \text{ तो } h \rightarrow 0 \\ \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \frac{\tan \left[2\left(\frac{\pi}{2}+h\right)\right]}{\frac{\pi}{2}+h-\frac{\pi}{2}} \\ = \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \frac{\tan (\pi+2 h)}{h} \\ =\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \frac{\tan 2 h}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \tan 2 h}{2 h} \\ =2 \times 1 \\ =2
Example:23. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x) और \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) ज्ञात कीजिए,जहाँ
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+3, x \leq 0 \\ 3(x+1), x>0\end{array}\right.
x=0 पर दायीं सीमा के लिए f(x)=3(x+1)

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} 3(x+1) \\ =3(0+1) \\ =3
x=0 पर बायीं की के लिए f(x)=2x+3

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} (2 x+3) \\=2 \times 0+3=3 \\ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x) =3 \\ \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 1}{\lim} 3(x+1) \\ =3(1+1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) =6
Example:24. \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) ,ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2-1, & x \leq 1 \\ -x^2-1, & x>1\end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2-1, & x \leq 1 \\ -x^2-1, & x>1\end{array}\right.
x=1 पर दायीं सीमा के लिए f(x)=-x^2-1 \\ \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} \left(-x^2-1\right) \\ =-(1)^2-1 \\ =-1-1 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=-2
x=1 पर बायीं सीमा के लिए

f(x)=x^2-1 \\ \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim}\left(x^2-1\right) \\ =(1)^2-1 \\ =1-1 \\ =0 \\ \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)
x=1 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
Example:25. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x),का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{|x|}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{|x|}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.
x=0 पर दायीं सीमा के लिए

f(x)=\frac{|x|}{x} \\ \Rightarrow f(x) =\frac{x}{x} \\ f(x) =1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} (1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =1
x=0 पर बायीं सीमा के लिए

f(x)=\frac{-x}{x}=-1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} (-1) \\ =-1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)
अतः x=0 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
Example:26. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x),ज्ञात कीजिए,जहाँ f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{|x|}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{|x|}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.
x=0 पर दायीं सीमा के लिए

f(x)=\frac{x}{|x|} \\ \Rightarrow f(x)=\frac{x}{x}=1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim}(1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=1
x=0 पर बायीं सीमा के लिए

f(x)=\frac{x}{-x}=-1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} (-1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=-1 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)
अतः x=0 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
Example:27. \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x),ज्ञात कीजिए,जहाँ f(x)=|x|-5
Solution: f(x)=|x|-5 \\ \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 5}{\lim} |x|-5 \\ =|5|-5 \\ =5-5 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x) =0
Example:28.मान ज्ञात कीजिए f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+b x, & x<1 \\ 4, & x=1 \\ b-a x, & x>1\end{array} \right. और यदि \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x)=f(1) तो a और b के सम्भव मान क्या हैं?
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+b x, & x<1 \\ 4, & x=1 \\ b-a x, & x>1\end{array} \right.
f(1)=4
x=1 पर दायीं सीमा के लिए f(x)=b-ax

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} b-a x \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=b-a \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=f(1) \Rightarrow b-a=4 \cdots(1)
x=1 पर बायीं सीमा के लिए f(x)=a+bx

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} (a+b x) \\ =a+(b)(+1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=a+b \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=f(1) \Rightarrow a+b=4 \cdots(2)
(1) व (2) सेः
a=0,b=4
Example:29.मान लीजिए a_1, a_2, \ldots, a_n अचर वास्तविक संख्याएँ है और एक फलन f(x)=\left(x-a_1\right) \left(x-a_2\right) \ldots \left(x-a_n\right)  से परिभाषित है \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) क्या है?
किसी a \neq a_1, a_2,\ldots ,a_n के लिए \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) का परिकलन कीजिए।
Solution: f(x)= \left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots \ldots \left(x-a_n\right) \\ \underset{x \rightarrow a_{1}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow a_{1}}{\lim} \left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots \ldots \left(x-a_n\right) \\ =\left(a_1-a_1\right)\left(a_1-a_2\right) \ldots \left(a_1-a_n\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow a_{1}}{\lim} f(x) =0 \\ \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow a}{\lim} \left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots\left(x-a_n\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x)=\left(a-a_1\right)\left(a-a_2\right) \ldots\left(a-a_x\right)
Example:30.यदि f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x|+1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ |x|-1, & x>0\end{array}\right. तो a के किन मानों के लिए \underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim}f(x) का अस्तित्व है।
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x|+1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ |x|-1, & x>0\end{array}\right.
x=0 पर \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} -|x|+1=1
x=0 पर \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} |x|-1=-1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)
अतः a \neq 0 सभी a, के लिए \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) का अस्तित्व है।
Example:31.यदि फलन f(x), \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \frac{f(x)-2}{x^2-1}=\pi,को सन्तुष्ट करता है तो \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) का मान प्राप्त कीजिए।
Solution: \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \frac{f(x)-2}{x^2-1}=\pi \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x)-2=\pi \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \left(x^2-1\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x)-2=0 \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x)=2
Example:32.किन पूर्णांकों m और n के लिए \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x) और \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) दोनों का अस्तित्व है,यदि f(x)=\left\{\begin{array}{ll}m x^2+n, & x<0 \\ n x^{3}+m, & 0 \leq x<1 \\ n x^3+m, & x>1\end{array}\right.
Solution: \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} n x+m=n+m \\ \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} n x^3+m=n+m \\ \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)
अतः x=1 पर m व n के किसी भी मान के लिए अस्तित्व है।

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} m x^2+n=n \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} n x+m=m \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \Rightarrow m=n
अतः x=0 सीमा के अस्तित्व के लिए m=n होना अनिवार्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11),कक्षा 11 में सीमा (Limits in Class 11) को समझ सकते हैं।

3.सीमा कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Limits Class 11):

(1.)सिद्ध कीजिए \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a^x-b^x}{x}=\log \left(\frac{a}{b}\right)
(2.)सिद्ध करो \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim}(\sec x-\tan x)=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11),कक्षा 11 में सीमा (Limits in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सीमा कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Limits Class 11),कक्षा 11 में सीमा (Limits in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.बहुपदों और परिमेय फलनों की सीमाएँ कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do We Know Limits Of Polynomials and Rational Functions?):

उत्तर:एक फलन f(x) बहुपदीय फलन कहलाता है यदि f(x) शून्य फलन है या यदि f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots \ldots+a_{n} x^n ,जहाँ “a_{i} s” ऐसी वास्तविक संख्या है कि किसी प्राकृत संख्या के लिए a_{n} \neq 0 \\ \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow a}{\lim} \left[a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots +a_n x^n\right] \\ =a_0+a_1 a+a_2 a^2+\ldots+a_{n} a^{n}

प्रश्न:2.सीमाओं का बीजगणित लिखिए। (Write the Algebra of Limits):

उत्तर:सीमा प्रक्रिया योग,व्यवकलन,गुणा और भाग का पालन करती है जब तक कि विचाराधीन फलन और सीमाएँ सुपरिभाषित हैं।यह संयोग नहीं है।वास्तव में हम इसको बिना उपपत्ति के प्रमेय के रूप में औपचारिक रूप देते हैं।मान लीजिए कि f और g दो ऐसे फलन हैं कि \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) और \underset{x \rightarrow a}{\lim} g(x) दोनों का अस्तित्व है तब
(i)दो फलनों के योग की सीमा फलनों की सीमाओं का योग होता है अर्थात्
\underset{x \rightarrow a}{\lim} \left[f(x)+g(x)\right]=\underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) +\underset{x \rightarrow a}{\lim} g(x)
(ii)दो फलनों के अन्तर की सीमा फलनों की सीमाओं का अन्तर होता है अर्थात्
\underset{x \rightarrow a}{\lim} \left[f(x)-g(x)\right]=\underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) -\underset{x \rightarrow a}{\lim} g(x)
(iii)दो फलनों के गुणन की सीमा फलनों की सीमाओं का गुणन होता है अर्थात्
\underset{x \rightarrow a}{\lim} \left[f(x) \cdot g(x)\right]=\underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) \cdot \underset{x \rightarrow a}{\lim} g(x)
(iv)दो फलनों के भागफल की सीमा फलनों की सीमाओं का भागफल होता है जबकि हर शून्येतर होता है,अर्थात्
\underset{x \rightarrow a}{\lim} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]= \frac{\underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x)}{\underset{x \rightarrow a}{\lim} g(x)}

प्रश्न:3.सीमा से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Limits?):

उत्तर:हम कहते हैं कि \underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) , x=a पर का अपेक्षित (expected) मान है,जिसने x के बाईं ओर निकट मानों के लिए f(x) को मान दिए हैं।इस मान को a पर f(x) की बाएं पक्ष की सीमा कहते हैं।
हम कहते हैं कि \underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) , x=a पर का अपेक्षित (expected) मान है,जिसने x के दाएँ ओर निकट मानों के लिए f(x) को मान दिए हैं।इस मान को a पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा कहते हैं।
यदि दाएँ और बाएँ पक्ष की सीमाएँ संपाती हों तो हम इस उभयनिष्ठ मान को x=a पर f(x) की सीमा कहते हैं और इसे \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) से निरूपित करते हैं।
यदि दाएँ और बाएँ पक्ष की सीमाएँ संपाती हों तो हम इस उभयनिष्ठ मान को x=a पर f(x) की सीमा कहते हैं और इसे \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) से निरूपित करते हैं।
यदि दाएँ और बाएँ पक्ष की सीमाएँ संपाती नहीं हो तो यह कहा जाता है कि x=a पर f(x) की सीमा अस्तित्वहीन है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11),कक्षा 11 में सीमा (Limits in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Limits Class 11

सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11)

Limits Class 11

सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11) का अध्ययन कलन गणित में किया जाता है।इस आर्टिकल में
सीमा की परिभाषा,सीमा के बीजगणित और सीमा पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।

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