Three Dimensional Geometry Class 11
1.त्रिविमीय ज्यामिति कक्षा 11 (Three Dimensional Geometry Class 11),त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय कक्षा 11 (Introduction to Three Dimensional Geometry Class 11):
त्रिविमीय ज्यामिति कक्षा 11 (Three Dimensional Geometry Class 11) में अन्तरिक्ष में एक बिन्दु के निर्देशांक,दो बिन्दुओं के बीच दूरी तथा विभाजन सूत्र का अध्ययन कर चुके हैं।इस आर्टिकल में इन पर आधारित कुछ ओर उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
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2.त्रिविमीय ज्यामिति कक्षा 11 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Three Dimensional Geometry Class 11):
Example:1.समान्तर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A(3,-1,2),B(1,2,-4) व C(-1,1,2) हैं।चौथे शीर्ष D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Solution:A(3,-1,2),B(1,2,-4),C(-1,1,2) माना चौथे शीर्ष के निर्देशांक D(x,y,z), है।
कर्ण के मध्य बिन्दु के निर्देशांक \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)
AC का मध्य बिन्दु के निर्देशांक \left(\frac{3-1}{2}, \frac{-1+1}{2}, \frac{2+2}{2}\right)
=(1,0,2)
BD के मध्य बिन्दु के निर्देशांक=\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+y}{2}, \frac{-4+z}{2}\right)
समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण समद्विभाजित करते हैं अतः
\frac{1+x}{2}=1 \Rightarrow 1+x=z \Rightarrow x=1 \\ \frac{2+y}{2}=0 \Rightarrow y=-2 \\ \frac{-4+z}{2}=2 \Rightarrow z=4+4 \Rightarrow z=8
अतः D बिन्दु के निर्देशांक (1,-2,8)
Example:2.एक त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः A(0,0,6),B(0,4,0) तथा C(6,0,0) हैं।त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:भुजा AB के मध्य बिन्दु D के निर्देशांक
\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right) \\ = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{6+0}{2}\right) \\ =(0,2,3)
D(0,2,3)
भुजा BC के मध्य बिन्दु के निर्देशांक
\left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right)=(3,2,0)
E(3,2,0)
भुजा AC के मध्य बिन्दु के निर्देशांक
\left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{6+0}{2}\right)=(3,0,3)
F(3,0,3)
माध्यिका CD की लम्बाई=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^{2}+\left(z_2-z_{1}\right)^2} \\ = \sqrt{(6-0)^2+(0-2)^2+(0-3)^2} \\ = \sqrt{36+4+9} \\ = \sqrt{49} \\ = 7
माध्यिका AE की लम्बाई=\sqrt{(0-3)^2+(0-2)^2+(6-0)^2} \\ =\sqrt{9+4+36} \\ =\sqrt{49} \\ =7
माध्यिका BF की लम्बाई=\sqrt{(0-3)^2+(4-0)^2+(0-3)^2} \\ =\sqrt{9+16+9} \\ =\sqrt{34}
अतः अभीष्ट माध्यिकाओं की लम्बाई=7,7, \sqrt{34}
Example:3.यदि त्रिभुज PQR का केन्द्रक मूलबिन्दु है और शीर्ष P(2a,2,6),Q(-4,3b,-10) और R(8,14,2c) हैं तो a,b और c का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:त्रिभुज के शीर्षःP(2a,2,6),Q(-4,3b,-10),R(8,14,2c)
केन्द्रक मूलबिन्दु है=(0,0,0)
केन्द्रक के निर्देशांक=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3},\frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right) \\ 0=\frac{2 a-4+8}{3} \Rightarrow 2 a=-4 \Rightarrow a=2 \\ 0=\frac{2+3 b+14}{3} \Rightarrow 3 b=-16 \\ \Rightarrow b=-\frac{16}{3} \\ 0=\frac{6-10+2 c}{3} \Rightarrow 2c=4 \\ \Rightarrow c=2
अतः a=-2, b=\frac{-16}{3}, c=2
Example:4.y-अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु P(3,-2,5) से दूरी है।
Solution:y-अक्ष पर x=0,z=0
माना y-अक्ष पर बिन्दु के निर्देशांक (0,y,0) है।
PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} \\ =\sqrt{(0-3)^2+(y+2)^2+(0-5)^2}=5 \sqrt{2} \\ \Rightarrow \sqrt{9+y^2+4 y+4+25}=5 \sqrt{2}
दोनों पक्षों का वर्ग करने परः
y^2+4 y+38=50 \\ \Rightarrow y^2+4 y+38-50=0 \\ \Rightarrow y^2+4 y-12=0 \\ \Rightarrow y^2+6 y-2 y-12=0 \\ \Rightarrow y(y+6)-2(y+6)=6 \\ \Rightarrow (y-2)(y+6)=0 \\ \Rightarrow y=2,-6
अतः y अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक=(0,2,0) या (0,-6,0)
Example:5.P(2,-3,4) और Q(8,0,10) को मिलाने वाली रेखाखण्ड पर स्थित एक बिन्दु R का x निर्देशांक 4 है।बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Solution:P(2,-3,4),Q(8,0,10)
बिन्दु R के निर्देशांक =\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}, \frac{m z_2+n z_1}{m+n}\right)
x निर्देशांक 4 है अतः
x=\frac{m x_2+n x_1}{m+n} \\ \Rightarrow 4=\frac{m(8)+n(2)}{m+n} \\ \Rightarrow 4(m+n)=8 m+2 n \\ \Rightarrow 4 m-8 m=2 n-4 n \\ \Rightarrow-4 m=-2 n \\ \Rightarrow 2 m=n \\ \Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow m:n=1: 2 \\ y =\frac{m y_2+n y_1}{m+n} \\ \Rightarrow y=\frac{1 \times 0+ 2(-3)}{1+2} \\ \Rightarrow y=\frac{-6}{3} \\ \Rightarrow y =-2 \\ z=\frac{m z_2+n z_1}{m+n} \\ =\frac{1(10)+2(4)}{1+2} \\ =\frac{10+8}{2} \\ =\frac{18}{3} \\ =6 \\ \Rightarrow z =6
अतः R के निर्देशांक (4,-2,6)
Example:6.यदि बिन्दु A और B क्रमशः (3,4,5) तथा (-1,3,-7) हैं।चर बिन्दु P द्वारा निर्मित समुच्चय से सम्बन्धित समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ PA^2+PB^2=K^2 जहाँ k अचर है।
Solution:A(3,4,5), B(-1,3,-7)
माना P(x,y,z) है।
PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} \\ P A^2 =(x-3)^2+(y-4)^2+(z-5)^2 \\ =x^2-6 x+9+y^2-8 y+16+z^2-10 z+25 \\ \Rightarrow P A^2 =x^2+y^2+z^2-6 x-8 y-10 z+50 \\ P B^2 =(x+1)^2+(y-3)^2+(z+7)^2 \\ =x^2+2 x+1+y^2-6 y+9+z^2+14 z+49 \\ \Rightarrow P B^2 =x^2+y^2+z^2+2 x-6 y+14 z+59 \\ PA^2+PB^2=k^2 \\ \Rightarrow x^2+y^2+z^2-6 x-8 y-10 z+50+x^2+y^2+z^2 +2 x-6 y+14 z+59=k^2 \\ \Rightarrow 2 x^2+2 y^2+2 z^2-4 x-14 y+4 z+109=k^2 \\ \Rightarrow 2\left(x^2+y^2+z^2-2 x-7 y+2 z\right)=k^2-109 \\ \Rightarrow x^2+y^2+z^2-2x-7y+2 z=\frac{k^2-109}{2}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा त्रिविमीय ज्यामिति कक्षा 11 (Three Dimensional Geometry Class 11),त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय कक्षा 11 (Introduction to Three Dimensional Geometry Class 11) को समझ सकते हैं।
3.त्रिविमीय ज्यामिति कक्षा 11 की समस्याएँ (Three Dimensional Geometry Class 11 Problems):
(1.)यदि बिन्दु P(3,2,-4),Q(5,4,-6) तथा R(9,8,-10) संरेखीय हों तो वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दु Q रेखाखण्ड PR को विभाजित करता है।
(2.)एक बिन्दु जिसका z निर्देशांक 8 है तथा रेखाखण्ड P(2,-3,4),Q(8,0,10) पर है। दूसरे निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(3.)त्रिभुज A(1,2,3),B(0,4,1),C(-1,-1,-3) का अन्तःकेन्द्र ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)1:2 (2.)R(6,-1,8)
(3.) \left(\frac{\sqrt{42}-3}{\sqrt{42}+10}, \frac{2 \sqrt{42}+25}{\sqrt{42}+10}, \frac{3 \sqrt{42}-2}{\sqrt{42}+10}\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविमीय ज्यामिति कक्षा 11 (Three Dimensional Geometry Class 11),त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय कक्षा 11 (Introduction to Three Dimensional Geometry Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.त्रिविमीय ज्यामिति कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Three Dimensional Geometry Class 11),त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय कक्षा 11 (Introduction to Three Dimensional Geometry Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.निर्देशांक्ष और निर्देशांक किसे कहते हैं? (What are Coordinate Axes and Coordinates?):
उत्तर:किसी तल में स्थित एक बिन्दु की स्थिति निर्धारण के लिए हमें उस तल में दो परस्पर लम्ब एवं प्रतिच्छेदित रेखाओं से लाम्बिक दूरियों की आवश्यकता होती है।इन रेखाओं को निर्देशांक्ष और उन दो लाम्बिक दूरियों को अक्षों के सापेक्ष उस बिन्दु के निर्देशांक (coordinate) कहते हैं।
प्रश्न:2.अन्तरिक्ष में स्थित एक बिन्दु के कितने निर्देशांक होते हैं? (How Many Coordinates Does a Point in Space Have?):
उत्तर:अन्तरिक्ष में परस्पर प्रतिच्छेदित करने वाले तलों से लम्ब दूरियों को व्यक्त करने वाले तीन संख्याएँ उस बिन्दु के तीन निर्देशांक तलों के सापेक्ष निर्देशांक कहलाते हैं।इस प्रकार अंतरिक्ष (space) में स्थित एक बिन्दु के तीन निर्देशांक होते हैं।
प्रश्न:3.उदाहरण द्वारा समझाइए कि दैनिक जीवन में एक तल में स्थित बिन्दुओं से काम क्यों नहीं चल सकता है? (Explain by Example Why Points in One Plane Cannot Work in Daily Life?):
उत्तर:वास्तविक जीवन में हमारा केवल एक तल में स्थित बिन्दुओं से ही सम्बन्ध नहीं रह जाता है।उदाहरणतः अन्तरिक्ष में फेंके गए एक गेंद की विभिन्न समय में स्थिति अथवा एक स्थान से दूसरे स्थान तक जाने के दौरान वायुयान की एक विशिष्ट समय में स्थिति आदि,को जानने की आवश्यकता पड़ती है।
इसी प्रकार एक कमरे की छत से लटकते हुए एक विद्युत बल्ब की निचली नोक अथवा छत के पंखे की नोक की स्थिति का निर्धारण करने के लिए हमें उन बिन्दुओं की दो परस्पर लम्ब दीवारों से दूरियाँ मात्र ही पर्याप्त नहीं है बल्कि उस बिन्दु की,कमरे के फर्श से ऊँचाई की भी आवश्यकता पड़ती है।अतः हमें केवल दो नहीं बल्कि तीन परस्पर लाम्बिक तलों से लम्बवत दूरियों को निरूपित करने के लिए तीन संख्याओं की आवश्यकता होती है, जो बिन्दु की दो परस्पर लम्ब दीवारों से दूरियाँ तथा उस कमरे के फर्श से ऊँचाई को व्यक्त करती है।कमरे की परस्पर लम्ब दीवारों तथा उस क्षैतिज का फर्श तीन परस्पर प्रतिच्छेदित करने वाले तल हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिविमीय ज्यामिति कक्षा 11 (Three Dimensional Geometry Class 11),त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय कक्षा 11 (Introduction to Three Dimensional Geometry Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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त्रिविमीय ज्यामिति कक्षा 11 (Three Dimensional Geometry Class 11) में अन्तरिक्ष में
एक बिन्दु के निर्देशांक,दो बिन्दुओं के बीच दूरी तथा विभाजन सूत्र का अध्ययन कर चुके हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
