1.निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral in Class 12),निश्चित समाकलन (Definite Integral):

Definite Integral in Class 12

निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral in Class 12) के इस आर्टिकल में निश्चित समाकलन पर आधारित कुछ सामान्य सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.निश्चित समाकलन कक्षा 12 के उदाहरण (Definite Integral in Class 12 Illustrations):

1 से 20 तक के प्रश्नों में निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।
Illustration:1. \int_{-1}^1(x+1) d x
Solution: \int_{-1}^1(x+1) d x \\ I=\int_{-1}^1(x+1) d x \\ =\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^1 \\ =\frac{1^2}{2}+1-\left(\frac{(-1)^2}{2}-1\right) \\ =\frac{1}{2}+1-\left(\frac{1}{2}-1\right) \\ =\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+1 \\ \Rightarrow I=2
Illustration:2. \int_2^3 \frac{1}{x} d x
Solution: \int_2^3 \frac{1}{x} d x \\ =\int_2^3 \frac{1}{x} d x \\ =[\log x]_2^3 \\ =\log 3-\log 2 \\ \Rightarrow I =\log \left(\frac{3}{2}\right)
Illustration:3. \int_1^2\left(4 x^3-5 x^2+6 x+9\right) d x
Solution: \int_1^2\left(4 x^3-5 x^2+6 x+9\right) d x \\ I=\int_1^2\left(4 x^3-5 x^2+6 x+9\right) d x \\ = \left[\frac{4 x^4}{4}-\frac{5}{3} x^3+\frac{6}{2} x^2+9 x\right]_1^2  \\ = \left[x^4-\frac{5}{3} x^3+3 x^2+9 x\right]_1^2  \\ = 2^4-\frac{5}{3}(2)^2+3(2)^2+9(2)^2 -1^4+\frac{5}{3}(1)^3-3(1)^2-9(1) \\ = 16-\frac{40}{3}+12+18-1+\frac{5}{3}-3-9 \\ = 33-\frac{40}{3}+\frac{5}{3} \\ = \frac{99-40+5}{3} \\ \Rightarrow I= \frac{64}{3}
Illustration:4. \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2 x d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2 x d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2 x d x \\ =\left[-\frac{\cos 2 x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ =-\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \cos 0 \\ =-\frac{1}{2} \times 0+\frac{1}{2} \times 1 \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2}
Illustration:5. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 x d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 x d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 x \\ =\left[\frac{\sin 2 x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ =\frac{1}{2} \sin \pi-\frac{1}{2} \sin 0 \\ =\frac{1}{2} \times 0-\frac{1}{2} \times 0 \\ \Rightarrow I=0
Illustration:6. \int_4^5 e^x d x
Solution: \int_4^5 e^x d x \\ I=\int e^x d x \\ =\left[e^x\right]_4^5 \\ =e^5-e^4 \\ \Rightarrow I=e^4(e-1)
Illustration:7. \int_0^4 \tan x d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x d x \\ I =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x d x \\ =[\log \sec x]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ =\log \sec \frac{\pi}{4}-\log \sec 0 \\ =\log \sqrt{2}-\log 1 \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2} \log 2
Illustration:8. \int_0^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cosec} x d x
Solution: \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cosec} x d x \\I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cosec} x d x \\ =\left[\log \tan \frac{x}{2}\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \\ =\log \tan \frac{\pi}{8}-\log \tan \frac{\pi}{12} \\ =\log \left(\frac{\tan \frac{\pi}{8}}{\tan \frac{\pi}{2}}\right) \\ =\log \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}}\right) \\ \tan \frac{\pi}{8}=\tan 22 \frac{1}{2}^{\circ}=\sqrt{2}-1 \\ \tan \frac{\pi}{12}=\tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3} \\ \Rightarrow I=\log \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}}\right)
विकल्पतः

I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cosec} x d x \\ =[\log (\operatorname{cosec} x-\cot x)]^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}} \\ = \log (\operatorname{cosce} \frac{\pi}{4}-\cot \frac{\pi}{4})- \log (\operatorname{cosec} \frac{\pi}{6}-\cot \frac{\pi}{6}) \\ \Rightarrow \log (\sqrt{2}-1)-\log (2-\sqrt{3}) \\ \Rightarrow I= \log \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}}\right)
Illustration:9. \int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}}
Solution: \int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}} \\ =\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}} \\ =\left[\sin ^{-1} x\right]_0^1 \\ =\sin ^{-1}(1)-\sin ^{-1}(0) \\ =\frac{\pi}{2}-0 \\ \Rightarrow I =\frac{\pi}{2}
Illustration:10. \int_0^1 \frac{d x}{1+x^2}
Solution: \int_0^1 \frac{d x}{1+x^2} \\ I=\int_0^1 \frac{d x}{1+x^2} \\ =\left[\tan ^{-1} x\right]_0^1 \\ =\tan ^{-1}(1)-\tan ^{-1}(0) \\ =\frac{\pi}{4}-0 \\ \Rightarrow I =\frac{\pi}{4}

Definite Integral in Class 12

Illustration:11. \int_2^3 \frac{d x}{x^2-1}
Solution: \int_2^3 \frac{d x}{x^2-1} \\ I=\int_2^3 \frac{d x}{x^2-1} \\ =\frac{1}{2} \log \left|\frac{3-1}{3+1}\right| -\frac{1}{2} \log \left|\frac{2-1}{2+1} \right| \\ =\frac{1}{2} \log \frac{2}{4}-\frac{1}{2} \log \frac{1}{3} \\ =\frac{1}{2} \log \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \log \frac{1}{3} \\ =\frac{1}{2} \log \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}\right) \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{2}\right)
Illustration:12. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 x}{2} d x \\ =\frac{1}{2}\left[x+\frac{\sin 2 x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \sin \pi-0-\frac{1}{2} \sin 0\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \times 0-0\right] \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}
Illustration:13. \int_2^3 \frac{x d x}{x^2+1}
Solution: \int_2^3 \frac{x d x}{x^2+1} \\ I=\int_2^3 \frac{x d x}{x^2+1} \\ \text { put } x^2+1=t \Rightarrow 2 x dx=dt
जब x=2 तो t=5
जब x=3 तो t=10
I=\frac{1}{2} \int_5^{10} \frac{1}{t} d t \\ =\frac{1}{2}[\log t]_5^{10} \\ =\frac{1}{2} \log 10-\frac{1}{2} \log 5 \\ =\frac{1}{2} \log \left(\frac{10}{5}\right) \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \log 2
Illustration:14. \int_0^1 \frac{2 x+3}{5 x^2+1} d x
Solution: \int_0^1 \frac{2 x+3}{5 x^2+1} d x \\ I=\int_0^1 \frac{2 x+3}{5 x^2+1} d x \\ =\int_0^1 \frac{2 x}{5 x^2+1} d x+3 \int_0^1 \frac{1}{5 x^2+1} d x
प्रथम समाकल में

put 5 x^2+1=t \Rightarrow 10 x d x=d t
जब x=0 तो t=1
जब x=1 तो t=6
द्वितीय समाकल में

Put \sqrt{5} x=4 \Rightarrow \sqrt{5} d x=d u
जब x=0 तो u=0
जब x=1 तो u=\sqrt{5} \\ I=\frac{2}{10} \int_1^6 \frac{1}{t} d t+\frac{3}{\sqrt{5}} \int_0^{\sqrt{5}} \frac{1}{u^2+1} d u \\ =\frac{1}{5}[\log t]_1^6+\frac{3}{\sqrt{5}}\left[\tan ^{-1} u\right]_0^{\sqrt{5}} \\ =\frac{1}{5}(\log 6-\log 1)+\frac{3}{\sqrt{5}}\left(\tan ^{-1} \sqrt{5}-\tan 0\right) \\ \Rightarrow I=\frac{1}{5} \log 6+\frac{3}{\sqrt{5}} \tan ^{-1}(\sqrt{5})
Illustration:15. \int_0^1 x e^{x^2} d x
Solution: \int_0^1 x e^{x^2} d x \\ I=\int_0^1 x e^{x^2} d x \\ \text { put } x^2=t \Rightarrow 2 x d x=d t
जब x=0 तो t=0
जब x=1 तो t=1

I=\frac{1}{2} \int_0^1 e^t d t \\=\frac{1}{2}\left[e^t\right]_0^1 \\ =\frac{1}{2}\left(e^1-e^0\right) \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2}(e-1)
Illustration:16. \int_1^2 \frac{5 x^2}{x^2+4 x+3} d x
Solution: \int_1^2 \frac{5 x^2}{x^2+4 x+3} d x \\ I=\int_1^2 \frac{5 x^2}{x^2+4 x+3} d x \\ =\int_1^2\left[5-\frac{20 x+15}{\left(x^2+4 x+3\right)}\right] d x \\ =\int_1^2\left[5-\frac{20 x+15}{\left(x^2+4 x+3\right)}\right] d x \\ =\int_1^2 5 d x-\int \frac{20 x+15}{(x+1)(x+3)} d x \\ \frac{20 x+15}{(x+1)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3} \\ =\frac{A(x+3)+B(x+1)}{P(x)(x+3} \\ \Rightarrow 20 x+15=A(x+3)+B(x+1) \\ \text{put } x=-3 \\ 20(-3)+15=B(-3+1) \\ \Rightarrow-60+15=-2 B \Rightarrow B=\frac{-45}{-2} \\ \Rightarrow B=\frac{45}{2} \\ \text { Put } x=-1 \\ 20 \times -1+15=A(-1+3) \\ 20+15=2 A \\ \Rightarrow A=-\frac{5}{2} \\ I=[5 x]_1^2-\frac{45}{2} \int_1^2 \frac{1}{x+3}+\frac{5}{2} \int_1^2 \frac{1}{x+1} d x \\ =5(2-1)-\frac{45}{2}\left[\log (x+3)\right]_1^2+\frac{5}{2} \left[\log (x+1)\right]^2_1 \\ =5-\frac{45}{2}[\log (2+3)-\log (1+3) +\frac{5}{2}[\log (2+1)-\log (1+1)] \\ =5-\frac{45}{2}[\log 5-\log 4] +\frac{5}{2}[\log 3-\log 2] \\ =5-\frac{45}{2} \log \left(\frac{5}{4}\right)+\frac{5}{2} \log \frac{3}{2} \\ =5-\frac{5}{2}\left[9 \log \frac{5}{4}-\log \frac{3}{2}\right] \\ I=5-\frac{5}{2}\left[9 \log \left(\frac{5}{4}\right)-\log \left(\frac{3}{2}\right)\right]
Illustration:17. \int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(2 \sec ^2 x+x^3+2\right) d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(2 \sec ^2 x+x^3+2\right) d x \\ I=2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec ^2 x d x+\int_0^{\frac{\pi}{4}} x^3 d x+2 \int d x \\ =2[\tan x]_0^{\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{4} \left[x^4 \right]_0^{\frac{\pi}{4}} +2[x]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ =2\left(\tan \frac{\pi}{4}-\tan 0\right)+\frac{1}{4} \left[\left(\frac{\pi}{4}\right)^4-0^4\right]+2\left(\frac{\pi}{4}-0\right) \\ =2 \times 1+\frac{1}{4} \times \frac{\pi^4}{256}+\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow I =2+\frac{\pi^4}{1024}+\frac{\pi}{2}
Illustration:18. \int_0^\pi\left(\sin ^2 \frac{x}{2}-\cos ^2 \frac{x}{2}\right) d x
Solution:\int_0^\pi\left(\sin ^2 \frac{x}{2}-\cos ^2 \frac{x}{2}\right) d x \\ I=\int_0^\pi\left(\sin ^2 \frac{x}{2}-\cos ^2 \frac{x}{2}\right) d x \\ =\int_0^\pi(-\cos x) d x \\ =-[\sin x]_0^\pi \\ =-\sin \pi+\sin 0
Illustration:19. \int_0^2 \frac{6 x+3}{x^2+4} d x
Solution: \int_0^2\left(\frac{6 x+3}{x^2+4}\right) d x \\ I=\int_0^2\left(\frac{6 x+3}{x^2+4}\right) d x \\ =\int_0^2 \frac{6 x}{x^2+4} d x+3 \int_0^2 \frac{1}{x^2+4} d x
प्रथम समाकल में \text{Put } x^2+4=t \\ \Rightarrow 2 x d x=d t
जब x=0 तो t=4
जब x=2 तो t=2^2+4=8 \\ I=3 \int_4^8 \frac{1}{t} d t+3 \int_0^2 \frac{1}{x^2+2^2} d x \\ I =3 \int_4^8 \frac{1}{t} d t+3 \int_0^2 \frac{1}{x^2+2^2} d x \\ =3[\log t]^8_4+3 \times \frac{1}{2}\left[\tan ^{-1} \frac{x}{2}\right]_0^2 \\ =3(\log 8-\log 4)+\frac{3}{2}\left[\tan ^{-1}\left(\frac{2}{2}\right)-\tan^{-1} 0\right] \\ =3 \log \left(\frac{8}{4}\right)+\frac{3}{2} \tan ^{-1} 1 \\ \Rightarrow I=3 \log 2+\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow I=3 \log 2+\frac{3 \pi}{8}
Illustration:20. \int_0^1 \left(x e^x d x+ \sin \frac{\pi x}{4} \right) d x
Solution: \int_0^1 \left(x e^x d x+ \sin \frac{\pi x}{4} \right) d x\\ I=\int_0^1 x e^x d x+\int_0^1 \sin \frac{\pi x}{4} d x
द्वितीय समाकल में \text { put } \frac{\pi x}{4}=t \\ \Rightarrow \frac{\pi}{4} d x=d t
जब x=0 तो t=0
जब x=1 तो t=\frac{\pi}{4} \\ I=x \int_0^1 e^x d x-\int_0^1\left[\frac{d}{dx} \int e^x d x\right] d x+\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin t \times \frac{4}{\pi} d t \\=\left[x e^x\right]_0^1-\left[e^x\right]_0^1+\frac{4}{\pi}[-\cos t]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ =\left((1) e^1-0\right)-\left(e^1-e^0\right)+\frac{4}{\pi}\left[-\cos \frac{\pi}{4}+\cos 0\right] \\ =e-e+1+\frac{4}{\pi}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+1\right) \\ \Rightarrow I=1+\frac{4}{\pi}-\frac{2 \sqrt{2}}{\pi}
प्रश्न 21 एवं 22 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
Illustration:21. \int_1^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^2} बराबर है:

(A) \frac{\pi}{3} (B) \frac{2 \pi}{3} (C) \frac{\pi}{6} (D) \frac{\pi}{12}
Solution: \int_1^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^2} \\ =\left[\tan ^{-1} x\right]^{\sqrt{3}}_1 \\ =\tan ^1(\sqrt{3})-\tan (1) \\ =\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} \\ =\frac{4 \pi-3 \pi}{12} \\ =\frac{\pi}{12}
अतः विकल्प (D) सही है।
Illustration:22. \int_0^{\frac{2}{3}} \frac{d x}{4+9 x^2} बराबर है:

(A) \frac{\pi}{6} (B) \frac{\pi}{12} (C) \frac{\pi}{24} (D) \frac{\pi}{4}
Solution: \int_0^{\frac{2}{3}} \frac{d x}{4+9 x^2} \\ =\frac{1}{9} \int_0^{\frac{2}{3}} \frac{d x}{x^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2} \\ =\frac{1}{9} \times \frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\left[\tan ^{-1} \left(\frac{x}{\frac{2}{3}}\right) \right]_0^{\frac{2}{3}} \\ =\frac{1}{9} \times \frac{3}{2}\left[\tan^{-1} \left(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\right)-\tan^{-1} 0\right] \\ =\frac{1}{6} \tan ^{-1} \left(1\right) \\ =\frac{1}{6} \times \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{24}
अतः विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral in Class 12),निश्चित समाकलन (Definite Integral) को समझ सकते हैं।

3.निश्चित समाकलन कक्षा 12 पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Definite Integral in Class 12):

Definite Integral in Class 12

मान ज्ञात कीजिए

(1.) \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^2 x dx
(2.) \int_0^2 \sin ^2 x d x
(3.) \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 3 x \sin 2 x d x
उत्तर (Answers): (1.)- \frac{\pi}{4}
(2.) \frac{\pi}{4}
(3.) \frac{3 \sqrt{2}}{10}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral in Class 12),निश्चित समाकलन (Definite Integral) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Definite Integral in Class 12),निश्चित समाकलन (Definite Integral) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral in Class 12) के इस आर्टिकल में निश्चित
समाकलन पर आधारित कुछ सामान्य सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।