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Integration

1.समाकलन (Integration),समाकलन का अर्थ (Integration Meaning)-

समाकलन (Integration),समाकलन का अर्थ (Integration Meaning)-समाकलन (Integration) एक समाकल की गणना है।गणित में इंटीग्रल का उपयोग कई उपयोगी मात्राओं जैसे क्षेत्रों, वॉल्यूम, विस्थापन, आदि को खोजने के लिए किया जाता है।जब हम इंटीग्रल्स के बारे में बात करते हैं, तो यह आमतौर पर निश्चित इंटीग्रल्स से संबंधित होता है।अनिश्चितकालीन इंटीग्रल का उपयोग एंटिडेरिवेटिव्ज के लिए किया जाता है।
समाकलन (Integration) पूरे खोजने के लिए स्लाइस को जोड़ने का एक तरीका है।
समाकलन (Integration) का उपयोग क्षेत्रों, आयतनों, केंद्रीय बिंदुओं और कई उपयोगी चीजों को खोजने के लिए किया जा सकता है।लेकिन एक फ़ंक्शन की वक्र के तहत क्षेत्र को खोजने के साथ शुरू करना सबसे आसान है
नोटेशन
“इंटीग्रल” का प्रतीक एक स्टाइलिश “एस” है
(“सम” के लिए, संक्षेप स्लाइस का विचार):
इंटीग्रल सिंबल के बाद हम वह फंक्शन डालते हैं जिसे हम इंटीग्रल (इंटीग्रैंड कहते हैं) ढूंढना चाहते हैं, और फिर dx के साथ समाप्त होने का मतलब है कि स्लाइस एक्स दिशा में जाते हैं (और चौड़ाई में शून्य तक पहुंचते हैं)।
और यहाँ हम उत्तर कैसे लिखते हैं:
+C
हमने जवाब x^{2} के रूप में लिखा था लेकिन + C क्यों?
यह “समाकलन अचर” है।यह उन सभी फलनों के कारण है, जिनका अवकलज 2x है:
x^{2}+4 का अवकलज 2x है और x^{2}+99 का अवकलज भी 2x है, और इसी तरह!क्योंकि एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है।
इसलिए जब हम ऑपरेशन को उलटते हैं (समाकल को खोजने के लिए) तो हम केवल 2x जानते हैं, लेकिन किसी भी मूल्य का एक अचर हो सकता था।
इसलिए हम अंत में केवल + C लिखकर विचार को लपेटते हैं।
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2.समाकलन के उदाहरण (Integration Examples)-

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(Integrate the following functions with respect to x.)
Example-1.1+2 \tan x(\tan x+\sec x)
SolutionI=\int[1+2 \tan x(\tan x+\sec x)] d x \\ =\int 1 \cdot d x+2 \int \tan ^{2} x d x+2 \int \tan x \sec x d x \\ =\int 1 \cdot d x+2 \int\left(\sec ^{2} x-1\right) d x+2 \sec x+c \\ =\int 1 \cdot d x+2 \int \sec ^{2} x d x-2 \int d x+2 \sec x+c \\ =2 \tan x-\int d x+2 \sec x+c \\ I=2 \tan x-x+2 \sec x+c
Example-2.\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{(x+a)}}
SolutionI=\int \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{(x+a)}} d x \\ \text { Put } x=a \tan ^{2} \theta \\ I =\int \frac{\sqrt{a \tan ^{2} \theta}-\sqrt{a}}{\sqrt{a \tan ^{2} \theta+a}} \cdot 2 a \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ =\int \frac{\sqrt{a}(\tan \theta-1)}{\sqrt{a\left(1+\tan ^{2} \theta\right)}} 2 a \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ =2 a \int \frac{(\tan \theta-1) \tan \theta \sec ^{2} \theta}{\sqrt{\sec ^{2} \theta}} d \theta \\ =2 a \int \frac{(\tan \theta-1) \tan \theta \sec ^{2} \theta}{\sec \theta} d \theta \\ =2 a \int\left(\tan ^{2} \theta \sec \theta-\tan \theta \sec \theta\right) d \theta \\ =2 a \int\left(\sec ^{2} \theta-1\right) \sec \theta d \theta-2 a \int \tan \theta \sec \theta d \theta \\ =2 a \int \sec ^{3} \theta d \theta-2 a \int \sec \theta d \theta-2 a \sec \theta+c \\ =2 a \left[\sec \theta \int \sec ^{2} \theta d \theta-\int[\frac{d}{d \theta} \sec \theta \int \sec ^{2} \theta d \theta] d \theta\right]-2 a \sec \theta-2 a \log |\sec \theta +\tan \theta|+c \\ =2 a\left[\sec \theta \tan \theta-\int \sec \theta \tan \theta \cdot \tan \theta d \theta\right]-2 a \sec \theta-2 a \log |\sec \theta +\tan \theta|+c \\ =2 a\left[\sec \theta \tan \theta-\int \sec \theta \tan ^{2} \theta d \theta\right]-2 a \sec \theta-2 a \log |\sec \theta +\tan \theta|+c \\ I=a \sec \theta \tan \theta-2 a \sec \theta+a \log \left|\frac{\sqrt{x+a}}{a}+\sqrt{\frac{x}{a}}\right| +c\\ I=\frac{a \sqrt{x+a}}{\sqrt{a}} \cdot {\sqrt{\frac{x}{a}}}-2 a \sqrt{\frac{x+a}{a}}-a \log |\sqrt{x}+\sqrt{x+a}|+c \\ I=\sqrt{x} \sqrt{x+a}-2 \sqrt{a} \sqrt{x+a}-a \log |\sqrt{x}+\sqrt{x+a}|+c \\ I=\sqrt{x^{2}+a x}-2 \sqrt{a x+a^{2}}-a \log (\sqrt{a+x}+\sqrt{x})+c
Example-3.\frac{sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}
SolutionI=\int \frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ I=\int \frac{\left(\sin ^{4} x\right)^{2}-\left(\cos ^{4} x\right)^{2}}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ =\int \frac{\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)\left(\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right)}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ =\int \frac{\left[\left(\sin ^{2} x\right)^{2}+\left(\cos ^{2} x\right)^{2}+2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x -2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\right]\left(\sin ^{4} x-\cos ^{4}x\right)}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ I =\int \frac{\left[\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}-\sin ^{2} x \cos x\right]\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ =\int \frac{\left(1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} dx \\=\int\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right) d x \\ =-\int \cos 2 x d x \\ I=-\frac{1}{2} \sin 2 x+c
Example-4.\frac{1}{\cos 2 x+\cos 2 \alpha}
SolutionI =\int \frac{1}{\cos 2 x+\cos 2 \alpha} d x \\ =\int \frac{1}{\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x}+\cos 2 \alpha} d x \\ \Rightarrow I =\int \frac{1+\tan ^{2} x}{2 \tan x+\cos 2 \alpha+\tan ^{2} x \cos 2 \alpha} d x \\ \Rightarrow I=\int \frac{\sec ^{2} x}{2 \tan x+\cos 2 \alpha+\tan ^{2} x \cos 2 \alpha} d x \\ \text { Put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t \\ \Rightarrow I=\int \frac{d t}{2 t+\cos 2 \alpha+t^{2} \cos 2 \alpha} \\ =\frac{1}{\cos 2 \alpha} \int \frac{d t}{t^{2}+2 t \sec 2 \alpha+1} \\ =\frac{1}{\cos 2 \alpha} \int \frac{d t}{(t+\sec 2 \alpha)^{2}-\left(\sec ^{2} 2 \alpha-1\right)} \\ =\frac{1}{\cos 2 \alpha} \int \frac{d t}{(t+\sec 2 \alpha)^{2}-\tan ^{2} 2 \alpha} \\ =\frac{1}{\cos 2 \alpha} \cdot \frac{1}{2 \tan 2 \alpha} \log \left|\frac{t+\sec 2 \alpha-\tan 2 \alpha}{t+\sec 2 \alpha+\tan 2 \alpha}\right|+C \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \operatorname{cosec} 2 \alpha \log \left|\frac{\tan x+\sec 2 \alpha-\tan 2 \alpha}{\tan x+\sec 2 \alpha+\tan 2 \alpha}\right|+c
Example-5.\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}}
SolutionI=\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x \\ \Rightarrow I=\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1-1+\sin 2 x}} d x \\ =\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{-1+(1+\sin 2 x)}} d x \\ =\int \frac{\sin x \cos x}{\left.\sqrt{-1+\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x\right.}\right)} d x \\ =\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{-1+(\sin x+\cos x)^{2}}} d x \\ \Rightarrow I=\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^{2}-1^{2}}} d x \\ \text { put } \sin x+\cos x=t \Rightarrow (\cos x-\sin x) d x=d t \\ \Rightarrow I=-\int \frac{d t}{\sqrt{t^{2}-1^{2}}} \\ \Rightarrow I=-\log \mid\left(t+\sqrt{t^{2}-1}\right)+C \\ \Rightarrow I=-\log \left|(\sin x+\cos x)+\sqrt{(\sin x+\cos x)^{2}-1}\right| \mid+c \\ \Rightarrow I=-\log |(\sin x+\cos x)+\sqrt{\sin 2 x}|+c

Example-6.\frac{\sin 2 x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}
SolutionI=\int \frac{\sin 2 x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x \\ =\int \frac{2 \sin x \cos x}{\cos ^{4} x\left(\tan ^{4} x+1\right)} d x \\ =\int \frac{2 \tan x \sec ^{2} x}{\tan ^{4} x+1} d x \\ \text { Put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t \\ \Rightarrow I=2 \int \frac{t}{\left(t^{4}+1\right)} d t \\ \text { Put } t^{2}=u \Rightarrow 2 t d t=d u \\ \Rightarrow I=\int \frac{d u}{u^{2}+1} \\ \Rightarrow I=\tan ^{-1} u+c \\ \Rightarrow I=\tan ^{-1} t^{2}+c \\ \Rightarrow I=\tan ^{-1}\left(\tan ^{2} x\right)+c
Example-7.\frac{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}
SolutionI=\int \frac{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ \Rightarrow I =\int \frac{(\sin x)^{3}+\left(\cos ^{2} x\right)^{3}}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ =\int \frac{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left[\sin ^{4} x+\cos ^{4} x-\sin ^{2} x \cos ^{2} x\right]}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ =\int \frac{\left(\sin ^{2} x\right)^{2}+\left(\cos ^{2} x\right)^{2}+2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\=\int \frac{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}-3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ =\int \frac{1-3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ =\int \frac{1}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x-3 \int \frac{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ =\int \frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x-3 \int  1 \cdot d x \\ =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x+\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x-3 x+c \\ =\int \sec ^{2} x d x+\int cosec^{2} x d x-3 x+c \\ =\tan x-\cot x-3 x+c
Example-8.\frac{\tan ^{-1} x}{x^{2}}
SolutionI=\int \frac{\tan ^{-1} x}{x^{2}} d x \\ =\int x^{-2} \tan ^{-1} x d x \\ =\tan ^{-1} x \int x^{-2} d x-\int\left[\frac{d}{d x} \tan ^{-1} x \int x^{-2} d x\right] d x+c \\ =\tan ^{-1} x\left(-\frac{1}{x}\right)-\int \frac{1}{1+x^{2}} \cdot\left(-\frac{1}{x}\right) d x+c \\ =-x^{-1} \tan ^{-1} x+\int \frac{1}{x\left(1+x^{2}\right)} d x+c \\ \frac{1}{x\left(1+x^{2}\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{1+x^{2}} \\ \frac{1} {x\left(1+x^{2}\right)} =\frac {A\left(1+x^{2}\right) +B x^{2}+c x}{x\left(1+x^{2}\right)} \\ \Rightarrow 1=(A+B) x^{2}+Cx+A
दोनों पक्षों की तुलना करने पर-
A+B=0,C=0,A=1
B=-1

\Rightarrow I=-x^{-1} \tan ^{-1} x+\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^{2}}\right) d x+C \\ \Rightarrow I=-x^{-1} \tan ^{-1} x+\log x-\frac{1}{2} \log \left(1+x^{2}\right)+c \\ \Rightarrow I=-\frac{\tan^{-1} x}{x}+\log \frac{|x|}{\sqrt{1+x^{2}}}+c
Example-9.\frac{1}{\sin ^{2} x+\sin 2 x}
SolutionI=\int \frac{1}{\sin ^{2} x+\sin 2 x} d x \\ =\int \frac{1}{\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x} d x \\ =\int \frac{\frac{1}{\cos ^{2} x}}{\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}+\frac{2 \sin x \cos x}{\cos ^{2} x}} d x \\ \Rightarrow I=\int \frac{\sec ^{2} x}{\tan ^{2} x+2 \tan x} d x \\ \text { Put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t \\ \Rightarrow I=\int \frac{d t}{t^{2}+2 t} \\ \Rightarrow I=\int \frac{1}{t(t+2)} d t \\ =\frac{1}{2} \int\left[\frac{1}{t}-\frac{1}{t+2}\right] d t \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t-\frac{1}{2} \int \frac{1}{t+2} d t \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \log t-\frac{1}{2} \log (t+2)+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \log (\tan x)-\frac{1}{2} \log (\tan x+2)+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \log \left|\frac{\tan x}{\tan x+2}\right|+c
Example-10. \frac{1}{x\left[6(\log x)^{2}+7(\log x)+2\right]}
SolutionI=\int \frac{1}{x\left[6(\log x)^{2}+7(\log x)+2\right]} d x \\ \text { Put } \log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=d t \\ \Rightarrow I =\int \frac{1}{6 t^{2}+7 t+2} d t \\ =\int \frac{1}{6 t^{2}+4 t+3 t+2} d t \\ =\int \frac{1}{2 t(3 t+2)+1(3 t+2)} d t \\ I=\int \frac{1}{(2 t+1)(3 t+2)} d t \\ \frac{1}{(2 t+1)(3 t+2)} =\frac{A}{2 t+1}+\frac{\beta}{3 t+2} \\ \Rightarrow \frac{1}{(2 t+1)(3 t+2)}=\frac{A(3 t+2)+B(2 t+1)}{(2 t+1)(3t+2)} \\ \Rightarrow \frac{1}{(2 t+1)(3 t+2)}=\frac{(3 A+2 B) t+2 A+B}{(2 t+1)(3 t+2)} \\ \Rightarrow 1=(3 A+2 B) t+2 A+B
दोनों पक्षों की तुलना करने पर-
3A+2B=0 …….(1)
2A+B=1 …….(2)
(1) व (2) को हल करने पर-
A=2,B=-3

\Rightarrow I =\int\left(\frac{2}{2 t+1}-\frac{3}{3 t+2}\right) d t \\ I=2 \int \frac{1}{2 t+1} d t-3 \int \frac{1}{3 t+2} d t \\ I=\log |2 t+1|-\log |3 t+2|+C \\ I =\log \left|\frac{2 t+1}{3 t+2}\right|+c \\ \Rightarrow I=\log \left|\frac{2 \log x+1}{3 \log x+2}\right|+c
Example-11.\frac{\sin 2 x \cos 2 x}{\sqrt{4-\sin ^{4} 2 x}}
SolutionI=\int \frac{\sin 2 x \cos 2 x}{\sqrt{4-\sin ^{4} 2 x}} d x \\ \text { put }\sin ^{2} 2 x=t \Rightarrow 4 \sin 2 x \cos 2 x d x=d t \\ \Rightarrow I=\frac{1}{4} \int \frac{d t}{\sqrt{4-t^{2}}} d t \\ \Rightarrow I=\frac{1}{4} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{4} \sin \left(\frac{\sin ^{2} 2 x}{2}\right)+c
Example-12.\frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x}
SolutionI=\int \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x \\ I=\int \frac{\sin x+\cos x}{9+16-16+32 \sin x \cos x} d x \\ =\int \frac{\sin x+\cos x}{25-16(1-2 \sin x \cos x)} d x \\ =\frac{1}{16} \int \frac{\sin x+\cos x}{\frac{25}{16}-\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x-2 \sin x \cos x\right)} d x \\ =\frac{1}{16} \int \frac{\sin x+\cos x}{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-(\sin x-\cos x)^{2}} \\ \text { Put } \sin x-\cos x=t \Rightarrow(\cos x+\sin x) d x=d t \\ \Rightarrow I=\frac{1}{16} \int \frac{1}{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-t^{2}} \\ \Rightarrow I=\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2\left(\frac{5}{4}\right)} \cdot \log \left|\frac{\frac{5}{4}+t}{\frac{5}{4}-t}\right|+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{40} \log \left|\frac{5+4(\sin x-\cos x)}{5-4(\sin x-\cos x)}\right|+c

उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा समाकलन (Integration),समाकलन का अर्थ (Integration Meaning) को समझ सकते हैं।

3.समाकलन के समस्याएं (Integration Problems)-

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(Integrate the following functions with respect to x.)

(1)e^{x} \sin x^{3}  \\ (2) x^{2} \log \left(1-x^{2}\right) \\ (3) \frac{x}{1+\sin x} \\ (4) \frac{1}{x+\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \\ (5)\frac{2 x-1}{(1+x)^{2}} \\ (6) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) \\ (7) \frac{1+x}{(2+x)^{2}} \\ (8) \frac{1}{4 x^{2}-4 x+3} \\ (9) \frac{3 x-1}{(x-2)^{2}} \\ (10) \int \frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x} d x
उत्तर (Answers):(1) \frac{e^{x}}{30}[\sin 3 x-3 \cos 3 x+20 \sin x-20 \cos x]+c \\ (2) \frac{x^{3}}{3} \log \left| 1+x^{2}\right|-\frac{2}{3}\left(x+ \frac{x^{3}}{3}\right)+\frac{1}{3} \log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+c \\ (3) x(\tan x-\sec x)-\log |\sec x|+\log |\sec x+\tan x|+c \\ (4)\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+\log \left|x+\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right|+c \\ (5) 2 \log |(1+x)|+\frac{2}{1+x}+c \\ (6) 2 x \tan ^{-1} x-\log \left(1+x^{2} \right)+c \\ (7) \log |x+2|+\frac{2}{2+x}+c \\ (8) \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{2 x-1}{\sqrt{2}}\right)+c \\ (9) 3 \log |x-2|-\frac{5}{x-2}+C \\ (10) \tan x-x+c
उपर्युक्त उदाहरणों को हल करने पर समाकलन (Integration),समाकलन का अर्थ (Integration Meaning) को ठीक समझा जा सकता है।

4.त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन (Integration of Trigonometric Functions)-

निम्नलिखित अनिश्चित समाकल इन सभी प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय फलनों में शामिल हैं।निम्नलिखित त्रिकोणमिति सर्वसमिकाओं में से कुछ की आवश्यकता हो सकती है।

(1) \int \cos x d x=\sin x+c \\ (2) \int \sin x d x=-\cos x+c \\ (3) \int \sec ^{2} x d x=\tan x+c \\ (4) \int cosec^{2} x d x=-\cot x+c \\ (5)\int \sec x \tan x d x=\sec x+c \\ (6) \int cosec x \cot x d x=-cosec x+c \\ (7) \int \tan x d x=\log (\sec x)+c=-\log \cos x+c \\ (8) \int \cot x d x=\log \sin x+c=-\log cosec x+c \\ (9) \int \sec x d x=\log (\sec x+\tan x)+c=\log \tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+c \\ (10) \int cosec x d x=-\log (cosec x+\cot x)+c =\log \tan (\frac{x}{2})+c

5.चरघातांकीय फलनों का समाकलन (Integration of Exponential Function)-

चरघातांकीय फलनों को निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके समाकृत किया जा सकता है।चरघातीय फलन।X का एन्टीडेरीवेटिव ज्ञात कीजिए।u=-x, और फिर du =-dx की सेटिंग में प्रतिस्थापन का उपयोग करें।du समीकरण को ,-1 से गुणा करें, इसलिए अब आपके पास -du=dx है।

(1)\int e^{x} d x=e^{x}+c \\ (2) \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log _{c} a}+c \\ (3) \int { { e }^{ ax } } \sin { bx } dx=\frac { a }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } { e }^{ ax }\sin { bx } -\frac { b }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } { e }^{ ax }\cos { bx } +C

6.फलनों का समाकलन (Integration of Functions)-

फलनों का समाकलन।यह सामग्री समाकलन की तकनीकों का एक सीधा परिचय देती है, जो अवकलन के सबसे कठिन क्षेत्रों में से एक है।

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