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Basic Set Operations Class 11

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1.आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11),समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11):

आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11) की तीन मूलभूत संक्रियाओं समुच्चयों का सम्मिलन (Union of Sets),समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of Sets) तथा समुच्चयों का अन्तर (Difference of Sets) के विभिन्न गुणधर्मों के प्रमाण इससे पूर्व आर्टिकल में सत्यापित कर चुके हैं।अब इन पर आधारित उदाहरणों के द्वारा इन गुणधर्मों को समझेंगे।
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2.आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Basic Set Operations Class 11):

Example:1.निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए:
(i)X={1,3,5} Y={1,2,3}
(ii)A={a,e,i,o,u} B={a,b,c}
(iii)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
B={x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है}
(iv)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 1<x \leq 6 }
B={x:x एक प्राकृत संख्या है और 6<x<10}
(v)A={1,2,3} ,B={\phi }
Solution:(i)X={1,3,5} Y={1,2,3}

X \cup Y={1,2,3,5}
Solution:(ii)A={a,e, i,o,u} B={a,b,c}

A \cup B={a,b,c,e,i,o,u}
Solution:(iii)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
{x:x=1,2,4,5 या 3 का गुणज है}
B={x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है}

A \cup B={x : x=1,2,4,5 या 3 का गुणज है }
Solution:(iv)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 1<x \leq 6 }
B={x:x एक प्राकृत संख्या है और 6<x<10}

A \cup B={x : 1<x<10, x \in N}
Solution:(v)A={1,2,3} ,B={\phi}

A \cup B={1,2,3}
Example:2.मान लीजिए A={a,b},B={a,b,c}, क्या A \subset B ? A \cup B ज्ञात कीजिए।
Solution:A={a,b},B={a,b,c}
हाँ A \subset B तथा A \cup B={a, b, c}
Example:3.यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A \subset B तो A \cup B क्या है?
Solution:A \subset B का तात्पर्य है कि A के सभी अवयव B में हैं।
अतः A \cup B=B
Example:4.यदि A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, C={5,6,7,8} और D={7,8,9,10} तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A \cup B \quad (ii) A \cup C \quad (iii) B \cup C \\ (iv) B \cup D \quad (v) A \cup B \cup C \quad (vi) A \cup B \cup D \quad (vii) B \cup C \cup D
Solution:A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, C={5,6,7,8}, D={7,8,9,10}

\text { (i) } A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \\ \text { (ii) } A \cup C=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \\ \text { (iii) } B \cup C=\{3,4,5,6,7,8\} \\ \text { (iv) } B \cup D=\{3,4,5,6,7,8,9,10\} \\ \text { (v) } A \cup B \cup C=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \\ \text { (vi) } A \cup B \cup D=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \\ \text { (vii) } B \cup C \cup D=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}
Example:5.Example:1 में दिए गए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Solution:(i)X={1,3,5} Y={1,2,3}

X \cap Y={1,3}
Solution:(ii)A={a,e, i,o,u} B={a,b,c}

A \cap B={a}
Solution:(iii)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
B={x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है}

A \cap B={3}
Solution:(iv)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 1<x \leq 6}
B={x:x एक प्राकृत संख्या है और 6<x<10}

A \cap B=\phi
Solution:(v)A={1,2,3}, B=\phi

A \cap B=\phi

Example:6.यदि A={3,5,7,9,11}, B={7,9,11,13}, C={11,13,15} और D={15,17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

\text{ (i) } A \cap B \quad \text{ (ii) } B \cap C \quad \text{ (iii) } A \cap C \cap D \quad \text{ (iv) } A \cap C \quad \text{ (v) } B \cap D \\ \text{ (vi) } A \cap(B \cup C) \quad \text{ (vii) } A \cap D \quad \text{ (viii) } A \cap(B \cup D) \\ \text{ (ix) }(A \cap B) \cap(B \cup C) \quad \text{ (x) } (A \cup D) \cap(B \cup C)
Solution:(i) A \cap B=\{7,9,11\}
Solution:(ii)B \cap C=\{11,13\}
Solution:(iii)A \cap C \cap D=\phi
Solution:(iv)A \cap C=\{11\}
Solution:(v) B \cap D=\phi
Solution:(vi)A \cap(B \cup C)  \\ B \cup C=\{7,9,11,13,15\}
अतः A \cap(B \cup C)=\{7,9,11\}
Solution:(vii) A \cap D=\phi
Solution:(viii) A \cap(B \cup D) \\ B \cup D=\{7,9,11,13,15,17\}
अतः A \cap(B \cup D)=\{7,9,11\}
Solution:(ix) (A \cap B) \cap(B \cup C) \\ A \cap B=\{7,9,11\}, B \cup C=\{7,9,11,13,15\} \\ \Rightarrow(A \cap B) \cap(B \cup C)=\{7,9,11\}
Solution:(x) (A \cup D) \cap(B \cup C) \\ A \cup D=\{3,5,7,9,11,15,17\} \\ B \cup C=\{7,9,11,13,15\} \\ \Rightarrow(A \cup D) \cap(B \cup C)=\{7,9,11,15\}
Example:7.यदि A={x:x एक प्राकृत संख्या है}, B={x:x एक सम प्राकृत संख्या है}, C={x:x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D={x:x एक अभाज्य संख्या है} तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A \cap B \quad (ii) A \cap C \quad (iii) A \cap D \\ (iv) B \cap C \quad (v) B \cap D \quad (vi) C \cap D
Solution:(i)A \cap B= {x:x एक सम प्राकृत संख्या है}

\Rightarrow A \cap B=B
(ii) A \cap C={x:x एक विषम प्राकृत संख्या है}

\Rightarrow A \cap C=C
(iii)A \cap D={x:x एक अभाज्य संख्या है}

\Rightarrow A \cap D=D
(iv)B \cap C=\{\phi \}
[B और C में कोई उभयनिष्ठ संख्या नहीं है]
(v)B \cap D={2}
(vi) C \cap D={x:x एक विषम अभाज्य संख्या है}
Example:8.निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौनसे युग्म असंयुक्त हैं?
(i){1,2,3,4} तथा {x:x एक प्राकृत संख्या है और 4 \leq x \leq 6 }
(ii){a,e,i,o,u} तथा {c,d,e,f}
(iii){x:x एक सम पूर्णांक है} और {x:x एक विषम पूर्णांक है}
Solution:असंयुक्त युग्म वे होते हैं जिनमें उभयनिष्ठ अवयव न हों।अतः (iii) असंयुक्त युग्म है।
Example:9.यदि A={3,6,9,12,15,18,21}, B={4,8,12,16,20}, C={2,4,6,8,10,12,14,16}, D={5,10,15,20}; तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i)A-B (ii)A-C (iii)A-D
(iv)B-A (v)C-A (vi)D-A
(vii)B-C (viii)B-D (ix)C-B
(x)D-B (xi)C-D (xii)D-C
Solution:A={3,6,9,12,15,18,21}, B={4,8,12,16,20}, C={2,4,6,8,10,12,14,16}, D={5,10,15,20}
(i)A-B={3,6,9,15,18,21}
(ii)A-C={3,9,15,18,21}
(iii)A-D={3,6,9,12,18,21}
(iv)B-A={4,8,16,20}
(v)C-A={2,4,8,10,14,16}
(vi)D-A={5,10,20}
(vii)B-C={20}
(viii)B-D={4,8,12,16}
(ix)C-B={2,6,10,14}
(x)D-B={5,10,15}
(xi)C-D={2,4,6,8,12,14,16}
(xii)D-C={5,15,20}
Example:10.यदि X={a,b,c,d} और Y={f,b,d,g} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i)X-Y
(ii)Y-X

(iii)X \cap Y
Solution:X={a,b,c,d}, Y={f,b,d,g}
(i)X-Y={a,c}
(ii)Y-X={f,g}

(iii)X \cap Y={b,d}
Example:11.यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं तो R-Q क्या होगा?
Solution:अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय
Example:12.बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है अथवा असत्य?अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए:
(i){2,3,4,5} तथा {3,6} असंयुक्त समुच्चय है।
(ii){a,e,i,o,u} तथा {a,b,c,d} असंयुक्त समुच्चय है।
(iii){2,6,10,14} तथा {3,7,11,15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv){2,6,10} तथा {3,7,11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
Solution:(i)\{2,3,4,5\} \cap \{3,6 \}=3

{2,3,4,5} तथा {3,6}  में उभयनिष्ठ अवयव {3} है।अतः असंयुक्त समुच्चय नहीं है।अतः दिया हुआ कथन असत्य है।
(ii)\{a,e,i,o,u\} \cap \{a,b,c,d \}=a

{a,e,i,o,u} तथा {a,b,c,d} में उभयनिष्ठ अवयव {a} है।
अतः दिया हुआ कथन असत्य है।
(iii)\{2,6,10,14 \} \cap \{3,7,11,15 \}=\phi
कथन सत्य है।
(iv)\{2,6,10 \} \cap \{3,7,11\}=\phi

कथन सत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11),समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11) को समझ सकते हैं।

3.आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 के सवाल (Basic Set Operations Class 11 Questions):

(1.)यदि A={a,b,c,d},B={f,d,e} तथा C={c,d,g,h} हो तो सिद्ध कीजिए:

(i) (A-B) \cup(A-C)=A-(B \cap C) \\ (ii) A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)
(2.)यदि A={1,2,3,5,7,12} तथा B={1,3,5} हों तो A-B,B-A ज्ञात कीजिए।तथा दिखाइए:

(A-B) \cup(B-A)=(A \cup B)-(A \cap B)
उत्तर (Answer):(2.)A-B={2,7,11}, B-A=\phi
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11),समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11),समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले :

प्रश्न:1.असंयुक्त समुच्चय को समझाओ।(Explain the disjoint sets):

उत्तर:यदि दो समुच्चयों में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं हो तो ऐसे असंयुक्त (विसंघीत) समुच्चय कहलाते हैं।अर्थात् यदि A व B असंयुक्त समुच्चय हैं तो: A \cap B=\phi

प्रश्न:2.समुच्चय के मुख्य बिंदुओं को लिखो।(Write the main points of the sets):

उत्तर:समुच्चय के मुख्य बिंदु निम्न हैं:
(i)एक समुच्चय वस्तुओं का सुपरिभाषित संग्रह होता है।
(ii)एक समुच्चय जिसमें एक भी अवयव नहीं होता रिक्त समुच्चय कहलाता है।
(iii)एक समुच्चय जिसमें अवयवों की संख्या निश्चित होती है परिमित समुच्चय कहलाता है अन्यथा अपरिमित समुच्चय कहलाता है।
(iv)दो समुच्चय A और B समान कहलाते हैं यदि उनमें तथ्यतः समान अवयव हों।
(v)एक समुच्चय A किसी समुच्चय B का उपसमुच्चय कहलाता है यदि A का प्रत्येक अवयव B का भी अवयव हो।अंतराल समुच्चय R के अवयव होते हैं।
(vi)किसी समुच्चय A का घात समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह होता है।
(vii)दो समुच्चय A और B का सम्मिलन इन सभी अवयवों का समुच्चय होता है जो या तो A में हो या B में हो।
(viii)दो समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय होता है जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हों।दो A और B का अन्तर जब A तथा B इसी क्रम में हो तो उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो A में हो किंतु B में नहीं हो।

प्रश्न:3.अन्तर संक्रिया के डी मार्गन नियम को सिद्ध करो।(Prove the De Morgan’s Laws of difference operation):

उत्तर: A-(B \cup C)=(A-B) \cap(A-C)
माना x \in A-(B \cup C) तब
x \in A-(B \cup C) \Rightarrow x \in A या x \notin B \cup C \\ \Rightarrow x \in A या (x \notin B या x \notin C) \\ \Rightarrow(x \in A या x \notin B) या (x \in A या x \notin C) \\ \Rightarrow x \in(A-B) और x \in (A-C) \\ \Rightarrow x \in(A-B) \cap(A-C) \\ A-(B \cup C) \subset(A-B) \cap(A-C) \cdots(1)
पुनः यदि x \in(A-B) \cap(A-C) तब
x \in(A-B) \cap(A-C) \Rightarrow x(A-B) या x \in (A-C) \\ \Rightarrow(x \in A या x \notin B) या (x \in A या x \notin C) \\ \Rightarrow x \in A या (x \notin B या x \notin C) \\ \Rightarrow x \in A या x \notin B \cup C \\ \Rightarrow x \in A-(B \cup C) \\ \therefore (A-B) \cap(A-C) \subset A -(B \cup C) \cdots(2)
(1) व (2) से:
A-(B \cup C)=(A-B) \cap(A-C)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11),समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11) को समझ सकते हैं।

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आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11
(Basic Set Operations Class 11)

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आधारभूत समुच्चय संक्रियाएँ कक्षा 11 (Basic Set Operations Class 11) की तीन मूलभूत
संक्रियाओं समुच्चयों का सम्मिलन (Union of Sets),समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of
Sets) तथा समुच्चयों का अन्तर (Difference of Sets) के विभिन्न गुणधर्मों के

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