1.आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11),समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11):

Basic Set Operations Class 11

आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11) की तीन मूलभूत संक्रियाओं समुच्चयों का सम्मिलन (Union of Sets),समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of Sets) तथा समुच्चयों का अन्तर (Difference of Sets) के विभिन्न गुणधर्मों के प्रमाण इससे पूर्व आर्टिकल में सत्यापित कर चुके हैं।अब इन पर आधारित उदाहरणों के द्वारा इन गुणधर्मों को समझेंगे।
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2.आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Basic Set Operations Class 11):

Example:1.निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए:
(i)X={1,3,5} Y={1,2,3}
(ii)A={a,e,i,o,u} B={a,b,c}
(iii)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
B={x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है}
(iv)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 1<x \leq 6 }
B={x:x एक प्राकृत संख्या है और 6<x<10}
(v)A={1,2,3} ,B={\phi }
Solution:(i)X={1,3,5} Y={1,2,3}

X \cup Y={1,2,3,5}
Solution:(ii)A={a,e, i,o,u} B={a,b,c}

A \cup B={a,b,c,e,i,o,u}
Solution:(iii)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
{x:x=1,2,4,5 या 3 का गुणज है}
B={x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है}

A \cup B={x : x=1,2,4,5 या 3 का गुणज है }
Solution:(iv)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 1<x \leq 6 }
B={x:x एक प्राकृत संख्या है और 6<x<10}

A \cup B={x : 1<x<10, x \in N}
Solution:(v)A={1,2,3} ,B={\phi}

A \cup B={1,2,3}
Example:2.मान लीजिए A={a,b},B={a,b,c}, क्या A \subset B ? A \cup B ज्ञात कीजिए।
Solution:A={a,b},B={a,b,c}
हाँ A \subset B तथा A \cup B={a, b, c}
Example:3.यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A \subset B तो A \cup B क्या है?
Solution:A \subset B का तात्पर्य है कि A के सभी अवयव B में हैं।
अतः A \cup B=B
Example:4.यदि A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, C={5,6,7,8} और D={7,8,9,10} तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A \cup B \quad (ii) A \cup C \quad (iii) B \cup C \\ (iv) B \cup D \quad (v) A \cup B \cup C \quad (vi) A \cup B \cup D \quad (vii) B \cup C \cup D
Solution:A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, C={5,6,7,8}, D={7,8,9,10}

\text { (i) } A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \\ \text { (ii) } A \cup C=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \\ \text { (iii) } B \cup C=\{3,4,5,6,7,8\} \\ \text { (iv) } B \cup D=\{3,4,5,6,7,8,9,10\} \\ \text { (v) } A \cup B \cup C=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \\ \text { (vi) } A \cup B \cup D=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \\ \text { (vii) } B \cup C \cup D=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}
Example:5.Example:1 में दिए गए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Solution:(i)X={1,3,5} Y={1,2,3}

X \cap Y={1,3}
Solution:(ii)A={a,e, i,o,u} B={a,b,c}

A \cap B={a}
Solution:(iii)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
B={x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है}

A \cap B={3}
Solution:(iv)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 1<x \leq 6}
B={x:x एक प्राकृत संख्या है और 6<x<10}

A \cap B=\phi
Solution:(v)A={1,2,3}, B=\phi

Basic Set Operations Class 11

Example:6.यदि A={3,5,7,9,11}, B={7,9,11,13}, C={11,13,15} और D={15,17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

\text{ (i) } A \cap B \quad \text{ (ii) } B \cap C \quad \text{ (iii) } A \cap C \cap D \quad \text{ (iv) } A \cap C \quad \text{ (v) } B \cap D \\ \text{ (vi) } A \cap(B \cup C) \quad \text{ (vii) } A \cap D \quad \text{ (viii) } A \cap(B \cup D) \\ \text{ (ix) }(A \cap B) \cap(B \cup C) \quad \text{ (x) } (A \cup D) \cap(B \cup C)
Solution:(i) A \cap B=\{7,9,11\}
Solution:(ii)B \cap C=\{11,13\}
Solution:(iii)A \cap C \cap D=\phi
Solution:(iv)A \cap C=\{11\}
Solution:(v) B \cap D=\phi
Solution:(vi)A \cap(B \cup C)  \\ B \cup C=\{7,9,11,13,15\}
अतः A \cap(B \cup C)=\{7,9,11\}
Solution:(vii) A \cap D=\phi
Solution:(viii) A \cap(B \cup D) \\ B \cup D=\{7,9,11,13,15,17\}
अतः A \cap(B \cup D)=\{7,9,11\}
Solution:(ix) (A \cap B) \cap(B \cup C) \\ A \cap B=\{7,9,11\}, B \cup C=\{7,9,11,13,15\} \\ \Rightarrow(A \cap B) \cap(B \cup C)=\{7,9,11\}
Solution:(x) (A \cup D) \cap(B \cup C) \\ A \cup D=\{3,5,7,9,11,15,17\} \\ B \cup C=\{7,9,11,13,15\} \\ \Rightarrow(A \cup D) \cap(B \cup C)=\{7,9,11,15\}
Example:7.यदि A={x:x एक प्राकृत संख्या है}, B={x:x एक सम प्राकृत संख्या है}, C={x:x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D={x:x एक अभाज्य संख्या है} तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A \cap B \quad (ii) A \cap C \quad (iii) A \cap D \\ (iv) B \cap C \quad (v) B \cap D \quad (vi) C \cap D
Solution:(i)A \cap B= {x:x एक सम प्राकृत संख्या है}

\Rightarrow A \cap B=B
(ii) A \cap C={x:x एक विषम प्राकृत संख्या है}

\Rightarrow A \cap C=C
(iii)A \cap D={x:x एक अभाज्य संख्या है}

\Rightarrow A \cap D=D
(iv)B \cap C=\{\phi \}
[B और C में कोई उभयनिष्ठ संख्या नहीं है]
(v)B \cap D={2}
(vi) C \cap D={x:x एक विषम अभाज्य संख्या है}
Example:8.निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौनसे युग्म असंयुक्त हैं?
(i){1,2,3,4} तथा {x:x एक प्राकृत संख्या है और 4 \leq x \leq 6 }
(ii){a,e,i,o,u} तथा {c,d,e,f}
(iii){x:x एक सम पूर्णांक है} और {x:x एक विषम पूर्णांक है}
Solution:असंयुक्त युग्म वे होते हैं जिनमें उभयनिष्ठ अवयव न हों।अतः (iii) असंयुक्त युग्म है।
Example:9.यदि A={3,6,9,12,15,18,21}, B={4,8,12,16,20}, C={2,4,6,8,10,12,14,16}, D={5,10,15,20}; तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i)A-B (ii)A-C (iii)A-D
(iv)B-A (v)C-A (vi)D-A
(vii)B-C (viii)B-D (ix)C-B
(x)D-B (xi)C-D (xii)D-C
Solution:A={3,6,9,12,15,18,21}, B={4,8,12,16,20}, C={2,4,6,8,10,12,14,16}, D={5,10,15,20}
(i)A-B={3,6,9,15,18,21}
(ii)A-C={3,9,15,18,21}
(iii)A-D={3,6,9,12,18,21}
(iv)B-A={4,8,16,20}
(v)C-A={2,4,8,10,14,16}
(vi)D-A={5,10,20}
(vii)B-C={20}
(viii)B-D={4,8,12,16}
(ix)C-B={2,6,10,14}
(x)D-B={5,10,15}
(xi)C-D={2,4,6,8,12,14,16}
(xii)D-C={5,15,20}
Example:10.यदि X={a,b,c,d} और Y={f,b,d,g} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i)X-Y
(ii)Y-X

(iii)X \cap Y
Solution:X={a,b,c,d}, Y={f,b,d,g}
(i)X-Y={a,c}
(ii)Y-X={f,g}

(iii)X \cap Y={b,d}
Example:11.यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं तो R-Q क्या होगा?
Solution:अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय
Example:12.बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है अथवा असत्य?अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए:
(i){2,3,4,5} तथा {3,6} असंयुक्त समुच्चय है।
(ii){a,e,i,o,u} तथा {a,b,c,d} असंयुक्त समुच्चय है।
(iii){2,6,10,14} तथा {3,7,11,15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv){2,6,10} तथा {3,7,11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
Solution:(i)\{2,3,4,5\} \cap \{3,6 \}=3

{2,3,4,5} तथा {3,6}  में उभयनिष्ठ अवयव {3} है।अतः असंयुक्त समुच्चय नहीं है।अतः दिया हुआ कथन असत्य है।
(ii)\{a,e,i,o,u\} \cap \{a,b,c,d \}=a

{a,e,i,o,u} तथा {a,b,c,d} में उभयनिष्ठ अवयव {a} है।
अतः दिया हुआ कथन असत्य है।
(iii)\{2,6,10,14 \} \cap \{3,7,11,15 \}=\phi
कथन सत्य है।
(iv)\{2,6,10 \} \cap \{3,7,11\}=\phi

कथन सत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11),समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11) को समझ सकते हैं।

3.आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 के सवाल (Basic Set Operations Class 11 Questions):

Basic Set Operations Class 11

(1.)यदि A={a,b,c,d},B={f,d,e} तथा C={c,d,g,h} हो तो सिद्ध कीजिए:

(i) (A-B) \cup(A-C)=A-(B \cap C) \\ (ii) A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)
(2.)यदि A={1,2,3,5,7,12} तथा B={1,3,5} हों तो A-B,B-A ज्ञात कीजिए।तथा दिखाइए:

(A-B) \cup(B-A)=(A \cup B)-(A \cap B)
उत्तर (Answer):(2.)A-B={2,7,11}, B-A=\phi
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11),समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11),समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले :

आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11) की तीन मूलभूत
संक्रियाओं समुच्चयों का सम्मिलन (Union of Sets),समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of
Sets) तथा समुच्चयों का अन्तर (Difference of Sets) के विभिन्न गुणधर्मों के